Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

РАЗВИТИЕ УЧЕНИЯ О МУЗЫКАЛЬНОЙ ГАРМОНИИ ОТ ПИФАГОРА ДО АРХИТА

А. И. Щетников

Центр образовательных проектов 21ГМА, Новосибирск schetnikov@ngs.ru

Andrey Schetnikov (21ГМА. The Centre of Educational Projects, Novosibirsk, Russia)

The development of the theory of musical harmony from Pythagoras to Archytas

Abstract: The paper outlines the Pythagorean science of harmonics in its historical and theoretical aspects. It is intended to be a chapter in the history of ancient mathematical studies of nature, although the author occasionally touches upon such related areas as the history of philosophy and the history of music, and hopes that his work will be interesting to scholars working in these fields. After a short introduction the author first turns to the phenomenology of harmony and then analyses in considerable details the harmony as a structure of numerical relations and - alleged or real - acoustic experiments designed to establish the qualities of sound, as well as consonant and dissonant intervals.

Keywords: Mathematics in antiquity, the science of harmonics, the Pythagoreans, Plato, Philolaus, Archytas

1. ВВЕДНИЕ

1. Пифагор и пифагорейцы как открыватели математической гармонии. Все

дошедшие до нас античные свидетельства единодушно связывают возникновение математического учения о музыкальной гармонии с именем Пифагора Самосского (570-497 до н. э.). Достижения Пифагора в этой области кратко перечислены в следующем отрывке из Ксенократа, дошедшем до нас в составленном Порфирием Комментарии к «Гармонике» Птолемея (30.2-6):

Пифагор, как говорит Ксенократ, открыл, что интервалы (бюстт^цата) в музыке возникают неотрывно от числа: ведь это сопоставление количества с количеством. Он исследовал, в результате чего возникают созвучные (стицф^а) и разнозвучные (бюф^а) интервалы и всё гармоничное и негармоничное.

Дальнейшее развитие учения о числовой природе гармонии стало делом других членов пифагорейского сообщества, среди которых в разное время выделялись

2ХОЛН Vol. 6. 1 (2012) www.nsu.ru/classics/schole

© А. И. Щетников, 2012

Гиппас из Метапонта (начало V в.), Филолай из Кротона (вторая половина V в.) и Архит из Тарента (ок. 430-350). Их трудами была построена математическая теория гармонии, ставшая, наряду с арифметикой, геометрией и астрономией, одной из четырёх пифагорейских математических дисциплин.

К концу V в. эта теория уже вошла в круг древнегреческого образования, чему имеется ряд свидетельств в диалогах Платона: это Протагор 318е, где речь идёт о софисте Гиппии из Элиды, преподающем «логистику, астрономию, геометрию, музыку», и Теэтет 145а, где идёт речь о математике Феодоре из Кире-ны, являющемся знатоком «астрономии, логистики, музыки и всего того, что нужно для образования», причём ниже (145d) музыка названа «гармонией».

О содержании, характере и цели этого учения Платон в Филебе (17с-е) говорит устами Сократа так:

После того, милейший, как ты узнаешь, каково число интервалов между высокими и низкими звуками, каковы границы этих интервалов, сколько они образуют систем (предшественники наши, открывшие эти системы, завещали нам, своим потомкам, называть их гармониями и прилагать имена ритма и меры к другим таким состояниям, присущим движениям тела, если измерять их числами; они повелели нам, далее, рассматривать таким же образом вообще всякое единство и множество), - после того как ты узнаешь всё это, ты станешь мудрым, а когда постигнешь всякое другое единство, рассматривая его таким же способом, то сделаешься сведущим и относительно него.

2. Цели настоящей работы. Настоящий обзор, посвящённый анализу пифагорейской гармонии в историческом и теоретическом аспектах, охватывает приблизительно тот же материал, что и актуальная по сей день статья Б. Л. Ван дер Вардена ^аеМеп 1943); ссылки на эту работу даются ниже по русскому переводу (1959).

Следует заметить, что эта работа имеет своей целью рассмотреть пифагорейское учение о гармонии как первую главу в истории математического естествознания, касаясь смежных областей истории философии и истории музыковедения лишь по мере необходимости. Впрочем, автор выражает надежду, что его изыскания будут интересны и полезны также и специалистам в этих дисциплинах, столь отличных по своему предмету и методам от истории точных наук.

Первоначальный вариант этого обзора был опубликован в сборнике Пифагорейская гармония: исследования и тексты, который вышел малым тиражом в Новосибирске в 2005 году. Этот текст был взят за основу лекционного курса, который я прочитал в августе 2011 года для участников третьей сессии регионального семинара «Тё^П Теоретические основания искусств, наук и технологии в греко-римском мире», организованного Центром изучении древней философии и классической традиции при Новосибирском государственном университете. Нынешний, расширенный вариант обзора содержит ряд поправок и дополнений, обдуманных при подготовке лекций и возникших по ходу их прочтения.

3. Источники. К самым ранним источникам по пифагорейской гармонии относятся:

• Математический трактат Деление канона, входящий в корпус сочинений Евклида; предисловие к трактату и первые 16 его предложений с большой вероятностью восходят к Архиту;

• Музыкальные проблемы, входящие в корпус сочинений Аристотеля;

• Элементы гармоники, написанные Аристоксеном, создателем самостоятельного учения о музыке.

Ряд вопросов, так или иначе связанных с теорией музыкальной гармонии, затрагивается в сочинениях Платона и Аристотеля. Кроме того, в сочинениях более поздних авторов сохранились отдельные отрывки из Филолая и Архита.

Восходящая к пифагорейцам традиция «умозрительной гармонии» продолжала сохраняться на продолжении всей античной истории. Из важных источников, относящихся к эпохе римского эллинизма (по преимуществу - первая половина II в. н. э.) и содержащих в себе в явном или неявном виде следы гораздо более ранней литературы, следует назвать следующие сочинения:

• Гармоника Клавдия Птолемея (87-165 н. э.) и комментарий к ней, составленный Порфирием (232-304 н. э.);

• Введение в гармонику, приписываемое ныне Клеониду, а ранее - Евклиду;

• краткое Наставление по гармонике, составленное Никомахом Геразским;

• посвящённый гармонике раздел в трактате Теона Смирнского Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона;

• трактат О музыке, приписывавшийся ранее Плутарху.

Ряд фрагментов, относящихся к пифагорейской теории, сохранился также в латинском трактате Боэция Наставление по музыке, представляющем собой переводную компиляцию более ранних греческих текстов.

2. Феноменология гармонии: «то, что до чисел»

1. Исходная постановка вопроса. Ключевая проблема, связанная с возникновением числового учения о гармонии, сосредотачивается в следующем вопросе: в силу каких причин у пифагорейцев возникла сама мысль объяснять структуру гармонии с помощью числовых отношений, если в чувственном восприятии присутствуют звуки и созвучия, но никаких чисел и их отношений, всецело относящихся к сфере умозрительного и неявного, в нём нет?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует предварительно рассмотреть те знания о музыкальной гармонии, которые могут быть приобретены непосредственным наблюдением как за искусством исполнения музыки, так и за практикой изготовления и настройки музыкальных инструментов. Прояснению этой феноменологии и попутному обсуждению некоторых терминов древнегреческой музыки посвящён данный раздел статьи.

2. Высота звука как неопределённое и предел. Античные источники сообщают, что ключевую роль в математическом осмыслении сущего у пифагорейцев играло парное начало «неопределённое и предел» (aлeфov ка! лера;). Это учение было изложено Филолаем в книгах О природе (44 В1 DK), но вполне возможно, что оно восходит к более ранним временам существования школы.

Предел в этой паре мыслится как некоторая единственная качественно выделенная величина, не допускающая изменения без потери своего качества, находящаяся среди неопределённого континуума других однородных с ней величин. К примеру, прямой угол - это единственный выделенный угол среди континуума острых и тупых углов, поскольку при любом своём изменении он перестанет быть прямым, тогда как всякий острый или тупой угол может быть ещё уменьшен или ещё увеличен, оставаясь при этом острым или тупым, то есть не теряя своего качества.

Исходный опытный факт, с которого начинается построение учения о гармонии, состоит в следующем: музыкальные звуки бывают высокими и низкими, и от высокого звука к низкому возможен непрерывный переход: меняя натяжение струны, мы меняем высоту звука, делая его неопределённо выше или неопределённо ниже. Таким образом, музыкальные звуки образуют одномерный континуум с заданным на нём отношением порядка.

Музыкальный звук фиксированной высоты в древнегреческой музыкальной теории назывался голосом (фбоууо;); в грамматике этим же словом называется гласный звук. Низкий звук греки называли ^ари; = «тяжёлый», а высокий звук - = «острый». В грамматике также говорят о тяжёлых и острых

ударениях; грамматические термины являются здесь производными от музыкальных.

обычное для античной музыкальной теории определение голоса приводит Аристоксен в Элементах гармоники (20.16): «Выпадение звука при одном натяжении есть голос (фш^с лтшстк; ел! ц^av таа^ о фбоууо; еот!)». Натяжение,

о котором идёт речь в этом определении - это прежде всего натяжение струны, которое может быть увеличено или уменьшено, но также - натяжение связок и всего голосового аппарата при пении, и вообще некоторое «неизменное натяжение», неявно присутствующее при всяком извлечении музыкального звука. Грамматическая параллель прослеживается и здесь, поскольку лтшстк; в грамматике - это падеж и вообще всякая флексия.

Многие последующие авторы воспроизводят определение Аристоксена в несколько видоизменённом виде: «Голос есть выпадение мелодического звука под одним натяжением (фбоууо; естт! фш^с еццеХойс лтшстк; ел! ц^av таагу)»;1 можно сказать, что этот вариант определения является стандартным для античных сочинений по гармонике. Порфирий в Комментарии к «Гармонике»

1 См. Порфирий, Комментарий к «Гармонике» Птолемея 86.9; Секст Эмпирик, Против учёных VI, 42.1; Клеонид, Гармоническое введение 1.7; аноним Беллермана, О музыке 21.6.

Птолемея (86.7) приводит ещё одно определение, которое он называет пифагорейским: «Голос есть шум, производимый под одним натяжением (фбоууо; естт! уофо; ката ц^аv тdalv екф£р6ц^ос)».

3. Унисон. Взяв две натянутые струны, одну из них изменением её натяжения можно подстроить к другой так, чтобы они издавали один и тот же голос, звучали в унисон (этот термин - латинский, а по-гречески слитное звучание голосов одинаковой высоты называется оцофш'у^а, «однозвучие»). Здесь не-определённость впервые приходит к пределу, а неравенство обращается в равенство; впрочем, и само неравенство по своей сути является неравенством постольку, поскольку оно может стать равенством.

4. Голос как неделимое. Согласно экспериментальным данным современной акустики, мы воспринимаем два музыкальных звука сливающимися в пределах некоторого узкого, но всё-таки имеющего конечную ширину высотного интервала. Пифагорейская теория, напротив, исходила из теоретического предположения о том, что звучащий голос является своего рода «точкой» на высотной шкале. Когда струна пережимается в двух разных точках, звучащие голоса будут разными и не равными между собой, сколь бы близко эти две точки не находились друг к другу. Более того, между этими голосами находится бесчисленное множество промежуточных голосов, различных между собой. И если наше ухо не способно улавливать на слух разницу между этими голосами, то это ещё не значит, что они будут неразличимыми для «теоретического слуха».

По сообщению Диогена Лаэрция (III, 84.9), Платон определял гармонику как науку, занимающейся «умозрением голосов»; он же (III, 107.8) называл не имеющим частей (ац£р^) «то, что не поддаётся разделению и ни из чего не состоит, каковы единица, точка или голос». Никомах Геразский в Наставлении по гармонике (12, 1.6) говорит, что «голос есть атом звука (фш^ атоцос), нечто вроде единицы для слуха». Аналогичные утверждения встречаются и у других античных авторов; так аноним Беллермана (49.1-3) говорит, что «голос в музыке есть наименьшее и неделимое, так же как единица в числах и точка в линиях».

Следует заметить, что представление о высотной неделимости голоса установилось в античной музыкальной теории не сразу. Во всяком случае Ари-стоксен в Элементах гармоники (7.20) приводит утверждение одного из первых теоретиков музыки Ласа Гермионского о том, что «у воспринимаемого чувствами есть ширина (яАЛтос)».

5. Интервал как отрезок звуковысотного пространства. Два голоса различной высоты заключают между собой некоторый интервал. Аристоксен (20.20) приводит следующее определение интервала: «Интервал (бюстт^ца) есть то, что ограничено двумя голосами, имеющими не одинаковое натяжение».

6. Октава как совпадение различного. Среди всех интервалов особо выделяется интервал октавы. Петь в октаву - в каком-то смысле то же самое, что петь в унисон. Голоса при таком пении ведут одну мелодию параллельно друг

другу и всё время сливаются в едином звучании. Следует заметить, что древнегреческая музыка не знала никакого другого многоголосного пения, кроме пения в октаву, когда одну и ту же мелодию пели мальчики и мужчины. Такое пение называлось магадидой, и об участвовавших в нём голосах говорили как о противозвучаших (аугіф^оі).

Чтобы настроить две струны в октаву, надо добиться того, чтобы попадание было точным, «не выше и не ниже» - так же как и с настройкой в унисон. Как говорит об этом и других аналогичных случаях Секст Эмпирик (Против учёных, X, 268), «созвучное находится между высоким и низким». Именно поэтому созвучное оказывается пифагорейским пределом между двумя неопре-делённостями, о котором говорилось выше. Будучи неравными по высоте, два звучащие в октаву голоса оказываются некоторым образом равными друг другу; здесь впервые возникает то равенство различного, которое создаёт музыкальную гармонию. Когда настройка становится точной, голоса октавы сливаются, воспринимаются на слух как один голос. По этой причине об октаве говорят как о созвучии (оицф^іа, а на латыни - консонанс).

Проверить качество настройки двух струн одного струнного инструмента в октаву можно ещё одним способом. А именно, можно ущипнуть верхнюю струну и затем остановить её; если настройка произведена правильно, то нижняя струна продолжит звучать голосом высокой струны. Это явление называют отзвуком (%ос, аутг|ХПа1С, а на латыни - резонанс).

7. Квинта, кварта и аддитивная структура гармонии. Помимо интервала октавы, имеется ещё один консонансный интервал - квинта. Квинта меньше октавы, и возможно, что именно в этом заключается причина её меньшего совершенства: звучащие в квинту голоса сливаются, но не столь сильно, как они сливались в октаве. И они не образуют антифона в пении, и не резонируют друг с другом.

Пусть три голоса таковы, что крайние из них различаются на октаву, нижний и средний - на квинту. Крайние голоса сливаются друг с другом, средний голос тоже сливается с нижним, но не в такой степени. Но тем самым средний и верхний голоса в какой-то мере тоже сливаются между собой! Этот новый консонансный интервал называется квартой; он меньше квинты по величине и характеризуется ещё меньшей степенью слияния голосов, и также не является резонирующим.

Последний опытный факт, на котором основывается учение о гармонии, состоит в том, что результат сложения интервалов не зависит от перемены мест слагаемых. Это означает, что если средний голос внутри октавы образует кварту с нижним голосом, то он же образует кварту с верхним голосом.

Именно эта структура четырёх голосов и трёх созвучий, схематически изображённая на рис. 1, и получила у пифагорейцев имя гармонии. Голоса в гармонии образуют замкнутую структуру, к которой, в некотором смысле, уже нечего добавить.

кварта тон кварта

A D C Б

Рис. 1

Внутренние пределы С и D заключают между собой ещё один интервал. Этот интервал, называемый основным тоном, меньше кварты. На слух основной тон в качестве консонанса уже не воспринимается.

8. Греческие названия созвучий. Греческая музыка знает много различных систем, по которым настраиваются восемь струн лиры. Однако в любой системе интервал от первой струны до восьмой составляет октаву. Это название латинское, а по-гречески октава называется 61а лаа^, «через все».

Интервал от первой струны до четвёртой всегда составляет кварту (61а теааарш'У, «через четыре»), от первой струны до пятой - квинту (61а Л£УТ£, «через пять»). Струны от первой до четвёртой составляют первый тетрахорд («четырёх-струние»), от пятой до восьмой - второй тетрахорд. Системы настройки струн отличаются друг от друга внутренним устройством тетрахордов.

9. Дуодецима и двойная октава. Ещё один консонансный интервал получается сложением октавы и квинты. Он называется дуодецимой (а греки называли его просто «61а лаайу ка! 61а л£уте»). Наконец, две октавы, составленные вместе, дают ещё один консонансный интервал - двойную октаву (рис. 2). Интервалы дуодецимы и двойной октавы, в отличие от квинты и кварты, являются резонирующими, но их резонанс заметно слабее, чем у октавы.

двойная октава

А Б С D Е

дуодецима

Рис. 2

10. «Дочисловая математика». Следует особо подчеркнуть, что описанная выше система понятий по своей природе уже является математической, хотя никакой речи о числах мы пока ещё не вели. Как было сказано М. Хайдеггером в докладе Время картины мира (1993, 43),

Только потому, что число ярче всего бросается в глаза как всегда-уже-известное, будучи самым знакомым из всего математического, математикой стали называть числовое. Но никоим образом существо математики не определяется числом.

Когда мы представляем голоса точками на высотной шкале, мы тем самым рассматриваем их как интенсивные величины, с заданным на них математическим отношением порядка. Далее, переходя от голосов к интервалам, мы постулируем для них отношение равенства, полагая, к примеру, что все октавы, отложенные вверх от различных нижних нот, будут равными между собой. Пользуясь категориальной парой «часть-целое», мы сравниваем интервалы по величине, а также складываем и вычитаем их между собой. Тем самым мы рассматриваем интервалы как экстенсивные величины, на которых задана аддитивная структура.

Выбрав один какой-то интервал за единицу измерения, мы могли бы в принципе измерять все прочие интервалы этой мерой. Однако здесь имеется одно существенное ограничение, отличающее музыку от геометрии: наш слух позволяет нам приравнивать и переносить на другое место по высоте не произвольные интервалы, но лишь созвучные. Стало быть, все операции настройки высоты можно мыслить как теоретически точные лишь в той мере, в какой при их выполнении мы пользуемся одними лишь созвучными интервалами. Именно в этом пункте теоретическая гармоника расходится с геометрией: ведь последняя способна откладывать с помощью циркуля и линейки равные отрезки произвольной длины, а первая может с помощью слуха откладывать в качестве равных лишь созвучные интервалы. Этот факт приводит к собственным проблемам теоретической гармонии, о которых речь пойдёт несколько ниже.

3. Гармония как структура числовых отношений

1. Переход от феноменологии к числовым отношениям. О том, что музыкальной гармонией в собственном смысле этого слова пифагорейцы называли сначала замкнутую структуру созвучий, изображённую на рис. 1, а переход к числовым соотношениям, характеризующим эти созвучия, был следующим шагом математизации гармонии, имеется следующее свидетельство Аристотеля в трактате О душе (408а6-8):

Говоря о гармонии, мы имеем в виду два её значения: прежде всего это сочетание величин, имеющих движение и положение, когда они так сопряжены (стотарцо(шст^), что больше уже не могут принять в себя ничего однородного; а затем уже это отношение частей смеси.

Мысль приписать созвучным интервалам определённые числовые отношения несомненно возникла у пифагорейцев из наблюдений за размерами звукоизвлекающих органов в некоторых музыкальных инструментах, таких как флейта Пана и струнный инструмент под названием «пандурос», у которого высота извлекаемого звука менялась прижатием струны к грифу, как у гитары или скрипки.

Важнейший и легко обнаруживаемый опытный факт состоит в следующем: чтобы поднять на октаву звук струны, нужно пережать эту струну ровно посредине и заставить звучать её половину. Аналогичное соотношение наблюдается и в некоторых других устройствах для извлечения звука. В Музыкальных проблемах, входящих в корпус сочинений Аристотеля, об этом говорится так:

(919Ы-14) Почему нета является двойной в сравнении с гипатой? В первую очередь не потому ли, что дёрнув половину струны и целую струну, мы получаем октаву? Это происходит и в сирингах: звуки, производимые через среднее отверстие и на всей си-ринге, звучат в октаву. И на авлосах двойной интервал даёт октаву, чем пользуются изготовители авлосов. И те, кто делает сиринги, затыкают восковой пробкой конец гипаты и середину неты... Далее, гипата и нета на треугольных псалтериях при равном натяжении дают созвучие октавы, если одна струна в два раза длиннее другой.

(932Ь35-933а3) Почему два равных и подобных сосуда, из которых один пуст, а другой наполовину наполнен, дают созвучие октавы? Не потому ли, что наполовину наполненный образует двойное отношение к пустому? Это происходит и в сирингах. Ведь чем быстрее движение, тем выше кажется голос, и большое наполняется воздухом медленнее, а именно двойное - в два раза, и пропорционально в других случаях. И если из двух винных мехов один в два раза больше другого, они дают созвучие октавы.

2. Дальнейшие опыты со струнами. Ещё один подъём на октаву даёт уменьшение длины в 2 х 2 = 4 раза. Стало быть, сложению интервалов (аддитивная структура) соответствует перемножение отношений (мультипликативная структура). В древнегреческой математике такое действие называлось «составлением сложных отношений».

Возьмём теперь три струны одинаковой длины А, В, С и настроим их в унисон. Затем пережмём струну С посредине, чтобы она звучала в октаву со струной А.

Посмотрим теперь, что получится, если пережать струну В таким образом, чтобы длина её звучащей части оказалась средним арифметическим между длинами струн А и С (рис. 3). Опыт показывает, что струна В звучит теперь в квинту со струной С и в кварту со струной А. При этом отношение длин струн В : С = 3 : 2, А : В = 4 : 3.

А

В

С

кварта = 4:3 квинта = 3 : 2

Рис. 3

А теперь пережмём струну В таким образом, чтобы она звучала в кварту со струной С и в квинту со струной А. При этом должно быть В : С = 4 : 3, А : В =

3 : 2. Чтобы получить точку пережатия, надо разность между длинами струн А и С разделить пропорционально длинам этих струн в отношении 2 : 1 (рис. 4).

Получившееся среднее называется средним гармоническим; его свойства будут подробно обсуждены ниже.

А ________________________________

квинта = 3:2

В

С

кварта = 4 : 3

Рис. 4

3. Числовая структура гармонии. В соответствии с описанными выше опытами, числовое представление гармонии (рис. 5) задаётся четвёркой взаимно простых чисел, из которых самое меньшее должно делиться на 3 и 4, а стало быть, оно оказывается равным 6. При этом 4/3 от 6 - это 8, 3/2 от 6 - это 9, два раза по 6 - это 12. Сами греки говорили, что 12 к 6 находится в двойном отношении (6тА.йаюс Хоуос;), 12 к 8 и 9 к 6 - в полуторном отношении (^цюЛлос; Хоуос), 12 к 9 и 8 к 6 - в сверхтретьем отношении (елпртос Хоуос).

4 : 3 9 : 8 4 : 3

2 : 1 Рис. 5

Стандартное описание числовой структуры гармонии приведено в следующем отрывке из трактата Секста Эмпирика Против логиков (I, 95.4-98.1):

Гармония есть система трёх созвучий - кварты, квинты и октавы. Пропорции этих трёх созвучий обнаруживаются в пределах указанных выше четырёх чисел, то есть в пределах одного, двух, трёх и четырёх. Ведь созвучие кварты является в виде сверхтретьего отношения, квинты - полуторного и октавы - двукратного. Отсюда число четыре, будучи сверхтретьим от трёх, поскольку оно составляется из трёх и его третьей доли, объемлет созвучие кварты. Три, будучи полуторным от двух, поскольку содержит два и его половину, выражает созвучие квинты. А четыре, будучи двукратным для двух, и два, будучи двукратным для единицы, определяют созвучие октавы.

4. Музыкальная пропорция в духовых инструментах. Эту же музыкальную пропорцию мы можем наблюдать и в многоствольной сиринге, называемой также «флейтой Пана». На фотографии современной флейты Пана (рис. 6) длины первой, четвёртой и пятой трубок с хорошей точностью соотносятся между собой как 12 : 9 : 8; восьмая трубка в этих же единицах длины несколько

короче 6, что связано в первую очередь с тем, что для изготовления «высоких» трубок был взят тростник меньшего диаметра.

Ill Г I 1 Н I I 1:11

Рис. 6

Сами трубки сиринги настраивались, конечно же, на слух; но результат такой настройки подчиняется тем же математическим соотношениям, что и результат настройки струнных инструментов.

5. «Опыты» пифагорейцев в позднейших описаниях. В позднейшее время об экспериментальном открытии числовой структуры гармонии были сочинены разнообразные легенды. Никомах в Наставлении по гармонике (6, 1) рассказывает следующую историю о Пифагоре, которую передают и некоторые более поздние авторы.

Как-то раз Пифагор усердно размышлял над тем, возможно ли придумать некий вспомогательный инструмент для слуха, такой же незыблемый и безошибочный, какой зрение, к примеру, обретает в циркуле, линейке и диоптре, а осязание - в рычажных весах и уяснении размеров. И вот, прогуливаясь около кузницы, он по какому-то божественному совпадению услышал, как молотки стучат по железу на наковальне, и все они вперемешку, кроме одной пары, дают замечательно согласующиеся друг с другом звуки. Он распознал среди них созвучия октавы, квинты и кварты. Кроме того, он заметил, что промежуток между квартой и квинтой сам по себе несозвучен, хотя он тоже играет свою роль среди больших интервалов. Обрадовавшись, что по воле богов исполняется его замысел, он вбежал в кузницу. Проделав множество опытов, он нашёл, что различие отзвука связано с массой молотков и не зависит ни от силы удара, ни от формы пятки, ни от изменений обрабатываемого железа. Определив точный груз и отметив равенство прочих обстоятельств, он отправился домой.

Там он вбил один колышек под углом в стену, чтобы полностью исключить любое различие, поскольку можно подозревать, что разные колышки отличаются друг от друга, и прикрепил к этому колышку четыре струны, сделанные из одного материала и одинаковых нитей, равные по толщине и одинаково скрученные, одну за другой, а к этим струнам подвесил разные гирьки. Выровняв эти струны по длине, насколько это

возможно, и ударяя по струнам в разных парах, он стал отыскивать предугаданные созвучия, сочетая каждую струну с каждой. <...>

Примерившись рукой и слухом к этим подвесам, к связям и закреплённым за ними отношениям, он искусно перенёс всю эту связку струн со стенного колышка на гриф инструмента, так называемый струнодержец. Затем он растянул струны в пропорции грузов, соразмерным образом подтянув колки. Используя эту шкалу как некий безошибочный гномон, он перенёс её на самые разные инструменты - ксилофоны, авлосы, сиринги, монохорды, тригоны и им подобные. И во всех созвучиях он находил одно и то же неизменное числовое отношение.

В анонимных схолиях к Федону (18 12 DK) со ссылкой на Аристоксена и Ниокла рассказывается аналогичная история о том, как пифагореец Гиппас изготовил четыре медных диска одного диаметра с толщинами в указанной пропорции и извлекал из них гармонические созвучия.

Неоднократно указывалось на то, что все эти опыты в их буквальной постановке не дают требуемых созвучий, так что приводимые рассказы представляют собой не более чем литературный вымысел. Веса грузов, растягивающих одинаковые струны, должны относиться между собой как квадраты указанных чисел: две одинаковые струны будут звучать в октаву, если отношение растягивающих грузов будет равно 4 : 1. Массы колоколов одинаковой геометрической формы должны относиться между собой как кубы указанных чисел: два колокола будут звучать в октаву, если отношение их масс будет равно 8 : 1; впрочем, при этом отношение их размеров будет равно 2 : 1, поскольку при постоянной скорости звука в металле период одного колебания будет пропорционален геометрическим размерам вибрирующего тела.

Существенно более содержательным является следующее сообщение Теона Смирнского (59.4-21):

Одни полагали, что эти созвучия следует получать исходя из весов, другие - из величин, третьи - из движений [и чисел], четвёртые - из сосудов [и объёмов]. Лас из Гермиона, с которым согласны последователи пифагорейца Гиппаса из Метапонта, полагая, что частота движений, от которых получаются созвучия, соответствует отношениям чисел, получал такие соотношения на сосудах. Взяв равные и одинаковые сосуды, он один из них оставил пустым, а другой наполнил водой наполовину, и они давали созвучие октавы. Затем он оставлял один сосуд пустым, а второй наполнял водой на одну четверть, и при ударе (кроистоттО они давали созвучие кварты. Квинта получалась, когда он заполнял второй сосуд на одну треть. Таким образом, отношение пустоты одного сосуда к пустоте другого было для октавы 2 к 1, для квинты 3 к 2, для кварты 4 к 3.

В этом сообщении всё будет совершенно правильным, если «удар» понимать не как удар твёрдым предметом по сосуду - такой удар никаких созвучий в данном случае не даст, - а как извлечение звука вообще. Называть любое зву-коизвлечение «ударом» - это общее место всех античных текстов по акустике, начиная с Архита. Как пишет Аристотель в трактате О душе (419Ь10), «звук в действии всегда порождает что-то обо что-то в чём-то. Ведь именно удар

(пХ^УЛ) есть производящее». Звучание струны возникает за счёт того, что колеблющаяся струна бьёт по воздуху; но и голос авлоса возникает за счёт движения воздуха во внутреннем канале, порождающего некие «удары» (которые хорошо ощущаются пальцами, закрывающими отверстия авлоса).

Различные варианты легенды об открытии математической структуры гармонии мы видим изображёнными на четырёх частях рис. 7, взятого из трактата Франкино Гафури Музыкальная теория (1492). Здесь изображены библейский Иувал, «отец всех играющих на гуслях и свирели» (Быт. 4:21), в кузнице своего брата Тувалкаина, а также Пифагор и Филолай, производящие следующие опыты:

• опыт с молотками в кузнице (у молотков подписаны их массы: 4 6 8 9 12 16; эти же шесть цифр расставлены и на остальных рисунках);

• опыт с одинаковыми струнами, растянутыми различными грузами;

• опыт с колоколами одинаковой формы и различной массы;

• опыт с одинаковыми стаканами, заполненными водой до разного уровня;

• опыт с авлосами разной длины.

Рис. 7

Изо всех этих опытов требуемый результат даёт единственный опыт с авлосами; все остальные опыты в их непосредственной постановке к указанному соотношению чисел не приводят. Литературная традиция оставалась ведущей на протяжении двух тысяч лет, и к настоящим экспериментам со звучащими телами учёные обратились только в Новое время.

6. Учение о созвучных интервалах в Sectio сапопЬ. Своеобразная версия пифагорейского учения о созвучных интервалах изложена в анонимном трактате Деление канона canonis). Этот трактат раньше было принято вклю-

чать в корпус сочинений Евклида; однако соображения, изложенные Ван дер Варденом в работе (1943/59), позволяют предполагать с высокой степенью уверенности, что действительным автором большей части предложений этого трактата был Архит Тарентский. Конспективный пересказ 1-16 предложений даёт Птолемей в Гармонике (I, 5), называя излагаемое учение пифагорейским. Доказательство ключевого 3 предложения воспроизводит Боэций в Музыкальном наставлении (III, 11), прямо называя его автором Архита. Крайне невнятный пересказ 11 и 12 предложений содержится также в Музыкальных проблемах Аристотеля (921Ы-13).

В своём теоретизировании Архит исходит из гипотезы о том, что всем созвучным интервалам соответствуют либо кратные, либо сверхчастные отношения. (Отношение называется кратным, когда одно число измеряется другим; сверхчастным - когда одно число превосходит другое на их общую меру.) Далее он предпринимает попытку на основе этой гипотезы умозрительно соотнести все созвучные интервалы с однозначно определяемыми отношениями чисел.

Первым делом показывается, что интервал октавы является кратным. В самом деле, из опыта известно, что интервалы октавы и двойной октавы являются созвучными. Но двойная октава не может быть сверхчастной, так как сверхчастные интервалы не допускают деления пополам. Следовательно, двойная октава является кратной. Но если кратный интервал допускает деление пополам, то его половина тоже будет кратной. Поэтому октава является кратной.

Далее делается попытка доказать, что интервалы кварты и квинты являются сверхчастными. Кварта и квинта созвучны, поэтому каждый из этих интервалов будет либо кратным, либо сверхчастным. Но если бы они были кратными, то тогда и двойные кварта и квинта были бы кратными, и тем самым созвучными. Однако из опыта известно, что эти двойные интервалы не являются созвучными. Следовательно, кварта и квинта не являются кратными. Поэтому они являются сверхчастными.

Наконец, показывается, что октаве соответствует двукратное отношение, квинте - полуторное, и кварте - сверхтретье. В самом деле, кратный интервал октавы составляется из сверхчастных интервалов квинты и кварты. Но есть только один способ составить кратный интервал из двух сверхчастных: это когда двукратный интервал составляется из полуторного и сверхтретьего. А дру-

гих возможностей нет: ведь двукратный интервал - наименьший из кратных, а полуторный и сверхтретий интервалы - наибольшие из сверхчастных. Наконец, квинта больше кварты, значит квинта является полуторной, а кварта -сверхтретьей.

Всё это рассуждение может рассматриваться как смелая попытка оставить опыт в стороне и перейти о него к «чистому умозрению». Но эту попытку следует признать неудачной. Во-первых, сама исходная гипотеза теоретически обоснована быть никак не может, и возникает она не иначе как из предварительного опыта. Во-вторых, приведённое рассуждение содержит логическую ошибку: из предположения о том, что все созвучные интервалы являются кратными либо сверхчастными, отнюдь не следует, что все кратные и сверхчастные интервалы являются созвучными. Архит же пользуется таким обращением логического следования, когда из разнозвучности двойных квинты и кварты заключает о том, что эти интервалы не являются кратными.

4. Причина возникновения созвучий

1. Постановка проблемы. Установив, что основные созвучия музыкальной гармонии соотносятся между собой как числа 12 : 9 : 8 : 6, пифагорейцы должны были задаться вопросом о действительной и всеобщей природе такого соответствия. В случае монохорда этим числам соответствуют длины струн, в случае сиринги - длины трубок; но где находятся эти числа в случае человеческих голосов или в случае различных натяжений струны при одной её длине?

Когда вопрос поставлен таким образом, возникает необходимость искать ответ на него не в особенных способах звукоизвлечения, а в самом музыкальном звуке как таковом. И такой ответ действительно был предложен.

2. «Высокие звуки движутся быстрей, а низкие - медленней». Первая теория, объясняющая причину возникновения высоких и низких звуков, излагается во фрагменте сочинения Архита О математических науках, сохранившимся у Порфирия в Комментарии к «Гармонике» Птолемея (56.2-57.23). Сам Архит приписывает эту теорию неким «знатокам математических наук», жившим до него.

Из ощущаемых [звуков] те, что приходят от ударов быстро и <сильно>, воспринимаются высокими, а те, что медленно и слабо, воспринимаются низкими. Так, если взять прут и хлестать им вяло и слабо, то от удара получится низкий звук, а если быстро и сильно - то высокий. Мы можем судить не только по этому, но и по тому, что когда мы говорим или поём и нам нужно издать громкий и высокий голос, мы достигаем этого сильным выдохом. Так же и с метательными снарядами: пущенные сильно летят далеко, слабо - близко. Ведь летящим сильно воздух подаётся больше, а слабо - меньше. То же и с голосами: движущиеся от сильного выдоха окажутся громкими и высокими, а от слабого - тихими и низкими. Мы можем воочию убедиться в этом и на основании следующего неопровержимого признака: одно и то же, звучащее громко, мы услышим даже издалека, а тихо - не услышим даже вблизи. Так же и с авлосами: когда выдох попадает в ближние ото рта дырочки, то вследствие большой силы он издаёт более

высокий звук, когда в дальние - более низкий, откуда ясно, что быстрое движение производит высокий звук, а медленное - низкий. То же и в тамбуринах, которыми трясут при посвящении: когда ими трясут тихо, они издают низкий звук, когда сильно - высокий. То же и с тростниковой дудочкой: если подуть в неё, заткнув её в нижней части, она издаст <низкий> звук, если же заткнуть посередине или в любом другом месте, будет звучать высоко. Ведь одинаковый выдох через большое расстояние пролетает слабо, а через меньшее - сильно.

Весь этот текст выглядит весьма смутным: здесь в одну кучу собраны не только разные явления, связанные с извлечением звука, но также и полёт летательных снарядов. Возможно, что полёт снарядов попал в этот список по той причине, что летящие тела издают свистящие звуки, так же как и прут при резком движении. Из опыта понятно, что быстрота перемещения прута, «резкость» вдувания воздуха во флейту и т. п. как-то связаны с высотой звука. Похоже, что Архит считал, что быстрый взмах прута приводит к быстрому движению воздуха, и возникающий высокий звук летит «как целое» во все стороны от прута с высокой скоростью; а если двигать прутом не так быстро, то звук будет ниже и распространяться он будет медленнее. Но тогда совсем уже непонятно, как из движений разной быстроты возникают созвучные и несозвучные интервалы.

Передаваемое Архитом пифагорейское учение воспроизводится в ещё одной версии Платоном в Тимее (80аЬ). В этом тексте, восходящем по всей видимости к тому же источнику, можно усмотреть более определённые выводы о причине возникновения высоких и низких звуков и гармонических созвучий.

[В бесконечной череде действий и противодействий следует искать объяснение голосам], которые в зависимости от своей быстроты и медленности (тахас; ка! врабас;) являются высокими или низкими, причём иногда они не гармонируют между собой из-за неподобия (61' отоцоютг|та) производимого в нас движения, а иногда созвучны благодаря подобию (61' оцоютг|та). Ведь когда более медленные звуки приходят вслед за более быстрыми, ранее дошедшими до нашего слуха, те оказываются уже обессилевшими, а их движения - подобными движениям, которые при своём запоздалом прибытии вносят более медленные звуки; поэтому последние не становятся причиной разлада, но вместо этого начало медленного и окончание быстрого движения уподобляются друг другу, и так возникает единое состояние, в котором смешаны высокое и низкое звучания. Ведь когда первые и быстрые [голоса] замедляются движением медленных, тогда они приходят подобно, и в дальнейшем их движения происходят совместно, охватываемый с охватывающим, и не так, что получается неслаженное движение, но так, что начало медленного вклада совпадает с началом быстрого, и их завершения тоже, в результате чего они соединяются подобно, и высокий и низкий [голоса] смешиваются в одном ощущении.

Описание Платона тоже не отличается особой ясностью. Так же, как и Ар-хит, он считает, что высокие звуки распространяются быстрее, а низкие - медленнее. Однако в этом описании «быстрота и медленность» вовсе не обязательно должны пониматься как скорости распространения высоких и низких

звуков, - тем более, что явление возникновения созвучий определённо связывается с «бесконечной чередой действий и противодействий». Поэтому быстрота и медленность могут пониматься и как частотные характеристики этой череды повторений: «высокий и быстрый» звук - это тот, где повторы последовательных ударов по воздуху происходят часто, «низкий и медленный» - где повторы происходят редко. Ключевым моментом для возникновения консонанса является то, что Платон называет «подобием движений», когда «начала и завершения медленного и быстрого вкладов совпадают». Мне думается, что эту часть описания никаким иным образом, кроме как частотным, понять просто нельзя; соответствующая модель будет рассмотрена в следующем разделе.

Существенно более ясное изложение физической причины, по которой различаются высокие и низкие звуки, дано в самом начале трактата Sвctio canonis (автором которого, как уже было указано выше, тоже мог являться Ар-хит). Здесь ни слова не говорится о скорости распространения звука, но только лишь о частоте, с которой наносятся отдельные удары:

Так как все звуки возникают от удара, а удар не мог бы случиться без предшествующего движения, из движений же одни плотнее, а другие реже, и от более плотных получаются более высокие голоса, а от более разреженных - более низкие, то по необходимости одни будут более высокими, поскольку они составляются из более плотных и многочисленных движений, а другие - более низкими, поскольку они складываются из более разреженных и малочисленных движений.

3. «Подобия и неподобия». Отношения длин струн и прочие факторы, связанные с самим звучащим телом, являются причинами возникновения созвучий лишь привходящим образом, поскольку один и тот же звук можно извлечь из струн разной длины. Истинной же причиной возникновения созвучий является соотношение частот, с которыми звучащие тела наносят свои удары по воздуху.

Если два голоса образуют октаву, то частоты ударов относятся как 2 : 1, поэтому на каждый удар низкого голоса приходится 2 удара высокого голоса, так что из 3 ударов 2 звучат слитно, а 1 нет. Для квинты частоты ударов относятся как 3 : 2, поэтому из каждых 5 ударов 2 являются слитными, а 3 нет. Для кварты частоты ударов относятся как 4 : 3, поэтому из каждых 7 ударов 2 являются слитными, а 5 нет (рис. 8).

|---------1--------1--------1---------1 октава

|-------1—I—|------1 |—I—|-------1 квинта

|-----1-1—|—1-|----1----1-1—|—1-|-----1 кварта

Рис. 8

Эта причина возникновения созвучий описывается во входящих в аристотелевский корпус трактатах О слышимом и Музыкальных проблемах (921а16-24):

Г олоса созвучия относятся друг к другу как их движения. В других созвучиях окончание одного голоса является поворотным, поскольку другой завершается наполовину; так что они потенциально не равны. Будучи неравными, они различаются в восприятии... В октаве же имеется некое совпадение периодов голосов. Ведь второй удар неты приходится на пробел гипаты. Они оканчиваются вместе, и хотя и не делают одно и то же, но выполняют в результате общее дело.

Б. Л. Ван дер Варден (1943/59) приписывает авторство данной теории Герак-лиду Понтийскому, однако употребление в приведённом выше отрывке из Ти-мея таких выражений, как «подобие и неподобие звучаний», заставляют предполагать наличие какого-то более раннего автора. Порфирий в Комментарии к «Гармонике» Птолемея описывает вычисление неподобия созвучий весьма подробно, хотя и без объяснения физических причин (107.15-108.18):

Как сообщают Архит и Дидим, некоторые из пифагорейцев, установив отношения созвучий, сравнивали их между собой и, желая продемонстрировать более консонирую-щие, поступали так. Взяв первые числа, которые они называли «основаниями», из тех, что составляют отношения созвучий... они отнимали по единице от каждого из чисел, составляющих члены каждого отношения, и смотрели, какие числа остались после отнятия. Так, например, отняв по единице от 2 и 1, выражавших октаву, они смотрели остаток: он был равен одному. Отняв по единице от 4 и 3, выражающих кварту, в остатке от четырёх они получали три, от трёх - два, так что совместный остаток обоих членов после отнятия составлял пять. Отняв по единице от 3 и 2, выражавших квинту, в остатке от трёх они получали два, от двух - один, так что совместный остаток составлял три. Отнимаемые единицы они называли подобными (оцою), а остатки вычитания - неподобными (отоцою) по двум причинам, ведь от обоих членов отнималось подобное и равное: ибо единица равна единице. Остатки вычитания необходимо должны быть неподобными и неравными. Ведь если от неравных отнять равные, остатки будут неравными. Между тем отношения кратности и сверхчастности, в которых теоретически рассматриваются созвучия, сводятся к неравных членам, и, следовательно, при отнятии от них равного остатки всегда будут неравными. Неподобия созвучий получаются совмещением (аицц^'Ута), а о совмещении пифагорейцы говорят, когда одно число получается из двух. Так вот, суммарные неподобия для каждого созвучия таковы: для октавы 1, для кварты 5, для квинты 3. Чем меньше неподобие, говорят они, тем сильнее созвучие.

5. Диатонический строй пифагорейцев

1. Платон о диатоническом строе. Развёрнутое описание диатонического строя даёт Платон в Тимее (35Ь-36Ь), описывая устройство «космической гармонии»:

Делить же [демиург] начал следующим образом: прежде всего отделил от целого одну долю, затем вторую - удвоенную, третью - полуторную в сравнении со второй и тройную в сравнении с первой, четвёртую - двойную в сравнении со второй, пятую - тройную в сравнении с третьей, шестую - восьмикратную в сравнении с первой, а седьмую - больше первой в двадцать семь раз. После этого он стал заполнять образовавшиеся двойные и тройные интервалы, отсекая от той же смеси всё новые

доли и помещая их между прежними долями таким образом, чтобы в каждом интервале было по два средних члена, из которых один на одну и ту же долю превышал бы меньший из крайних членов и превышался бы большим, а другой превышал бы меньший крайний член и уступал большему на одинаковое число. Благодаря этим скрепам возникли новые полуторные, сверхтретьи и сверхвосьмерные интервалы внутри прежних интервалов. Тогда он заполнил все сверхтретьи интервалы сверхвосьмерны-ми интервалами, оставляя от каждого интервала такую часть, чтобы пределы этих оставшихся интервалов всякий раз относились друг к другу численно как 256 к 243. При этом смесь, от которой брались упомянутые доли, была истрачена до конца.

октава 1 октава 2 октава 3

Рис. 9

Описанное Платоном построение изображено схематически на рис. 8. Оно начинается с разворачивания от единицы двух непрерывных пропорций из четырёх членов каждая; одна из них идёт октавами по степеням двойки

1 : 2 : 4 : 8, а другая - дуодецимами по степеням тройки 1 : 3 : 9 : 27. Будучи «перемешанными», члены обоих пропорций дают восходящий ряд чисел

1 2 3 4 8 9 27,

между соседними членами которого уже содержатся все консонансные интервалы, а также основной тон. Любопытно, что последнее число этого ряда 27 представляет собой сумму всех предыдущих чисел: 27 = 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9; с попытками истолкования «особых» свойств числа 27 мы ещё встретимся ниже, при рассмотрении фрагмента Филолая.

После того, как построены восходящие последовательности октав и дуодецим, начинается деление этих интервалов по схемам, изображённым на рис. 5 (для октавы) и рис. 10 (для дуодецимы). Затем все оставшиеся неразделенными кварты заполняются изнутри целыми тонами. Если из кварты 4 : 3 последовательно вычесть два целых тона 9 : 8, остаток (А.ацца) будет выражаться отношением 256 : 243.

3 : 2 4 : 3 3 : 2

6 4 3 2

Рис. 10

Построенная таким образом система музыкальных интервалов называется диатонической гаммой. Эта система - самая удобная для настройки музыкальных инструментов, которая ведётся здесь только по основным консонансным интервалам, доступным «теоретическому слуху»: ведь откладывание вверх целого тона можно осуществить поднятием на квинту и опусканием на кварту.

2. Диатоническая гамма у пифагорейцев. Никомах в Руководстве по гармонике (9, 1.1-23) приводит следующий текст, восходящий к Филолаю из Кротона, у родственников которого Платон приобрёл книги, по которым он изучал пифагорейскую науку, и к которому восхотят построения, описанные в Тимее.

Малый полутон в этом тексте называется диезом (б1£ак; = «отпускание»).2 Названия для квинты и кварты - необычные, не встречающиеся больше ни в одном античном тексте: квинта называется повышением (61' 6$;£1ау), а кварта -слогом (аиЛЛавг|).

С нашим сообщением согласуются и разъяснения древних, которые называли октаву гармонией, кварту - слогом (в первую очередь потому, что она есть слияние звуков в созвучие), квинту - повышением (ведь слитность первородных созвучий кварты и квинты идёт на повышение). Система же обоих, слога и повышения, есть октава (а она потому называется гармонией, что настраивается как первое созвучие среди созвучий). И всё это ясно изложил Филолай, приемник Пифагора, в первой книге Физики. Это подкреплено одним достоверным свидетельством, и многие по-разному говорили об этом. А сам Филолай говорит об этом так: «Величина гармонии - слог и повышение (ар|^тас 6ё Ц£7£0ос стиХАа^а ка! 61' о^аот). Повышение больше слога на сверхвосьмер-ное. Ведь от гипаты до месы - слог, от месы до неты - повышение, от неты до триты -слог, от триты до гипаты - повышение. Между тритой и месой - сверхвосьмерное, слог - сверхтретье, повышение - полуторное, октава - двойная. Таким образом, гар-

2 Применительно к пифагорейской теории «диез» - это всегда малый полутон. Однако в других теоретических системах античной музыки «диез» может являться и меньшей частью тона. Об этом пишет, в частности, Теон Смирнский (55.11-15): «Последователи Аристоксена называют наименьшим диезом четверть тона, половину полутона, наименьший мелодический интервал, однако пифагорейцы называют диезом только что названный полутон».

мония - это пять сверхвосьмерных и два диеза. Повышение - три сверхвосьмерных и диез, слог - два сверхвосьмерных и диез».

3. Проблема коммы. Посмотрим, что произошло бы, если бы Платон в своём описании стал подниматься октавами и дуодецимами ещё выше. На рис. 8 мы видим, что 2 дуодецимы поднимаются на З октавы и тон. Тем самым 6 дуодецим поднялись бы на 9 октав и 3 тона. Но подъём на 3 тона от нижнего звука октавы даёт звук такой высоты, которого не было в исходной системе. Если бы попадание пришлось ровно в середину центрального тона октавы, заключённого между двумя квартами (и тем самым - в середину октавы), то подъём на 12 дуодецим составил бы ровно 19 октав, и цикл замкнулся бы.

Однако такого деления октавы пополам не происходит, и в этом заключается основная теоретическая проблема, связанная с пифагорейской гаммой. Дело в том, что 12 дуодецим не равны 19 октавам, поскольку З12 > 219. Более того, никакое целое число дуодецим не может быть равно целому числу октав, поскольку степень тройки не может быть в то же время степенью двойки. Тем самым разделить октаву пополам с помощью откладывания консонансных интервалов оказывается невозможным.

Разность 12 дуодецим и 19 октав, выразимая отношением З12 : 219 = 531441 : 524288, называется коммой. Комму можно представить также в виде разности

12 квинт и 7 октав, либо 6 тонов и 1 октавы.

4. Леймма и апотома. Как было сказано выше, интервал 28 : З5 = 256 : 243 называется лейммой или диезом. Разность между тоном и лейммой равна З7 : 211 = 2187 : 2048, этот интервал называется апотомой (dnoto^r = «отрезок»). Нетрудно убедиться в том, что апотома больше лейммы; поэтому их называют соответственно большим и малым полутонами. Разность между апотомой и лейммой равна комме.

(Прокл, Комментарий к «Тимею», II, 189.18) Как мы сказали, апотома есть остаток, которым леймма дополняется до целого тона... (190.2) То, что отношение апотомы содержится в этих числах в виде основания, очевидно: на основании теоремы о анти-файресисе доказывается, что числа 2187 и 2048 - первые между собой, а первые - с необходимостью наименьшие. Большинство терминов, приводимых в Тимее, очевидно заимствованы у Филолая, но чертёж Платона прогрессирует и без отношения апотомы.

(Аристотель, Метафизика, 1053a5-17) [Все делают мерой] то, что как первое в восприятии не допускает [прибавления и отнятия]... За начало и меру... в музыке берётся полутон (5l£CTl^), как наименьший... Однако не всегда бывает одна мера по числу, иногда мер больше; так имеется два полутона, различающиеся между собой не на слух, а своими отношениями.

5. Деление тона у Филолая. Надо заметить, что термин comma приводится у Боэция при описании системы Филолая, и не встречается ни в одном греческом тексте. Приведём соответствующие отрывки текста Боэция.

(III, 276.15) Пифагореец Филолай попытался делить тон иначе. Он полагал началом тона первое число, представляющее собой куб первого нечётного числа - свойство, весьма почитавшееся у пифагорейцев. Поскольку первое нечётное число - 3, то если помножить три на три трижды, по необходимости получится 27 - число, образующее с 24 интервал в один тон, сохраняя ту же разность 3. Действительно, три есть восьмая часть от 24 и, будучи прибавлено к 24, образует первый куб от трёх - 27. Филолай делит его на две части: одну - больше половины, он её называет апотомой, другую -меньше половины, её он, в свою очередь, называет диезом (позднейшие назвали её малым полутоном), а их разность - коммой. Он считает, что диез состоит из 13 единиц, во-первых, потому что такова разность между 256 и 243, во-вторых, потому что то же самое число 13 состоит из 1, 3 и 9, где 1 занимает место точки, 3 - первой нечётной линии, 9 - первого нечётного квадрата. Полагая на этом основании 13 диезом, остальную часть числа 27, содержащую 14 единиц, он принимает за апотому. Но поскольку разность между 14 и 13 составляет единицу, он полагает, что единицу следует принять за комму. Тон, по его мнению, состоит из 27 единиц, так как разность между 216 и 243, интервал между которыми равен тону, составляет 27.

Обоснования, которые даёт Филолай своему делению тона, выглядят весьма странно; однако движение его мысли нетрудно реконструировать. Представив кварту суммой двух тонов и диеза, Филолай выражает границы всех интервалов четвёркой взаимно простых чисел, где меньшее число 192 = 8 • 8 • 3 (рис. 11).

9 : 8 9 : 8

192 216 243 256

4 : 3 Рис. 11

Далее он вычисляет разности 216 - 192 = 24, 243 - 216 = 27, 256 - 243 = 13, упоминаемые в тексте. А далее он делает неправильный вывод, что если тон оказался равным 27 единицам, а диез - 13 единицам, то на долю апотомы внутри тона остаётся 14 единиц. При этом к 13 зачем-то подстёгивается равенство

13 = 1 + 3 + 9. Ошибка Филолая заключается в том, что интервалы измеряются не разностями чисел, но их отношениями; ведь по разностям и оба тона оказались неравными, хотя по отношениям они равны.

(III, 278.11) Эти интервалы и меньшие, чем они, Филолай определяет так. Диез, по его словам, есть интервал, на который кварта превосходит два тона. Комма - интервал, на который целый тон превосходит два диеза, то есть два меньших полутона. Схизма есть половина коммы, диасхизма - половина диеза, то есть меньшего полутона.

Зачем нужны схизма (ст^стца = «щель»), равная половине коммы, и диасхизма, равная половине диеза, как они вычисляются и какую роль играют в общей системе гармонии, из самого этого текста совершенно непонятно. Отметим, что эти греческие термины сохранились только в латинском тексте Боэция. Ван дер Варден (1943/59) отмечает, что диасхизма могла была нужна

Филолаю для построения энгармонической гаммы, о которой речь пойдёт ниже.

6. Противоречие между «гармониками» и «математиками»

1. Делится ли тон на равные части? Последовательное взаимное вычитание интервалов, производимое на практике посредством движения вверх-вниз по квинтам и квартам, могло привести на опыте к следующей приближённой последовательности соотношений между интервалами:

октава = квинта + кварта, квинта = кварта + тон, кварта = тон + тон + леймма, тон = леймма + леймма.

Отсюда тон = 2 лейммам, кварта = 5 лейммам, квинта = 7 лейммам, октава = 12 лейммам. Можно предположить, что такой расчёт и принимался на практике. Однако пифагорейцами было установлено, что при точном вычитании интервалов остановки не происходит:

октава = квинта + кварта квинта = кварта + тон кварта = тон + тон + леймма тон = леймма + леймма + комма и так далее.

Тот факт, что тон не равен в точности двум лейммам, вряд ли был установлен на слух; скорее, он был обнаружен теоретически, как об этом пишет Плутарх (О сотворении души в «Тимее», 1020е):

Один из интервалов - так называемый тон, на который кварта превосходит квинту. Гармоники делят его пополам, полагая, что тем самым получают два интервала, каждый из которых они называют полутоном (^|лт6vюv). Но пифагорейцы признали невозможным деление его на две равные части, и из двух неравных частей меньшую называют лейммой, так как ей не достаёт до половины. Вот почему консонанс кварты состоит из двух тонов и полутона, из двух [тонов] и лейммы. Для гармоников свидетельством тому служит восприятие, а для математиков доказательство, исходящее из того, что зафиксировано теоретическим инструментом (61а т^ ор7^^ 0£шрг|0^): октава имеет двойное отношение, квинта - полуторное, кварта - сверхтретье, и тон -сверхвосьмерное.

Гармоники здесь - это те, кто считает правильным ограничиться феноменологической теорией вычитания интервалов, производя это вычитание путём слуховой настройки. Математики же - это пифагорейцы, которые производят вычитание интервалов согласно математической теории, основанной на числовых соотношениях, полагаясь на «теоретический инструмент».

2. Сведения о гармониках у Платона. Главным представителем «гар-моников» для Плутарха и других позднеантичных авторов был конечно же Аристоксен - ученик Аристотеля, создатель первого античного учения о музыке (см. Litchfield 1988, Цыпин 1998). Однако у Аристоксена имелись безымянные предшественники, сведения о деятельности которых мы можем почерпнуть как из его Элементов гармоники, так и из диалогов Платона. Противопоставление двух видов музыкальной настройки, одна из которая строит созвучие «на мере», а другая - «на слух», обсуждается в диалоге Платона Филеб (55е-56с).

Сократ. Допустим, что кто-нибудь выделит во всех искусствах счёт, измерение и взвешивание, - в таком случае остальное окажется, так сказать, несущественным.

Протарх. Конечно, несущественным.

Сократ. А оставшееся было бы подражанием и упражнением ощущений с помощью опыта, навыка и способностей к угадыванию, многие называют это искусствами, добивающимися результата упражнением и трудом.

Протарх. То, что ты говоришь, совершенно необходимо.

Сократ. А этим полна прежде всего та музыка, которая строит созвучие не на мере, но на упражнении чуткости; такова же и авлетика, потому что она ищет меру всякой движимой струны по догадке, так что содержит в себе много неясного, устойчивого же мало.

Это же противопоставление является центральной темой следующего разговора между Сократом и Главконом в Государстве Платона (530е-531с):

- Те, кого мы воспитываем, пусть даже не пытаются изучать что-нибудь несовершенное и направленное не к той цели, к которой всегда должно быть направлено всё, как мы только что говорили по поводу астрономии. Разве ты не знаешь, что и в отношении гармонии повторяется та же ошибка? Так же, как астрономы, люди трудятся там бесплодно: они соизмеряют слышимые созвучия и звуки.

- Клянусь богами, у них это выходит забавно: что-то они называют «уплотнениями» (nuKvw^ata) и настораживают уши, словно ловят голоса из соседнего дома; одни говорят, что различают в середине какой-то отзвук (^Х^), и что это наименьший интервал, который можно измерить; другие возражают, уверяя, что звучания одинаковы, но и те и другие ценят уши выше ума.

- Ты говоришь о тех добрых людях, что не дают струнам покоя и терзают их, накручивая на колки. Чтобы не затягивать всё это, говоря об ударах плектром, о том, как винят струны, отвергают их или кичатся ими, я прерву изображение и скажу, что имел в виду ответы не этих людей, а тех, кого мы только что решили расспросить о гармонии. Ведь они поступают совершенно так же, как астрономы: они ищут числа в слышимых созвучиях, но не подымаются до рассмотрения общих проблем и не выясняют, какие числа созвучны, а какие нет, и почему.

Составить по описанию Платона более-менее внятное представление о деятельности «гармоников» в его эпоху вряд ли возможно; не совсем понятно,

что представляют собой «уплотнения» (ликушцата),3 и в середине какого интервала с трудом различается на слух некий «отзвук».4 Но «соизмерение интервалов на слух», о котором говорит Платон, вполне допустимо интерпретировать как их последовательное вычитание путём антифайресиса.

7. Музыкальная пропорция и среднее гармоническое

1. Постановка проблемы. Общую теорию музыкальной пропорции обычно начинают излагать с того, что дают определение среднего гармонического («первый член больше среднего и третий член меньше среднего на одну и ту же свою долю»), а потом показывают, что средние гармоническое и арифметическое образуют пропорцию с крайними членами. При таком порядке изложения у слушателя создаётся впечатление, что само определение среднего гармонического выглядит в сравнении с естественными определениями среднего арифметического и геометрического весьма надуманным; и остаётся непонятным, как идея среднего гармонического могла прийти кому-то в голову в первый раз.

Ниже рассматривается решение этой проблемы, основанное на изменении порядка возникновения понятий и придания ему естественной последовательности. Сначала мы обсудим общую идею обращения порядка интервалов внутри составного отношения, потому перейдём от этой идеи к частному случаю музыкальной пропорции, затем определим среднее гармоническое как обратное по отношению к среднему арифметическому в этой пропорции, и только под конец дадим его самостоятельное определение, не связанное со средним арифметическим. Также будут рассмотрены доводы в пользу того, что и исторический порядок возникновения этого понятия мог быть именно таким. Эти доводы связаны с определением трёх средних в трактате Архита О музыке и с тем названием, которое среднее гармоническое носило изначально.

2. Обращение порядка интервалов. Исходным пунктом построения теории музыкальной пропорции выступает возможность обращения порядка интервалов внутри их суммы. Если между пределами ЛИ вставлено некоторое среднее С и интервал СЛ не равен интервалу ВС, мы можем поменять интервалы СЛ и ВС местами, вставив между ЛИ такое среднее D, чтобы интервал DЛ был равен интервалу ВС, а интервал ИD был равен интервалу СЛ (рис. 12). За-

3 Аристоксен в Элементах гармоники (31.5-7) даёт следующее определение плотного строя: «Я говорю о плотном (то пuкv6v), когда внутри кварты два [нижних] интервала вместе образуют интервал, меньший остатка». См. ниже устройство хроматического и энгармонического тетрахордов по Архиту, где два нижних интервала тетрахорда в сумме меньше третьего, верхнего интервала.

4 Вообще говоря, в античной музыкальной акустике «отзвуком» называлось явление резонанса, когда свободная струна откликается на звук струны, настроенной на октаву выше. Но в данном случае речь идёт скорее о делении «плотного интервала» на части.

метим попутно, что середина Е исходного интервала ЛИ очевидным образом остаётся серединой нового интервала CD.

АС В

Е

т

D В

Рис. 12

3. Музыкальная пропорция. Теперь рассмотрим частный случай нашего общего построения, вставив между двумя величинами А и И (где И > Л) их среднее арифметическое М, образующее с обеими величинами одинаковые разности й. Несложно понять, что при такой вставке верхний интервал И : М будет меньшим, нежели нижний интервал М : Л. Это легко доказывается с помощью процедуры последовательного взаимного вычитания («антифайреси-са»). В самом деле, на первом шаге вычитания в обеих парах И - М и М - Л получается одинаковая разность й. На втором шаге разность й вычитается из М и из Л, - и ясно, что в Л она уложится на один раз меньше, чем в М.

Теперь поменяем возникшие интервалы местами. Верхний интервал опустим вниз, отложив его от Л до некоего Н, которое и будет называться средним гармоническим. При этом нижний интервал окажется наверху, между Н и И. Данным построением мы получаем так называемую музыкальную пропорцию

н _ и

Л _ м'

Можно сказать, что эта пропорция составляет самую сердцевину математической теории гармонии. Никомах Геразский во Введении в арифметику (II, 29.1) говорит, что она является «совершеннейшей и полезнейшей для всякого продвижения в музыке и в учении о природе; и она одна из всех может называться гармонией в собственном истинном смысле».

4. Исходное название среднего гармонического. Понятно теперь, почему Архит в трактате О музыке называет среднее гармоническое словом uп£vаvт^а, «обратное». Дело в том, что это среднее получается обращением порядка интервалов, возникающих при вставке среднего арифметического. Привёдём отрывок из трактата Архита, сохранившийся в передаче Порфирия в Комментарии к «Гармонике» Птолемея (93.6-17):

Средних (цестаО в музыке три: первая - арифметическая, вторая - геометрическая, третья - обратная, называемая также гармонической. Арифметическая - когда три члена образуют пропорцию разностей: насколько первый больше второго, настолько второй больше третьего. В этой пропорции интервал между большими членами меньше, а между меньшими больше. Геометрическая - когда первый ко второму так же, как второй к третьему. Здесь интервал между большими равен интервалу между меньшими.

Обратная, которую мы называем гармонической - когда первый член больше второго на такую свою долю, что и средний больше третьего на такую же долю третьего. В этой пропорции интервал между большими членами больше, а между меньшими меньше.

В. А. Янков (1997, 232) указывает на то, что понимание гармонического среднего как обратного среднему арифметическому невозможно без точного знания, что такое пропорция. Однако более верным нам представляется утверждение, что само точное знание о пропорции возникает в рамках теории музыки уже после того, как вводятся понятия о трёх средних, выраженные на языке равенства и перестановки интервалов, когда среднее гармоническое вставляется не на слух, откладыванием такого же интервала, а путём точного отмеривания, при котором интервалы выражаются отношениями чисел.

5. Характеристическое свойство среднего гармонического. Пока что мы определили среднее гармоническое как противоположное среднему арифметическому; теперь мы дадим ему независимое определение, выразив средний член непосредственно через крайние члены. Вспомогательные геометрические построения, позволяющие лучше уяснить проводимые при этом операции, изображены на рис. 13.

Ь

Н

В

В

Рис. 13

Из пропорции d

н_

А

В_

м

н - А В - м

то есть

— = —. Далее удвоением получаем _ =---------=

А М А 2М А + В

получаем вычитанием

Ам

Тем самым а Ь. Отсюда АВ

2d

і + Ь

мы получаем самостоятельное определение среднего гармонического: «на какую часть меньшего члена средний член превосходит меньший, на такую часть большего члена больший член превосходит средний».

6. Геометрическое построение. Для того, чтобы построить среднее гармоническое между А и В, начертим отрезок аЬ и восстановим по одну сторону от него на его концах длины А и В как перпендикуляры. Затем построим перпендикуляр А' = А по другую сторону от аЬ и соединим его конец с концом В. Проведённая линия пересекается с аЬ в точке с, которая делит отрезок аЬ пропорционально длинам А и В. Восстановим в с перпендикуляр Н до пересечения

а

с линией, соединяющей концы А и В (рис. 14). Нетрудно видеть, что Н будет средним гармоническим между А и В.

А а А'

Рис. 14

Отсюда проистекает простая геометрическая теорема, находящая применение в теории центральной перспективы: отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции и проходящий параллельно основаниям трапеции через точку пересечения диагоналей, является средним гармоническим между основаниями.

8. Архит и деление октавы пополам

1. Деление октавы пополам. Разделить октаву пополам - значит найти среднее геометрическое между крайними членами, имеющими двойное отношение. Будучи переведённой на язык арифметики, эта задача сводится к отысканию чисел а и Ь, образующих непрерывную пропорцию а : Ь = Ь : 2а. Если члены этой пропорции перемножить крест-накрест, исходная задача превратится в задачу об отыскании двух квадратных чисел Ь2 и а2, одно из которых в два раза больше другого. Эта последняя задача была исследована кем-то из ранних пифагорейцев (возможно - Гиппасом), показавшим её неразрешимость.

Среди историков математики бытует мнение, что приём вставки музыкальной пропорции в данный интервал мог использоваться Архитом для вычисления последовательных приближений л/ы как среднего геометрического между 1 и N. Идея состоит в том, чтобы вставить между 1 и N среднее арифметическое и среднее гармоническое; между этими средними - новые средние, и т. д.; нетрудно показать, что этот процесс очень быстро сходится.

2. Связь с «вавилонским алгоритмом». Надо сказать, что гипотеза о том, что Архит применял такой алгоритм, не подтверждена никакими документальными свидетельствами. Возможно, что её источником послужило следующее сообщение Ямвлиха в Комментарии к «Арифметике» Никомаха (118.23119.3):

Полагают, что она [музыкальная пропорция] - изобретение вавилонян, а к грекам пришла впервые через Пифагора. И ей пользуются многие из пифагорейцев, как,

например, Аристей из Кротона, Тимей из Локр, Филолай, Архит из Тарента и многие другие, а впоследствии Платон в Тимее.

Вавилоняне действительно умели находить последовательные приближения л/ы с помощью способа, формально совпадающего с описанным выше; однако они исходили не из идеи образования музыкальной пропорции путём вставки средних, но из чисто геометрических соображений. Продемонстрируем вавилонский метод извлечения квадратного корня на примере задачи об отыскании стороны квадрата, равновеликого прямоугольнику с основанием 2 и высотой 1. Ясно, что эта сторона должна быть больше 1 и меньше 2; в качестве первого приближения возьмём их среднее арифметическое 3/2; нетрудно видеть, что оно является избыточным, поскольку (3/2)2 = 9/4 > 2/1. Образуем на основании 3/2 новый прямоугольник площади 2; его высота равна 4/з. Повторив процесс отыскания среднего арифметического и сопряжённого с ним среднего гармонического, найдём новые основание 17/12 и высоту 24/17. Ещё раз повторив процесс, найдём новые основание 577Лю8 и высоту 816/б77, и так далее. (Вавилоняне производили свои вычисления в шестидесятеричной системе счисления, и на этом шаге получали результат 1;24,51,10, зафиксированный на клинописной табличке YBC 7289.)

3. Ещё раз об определении Архита. В приведённом выше определении среднего гармонического, которое даёт Архит Тарентский, употребляется весьма своеобразная терминология. Здесь не говорится ни о равенстве отношений (А.оуоО, ни о числовой пропорции в её общем виде, - Архит определяет среднее гармоническое на языке, предназначенном для описания того специального случая, когда две величины образуют между собой сверхчастное (ёпlц6pюv) отношение, выражающееся отношением двух соседних натуральных чисел.

При делении сверхчастного отношения на два отношения с помощью музыкальной пропорции новые возникающие отношения тоже будут сверхчастными; аналогичное деление интервала на три, четыре и более частей может быть произведено с помощью вставки последовательных сверхчастных отношений:

т +1 ^ ( 2т + 2 ^ ( 2т +1 ^ т ) V2т+1) V 2т ) т +1 ^ ( 3т + 3 ^ ( 3т + 2 ^ ( 3т +1 ^

т ) V 3т + 2) ^ 3т +1) V 3т )

т +1 ^ ( 4т + 4 ^ ( 4т + 3 ^ ( 4т + 2 ^ ( 4т +1

т ) V 4т + 3 ) V 4т + 2) V 4т +1) V 4т

9. Три способа деления тетрахорда по Архиту

1. Переход к другим сверхчастным отношениям. Расширение круга задействованных в теории сверхчастных отношений, произведённое Архитом, было

делом чисто умозрительным. Возможно, что весь этот ход основывался на следующем соображении: в теории уже использованы сверхчастные отношения квинты 3 : 2, кварты 4 : 3 и целого тона 9 : 8, причём первые два соответствуют созвучным интервалам, а третье - несозвучному; спрашивается, играют ли в общей теории какую-либо роль промежуточные сверхчастные отношения 5 : 4, 6 : 5, 7 : 6, 8 : 7?

Дополнительная проблема, связанная с описываемыми ниже конструктами, состоит в том, что даже интервалы 5 : 4 и 6 : 5 (так называемые чистые большая и малая терция) в античной музыкальной теории консонансными не считались. Получить эти интервалы из октавы и квинты сложением и вычитанием невозможно, поскольку в их описании задействовано новое простое число 5, отличное от 2 и 3. А это означает, что точное их откладывание при слуховой настройке считалось невозможным; такое откладывание можно было произвести только геометрически, при экспериментах со специальным инструментом - монохордом или каноном, представляющим собой линейку с закреплённой на ней струной, когда положение точки, в которой под струну подставляется подвижный порожек, определяется путём расчёта и отмеривания по линейке.

2. Вставка средних внутрь квинты и кварты. В результате вставки двух средних внутрь интервалов квинты и кварты образуются музыкальные пропорции, показанные на рис. 15. Мы видим, что при этом построении появляется шесть новых сверхчастных интервалов, четыре из которых характеризуются отношениями 5 : 4, 6 : 5, 7 : 6, 8 : 7, - теми самыми, о которых ставился вопрос в предыдущем пункте.

6 : 5 25 : 24 6 : 5 8 : 7 49 : 48 8 : 7

30 25 24 20 56 49 48 42

Рис. 15

Согласно гипотезе Б. Л. Ван дер Вардена (1943/59), именно такая вставка средних описана Платоном в заключительном предложении следующего фрагмента Послезакония (991аЬ):

Второе удвоение идёт к середине; и [одно среднее] равным образом больше меньшего, как большее - среднего; другое же среднее одинаковыми долями крайних превосходит и превосходится (так в середину шести к двенадцати встают полуторное и сверхтретье). Исходя из этих и обращаясь в середину между обоими, оно научило людей согла-

сованности и соизмеримости ради ритмических игр и гармонии и даровала это блаженному хороводу Муз.

3. Три рода тетрахорда. Реальная музыкальная практика древних греков знала три музыкальных строя - диатонический, хроматический и энгармонический. В описанном выше диатоническом строе спуск от верхнего голоса тетрахорда к нижнему при пифагорейском способе настройки шёл по схеме «тон - тон - леймма», хотя некоторые гармоники считали такую настройку слишком жёсткой и рекомендовали несколько понижать натяжение третьей сверху струны. В хроматическом строе вторая сверху струна опускалась заметно больше чем на тон, а третья делила оставшийся интервал примерно пополам; в энгармоническом строе интервал между первой и второй струнами был ещё больше, чем в хроматическом.

Эта реальная практика настройки инструментов и исполнения музыки опиралась исключительно на слуховой обычай, которому не было никакого дела до математических теорий. Однако с пифагорейской «теоретической» точки зрения обычай, относящийся к сфере чувственного восприятия, должен был быть ещё оправдан чистым умозрением. Как пишет об этом А. В. Ахутин (1976, 48), «при таком подходе истинное знание должно получаться в том случае, если удаётся реконструировать все данные наблюдений, исходя из чисто теоретических предпосылок». Отсюда возникала спекулятивная задача отыскания таких математических способов деления тетрахорда, которые могли бы «спасти явления».5

4. Тетрахорды Архита: реконструкция построения. Описание того, как Архит производил деление тетрахордов, сохранилось в Гармонике Птолемея (I, 13):

Архит Тарентский, который из всех пифагорейцев больше всего занимался музыкой, пытается провести следование отношениям не только в созвучиях, но и в делениях тетрахордов, полагая, что соизмеримость избытков присуща музыке по природе. <...> Он устанавливает три рода: энгармонический, хроматический и диатонический, и каждый из них делит так. Ведомое отношение во всех трёх родах он определяет как 28 : 27, среднее - в энгармоническом 36 : 35, в диатоническом 8 : 7, соответственно ведущее - в энгармоническом роде 5 : 4, в диатоническом 9 : 8. Второй от самого высокого звука в хроматическом роде он получает при посредстве занимающего то же положение в диатоническом; действительно, он утверждает, что второй звук от самого

5 Выражение «стш(є^ та фа^оц^а» известно прежде всего в связи с обсуждением задач теоретической астрономии. Ссылаясь на Историю астрономии Евдема, Симпли-кий в Комментарии к трактату Аристотеля «О небе» (492.31-493.4) сообщает: «Допуская, что небесные тела движутся постоянным равномерным круговым движением, Платон предлагает математикам такую проблему: какие надо предложить круговые и совершенно правильные движения, чтобы иметь возможность спасти небесные явления». Установка на «спасения явлений» может быть прослежена также и в музыкальных изысканиях Архита.

высокого в хроматическом относится к подобному ему в диатоническом как 256 к 243. Стало быть, он составляет эти тетрахорды согласно данным отношениям в таких первых числах: если мы обозначим самые высокие звуки тетрахордов 1512, а самые низкие, согласно сверхтретьему отношению, 2016, то последнее составит 28 : 27 от 1944. Этим числом будут выражаться во всех трёх родах вторые звуки от самого низкого. Что же касается вторых от самого высокого, то в энгармоническом роде получается 1890, которое относится к 1944 как 36 : 35, а к 1512 как 5 : 4; в диатоническом роде будет 1701, которое относится к 1944 как 8 : 7, а к 1512 как 9 : 8; в хроматическом роде будет 1792, которое относится к 1701 как 256 к 243.

Нетрудно понять, что нижний интервал 28 : 27, общий для всех трёх родов, представляет собой разность между интервалами 7 : 6 и 9 : 8. От верхнего звука будущего тетрахорда вниз откладывается квинта 3 : 2, а затем производится подъём вверх на интервал, характеризующийся отношением 7 : 6 (рис. 16).

3 : 2

Рис. 16

Затем в каждом из видов производится построение второго звука сверху. При этом в энгармоническом роде сверху откладывается отношение 5 : 4, и в середине остаётся 36 : 35, в диатоническом роде сверху откладывается отношение 9 : 8, и в середине остаётся 8 : 7, а в хроматическом роде отношение 9 : 8 откладывается снизу (подъёмом на квинту и спуском на кварту), и вверху образуется отношение 32 : 27, а в середине остаётся отношение 243 : 224 (рис. 17). Представляется правдоподобным, что при таком устройстве тетрахордов первым строился диатонический строй, квинту которого составляет каденция трёх последовательных сверхчастных интервалов 9 : 8, 8 : 7, 7 : 6. А хроматический и энгармонический строи образовывались с помощью хитрой манипуляции, понять теоретические основания которой вряд ли возможно.

9 : 8 28 : 27 36 : 35 5 : 4 Энгармонический

Хроматический

Диатонический

Рис. 17

В целом же эти спекуляции Архита вряд ли могли претендовать на какое-либо объясняющее значение. В этих построениях пифагорейская теория гармонии исчерпала свои возможности, и первоначальный научный энтузиазм, связанный с «удивительной эффективностью математики в науках о природе», в данной области исследований окончательно иссяк. С этого момента пифагорейское учение о гармонии из исследовательского проекта превратилось в учебную дисциплину, просуществовавшую в качестве одной из составных частей квадривиума без малого два тысячелетия.

5. Предел пифагорейской теории и проблема «теоретического слуха».

Следует заметить, что реализация Архитом платоновско-пифагорейской программы «спасения явлений» не могла не натолкнуться на принципиальное различие между «теоретическим зрением» и «теоретическим слухом». Ари-стоксен в Гармонике (II, 14-18) говорит об этом так:

Наш предмет исходит из двух начал: из слуха и из разумения. Ибо слухом мы различаем интервальные величины, а разумением созерцаем их функции. Следует приучить себя тщательно различать то и другое. Дело обстоит не так, как в чертежах, где принято говорить: «Допустим, что это прямая линия». Относительно интервалов от таких утверждений следует отказаться. Ведь геометр не пользуется способностью восприятия и поэтому не приучает зрение различать, что хорошо, а что плохо в прямой, в окружности или в чём-то ещё; скорее, этим занимается плотник, токарь или другой ремесленник. Для музыканта же точность в порядке восприятия - чуть ли не основное. Ведь невозможно плохо воспринимающему хорошо говорить о том, что никоим образом не воспринимается.

Порфирий в Комментарии к «Гармонике» Птолемея (28.9-19) передаёт эту же мысль Аристоксена в следующих словах:

Ведь музыка - не только логическое учение, но чувственное и логическое вместе; следовательно, тому, кто по-настоящему ею занимается, необходимо не упускать обе её стороны, ведущими же полагать чувственные явления, поскольку из них должен исходить разум. Геометр может полагать округлое на доске прямым и беспрепятственно исследовать теорему, не заботясь о доверии к зрению относительно прямого, так как он исходит из логической материи. А музыкант не может должным образом изучить кварту, основываясь не на кварте, поскольку это сначала должно быть согласовано с чувством, а потом уже разум должен быть присоединён к выявленному, так что если это неправильно схвачено чувством, разум тоже окажется в заблуждении относительно истины.

Библиография

Ахутин А. В. (1976) История принципов физического эксперимента от античности до XVII в. Москва.

Ахутин А. В. (2007) Античные начала философии. Санкт-Петербург.

Булева М. (2009) Идеята за хармония: върху старогръцки, византийски и латински текстове. Пловдив.

Ван дер Варден Б. Л. (1959) «Пифагорейское учение о гармонии», Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, пер.

И. Н. Веселовского. Москва: 393-434.

Герцман Е. В. (1995) Музыкальная Боэциана. Санкт-Петербург.

Герцман Е. В. (2003) Пифагорейское музыкознание. Начала древнегреческой науки о музыке. Санкт-Петербург.

Лебедев А. В., пер. (1989) Фрагменты ранних греческих философов. Москва.

Лосев А. Ф., сост. (1960) Античная музыкальная эстетика. Москва.

Лосев А. Ф. (1979) История античной эстетики. Т. 5: Ранний эллинизм. Москва. Мельникова И. Ю., пер. (2002) Ямвлих, О пифагоровой жизни. Москва.

Россиус А. А., пер (2005) «Симпликий. Комментарий к четырём книгам трактата Аристотеля “О небе”. Комментарий ко второй книге», Историко-философский ежегодник - 2004. Москва: 11-33.

Русакова А. В. , пер. (2006) «Клеонид. Гармоническое введение», От Гвидо до Кейджа.

Москва: 286-314.

Хайдеггер М. (1993) Время и бытие, пер. В. В. Бибихина. Москва.

Цыпин В. Г. (1997) Аристоксен, Элементы гармоники. Москва.

Цыпин В. Г. (1998) Аристоксен. Начало науки о музыке. Москва.

Щетников А. И., пер. (2005) «Аристотелевский корпус. Музыкальные проблемы», Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: 66-80 (перепечатывается с исправлениями в этом выпуске 2ХОЛН).

Щетников А. И., пер. (2005) «Псевдо-Евклид. Деление канона», Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: 81-96 (перепечатывается с исправлениями в этом выпуске 2ХОЛН).

Щетников А. И., пер. (2008) «Никомах Геразский. Наставление по гармонике», ХХОЛН. Философское антиковедение и классическая традиция, 2, 75-89.

Щетников А. И., пер. (2009) «Теон Смирнский. Изложение математических предметов, полезных при чтении Платона», ХХОЛН. Философское антиковедение и классическая традиция 3, 466-558.

Щетников А. И. (2009) «Число в «Филебе» Платона», ХХОЛН. Философское антиковедение и классическая традиция 3, 450-465.

Янков В. А. (1997) «Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция)», Историко-математические исследования, 2 (37), 200-236.

Barbera C. A. (1977) «Arithmetic and geometric divisions of the tetrachord», Journal of Music Theory 21, 294-323.

Barker A., transl. (1989) Greek Musical Writings, 2 vols. Cambridge, Mass.

Barker A. D. (1981) «Methods and aims in the Euclidean Sectio Canonis», Journal of Hellenic Studies 101, 1-16.

Bowen A. C. (1982) «The foundations of early Pythagorean harmonic science: Architas, fragment 1», Ancient Philosophy 2, 79-104.

Bowen A. C. (1991) «Euclid’s Sectio canonis and the history of pythagoreanism», Science and Philosophy in Classical Greece (New York) 167-187.

Crocker R. L. (1963) «Pythagorean mathematics and music», Journal of Aesthetics and Art Criticism 22, 189-198, 325-335.

Levin F. R. (1975) The Harmonics of Nicomachus and the Pythagorean tradition. University Park.

Litchfield M. (1988) «Aristoxenus and empiricism: A reevaluation based on his theories», Journal of Music Theory 32, 51-73.

Mathiesen J. T. (1999) Apollo's Lyre: Greek Music and Music Theory in Antiquity and the Middle Ages. Univ. of Nebraska Press.

Solomon J., transl. (2000) Ptolemy Harmonics. Leiden.

van der Waerden B. L. (1943) «Die Harmonielehre der Pythagoreer», Hermes 78, 163-199.