CC BY
3
Вестник Омского университета. 2024. №2 (29). С. 21-26
УДК 519.688 DOI 10.24147/1812-3996.2024.2.21-26
РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ГРОВЕРА С КОРРЕКЦИЕЙ
ОШИБОК
Е. А. Шафеев
студент магистратуры, e-mail: vakilovan@omsu.ru А. Н. Вакилов д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: vakilovan@omsu.ru
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. Реализован квантовый алгоритм поиска Гровера с использованием комплекта для разработки программного обеспечения Qiskit и квантовой лаборатории IBM Quantum Lab. Проведен анализ точности алгоритма в зависимости от количества кубит. Реализован код Шора для коррекции ошибок.
Ключевые слова: кубит, квантовые алгоритмы, квантовый компьютер, коррекция ошибок.
1. Введение
Существуют много квантовых алгоритмов, работающих быстрее, чем классические аналоги. Один из таких - алгоритм Гровера, который может стать основой для создания сверхбыстрых баз данных, работающих с огромными массивами данных и способных в считанные мгновения находить в них нужную информацию. Алгоритм Гровера, предложенный в 1996 году Л. Гровером [1,2] позволяет с существенным ускорением решать переборные задачи, то есть нахождения решения уравнения: f (х) = 1, где f (х) - булева функция от п переменных. Предположим, что у нас есть большая база неструктурированных данных из N элементов. Мы хотим найти один из элементов, который называется маркированным, а остальные элементы немаркированными. Классический алгоритм проверит около у элементов. Квантовый алгоритм Гровера проверит около л/М элементов.
Алгоритм Гровера состоит из 3 шагов [1-3]:
1. Переводим кубиты в состояние суперпозиции (при этом средняя амплитуда
равна -т );
2. Применяем отражение оракула, тем самым переворачивая искомое состояние (средняя амплитуда уменьшилась);
3. Применяем отражение приближённо к состоянию средней амплитуды (это завершает преобразование, увеличивая амплитуду искомого значения и соответственно уменьшая остальные).
Второй и третий шаг требуют изменения знака амплитуды искомо-го(маркированного) состояния. С этой целью в квантовом алгоритме Гровера вводится оператор Оракул , который действует на базисные состояния \ж):
и/\х) = (-1)/(ж) \х) (1)
Функция f принимает значение 1 для маркированного состояния и 0 для всех остальных состояний.
2. Реализация алгоритма
В результате работы квантового алгоритма поиска Гровера, реализованного на Qiskit [4] были получены гистограммы частот получения результатов на симуляторе IBM и гистограммы частот получения результатов на реальном квантовом компьютере (Рисунки 1 - 4 ).
Рис. 1. Гистограмма частот получения результатов на симуляторе IBM для системы 2-кубит.
Рис. 2. Гистограмма частот получения результатов на квантовом компьютере для системы 2-кубит.
По вышеприведённым графикам видно, что у симулятора IBM вероятность нахождения искомого состояния стремится к 100% (ошибки вычислений в данном случае стремятся к нулю). Квантовый компьютер IBM так же показал неплохую точность вычислений (86, 4% — 92, 2%), однако есть вероятность нахождения других результатов, которую можно объяснить ошибками вычислений.
Из рисунков 1-4 видно, что даже у симулятора IBM видны небольшие погрешности нахождения других результатов (3 — 5%), однако искомое состояние возвращается в большинстве случаев (95 — 97%). Если посмотреть на гистограмму частот получения результатов на квантовом компьютере можно увидеть, что искомое состояние возвращается в большинстве случаев, однако точность реализации уже намного меньше и составляет всего 45 55%.
Рис. 3. Гистограмма частот получения результатов на симуляторе IBM для системы 3-кубит.
Рис. 4. Гистограмма частот получения результатов на квантовом компьютере для системы 3-кубит.
Рис. 5. Гистограмма частот получения результатов на квантовом компьютере для системы 4-кубит..
Искомое состояние 11100).
3. Коррекция шибок. Код Шора
Существует множество кодов коррекции ошибок [5], но большинство из них направленно на определённый вид ошибок. Например, код с инвертированием битов не может исправить ошибки фазы, а код с инвертированием фазы не может исправить ошибки инвертирования битов. Однако существует специальная схема исправления ошибок, известная как код Шора [6], которая может исправлять как фазовые перевороты, так и ошибки переворота битов.
Код Шора можно представить в виде схемы(рисунок 6) из 9 кубитов , которая требует 8 вспомогательных кубитов для исправления 1 кубита. Для упрощения мы назовем 1-й кубит, который мы хотим исправить, основным кубитом и вспомогательными кубитами с 1 по 8. [7,8]
Код Шора работает следующим образом [9-11]:
И |о>
|о> |о)
10) 10} 10}
н Е 1_д Н 1 {1
г ' к ) 1 6; )
и г с и г Л
( н V и 1 Н с \
У и "ч 1 1, ) и V
ч. и и
с н 41 и у и 1 Н с
и ) и
VI и -С э- и V —С э—
Рис. 6. Схема 9-ти кубитного кода Шора
1. Берём вычислительное состояние основного кубита и передаём его на 3-й и 6-й кубиты. Эти кубиты используются для исправления фазовых ошибок.
2. Затем основной, 3-й и 6-й кубиты переходят в состояние суперпозиции с помощью вентиля Адамара.
3. Затем состояния основного кубита, а также 3-го и 6-го кубитов используют вентили CNOT для передачи своих состояний вспомогательным кубитам, ответственным за исправление переворотов битов. В частности, главный кубит передает свое состояние 1-му и 2-му вспомогательным кубитам. 3-й передает свое состояние 4-му и 5-му. 6-й передает свое состояние 7-му и 8-му кубиту.
4. После этого на основном кубите может произойти переворот бита или переворот фазы. на схеме операция обозначена как E.
5. Повторяется 3-ий шаг.
6. Затем к основному кубиту, а также к 3-му и 6-му кубитам применяются вентили Тоффоли, где управляющие кубиты являются вспомогательными куби-тами, отвечающими за фазовую коррекцию.
7. После этого к основному кубиту, а также к 3-му и 6-му кубитам применяются вентили Адамара, чтобы вывести их из суперпозиции.
8. Затем вентили CNOT применяются к 3-му и 6-му кубиту, где управляющий кубит является основным кубитом.
9. Завершающим шагом является применение вентиля Тоффоли к основному ку-биту, который контролируется 3-м и 6-м кубитами.
Рис. 7. Гистограмма частот получения результатов на квантовом компьютере с коррекцией ошибок.
Рис. 8. Гистограмма частот получения результатов на квантовом компьютере без коррекции ошибок.
На рисунках 7,8 показаны результаты для системы из двух кубит с коррекцией фазовых и битовых ошибок и без коррекции соответственно.
Заключение
Идеальная реализация алгоритма Гровера, характеризуемая нулевым уровнем шума, обеспечивает вероятность получения верного результата, практически равную 100%. Для системы 2 кубит достигнутая точность решения на квантовом компьютере стремится к 95% — 97%. Для системы из 3 кубит достигнутая точность значительно меньше и составляет уже порядка 45% — 55%. С ростом количества кубит уменьшается точность решения, и в случае системы из 4 (рисунок 5) и более кубит реализация алгоритма Гровера на квантовом компьютере становится неопределенной. Однако на симуляторе квантового компьютера IBM точность решения для системы 4-5 кубит составляет 90%. Низкие вероятности нахождения искомых значений связанны с ошибками в квантовых вычислениях. Наличие шума приводит к тому, что рассматриваемая вероятность существенно отличается от единицы. Код коррекции ошибок Шора значительно увеличивает точность квантовых вычислений. Точность для системы двух кубит достигает 96% — 98%.
Литература
1. Grover L. K. A fast quantum mechanical algorithm for database search // Proceedings of the twenty-eighth annual ACM symposium on Theory of Computing. - 1996. - P. 212-219.
2. Ambainis A. Quantum search algorithms // ACM SIGACT News. - 2004. - Vol. 35, iss. 2. - P. 22-35.
3. Богданов Ю. И., Богданова Н. А., Лукичев В. Ф., Орликовский А. А., Семенихин И. А., Хо-лево А. С., Чернявский А. Ю., Вычислительные задачи моделирования элементной базы квантовых компьютеров // ИТиВС. - 2013. - № 3. - C. 3-15.
4. Wille R., Meter R., Naveh Y. IBM's Qiskit Tool Chain: Working with and Developing for Real Quantum Computers; Automation Test in Europe Conference Exhibition (DATE). Florence, 2019. - P. 1234-1240.
5. Lidar D. A., Brun T. A. Quantum error correction. - Cambridge: Cambridge University Press, 2013.-690 p.
6. Shor P. W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory // Physical Review A. - 1995. - Vol. 52. - P. 2493-2496.
7. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. - М.: Мир, 1986. - 576 c.
8. Topological Quantum Error Correction / Quantum Light. University of Sheffield // Ghost Archive. - 2018. - URL: https://ghostarchive.org/varchive/OU9_mrxLl3g (дата обращения: 11.02.2024).
9. Wolf R. de. Quantum computing and communication complexity: Ph. D. Thesis. - Amsterdam: Universite it van Amsterdam, 2001. - 225 p.
10. Кайе Ф., Лафламм Р., Моска М. Введение в квантовые вычисления. - Ижевск : РХД, 2009. - 360 с.
11. Miszczak J. A. High-level Structures in Quantum Computing. - California : Morgan and Claypool Publishers, 2012. - 130 p.
REALIZATION OF THE GROVER ALGORITHM WITH ERROR CORRECTION
E. A. Shafeev
Master's degree student, e-mail: vakilovan@omsu.ru A. N. Vakilov
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: vakilovan@omsu.ru Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. A quantum Graver search algorithm has been implemented using the Qiskit software development kit and the IBM Quantum Lab. The accuracy of the algorithm is analyzed depending on the number of qubits. The Shore code for error correction is implemented.
Keywords: qubit, quantum algorithms, quantum computer, error correction.
Дата поступления в редакцию: 12.02.2024
