Реализация алгоритма численного решения задачи о течении жидкости в каверне Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.634

Информационные технологии

РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ

ЖИДКОСТИ В КАВЕРНЕ

А.С. Устинов, И.К. Савин, А.А. Величко, Д.А. Екимов

В статье рассматривается математическая модель динамики вязкой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса. Приведен алгоритм численного решения задачи о течении вязкой жидкости в каверне, который позволяет за реальное время проводить расчеты нестационарных течений в прямоугольных областях

Ключевые слова: математическая модель, динамика вязкой жидкости, каверна

Современный этап развития механики, физики и техники характеризуется сложными фундаментальными моделями, которые приводят ко все более сложным, более совершенным прикладным математическим моделям.

Классические методы, аналитические методы решения краевых задач теплообмена и нестационарной теплопроводности с граничными условиями, методы интегральных преобразований рассматриваются во многих источниках [1,2,4]. В данных работах определяется эффективность метода решения обратных задач. К обратным относятся многие задачи идентификации математических моделей. Авторы поставили своей целью систематизировать традиционные методы решения задач теплопроводности и гидродинамики, различные приближенные методы.

Интерес к вопросам теплообмена и гидродинамики при течении среды, их интенсивная разработка явились естественным откликом на возросшие потребности практики, что связано с более широким использованием в технике газов различной температуры и вязких жидкостей, а также разработкой компактных теплообменных систем [5].

Уравнения Навье-Стокса лежат в основе широкого круга математических моделей, используемых для изучения процессов динамики вязкой несжимаемой жидкости. Впервые эти уравнения были получены Навье в 1822 г. и Пуассоном в 1829 г., а затем Сен-Венаном в 1843 г. и Стоксом в 1845 г.

Устинов Антон Сергеевич - ПетрГУ, старший преподаватель, e-mail: [email protected]

Савин Игорь Константинович- ПетрГУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: [email protected] Величко Андрей Александрович- ПетрГУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: [email protected] Екимов Дмитрий Анатольевич- ПетрГу, старший преподаватель, e-mail: [email protected]

На протяжении многих лет усилия исследователей были направлены на построение быстрых и надежных алгоритмов их численного решения, однако до настоящего времени моделирование процессов на основе этих уравнений остается трудной задачей. Особенно остро проблема выбора вычислительного алгоритма встает при моделировании процессов, когда метод решения должен обеспечивать получение физически корректных результатов на больших отрезках времени, и при этом желательно на сетках с небольшим числом [3].

Задача о течении жидкости в каверне является известным и достаточно сложным тестом для верификации и оценки эффективности численных методов расчета течения жидкости.

В плоском двумерном случае после приведения к безразмерному виду система записывается в виде:

—-Ч—-=Q дс (р

(1)

<ч

dt

д(и„2)

д{ихиу)

дх

ду

д2и„ д2и

дх2

ду

.(3)

Здесь их, % - проекции скорости соответственно на ось х и у, р - безразмерное давление, Яе - число Рейнольдса, 1 - время в безразмерном виде [3].

Продифференцировав второе уравнение по х, а третье по у и сложив, получим уравнение Пуассона для давления:

где

дивергенция

с5: ^ скорости.

Рассматривается течение изотермической жидкости в квадратной каверне с ребром Н . Верхняя крышка каверны движется с постоянной скоростью и о (рис.1)

Рис. 1

Со следующими граничными условиями: • левая и правая стенки

(5)

• нижняя стенка ^ ):

(6)

верхняя стенка

(( А =>—/ ^

5г?

и=ип, м. = 0, — = 0

' 5).'

(7)

В качестве начального условия их = иу= 0;

р = °.

Чтобы устранить неоднозначность, давления поддерживалось постоянным р(1,1,1) = 0.

Для численного решения системы уравнений (1)-(7) используется метод конечных разностей. Большинство уравнений в частных производных, встречающихся в гидродинамике и теплопередаче, содержат лишь частные производные первого и второго порядков, при этом для аппроксимации производных стараются использовать не более трех узлов сетки. Поэтому на равномерной сетке (Ах=Ь=сопз1) чаще всего применяют приведенные ниже конечноразностные аппроксимации первых производных:

(9)

(10)

Для трехточечной аппроксимации вторых производных на равномерной сетке чаще всего используют соотношения:

д*и

~дхг

дги

Их*

— 2иІ+1,1 +и1+2,1 1.1 **

_ иІ. І ~ 2иІ-1.1 +и1-2.1 І, I ~

4- О (А).

ИГ

+ 0( А).

д,ч

дх*

и

(11)

(12)

(13)

Конечно-разностные аппроксимации смешанных производных:

д*и I 1 / “1 + 1.//-І

дхду |/,/ = Дх \ Ду

(14)

д'и

дх ду

( “< +1. / + |~ц< + |, / /. / 2Дх V. 2Ду

'И<~1’/+2Ду'~1'/~1)+0 1(М** (Д{,)*1

(15)

Таким образом, алгоритм расчета течений вязкой несжимаемой жидкости включает следующие этапы:

1) Вычисление полей скорости и в

начальный момент времени по формуле.

2) Вычисление полей скорости и в

узлах, используя граничные условия.

3) Определение поля давления пу-

тем решения системы линейных алгебраических уравнений (4), дополненных граничными условиями.

4) Нахождение полей скорости на следующем слое по времени.

Существует понятие установившегося течения [3].

Задача о течении в квадратной каверне с подвижной крышкой решалась при числах Рейнольдса Яе=100, 1000 с одинаковым числом узлов по двум направлениям Кь.

На рисунках 1 -4 представлены распределения компонент скоростей и линий тока.

число узлов =42, точность расчета по давлению в процентах= 1.00000000000000Е-0003, число Рейнольдса= 1.00000000000000Е+0002, безразмерный шаг по времени = 5.00000000000000Е-0003, количество итераций=1350, Время расчета [с]=126

Рис. 2. Распределение компонент скорости при Яе=100 N=42 а) их б)иу

а) число узлов =42, точность расчета по давлению в про-центах= 1.00000000000000Е-0001, число Рейнольдса= 1.00000000000000Е+0003, безразмерный шаг по времени = 1.00000000000000Е-0003, количество итераций=24100, время расчета [с]=893

б) числом узлов =162, точность расчета по давлению в процентах= 1.00000000000000Е-0002, число Рейнольдса= 1.00000000000000Е+0003, безразмерный шаг по времени = 1.00000000000000Е-0003, количество итераций=27250, время расчета [с]=74456 Рис. 3. Распределение компонент скорости при Яе=1000

а)№42, б) N=162

а) число узлов =42, точность расчета по давлению в про-центах= 1.00000000000000Е-0001, число Рейнольдса= 1.00000000000000Е+0003, безразмерный шаг по времени = 1.00000000000000Е-0003, количество итераций=24100, время расчета [с]=893

б) числом узлов =162, точность расчета по давлению в процентах= 1.00000000000000Е-0002, число Рейнольдса= 1.00000000000000Е+0003, безразмерный шаг по времени = 1.00000000000000Е-0003, количество итераций=27250, время расчета [с]=74456

Рис. 4. Распределение компонент скорости при Яе=1000 а)№42, б) N=162

Рис.5. Линии тока Re=1000 N=42

Приведенные графики могу использоваться для количественного сопоставления результатов расчета задачи о течении в каверне, полученных на основе различных численных алгоритмов [3].

Вычислительный алгоритм реализован для многопроцессорной вычислительной системы кластерного типа с распределенной памятью.

Полученный алгоритм позволяет за реальное время проводить расчеты нестационарных течений в прямоугольных областях.

Литература

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1988. - 288с.

2. Богословский В.Н Строительная теплофизика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: Высш. Школа, 1982. - 415 с., ил.

3. Елизарова Т.Г., Милюкова О.Ю. Численное моделирование течения вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2003г., Т.43, №3, с. 453-466.

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Вычислительная теплопередача. М.: Едитореал УРСС, 2003. 784 с.

5. Устинов А.С., Савин И.К. Конвективный теплообмен при совместной действии вынужденной и свободной конвекции и изменяющихся во времени граничных условиях на стенке // Вестник международной академии холода, 2009г., №3, с.8-10.

Петрозаводский государственный университет

REALIZATION OF THE ALGORITHM NUMERICAL SIMULATION OF FLUID FLOW IN

THE CAVITI

A.S. Ustinov, I.K. Savin, A.A. Velichko, D.A. Ekimov

In this paper consider the mathematical model of the dynamics of a viscous fluid on the basis of the Navier-Stokes equation shows algorithm for the mathematical solution of the problem of viscous fluid in the cavity, which allows to perform real time calculation of unsteady flows rectangular fields

Key words: mathematical model, the dynamics of a viscous fluid, cavity