Реализация метода Фужера Текст научной статьи по специальности «Математика»

в конкретных задачах это позволяет более широко использовать гладкие ¿-функции [3, 4] вместо существенно негладких (скажем, полунепрерывных).

На основе теоремы 1 получаются нижние и верхние оценки точной нижней грани целевого функционала задачи (Рд), а также соответствующие достаточные и необходимые условия локальной и глобальной оптимальности. Отметим, что эти достаточные условия являются предпочтительными по гибкости и удобству в приложениях по сравнению с условиями В.Ф. Кротова и их известными модификациями (например, [5]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Clarke F.И., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth Analysis and Control Theory. Springer-Verlag, N. Y., Grad. Texts in Math. 1998. V. 178.

2. Хруста,лев М.М. Точное описание множеств достижимости и условие глобальной оптимальности динамических систем. I. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости // Автоматика и телемеханика. 1988. № 5. С. 62-71.

3. Дыхта В.А. Неравенство Ляпунова-Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения. 2006. Т. 110. С. 76-108.

4. Аргучинцев А.В., Дыхта В.А., Срочко В.А. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума // Известия вузов. Математика. 2009. № 1. С. 3-43.

5. Clarke F.H., Nom С. Nonconvex Duality in Optimal Control // SIAM J. Control and Optimization. 2005. V. 43, № 6. P. 2036-2048.

Abstract: the report is devoted to estimating of reachable sets for control dynamic systems and to obtaining necessary and sufficient optimality conditions for optimal control problems; the estimations and the optimality conditions are based on using of a set of Lyapunov type functions, i.e., solutions to Hamilton-Jacobi inequalities.

Keywords: Lyapunov type functions; Hamilton-Jacobi inequalities; reachable set; optimality conditions.

Сорокин Степан Павлович аспирант

Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН Россия, Иркутск e-mail: sorsp@mail.ru

Stepan Sorokin post-graduate student Institute of System Dynamics and Control Theory of Siberian Department of RAS Russia, Irkutsk e-mail: sorsp@mail.ru

УДК 519.85

РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФУЖЕРА 1

© М. В. Старое

Ключевые слова: базисы Гребнера; метод Фужера; модулярные методы.

Аннотация: Строится алгоритм вычисления базиса Гребнера методом Фужера F4; этот алгоритм реализован модулярно с применением метода CRT (Китайской теоремы об остатках).

1Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

basis - базис Гребнера, промежуточный и окончательный. Это динамический массив, в который добавляются полиномы, возникающие в результате редукции. После всех итераций здесь будет искомый результат — базис Гребнера;

sPairs - список пар. В этом массиве хранятся пары ссылок на базисные полиномы в массиве basis Ссылки хранятся в виде пар целых числа (i,j), i < j.

Было замечено, что в результате приведения матрицы к ступенчатому виду остаются поли-

basis

в алгоритм был добавлен блок, в котором полиномы на этом же шаге редуцировались повторно. Другими словами, на этих полиномах строится матрица и приводится к ступенчатому виду. Однако после этого могут снова возникнуть полиномы, редуцируемые базисными полиномами. Поэтому, это повторное редуцирование реализовано рекурсивно. Это изменение алгоритма привело к тому, что количество шагов, которые требуются для вычисления базиса Гребнера, значительно уменьшается. Однако увеличивается количество небольших систем линейных уравнений, которые нужно решать.

Этот алгоритм реализован модулярно с применением метода CRT. Причем, при первом проходе этого алгоритма (по первому модулю) промежуточные вычисления, такие как номера столбцов матриц, ссылки на базисные полиномы, которыми заполняется матрица, указатели на строки уже ступенчатой матрицы, которые после преобразования в полиномы добавятся в базис, и степени мономов этих полиномов, запоминаются. Этих данных вполне достаточно, чтобы при повторном вычислении базиса Гребнера никаких операций, кроме приведения матриц к ступенчатому виду, не производилось.

Abstract: an algorithm for computing Groebner basis by Faugere’s method F4 is constructed; it is modulo realized using the CRT method (Chinese remainders theorem).

Keywords: Groebner basis; Faugere’s method; modulo methods.

Старов Максим Викторович аспирант

Тамбовский государственный университет

им. Г.Р. Державина

Россия, Тамбов

e-mail: m starov@mail.ru

Maksim Starov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: m starov@mail.ru