CC BY
11Реализация метапредметных связей на примере исследования прохождения периодического сигнала несинусоидальной формы через четырехполюсник
Евграфова Ирина Владимировна,
кандидат педагогических наук, Санкт-Петербургский государственный морской технический университет E-mail: [email protected]
Бабаев Владимир Сергеевич,
кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный морской технический университет E-mail: [email protected]
Сегаль Ирина Фридриховна,
кафедра математики
Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, E-mail: [email protected]
Рассматривается вопрос о метапредметных связях в высшей школе. Цель написания данной статьи - показать необходимость интеграции различных курсов, преподаваемых в технических вузах (рассмотрено применение математического и физического аппарата в курсе электротехники). Исследуется прохождение периодического сигнала несинусоидальной формы через четырехполюсник (через дифференцирующие и интегрирующие цепочки). Используется разложение в ряд Фурье этого сигнала. Рассматривается прохождение каждой гармоники с использованием амплитудно-частотных и фазово-частот-ных характеристик передаточных функций четырехполюсника. Восстановление сигнала, прошедшего через четырехполюсник, осуществляется посредством обратного преобразования Фурье. Предлагается процедура для определения степени сглаживания результирующей функции. Решается задача о необходимом и достаточном числе гармонических составляющих при использовании разложения несинусоидального сигнала периодической формы в тригонометрические ряды Фурье при восстановлении сигнала. При этом важным фактором является определение параметров границ полосы пропускания. Показана обширность использования математического аппарата и физических знаний при изучении курса электротехники. В связи с проведенными исследованиями задач по электротехнике показана важность систематического осуществления метапредметных связей при изучении смежных дисциплин в вузах. Одним из вариантов решения выявленной проблемы по интеграции различных курсов предлагается создание базы междисциплинарных задач. В статье перечислены требования, которым должны удовлетворять данные задачи. В качестве проверки эффективности применения такого вида задач предлагается использовать тестирование, включающие задачи различных курсов.
Ключевые слова: метапредметные связи физики, математики и электротехники; четырехполюсник; интегрирующие и дифференцирующие цепочки; прямое и обратное преобразование Фурье; амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристика; степень сглаживания сигнала.
Сложность обучения в высших учебных заведениях у многих студентов часто связана, в большей степени, с изучением технических дисциплин. Несмотря на то, что уже много говорилось о важности математических знаний при изучении технических курсов и о необходимости прикладного характера решаемых математических задач, однако, если рассмотреть материалы смежных дисциплин и задачный материал курса математики, то становится ясно, что этот вопрос остается актуальным до сих пор.
Одним из вариантов решения проблемы является создание базы междисциплинарных задач, используемых на смежных с математикой дисциплинах в высшей школе. Такие задачи, безусловно, должны удовлетворять следующим требованиям:
1) не должны нарушать изложения собственно дисциплинарного материала, а наоборот, должны способствовать его усвоению;
2) должны полностью соответствовать программе дисциплины и учебным пособиям по содержанию используемых в процессе их решения фактов и методов (должны соответствовать реальной действительности, то есть быть правдоподобными);
3) должны быть сформулированы доступным и понятным для обучающихся языком.
При этом эти задачи могут быть использованы и как дополнительные задачи, и как задачи, заменяющие аналогичные, чисто дисциплинарные задачи.
Необходимость использования междисциплинарных задач можно достаточно четко увидеть на задачах курса электротехники, при изучении которого студентами высших учебных заведений технической направленности используется обширный физический и математический аппарат. Соответственно, студенты вузов должны обладать пониманием многих физических процессов, определенными знаниями и умениями в области математики, чтобы изучение электротехники происходило наиболее результативно. Поэтому важнейшей задачей организации учебного процесса является интегрирование преподаваемых курсов математики, физики и электротехники [1]. Одним из ярких примеров реализации метапредметных связей этих курсов является расчет электрических цепей несинусоидального тока.
Рассмотрим прохождение периодического сигнала через четырехполюсник, который представляет собой соединенные последовательно дифференцирующие и интегрирующие цепи. Такие цепи чаще используются в электротехнике, в отличие
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
о с
U
от физики, где преобразования сигнала, имеющие характер дифференцирования или интегрирования рассматриваются отдельно [2].
Работа электрической цепи переменного тока описывается системой дифференциальных уравнений для мгновенных значений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС [3]. Формулы для дифференцирования и интегрирования входного сиг-
d ({))
нала
имеют
вид
dt
)*f J^ (t) dt ,
— \ивх (I) dt, где константа времени тд
ти
подразумевается очень маленькой, а константа интегрирования ти очень большой. Если на вход электрической цепи приложено напряжение и (£),
которое представлено в виде спектра ик = Umksin(кю£ + ук), то при дифференцировании
выходной сигнал должен иметь спектр ют дивх (ю), а при интегрировании —ивх (ю). Таким образом,
юти
для точного дифференцирования цепь должна иметь коэффициент передачи ки (ю) = ют , а для
точного интегрирования ки (ю) = —^.
юти
Реакцию системы, представляющей собой электрическую цепь, на изменение входных параметров можно описать с помощью передаточной функции. Передаточная функция - это отношение напряжения или тока на выходе четырехполюсника к соответствующим величинам на входе [4]. Формула для коэффициента передачи рассматриваемой цепи в общем случае является очень громоздкой, и использовать ее непосредственно достаточно затруднительно. Передаточную функцию можно представить в виде произведения первого и второго каскадов при соответствующем выборе полосы пропускания. Выбор нижней частоты определяется дифференцирующей цепочкой, а верхней - интегрирующей.
Исследования сигнала будем проводить на примере четырехполюсника, состоящего из RC-це-почки (интегрирующей) и RL-цепочки (дифференцирующей), изображенного на рисунке 1.
Здесь взяты следующие значения: ЭДС В = 1 , индуктивностьL = 10-3Гн , емкостьС = 10мкФ , сопротивленияR1 = 100Ом и R2 = 100 Ом , период T = 0.02с , 4acTOTaf = 50Гц. Подбор данных конкретных значений сопротивлений, емкости и индуктивности дифференцирующих и интегрирующих цепочек проводился из следующих соображений. Полоса пропускания этого четырехполюсника, равная разности верхней и нижней частот среза, должна позволять разложить периодическую функцию таким образом, чтобы 15 гармоник (начиная с нижней) попадали в эту полосу частот. Исходя из нижней частоты полосы пропускания определялась частота, а, следовательно, и период периодического сигнала.
График исследуемого сигнала изображен на рисунке 2.
Рис. 2
Одним из наиболее удобных методов исследования прохождения несинусоидальных периодических сигналов через линейные цепи является спектральный метод, основанный на разложение функций в ряды Фурье [2]. Возможность такого разложения сводит расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами. Результаты разложения рассматриваемого входного сигнала в ряд Фурье имеет следующий вид:
U t )=v m
n=1
nn
\-sin (2rcV),
где ит - максимальное значение напряжения, Зп -
частота, значение которой кратно номеру гармоники.
В этом случае передаточная функция принимает вид Ки = Ки х Ки , где Ки и К'и - коэффициенты первого и второго звеньев четырехполюсника, изображенного на рисунке. В случае гармонических колебаний отношения напряжений на входе и выходе удобно взять между комплексными величинами действующих и амплитудных значений, при этом передаточные функции также являются комплексными и зависят от частоты. Тогда для дифференцирующих цепей мы получим передаточную функцию вида:
уют
д _
Ки (ю )=
Рис. 1
1 + уютд
ю210-8 1 + ю210-8
2 2 ю Т д
1 + ю2т д2
+ у
д
1 + ю2тд2
+у
ю10-
1 + ю210-8
Для интегрирующих цепей данные формулы принимают вид:
1
1
Ки (® )=
1 +
1 + Ю2ТИ2
+1
1 + Ю2ТИ2
1
ю10-
1 + го210-6" 11 + го210-6'
Здесь та и ти - константы дифференцирования и ин-
тегрирования, соответственно равные т д = —
R2
ти = ^ ■
После разложения в ряд Фурье получаем совокупность гармоник и для каждой из них осуществляем расчет цепи. Каждую гармонику входного сигнала умножаем на передаточную функцию и затем значения выходного сигнала получаем как сумму соответствующих гармонических составляющих. Для восстановления выходного сигнала используем обратное преобразование Фурье.
При получении выходного сигнала по рассмотренному выше алгоритму возникает вопрос о необходимом и достаточном количестве гармоник, которые необходимо взять в разложении для более точного получения результата.
В данной работе для восстановления выходного сигнала было использовано число гармоник: 3, 6, 9, 12, 15. Результаты этой процедуры представлены на рисунке 3.
для 15 гармоник Рис. 3
Из рисунка видно, что увеличение числа гармоник приводит к более сглаженному выходному сигналу. Переход от 12 к 15 гармоникам практически не изменяет вид результирующего сигнала.
Для качественной характеристики сглаживания результирующей функции предлагается следующая процедура. Так как функция имеет не периодическое чередование вторичных максимумов и минимумов в пределах одного периода, то степень сглаживания определяется по формуле:
Аф = ¿4,/ = 1,2.....п ,
/=1
где А/ - размах между максимальным и следующим за ним минимальным значением и наоборот.
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о т О от
З
и о со
3
и
На рисунке 4 приведен пример оценки размаха для случая первых максимумов и минимумов графика выходного сигнала.
Рис. 4
Результаты вычисления по этой формуле представлены в таблице. Таблица
n 3 6 9 12 15
Аср 0. 11 0. 06 0. 05 0. 02 0. 02
о с
U
Коэффициент, предложенный для оценки сглаживания выходного сигнала естественно монотонно убывает. Для п = 12 и п = 15 эти коэффициенты совпадают в пределах погрешности измерения.
Таким образом, для данного входного сигнала и данного четырехполюсника для восстановления выходного сигнала с использованием метода прямого и обратного преобразования Фурье достаточно рассмотрения 12 гармоник. Дальнейшее увеличение их числа не имеет практического значения.
Видно, что решение данной задачи требует интегрируемых знаний, математики, физии и электротехники. Необходимо владение такими понятиями как полоса пропускания, передаточная функция, частоты среза. В свою очередь эти знания основаны на понимании физических процессов, которые происходят в электрических цепях. При сравнении выходного сигнала используются статистические методы обработки результатов измерения физических величин, которые требуют как знания физики, так и математики. Роль математики также определяется знанием теории комплексных чисел, умением применять прямое и обратное преобразование Фурье, границы которого определены теоремой Дирихле.
В качестве проверки эффективности использования междисциплинарных задач при изучении смежных дисциплин можно использовать тестирование, включающее в себя вопросы, относящиеся как к математике, так и к смежной дисциплине. Тестирование необходимо провести, для сравнения, в группе, обучающейся с использованием на практических занятиях междисциплинарных задач и в контрольной группе, которая обучалась по стандартной программе. По результатам такого тестирования можно будет сделать исчерпывающие выводы.
Внедрение такого подхода в процесс обучения позволило бы обеспечить более глубокое понимание изучаемого материала. Также такой подход может дать дополнительные знания, выходящие за границы изучаемого предмета, что в дальнейшем, несомненно, повысит уровень знаний обучаемых в данной дисциплине, а также позволит уменьшить трудоемкость освоения новых смежных курсов.
Систематическое осуществление метапред-метных связей при изучении математики и смежных технических дисциплин позволяет повысить качество математических знаний обучающихся, способствует формированию представлений о методе математического моделирования как методе изучения реальных явлений, предоставляет возможности для развития познавательных интересов обучающихся.
Интерес является той базой, на которой строится процесс обучения. С позиций научно-педагогической значимости познавательный интерес - это важный фактор совершенствования процесса обучения и одновременно показатель его результативности и эффективности, так как он стимулирует самостоятельность, познавательную активность, творческий подход к изучению материала, побуждает к самообразованию. Психологи сходятся во мнении, что ядром личности как субъекта сознательной деятельности является мотивацион-ная сфера человека и, прежде всего, его интересы и потребности [5].
Литература
1. Бабаев В. С., Евграфова И.В., Сегаль И.Ф, Межпредметные связи курсов физики и электротехники на примере использования метода векторных диаграмм при изучении электрических цепей синусоидального тока., Международный сборник научных статей «Физика в школе и Вузе» (Выпуск 18), РГПУ им. А.И. Герцена, СПб, 2016 г.
2. Бабаев В. С., Евграфова И.В., Сегаль И.Ф, Применение физических и математических методов при расчете четырехполюсников в курсе «Электротехника» в технических вузах., Физика в системе современного образования (ФС-С0-2019): Материалы XV Международной конференции», РГПУ им. А.И. Герцена, Спб, 2019.
3. Борисов Ю.М. Общая электротехника: Учеб. Пособие для вузов / Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов. - М.: Высшая школа, 1974.- 519с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. В двух томах. Том 1. Электрические цепи: учебник для академического бакалавриата - 12-е изд., испр. и доп. - М.: Издательство Юрайт, 2019.- 831с.- (Серия: Бакалавр. Академический курс).
5. Трубинова, К.М. Познавательный интерес и его развитие в процессе обучения в начальной школе / К.М. Трубинова. - Текст: непосредственный, электронный // Педагогика сегодня:
проблемы и решения: материалы II Междунар. науч. конф. (г. Казань, сентябрь 2017 г.). - Казан: Молодой ученый, 2017. - С. 9-14.
IMPLEMENTATION OF META-OBJECT LINKS USING THE EXAMPLE OF STUDYING THE PASSAGE OF A PERIODIC SIGNAL OF A NON-SINUSOIDAL FORM THROUGH A FOUR-TERMINAL NETWORK
Evgrafova I.V., Babaev V.S., Segal I.F.
State Marine Technical University of St. Petersburg
The issue of meta-subject relationships in higher education is considered. The purpose of this article is to show the need for integration of various courses taught in technical universities (the use of the mathematical and physical apparatus in the course of electrical engineering is considered). We study the passage of a periodic signal of a non-sinusoidal form through a four-terminal network (through differentiating and integrating chains). Fourier expansion of this signal is used. The passage of each harmonic using the amplitude-frequency and phase-frequency characteristics of the transfer functions of a four-terminal device is considered. The restoration of a signal that has passed through a four-terminal network is carried out by means of the inverse Fourier transform. A procedure is proposed for determining the degree of smoothing of the resulting function. The problem of the necessary and sufficient number of harmonic components when using the expansion of a non-sinusoidal signal of a periodic form in trigonometric Fourier series when reconstructing a signal is solved. An important factor is determining the parameters of the bandwidth boundaries. The extensive use of the mathematical apparatus and physical knowledge in the study of the course of electrical engineering is shown. In connection with the studies of tasks in electrical engineering, the importance of the systematic implementation of meta-subject relationships in the study of related disciplines in universities has been shown. One of the options for solving the identified problem of integrating various courses is the creation of a base of interdisciplinary tasks. The article lists the requirements that
these tasks must meet. It is proposed to use testing, which includes tasks of various courses, as a test of the effectiveness of the application of this type of task.
Keywords: meta-subject connections of physics, mathematics and electrical engineering; quadripole; integrating and differentiating chains; direct and inverse Fourier transform; amplitude-frequency and phase-frequency characteristic; degree of signal smoothing.
References
1. Babaev V. S., Evgrafova I.V., Segal I. f, Intersubject connections of physics and electrical engineering courses on the example of using the vector diagram method in the study of sinusoidal current electrical circuits., international collection of scientific articles "Physics in school and University" (Issue 18), Herzen state University of physics, Saint Petersburg, 2016.
2. Babaev V. S., Evgrafova I.V., Segal I. f, Application of physical and mathematical methods for calculating four-pole conductors in the course "electrical Engineering" in technical universities., Physics in the system of modern education (FSSO-2019): Materials of the XV International conference", Herzen state University, St. Petersburg, 2019.
3. Borisov Yu.M. General electrical engineering: Textbook. Manual for universities / Yu.m. Borisov, D.N. Lipatov. - M.: Higher school, 1974.- 519s.
4. Bessonov L.A. Theoretical foundations of electrical engineering. In two volumes. Volume 1. Electric circuits: textbook for academic undergraduate - 12th ed., ISPR. and add. - M.: yurayt Publishing house, 2019.- 831s - (Series: Bachelor. Academic course).
5. Trubinova, K.M. Cognitive interest and its development in the process of education in primary school / K.M. Trubinova. - Text: direct, electronic // Pedagogy today: problems and solutions: proceedings of the II international conference. scientific Conf. (Kazan, September 2017). - Kazan: Young scientist, 2017. -Pp. 9-14.
