CC BY
8УДК 69.04
РЕАЛИЗАЦИЯ МАТРИЧНОЙ ФОРМЫ МЕТОДА СИЛ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ
Слётина Е.В., студент, направление подготовки 08.03.01 Строительство, Оренбургский государственный
университет, Оренбург
e-mail: [email protected]
Научный руководитель: Гаврилов А.А., кандидат технических наук, доцент кафедры механики материалов, конструкций и машин, Оренбургский государственный университет, Оренбург e-mail: [email protected]
Аннотация. При аналитическом расчёте статически неопределимых систем методом сил возникают серьезные вычислительные трудности. Матричная форма записи метода сил позволяет упорядочить весь расчет, что уменьшает вероятность ошибок, так как расчёт сводится только к операциям над матрицами. Цель работы заключается в реализации матричной формы метода сил для расчета статически неопределимых систем в табличном процессоре. Для этого были разработаны пути формализации задачи расчета и на их основе создано программное средство расчета рам и неразрезных балок методом сил на базе Microsoft Office Excel. Разработанная программа позволяет рассматривать до пяти раз статически неопределимые стержневые системы, имеющие до 10 участков различной жесткости.
Ключевые слова: изгибающий момент, матричная форма, метод сил, неразрезная балка, перемещения, поперечная сила, рама, статически неопределимые системы, Microsoft Office Excel.
IMPLEMENTATION THE MATRIX FORM OF THE METHOD OF FORCES IN THE SPREADSHEET
Slyotina E.V., student, training direction 08.03.01 Construction, Orenburg state University, Orenburg e-mail: [email protected]
Scientific adviser: Gavrilov A.A., Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of mechanics of materials, structures and machines, Orenburg State University, Orenburg e-mail: [email protected]
Abstract. In the analytical calculation of statically indeterminate systems by force there are serious computational difficulties. The matrix form of the force method record allows ordering the whole calculation, which reduces the probability of errors, since the calculation is reduced only to operations on matrices. The purpose of the work is to implement the matrix form of the force methodfor the calculation of statically indeterminate systems in a table processor. For this purpose, ways of formalization of the calculation task were developed and on their basis a software tool for calculating frames and continuous beams by force based on Microsoft Office Excel was created. The developed program allows us to consider up to five times statically indeterminate rod systems with up to 10 sites of different stiffness.
Keywords: bending moment, matrix shape, force method, continuous beam, displacement, transverse force, frame, statically undetectable systems, Microsoft Office Excel.
При расчете статически неопределимых систем аналитически вероятность допущения ошибок велика [1].
При использовании матричной формы записи алгоритм расчёта может быть записан более компактно. Именно это позволяет упорядочить весь расчёт, уменьшить вероятность ошибок. Сам расчёт сводится только к операциям над матрицами [5].
Матричная запись системы канонических уравнений имеет вид:
A • X + А = 0, (1)
где
X - матрица-столбец «лишних» неизвестных
X,
X =
(2)
X.
А - матрица-столбец свободных членов
А =
-Чр
Л2Р
Ар
(3)
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
A - матрица единичных коэффициентов
A =
à11 à12 ■■■ à1n à21 à22 ■■■ à2n
àn1 àn2 ■■■ ànn
Тогда решение матричного уравнения принимает вид
X = - Л'1 ■ А.
Матрицы единичных коэффициентов и свободных членов можно определить из следующих выражений
A = MT ■ B ■ M,
A = MT ■ B ■ MP
где
В - матрица податливости
В =
ов 0 о о о ... о о во о n
Bi =-
li
6 ■ EJi
1 о о О 4 о о о 1
Для формализации задачи лучше подходит формула Симпсона, следовательно, для расчёта требуются три значения моментов на каждом рассматри-
(4) ваемом участке [3].
Для формирования исходных матриц в программе Microsoft Office Excel приняты правила ввода значений моментов:
1) за расчётный принимается участок между характерными точками (если на рассматриваемом стержне находится сила или момент, то его следует
(5) делить на участки);
2) нумеруются три сечения расчётного участка (два крайних и одно посередине). Нумерация производится снизу вверх (для вертикальных стержней) и слева направо (для всех остальных);
3) положительные значения моментов принима-
(6) ются слева (для вертикальных стержней) и сверху (для всех остальных);
(7) 4) на единичных и грузовой эпюрах определяются значения моментов на каждом участке во всех 3-х положениях точек, данные заносятся в таблицу исходных данных.
Исходные данные вводятся в ряд таблиц (рисунок 1):
- значения длин участков;
(8) - значения жесткостей участков на изгиб;
- значения моментов, внесенных в соответствии с озвученными правилами.
Щ
Искодмы* дянны
Нешдны» данмыа гю «дмннчкым клюрям Ml. MÎ.. Ml.. М4-. MS, Mj?
в1 о о о
Рисунок 1 - Таблицы исходных данных
В программе формируются матрицы с использованием инструментов Microsoft Office Excel [2]:
- податливости (с учётом длин участков и жесткостей);
- моментов единичных эпюр;
- моментов грузовой эпюры;
- транспонированная матрица;
- перемещений от единичной нагрузки;
- обратная матрица перемещений от единичной нагрузки;
- решений канонических уравнений.
В ходе проведённых расчётов были получены результаты для каждого сечения, которые представлены как в виде значений моментов, так и в виде линий эпюр по участкам (рисунок 2).
Функция поперечных сил в сечениях стержня является первой производной от функции изгибающего момента, поэтому предлагаемая программа
позволяет выводить результаты и поперечных сил (рисунок 3).
Разработанная программа в данной редакции позволяет рассматривать до пяти раз статически неопределимые стержневые системы, имеющие до 10 участков различной жесткости. Дальнейшее развитие разработанной программы может заключаться в автоматизации определения значений моментов единичных и суммарной эпюр, а также в добавлении блока определения перемещений.
Таким образом, в результате исследования были разработаны пути формализации задачи расчета и на их основе создано программное средство расчета рам и неразрезных балок методом сил на базе Microsoft Office Excel. Следовательно, матричная форма метода сил для расчёта статически неопределимых систем в табличном процессоре реализована.
Рисунок 2 - Таблицы результатов изгибающих моментов М и поперечных сил Р
Рисунок 3 - Расчёт поперечных сил по трем значениям моментов в сечениях
Литература
1. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика: учеб. для строит. спец. вузов. - 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 607 с.
2. Рудикова Л. В. Microsoft Office Excel 2016. - СПб.: БХВ-Петербург, 2017. - 640 с.
3. Смирнов А. Ф. Строительная механика. Стержневые системы. - М.: Стройиздат, 1981. - 511 с.
4. Теличко Г. Н. Основы строительной механики плоских стержневых систем. - Тула: Изд-во Тул. гос. ун-та, 2004. - 440 с.
5. Теличко Г. Н. Строительная механика. Реализация на ЭВМ матричных методов строительной механики: учеб. пособие. - Тула: ТПИ, 1989. - 90 с.
