CC BY
15
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES 2022. No 4
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL
Научная статья УДК 621.893
doi: 10.17213/1560-3644-2022-4-5-10
РЕАЛИЗАЦИЯ МОДИФИКАЦИЙ АЛГОРИТМА КРОНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ МИНИМАКСНЫХ ЗАДАЧ С БЕСКОНЕЧНОСТЯМИ
В.Г. Кобак, А.С. Валадов, В.В. Шевченко
Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия
Аннотация. Рассматривается решение распределительной задачи для однородных систем, содержащих бесконечности, с помощью различных модификаций алгоритма Крона. Распределительным называется класс экономико-математических задач, связанных с распределением ресурсов по работам, которые необходимо выполнить. Приводится описание каждой из оцениваемых модификаций алгоритма Крона. Для оценки их эффективности продемонстрированы результаты экспериментов при различных входных данных и сравнение полученных данных алгоритмами. Данные содержат в себе информацию о среднем значении, полученном в результате работы модификации, а также среднее время выполнения одной задачи. Описаны взаимодействия с бесконечностями для каждого предложенного авторами алгоритма. Разработаны программные средства для анализа эффективности данных алгоритмов.
Ключевые слова: алгоритм Крона, приближенные алгоритмы, минимаксная задача, минимаксные задачи с бесконечностями, алгоритмы распределения
Для цитирования: Кобак В.Г., Валадов А.С., Шевченко В.В. Реализация модификаций алгоритма Крона для решения минимаксных задач с бесконечностями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2022. № 4. С. 5-10. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2022-4-5 -10
Original article
IMPLEMENTATION OF MODIFICATIONS OF THE CROHN'S ALGORITHM FOR SOLVING MINIMAX PROBLEMS WITH INFINITIES
V.G. Kobak, A.S. Valadov, V. V. Shevchenko
Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia
Abstract. In this paper, we consider the solution of the distribution problem for homogeneous systems containing infinities using various modifications of the Krohn algorithm. Distributive is a class of economic and mathematical problems related to the allocation of resources for the work to be performed. A description of each of the evaluated modifications of the Crohn's algorithm is given. To evaluate their effectiveness, the results of experiments with different input data and comparison of the obtained data by algorithms are demonstrated. The data contains information about the average value obtained as a result of the modification, as well as the average execution time of one task. Interactions with infinities for each algorithm proposed by the authors are described. Software tools have been developed to analyze the effectiveness of these algorithms.
Keywords: Crohn's algorithm, approximate algorithms, minimax problem, minimax problems with infinities, distribution algorithm
For citation: Kobak V.G., Valadov A.S., Shevchenko V.V. Implementation of Modifications of the Crohn's Algorithm for Solving Minimax Problems with Infinities. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2022; (4):5-10. (In Russ.) http://dx.doi.org/ 10.17213/1560-3644-2022-4-5-10
© Кобак В.Г., Валадов А.С., Шевченко В.В., 2022
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Введение
В настоящее время широкое распространение и развитие получили вычислительные устройства с многопроцессорной архитектурой. Причём такие устройства могут входить в состав более сложных в организации многомашинных комплексов, позволяющих решать сложные вычислительные задачи путём распределения вычислительного процесса между вычислительными ресурсами. Однако в процессе распараллеливания вычислительного процесса может возникнуть дисбаланс в загрузке доступных вычислительных ресурсов. Поэтому важной задачей является равномерное распределение загрузки всех вычислительных ресурсов. Разрабатываются и модифицируются различные приближенные алгоритмы с целью получить результат, близкий к оптимальному [1 - 3]. Алгоритм Крона представляет собой итерационный алгоритм для решения подобных задач. Однако однородная система, поступающая на вход, может быть усложнена. Например, строки системы могут содержать как элемент -бесконечность. Обработка данной ситуации требует некоторых модификаций в алгоритмах, а это в свою очередь повлечёт за собой изменение их характеристик.
Математическая постановка задачи
В современных системах, параллелизм которых осуществляется за счёт множества одинаковых устройств Р =р,..., рп}, на вход, как правило, поступает некоторое множество заданий Т={^,..., tm}, каждое из которых может обрабатываться независимо на любом из устройств. При этом любое устройство из {Р} в каждый момент времени обрабатывает только одно задание из множества {Т} за известное время ¿¡, где 7 = 1,2, ..., т. В процессе обработки задание не может быть передано на другое устройство или возвращено обратно в очередь.
Задача сводится к распределению (разбиению) исходного множества заданий Т по устройствам (п непересекающихся подмножеств). Именно минимаксный критерий выступает в качестве критерия, обеспечивающего оптимальность разбиения, т.е. выполнение за максимально быстрое время Q параллельной программы.
Q =тах{0.} ^-тт,
где Qi = Еу^п^ - загрузка г-го процессора (время окончания выполнения множества заданий с Т, назначенных на процессорр¡, где г = 1,2,.,п) [4, 5].
Особенностью минимаксных задач с бесконечностями является то, что в качестве (¡,1 может выступать бесконечность. Следовательно,
минимаксный критерий должен каким-то образом их обходить, чтобы выполнение (время) не ушло в непрерывный цикл. Количество бесконечностей в строке может составлять от 0 до N-1. Из этого следует, что в каждой строке Т существует хотя бы одно значение, не равное бесконечности. На данном правиле строится дальнейшее конструирование модификаций алгоритмов.
Задачей научного исследования является оценка «двухшагового» алгоритма Крона и его модификаций для решения минимаксных задач с бесконечностями.
Алгоритм Крона для минимаксных задач с бесконечностями
Данный алгоритм для однородных систем без бесконечностей подробно описан в работе [6, 7]. Основной принцип двухшагового метода заключается в случайном распределении множества заданий Т по множеству приборов (процессоров) Р, вычисление времени загрузки Q¡, где г = 1, 2, ..., N, для каждого прибора Рг.
При заполнении заданиями из Т, где 7 = 1,2, ..., М, производится обход соответствующей строки длиной в N и поиск и выбор в ней значения, не равного бесконечности, исходя из условия в постановке задачи, что в строке обязательно существует хотя бы одно такое значение.
Далее следует перенос задания между приборами с загрузками Q тах и Qmin, при выполнении условия
lern
1<Л,
где Д = Qmax - Qmin, к = 1,2,., М.
После каждой операции переноса значения Q¡ пересчитываются, выбираются новые два прибора Qmax и Qmin, и процесс проверки условия выше проверяется. Данная операция продолжается до тех пор, пока выполняется данное условие. После переход к операции «обменов».
Данная операция представляет собой вычисление времени загрузки Q¡, где г = 1,2, ..., N, для каждого прибора Рг и обмен заданиями между приборами Qmax и Qmin, при выполнении условий
em
е71П<ли ef
> em ^j
где Д= Q - Q ., к,/ = 1,2,., М.
и ^тах втт' '-' 111
Если условие ни разу не выполнится, то алгоритм завершается. В результате составляется расписание, общая длина которого Qmax.
Описание алгоритма Крона:
1. Случайное распределение заданий из множества Т по процессорам. Генерация матрицы загруженностей Q. При распределении происходит
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
проверка условия: если значение нагрузки не бесконечно, то назначить Tj,k следующим заданием на процессор Pi, иначе увеличить к, где к = 1,2,..., N. Пересчитать Q.
2. Операции «переноса». Пока выполняется условие |еП<Л, организовать перенос данного задания между Qmax и Qmin, иначе перейти на этап 3.
3. Операции «обменов». Пока выполняется условие Qfx- Q™1^ и Qfx> Qmin, организовать обмен данного задания между Qmax и Qmin, иначе завершить алгоритм. Результатом является составленное расписание, общая длина которого равняется max (Q.).
Алгоритм «Критического пути» для минимаксных задач с бесконечностями
Для решения данного типа задач используется алгоритм метода «критического пути» (МКП) [8, 9]. Принцип классического метода заключается в том, что очередное задание из списка заданий, упорядоченных по убыванию веса t1 > t2 >.. .> tm, где tj^T, назначается на процессор с самой минимальной суммарной загрузкой. Сортировку по весу можно модифицировать, добавив взаимодействие с бесконечностями.
Первая модификация сортировки - это упорядочивание исключительно по убыванию количества бесконечностей в одной строке. Организуется это с помощью обхода 1-й строки, содержащей N элементов, и подсчёт в ней числа значений, равных бесконечности.
Вторая модификация сортировки предполагает одну из вариаций комбинации сортировки из классического метода «критического пути» и первой модификации. Она будет представлять собой упорядочивание по количеству бесконечностей с учётом веса. То есть, строка inf 16 inf будет стоять выше, чем строка 18 inf 18.
Третья модификация сортировки будет представлять также комбинацию упорядочивания по убыванию веса и по количеству бесконечностей, однако приоритет уже будет именно на вес задания. Пример: строка inf 16 inf будет стоять в таком случае ниже, чем строка 18 inf 18.
Описание алгоритма «Критического пути»:
1. Используется одна из предложенных авторами сортировок: исключительно по весу задания, исключительно по количеству бесконечностей в строке, по количеству бесконечностей с учётом веса задания, по весу задания с учётом числа бесконечностей.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
2. Начальная загрузка всех устройств равна нулю Qi = 0, где i = 1,2, ..., N. Выбирается первое устройство (процессор) и первое задание из множества заданий T.
3. Выбирается устройство, на котором будет обрабатываться текущее задание, (процессор) Pi с наименьшим Qi среди всех процессоров (т.е. процессоров с минимальным временем загрузки на текущий момент).
4. Если значение нагрузки не бесконечно, то назначить Tj,k следующим заданием на процессор Pi, иначе увеличить к, где k = 1,2,., N. Пересчитать Qi.
5. Если j не равен M, то увеличить j на один и перейти к шагу 3. Иначе алгоритм заканчивается. Результатом является составленное расписание, общая длина которого равняется max(Qi).
Модификации Крона с помощью предварительного использования метода «Критического пути» для минимаксных задач с бесконечностями
Модификация строится на идее синтеза алгоритма Крона с другими алгоритмами решения данного типа задач [10].
Следующие предложенные модификации алгоритма Крона будут строиться таким образом:
1. Используется одна из вариаций МКП для решения задачи. Формируется результирующая матрица Q.
2. Используется двухшаговый (ДШ) алгоритм Крона, начиная с его второго этапа (операций переноса).
То есть первый этап алгоритма Крона, на котором матрица Q случайно заполняется, заменяется на распределение с помощью метода «критического пути», а далее алгоритм идентичен двухшаговому алгоритму Крона.
Пример решения. Пусть даны N = 3, M = 8, диапазон значений заданий 5 - 12. Решим данную задачу двухшаговым алгоритмом Крона с использованием метода «критического пути» с сортировкой по убыванию веса на этапе распределения.
Сформируем матрицу задач T:
9 œ 9
7 7 7
œ œ 6
8 œ 8
8 œ 8
5 œ œ
œ 9 œ
œ œ 8
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.
TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Первым этапом является применение алгоритма КП для распределения задач по процессорам. Отсортируем строки по убыванию веса:
9 œ 9
œ 9 œ
8 œ 8
8 œ 8
œ œ 8
7 7 7
œ œ 6
5 œ œ
Используя алгоритм КП, сформируем матрицу Q:
9 x x
x (9) 9 x
x (9) x (9) x (8)
x (9) x (9) x (16)
x (9) x (9) x (24)
x (16) x (9) x (24)
x (16) x (9) x (30)
x (21) x (9) x (30)
В результате работы алгоритма:
Pi {9, 7, 5,}
P2 {9}
Рз {8, 8, 8, 6}
Pmax 30.
Далее в работу вступают 2-й и 3-й этапы алгоритма Крона.
Второй этап - этап «переносов». Оах = 30 (Рз), 0шш = 9 (Р2), А = 30 - 9 = 21. Начинается проверка - существует ли задача в Ртах меньшая по весу, чем Д?
8 < 21 - истина, поэтому организуется перенос данной задачи на Ртп.
P1 {9, 7, 5,}
P2 {9,8}
Рз {8, 8, 6}
Отах = 22 (Рз), 2тт = 17 (Р2), А = 22 - 17 = 5.
8 < 5 - ложь, 8 < 5 - ложь, 6 < 5 ложь. Операция завершается. Совершается переход к 3-му этапу алгоритма Крона.
Третий этап - этап «обменов». Отх = 22 (Рз), Опт = 17 (Р2), А = 22 - 17 = 5.
Начинается проверка - существуют ли такие задачи {а,Ь}, где а еРтах и Ь е Ртп меньшая по весу, чтоб а - Ь < Д и а > Ь ?
{8,9}, {8,8}, {6,9}, {6,8} - всевозможные пары. Ни одна из них не подходит по условию. Следовательно, алгоритм заканчивается и результатом является Ртах = 22.
Таблица 1 / Table 1
Усредненные значения результатов работы оцениваемых алгоритмов Крона с промежутком заданий 20-25 / Averaged values of the results of the evaluated algorithms Crohn's with an interval of 20-25 tasks
NxM Статистика Итерационные алгоритмы
1000 матриц
ДШ Крона КП по весу + ДШ КП по беск. + ДШ КП по беск. с учётом веса +ДШ КП по весу с учётом беск. +ДШ
3x43 Сред. знач. ТПах 315,532 315,529 315,529 315,529 315,529
Сред. время, мс 3,3054751 3,492356 3,658776 3,6609661 3,771997
3x143 Сред. знач., ТПах 1048,996 1048,996 1048,996 1048,996 1048,996
Сред. время, мс 7,6265915 8,1742863 7,9027202 8,163442 8,188876
3x743 Сред. знач., ТПах 5449,124 5449,124 5449,124 5449,124 5449,124
Сред. время, мс 31,88289 40,01320 38,9414715 45,391384 45,0864554
4x43 Сред. знач. ТПах 237,235 237,118 237,249 237,179 237,075
Сред. время, мс 3,102645 3,35812 3,3664816 3,304112 3,3686195
4x143 Сред. знач. ТПах 786,581 786,581 786,581 786,581 786,581
Сред. время, мс 7,5255668 8,095777 7,989584800 8,6177968 8,3778880
4x743 Сред. знач. ТПах 4087,215 4087,215 4087,215 4087,215 4087,215
Сред. время, мс 30,47537 39,92919 40,20142 47,620376 47,174983
7x43 Сред. знач. ТПах 141,368 141,21 141,374 141,345 141,215
Сред. время, мс 3,7880320 4,143045 4,237585 4,23320 4,2435917
7x143 Сред. знач. ТПах 449,727 449,727 449,727 449,727 449,727
Сред. время, мс 7,42395 7,9690851 8,0515413 8,59782 8,6034072
7x743 Сред. знач. ТПах 2335,31 2335,31 2335,31 2335,31 2335,31
Сред. время, мс 34,382763 47,56740 50,775671 61,646299 62,447236
15x43 Сред. знач. ТПах 68,082 66,41 68,202 68,092 66,109
Сред. время, мс 5,7965033 6,102106 5,98512 6,148409 6,388264
15x143 Сред. знач. ТПах 211,381 210,628 211,367 211,236 210,529
Сред. время, мс 8,430417 9,7020630 10,252653 10,968962 11,0549049
15x743 Сред. знач. ТПах 1090,144 1090,144 1090,144 1090,144 1090,144
Сред. время, мс 31,220 49,863099 63,80966 78,17721 76,79079279
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
Таблица 2 / Table 2
Усредненные значения результатов работы оцениваемых алгоритмов Крона с промежутком заданий 5-35 / Averaged values of the results of the evaluated algorithms Crohn's with an interval of 5-35 tasks
NxM Статистика Итерационные алгоритмы
1000 матриц
ДШ Крона КП по весу + ДШ КП по беск. + ДШ КП по беск. с учётом веса +ДШ КП по весу с учётом беск. +ДШ
3x43 Сред. знач. Ттах 279,389 279,391 279,392 279,392 279,39
Сред. время, мс 2,768589 3,089500 2,985167 3,0174285 3,113530
3x143 Сред. знач. Ттах 929,928 929,928 929,928 929,928 929,928
Сред. время, мс 6,6285007 7,086724 7,22956 7,2966884 7,45278980
3x743 Сред. знач. Ттах 4830,137 4830,137 4830,137 4830,137 4830,137
Сред. время, мс 30,0453 39,17013 37,239273 44,452485 44,48475
4x43 Сред. знач. Ттах 210,112 210,103 210,103 210,103 210,101
Сред. время, мс 2,93299 3,269299 3,184599 3,207279 3,365050
4x143 Сред. знач. Ттах 697,788 697,788 697,788 697,788 697,788
Сред. время, мс 6,218803 6,792692 6,753925 7,0480494 7,022884
4x743 Сред. знач. Ттах 3621,801 3621,801 3621,801 3621,801 3621,801
Сред. время, мс 27,86911 38,62502 37,00484 45,68977 45,925124
7x43 Сред. знач. Ттах 120,759 120,643 120,775 120,75 120,619
Сред. время, мс 3,230626 3,46424 3,460183 3,498994 3,482217
7x143 Сред. знач. Ттах 398,551 398,551 398,551 398,551 398,551
Сред. время, мс 7,1480148 8,0195123 8,147303 8,727696 8,619863499
7x743 Сред. знач. Ттах 2071,509 2071,509 2071,509 2071,509 2071,509
Сред. время, мс 36,454721 51,23182 53,77835 66,364795 66,52902
15x43 Сред. знач. Ттах 59,959 58,566 60,107 60,171 58,529
Сред. время, мс 4,692735 4,837365 5,002363 5,1041518 5,0640748
15x143 Сред. знач. Ттах 186,479 186,429 186,477 186,476 186,426
Сред. время, мс 9,538773 11,128462 11,68848090 13,078876 12,99158710
15x743 Сред. знач. Ттах 966,601 966,601 966,601 966,601 966,601
Сред. время, мс 32,4529 59,193539 71,0211624 94,667456 94,380597
Вычислительный эксперимент
Для проверки эффективности различных модификаций алгоритма Крона: «двухшаговый», «двухшаговый» с использованием метода «критического пути» с сортировкой по убыванию веса на этапе распределения, «двухшаговый» с использованием МКП с сортировкой по убыванию числа бесконечностей, «двухшаговый» с использованием МКП с сортировкой по убыванию числа бесконечностей с учётом веса, «двухшаговый» с использованием МКП с сортировкой по убыванию веса с учётом числа бесконечностей проведен вычислительный эксперимент с помощью программного средства, написанного на языке программирования С#. В качестве аппаратного обеспечений использован ноутбук с процессором Ы-£е/(К) Соге(ТМ) /5-9300Н и оперативной памятью объемом 8 гигабайт. Исходными данными в эксперименте являются: 1000 случайно сгенерированных матриц размерностями 3x43, 3x143, 3x743, 4x43, 4x143, 4x743, 7x43, 7x143, 7x743, 15x43, 15x143, 15x743 с диапазоном значений 20-25. Также проведён аналогичный эксперимент, однако диапазон значений был взят 5-35. Результаты приведены в табл. 1, 2.
Выводы
Среди представленных в данной работе модификаций алгоритма Крона лучшим показал себя «двухшаговый» с использованием МКП с сортировкой по убыванию веса с учётом числа бесконечностей, демонстрируя зачастую результат либо равный, либо оптимальнейший среди оцениваемых.
Список источников
1. Коффман Э.Г. Теория расписаний и вычислительные машины. М.: Наука, 1984. 337 с.
2. Головкин Б.А. Расчет характеристик и планирование параллельных вычислительных процессов. М.: Радио и связь, 1983. 272 с.
3. Алексеев О.Т. Комплексное применение методов дискретной оптимизации М.: Наука, 1987.
4. Кобак В.Г, Жуковский А.Г., Золотых О.А., Ростов А.Н. Решение однородной минимаксной задачи различными модификациями алгоритма Крона // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 3. С. 3-8.
5. Кобак В.Г, Жуковский А.Г., Золотых О.А., Ростов А.Н. Различные подходы к решению однородной минимаксной задачи теории расписаний эвристическими алгоритмами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2016. № 1. С. 41-46.
ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2022. No 4
6. Кобак В.Г., Иванов М. С. Сравнительный анализ алгоритмов решения задачи планирования в однородных вычислительных системах // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20: сб. тр. ХХ науч. конф. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2007
7. Кобак В.Г., Титов Д.В., Золотых О.А. Исследование алгоритма Крона и его модификации при различных исходных данных // Вестн. ДГТУ. Вып. 8(69). Ростов н/Д., 2012.
8. Кобак В.Г, Титов Д.В., Золотых О.А., Чижов Д.В. Различные подходы для увеличения эффективности алгоритма Крона в однородных системах обработки информации // Электромеханика. 2012. № 5. С. 74-77.
9. Кобак, В.Г., Золотых О.А., Титов Д.В. Повышение эффективности алгоритма Крона за счёт модификации начального распределения заданий // Современные проблемы информатизации в моделировании и социальных технологиях: сб. тр. XVI Междунар. открытой науч. конф. Воронеж: Научная книга, 2011. С. 246-251.
10. Кобак В.Г., Титов Д.В., Золотых О.А. Исследование алгоритма Крона при разных начальных условиях // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: сб. тр. Междунар. науч. конф. / СГТУ. Саратов, 2011. Т. 8.
References
1. Koffman E.G. Scheduling Theory and Computers. Moscow: Nauka Publ.; 1984. 337 p.
2. Golovkin B.A. Calculation of Characteristics and Planning of Parallel Computing Processes. Moscow: Radio and Communications; 1983. 272 p.
3. Alekseev O.T. Complex Application of Discrete Optimization Methods. Moscow: Nauka; 1987.
4. Kobak V.G., Zhukovsky A.G., Zolotykh O.A., Rostov A.N. Solution of a Homogeneous Minimax Problem by Various Modifications of the Crohn's Algorithm. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Technical sciences=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2016; (3): 3-8. (In Russ.)
5. Kobak V.G., Zhukovsky A.G., Zolotykh O.A., Rostov A.N. Various Approaches to Solving a Homogeneous Minimax Problem in Scheduling Theory by Heuristic Algorithms. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Technical sciences=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2016; (1): 41-45. (In Russ.)
6. Kobak V.G., Ivanov M.S. Comparative analysis of algorithms for solving the planning problem in homogeneous computing systems. Mathematical methods in engineering and technology - MMGT-20: sat. tr. XX, 2007.
7. Kobak V.G., Titov D.V., Zolotykh O.A. Investigation of the Crohn's Algorithm and its Modifications with Different Source Data. Vestn. DSTU. 2012; 8(69).
8. Kobak V.G., Titov D.V., Zolotykh O.A., Chizhov D.V. Various Approaches to Increase the Efficiency of the Crohn's Algorithm in Homogeneous Information Processing Systems. Izvestiya Vysshihkh Uchebnykh Zavedenii. Elektromekhanika = Bulletin of Higher Educational Institutions. Electromechanics. 2012; (5): 74-77. (In Russ.)
9. Kobak V.G., Zolotykh O.A., Titov D.V. Improving the Efficiency of the Crohn's Algorithm by Modifying the Initial Distribution of Task. Modern problems of informatization in modeling and social technologies: collection of tr. XVI International. Open Scientific conference Voronezh: Scientific Book; 2011. Pp. 246-251.
10. Kobak V.G., Titov D.V., Zolotykh O.A. Investigation of the Crohn's Algorithm Under Different Initial Conditions. Mathematical methods in engineering and technologies - MMTT-24: sat. tr. International Scientific Conference. SSTU, 2011; (8).
Сведения об авторах
Кобак Валерий ГригорьевичЕ - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», valera33305@mail.ru
Валадов Антон Сергеевич - студент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
Шевченко Вадим Вадимович - студент, кафедра «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».
Information about the authors
Kobak Valeriy G. - Doctor of Technical Sciences, Professor, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems», valera3 3305 @mail.ru
Valadov Anton S. - Student, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems». Shevchenko Vadim V. - Student, Department «The Software of Computer Facilities and Automated Systems».
Статья поступила в редакцию /the article was submitted 26.09.2022; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 12.10.2022; принята к публикации / acceptedfor publication 17.10.2022.
