CC BY
143
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
]Э5М 15Э4-040В
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 06. С. 56-71.
Б01: 10.7463/0617.0001221
Представлена в редакцию: 10.05.2017 Исправлена: 24.05.2017
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 536.21
Развитие методов расчета теплопроводности тонких пленок
Баринов А.А.1*, Чжан К.1, Лю Б.1, Хвесюк В.И.1
ЬагтоуЕб^Ьт&Штц
:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Будущая электроника построена на базе микро- и наноструктур и связана с высокими тепловыми нагрузками, достигающими 100 Вт/см2. В связи с чем остро стоит задача создания моделей переноса тепла, обеспечивающих надёжные результаты по определению теплопроводности с учетом размерного эффекта. В данной работе впервые сформулирована модель расчета теплопроводности пленок с учетом влияния волн различной поляризации и строгой зависимости всех параметров (скорости и времени релаксации фононов) от частоты. Получены результаты по теплопроводности пленок кремния в широком диапазоне температур (от 10 до 500 К) и толщин (от 10 нм до 100 мкм). Проведено сопоставление с моделями, построенными на упрощении детализации рассматриваемых процессов, что получило широкое распространено в расчетной практике. Сравнительный анализ указывает на существенные количественные отличия от результатов представленной модели и необходимость использования строгих моделей при расчётах теплопроводности микро- и наноструктур.
Ключевые слова: теплопроводность, тонкие пленки, размерный эффект
Введение
Развитие будущей наноэлектроники связано с использованием элементов схем всё меньших размеров, построенных на базе микро- и наноструктур. Данное обстоятельство приводит, во-первых, к росту удельных тепловых потоков, которые достигают порядка 100 Вт/см [1]. Во-вторых, к проблеме обеспечения требуемого теплового режима, так как работоспособность электронных устройств сильно зависит от температуры. В связи с этим остро стоит задача создания моделей переноса тепла, обеспечивающих надёжные результаты по определению теплопроводности. Это одна из ключевых задач по созданию новых поколений электронных интегральных схем [2].
Отличительной чертой процессов теплопереноса в микро- и наноструктурах является, во-первых, неприменимость классического закона теплопроводности для массивных твердых тел (закон Фурье) [3]. Во-вторых, зависимость теплопроводности от большого числа факторов [4], учесть которые одновременно очень трудно. Поэтому возникает зада-
ча оптимизации метода расчета для выявления наиболее важных факторов, обеспечивающих достаточно хорошее совпадение теории и экспериментальных данных, и исключения тех из них, которые обеспечивают малые поправки, находящиеся в диапазоне ошибок.
В данной работе проводится исследование процессов теплопереноса на примере тонких пленок кремния, так как теплопроводность тонких пленок - одно из фундаментальных направлений современной теплофизики. Это связано с широким применением пленок в полупроводниковых приборах, с удобством как теоретического, так и экспериментального изучения этих объектов; а также наличием большого количества экспериментальных данных по кремнию.
Кремний является полупроводником. Перенос тепла в полупроводниках осуществляется квазичастицами - фононами, квантами упругих волн, распространяющихся в твердых телах [5]. В первую очередь необходимо учитывать фонон-фононные взаимодействия, для которых важнейшими являются следующие особенности. Во-первых, основной вклад в перенос тепла вносят взаимодействия, в которых участвует три фонона [6,7]. Во-вторых, существует два типа взаимодействий фононов. Первый тип - нормальные процессы, в которых сохраняются энергия и импульс взаимодействующих фононов. Второй тип - так называемые процессы с перебросом, в которых сохраняется энергия, а часть импульса передается решетке твердого тела. Также рассматриваются процессы взаимодействия фононов с несовершенствами решеток, образующих твердое тело (примеси, дислокации и др.), и взаимодействие фононов с границами твердого тела [8].
Указанные факторы одинаково важны, как при анализе теплопроводности макроскопических тел, так и при изучении переноса тепла в структурах микро- и нанометрового масштаба. В последнем случае на первый план выходят процессы рассеяния фононов на границах твердого тела, поскольку толщины нанопленок меньше или значительно меньше, чем длины свободного пробега фононов в макроскопических телах. Это приводит к существенному уменьшению теплопроводности пленок по сравнению с макроскопическими телами. Эксперименты (и теоретические оценки) показывают, например, что при комнатной температуре теплопроводность уменьшается в 5 раз при толщине пленки 16 нм, а в области низких температур (ниже 50 К) теплопроводность уменьшается на два порядка и на три - при Т = 30К для толщин менее 20 нм [9].
В основе расчета теплопроводности используется решение уравнения переноса Больцмана в приближении времени релаксации [6,10]; так как оно позволяет достаточно полно учесть основные особенности переноса тепла в твердом теле.
В стационарном приближении транспортное уравнение Больцмана имеет вид:
(1)
Здесь V - скорость фононов, м/с, равная групповой скорости упругой волны:
со - частота волны, с"1; к - волновой вектор, м"1; Т - температура твердого тела, К; / -искомая неравновесная функция распределения фононов по энергиям;
- равновесная функция Бозе-Эйнштейна, т - время релаксации фононного газа, с.
Теплопроводность макроскопического твердого тела получается из решения транспортного уравнения Больцмана (1) [6]:
Чиш = 11V; (к)т] (к)С] (к). (2)
3 ;
Здесь суммирование ведется по поляризациям волн ; - это одна продольная акустическая волна ЬА и две поперечные акустические волны ТА . С. (к) - вклад моды к в теплоемкость фононного газа,
Дж/(м -К).
Таким образом, для определения теплопроводности твердого тела необходимо рассчитать теплоемкость [7], групповые скорости различных поляризаций на основе знаний соответствующих дисперсионных соотношений [11], а также характерные времена между столкновениями различных типов, испытываемыми фононами, с использованием стандартных методов квантовой механики [7].
1. Модель учета размерного эффекта на основе уравнения Больцмана
Тонкие пленки представляют собой структуры, в которых один из линейных размеров во много меньше двух других. При этом возникает сильная анизотропия свойств в продольном и поперечном направлениях. В данной работе рассматривается теплопроводность в продольном направлении. (Анализ особенностей теплопроводности в поперечном направлении представлен в статье [12].)
Расчет теплопроводности вдоль пленки также, как и выражение для теплопроводности твердого тела (2), строится на основе решения транспортного уравнения Больцмана (1). Отличие заключается в том, что пленка в продольном направлении имеет размер во много превосходящий поперечный. Поэтому функция распределения / зависит от поперечной координаты пленки г, т.е. / = /(Т, г) . В такой постановке задача о нахождении теплопроводности пленки в продольном направлении была решена Зондхаймером в 1952 г. [13]; полученное выражение выглядит следующим образом:
^ = F(Кп) , (3)
КЪиШ
где Кр1т - теплопроводность тонкой пленки, Вт/(м К); кЫк - теплопроводность массивного тела, Вт/(м К), определяемая по выражению (2); F(Кп) - функция приведения,
I 3Кп 3Кп ](1 1 ^ ( гЛ
F (Кп)=1 - т+~т Я 7 - 7/хр;
Кп
йг , (4)
где Кп - число Кнудсена, Кп = / И ; - длина свободного пробега фононов в макроскопическом твёрдом теле, м; И - толщина пленки, м. При этом предполагается, что отражение от границ носит диффузный характер, коэффициент зеркального отражения р = 0 . Модификация выражения (3) для случая р Ф 0 описана в [13,14] и имеет следующую форму:
= (5)
1 - р ехр (" Укп)
Из соотношения (3) видно, что функция приведения показывает во сколько раз теплопроводность тонкой пленки отличается от теплопроводности массивного тела
кыш . На Рис. 1 приведен график зависимости функции приведения (5) от числа Кнудсена
для различных условий отражения на границе. Так при полностью диффузном отражении р = 0 наблюдается наибольшее падение теплопроводности пленки (при прочих равных условиях). При увеличении коэффициента р зеркального отражения теплопроводность вдоль пленки увеличивается; и при р = 1, т.е. в случае полностью зеркального отражения на границах, достигает максимального значения - значения кыш для массивного образца.
Рис.1. График зависимости функции приведения ¥ от числа Кнудсена (5) для различных значений коэффициента р зеркального отражения .
На Рис. 1 наглядно проиллюстрировано влияние поперечного размера пленки на теплопроводность - при уменьшении толщины теплопроводность пленки падает. Данная закономерность называется размерным эффектом. Исследование факторов качественно и количественно влияющих на поведение теплопроводности (И) представляет огромный интерес как для теории переноса тепла в пленках, так и для приложения в микро - и нанотехнологиях.
2. Анализ факторов, влияющих на теплопроводность пленок
Согласно выражениям (3) и (4) модели Зондхаймера, теплопроводность вдоль пленки будет определяться, в конечном счете, числом Кнудсена для фононного газа
Кп = Л/ И,
где Л = т . Но данное приближение даёт только грубую оценку, так как в реальном твердом теле существуют акустические волны различной поляризации, для которых время релаксации т и скорость распространения V имеют нелинейные зависимости от частоты волн (фононов).
Как было сказано выше, в твердом теле распространяются волны двух поляризаций - одна продольная ЬА и две поперечные ТА, при этом каждая из ветвей имеет свой закон дисперсии с(к) . Поэтому групповая скорость акустических волн является функцией частоты: V . = V . (с) , у = ТА, ЬА . Для каждой поляризации время релаксации т акустической волны является функцией, как температуры пленки Т , так и частоты колебаний фо-нонов с . Поэтому число Кнудсена становится функцией многих переменных
/ \ т, (с,Т Ъ,. (с)
Кп (Т ,с, у, И ) = -^~ = ^ . (6)
Следовательно, функция приведения (4) также зависит от частоты с, температуры Т, толщины пленки И и направления поляризации у .
Так как в работе рассматривается кремний, то в качестве модели для расчета времени релаксации т, зависимости с(к) и расчета теплопроводности кЫк массивного тела используется модель Холленда [15]. Согласно этой модели каждая реальная дисперсионная кривая (ЬА и ТА ) аппроксимируется двумя прямыми. Для иллюстрации данной модели на Рис.2 представлены дисперсионные кривые, а в таблице 1 приведены характерные точки.
Рис.2. Дисперисонные кривые кремния для поперечной ТА и продольной ЬА поляризации; линии -двулинейная аппроксимация Холленда, "+" - экспериментальные данные [16].
Рассеяние фононов является результатом двух процессов: внутренних (фонон-фононных h ) и внешних - рассеяние на границах тв и рассеяние, обусловленное несовершенством (нерегулярностями) кристаллической решетки т . Так как каждый процесс рассеяния является независимым, то влияние отдельных механизмов может быть учтено с использованием временного приближения [17], т.е. полное время рассеяния т определяется согласно правилу Маттиссена как
Т = Т ph-ph +TB + Т imp . (7)
В рамках модели двулинейной аппроксимации дисперсионных соотношений Хол-ленда время релаксации т задается следующими выражениями [15]:
т~\ = vs/FL + Лю4 + BT о)Т4,ю<<; (8)
Тти = vsjFL + Лю4 + BTUсо2/sh(х)< < <о < <о2; (9)
т- = vs/FL + Лю4 + BL <о2Т3 ; (10)
где тТ0 - время релаксации для ТЛ фононов с частотой <о<<, где среди фонон-фононных процессов определяющую роль играют нормальные процессы рассеяния; тш -время релаксации для ТЛ фононов с частотой о1 <о <<, где среди фонон-фононных процессов определяющую роль играют процессы переброса; ть - время релаксации для LЛ фононов c учетом нормальных и U-процессов; тр = vsjFL - частота взаимодействия с границами образца; т—р = Лю4 - частота процессов рассеяния на несовершенствах кристаллической решетки (на атомах различной массы); BT<оТ4, BwсО jsh (х), BLсОТ -частота процессов фонон-фононного взаимодействия т-1 h в нормальных процессах и процессах переброса для ТА и LA фононов соответственно; х = h - приведенная
частота. Значения коэффициентов приведены в таблице 1.
Таблица 1. Параметры для расчета.
Характерные скорости распространения волн
vT, м / с vL, м / с vs, м / с vT, м / c (ю> <) vL, м / с (ю> о)
5 860 8 480 6 400 2 000 4 240
Характерные температуры (частоты) дисперсионных кривых 6 = Н
0, K 02, K 03, K 04, K 6D, K
180 210 570 350 658
Коэффициенты в соотношениях для времени релаксации Т
Л, с3 B, К -3 B с BTU,с Bl , с ■ К-3 FL, м
1.3210-45 9.3 10-13 5.510-18 2.0 •lO-24 0.5728
В итоге, для нахождения теплопроводности тонкой пленки получаем следующее выражение
(П)
где в- - максимальная температура (приведенная частота) распространения фононов поляризации у = ТА, ЬА . В случае Е = 1, когда длина свободного пробега во много меньше характерного размера тела, формула (11) переходит в формулу для расчета теплопроводности твердого тела кыш.
3. Рассмотрение различных приближений для расчета теплопроводности
Как было показано в предыдущем разделе, теплопроводность вдоль пленки зависит от множества параметров. Для иллюстрации этой принципиальной особенности от других методов [9, 18-21], построенных на различных допущениях и широко применяемых в практических расчетах, рассмотрим ряд моделей различной степени точности. Разбор приближений представлен в порядке упрощения детализации учитываемых процессов.
В первой модели производится расчет теплопроводности по наиболее развернутой формуле (11) в рамках двулинейной аппроксимации реальных дисперсионных кривых (Рис. 2, табл. 1). В модели учитывается зависимость времени релаксации от температуры и частоты колебаний фононов для каждой поляризации (см. соотношения (8)-(10)). Представленное решение требует наибольших затрат вычислительной мощности, так как для пленки фиксированной толщины при заданной температуре Т для каждой поляризации у = ТА, ЬА требуется рассчитывать значение интеграла функции приведения (4) при каждой частоте с . В данной работе впервые учтены вышеперечисленные особенности, существенно влияющие на расчет теплопроводности.
Во второй модели вводится допущение о том, что для фононов различных поляризаций время релаксации не зависит от частоты. Используя определение среднего значения функции на отрезке, для каждой поляризации при заданной температуре получаем:
\/Т
•(Т) =! (й? т (хТ )А/1 (е^2 А
\/Т
х е
(12)
Таким образом отпадает необходимость рассчитывать интеграл функции приведения для каждой частоты в отдельности:
(13)
На Рис.3 представлены значения среднего времени релаксации.
В третьей модели используется приближение Дебая, согласно которому все три волновые моды заменяются одной с линейным законом дисперсии и скоростью распространения V"3 = 1/3 • (2 V"3 + V"3). Время релаксации в соответствии с серым приближени-
ем считается зависимым только от температуры. Используя определение среднего, для заданной температуры получаем:
(14)
Таким образом, выражение для расчета теплопроводности сильно упрощается:
.3/7 \з вп/т
(т,И) = кт~ тк(т,И)} ]
2л2уч
Ь
х4 ех
-ёх
(15)
о (ех
График зависимости времени релаксации для «серого» приближения представлен на Рис.3. Стоит отметить, что сумма времен т (Т) второй модели совпадает со временем
т (Т) третьей модели, так как оба подхода строятся на поиске среднего значения времени релаксации массивного образца.
Рис.3. Сравнение времени релаксации для разных методик осреднения и с имеющимися оценочными
данными работы [14].
4. Сравнение результатов расчета теплопроводности
На основании трех приближений, сформулированных в предыдущем разделе, был проведен численный расчет в среде компьютерной алгебры МЛТЬЛВ.
На Рис.4 представлены зависимости теплопроводности кремния в продольном направлении для трех описанных моделей в зависимости от толщины пленки для температур 30 К, 77 К и 300 К. Результаты сравниваются с имеющимися экспериментальными данными и теоретическими моделями других авторов. Как видно по графикам, при низких температурах (ниже 50 К) наблюдается хорошее согласие всех трех методов и данных других работ, а зависимость (И) носит линейный характер. При температурах порядка
комнатной и выше размерный эффект проявляется (более 10%) только при толщинах менее 1 мкм.
10"2 1СГ 10° 10т 102
h. /ил
Рис.4. Сравнение теплопроводности Si вдоль пленки в зависимости от толщины для температур 30К, 77К и 300К: 1 - метод I; 2 - метод II; 3 - метод III; 4 - модель Asheghi & etc [9]; 5 - данные эксперимента [9].
Согласно Рис.4, Метод I, учитывающий дисперсию фононов и различные процессы рассеяния в рамках модели Холленда, показывает наилучшее согласие с имеющимися экспериментальными и теоретическими результатами.
На Рис.5. представлена зависимость теплопроводности кремния вдоль пленки к film (Т), определенная по модели I, для толщин 20, 30, 50 и 100 нм. Наблюдаемое расхождение между теорией и экспериментом находится в пределах 10-20%.
140
50 100 150 200 250 300 350 400 450
тгк
Рис.5. Зависимость теплопроводности Si вдоль пленки от температуры для толщин: 1 - 20 нм; 2 - 30 нм; 3 - 50 нм; 4 - 100 нм; 5 - пунктирные линии - экспериментальные данные [22].
На Рис.6 представлено сравнение значений к^1т (h) моделей II и III c точным решением модели I для температур 30 К, 77 К и 300 К. Видно, что с уменьшением температуры точность решения модели II падает с 10% при комнатной температуре до 40% при Т=30К. Ошибка модели III при температурах ниже комнатной достигает 60%, а при увеличении доходит до 100%.
Рис.6. Сравнение теплопроводности моделей II и III со значением модели I: 1 - модель II; 2 - модель II - по
норме от значения модели
I, s =
к1 - к'
film film
f -100%.
Для оценки точности моделей II и III в широком диапазоне температур и толщин плёнок используем построение линий уровня, в градациях цвета. Цвета соответствуют погрешности в % от значения теплопроводности модели I. (Результаты представлены на Рис.7 и Рис.8 соответственно.)
400 350 300 250 Н 200
150 100 50
10'2 10"* 10Q Ю1 1D5 ~
h. цгп
Рис.7. Точность расчета теплопроводности модели II в сравнении с моделью I в % (шкала справа).
350
100
300
250
^200
150
100
50
1ч,
Рис.8. Точность расчета теплопроводности модели III в сравнении с моделью I в % (шкала справа).
Из рассмотрения Рис.7 и Рис.8 можно сделать вывод о характерной тенденции падения точности расчета при уменьшении температуры ниже температуры Дебая и при уменьшении толщина плёнки:
1. в микрометровом диапазоне толщин при температурах меньше 150 К ошибка методов II и III достигает 35-40%;
2. в нанометровом диапазоне метод III дает погрешность, превышающую 100%; а метод II дает ошибку менее 20%, что указывает на явное преимущество метода II, учитывающего вклад в теплопроводность каждой поляризации в отдельности.
Стоит отметить, что время на вычисления, необходимые для расчета теплопроводности вдоль пленки по методу I, в 10 раз превосходит приближение III и в 4 раза - метод II. При этом кажущаяся экономия во времени сильно уступает падению точности результата.
В данной работе представлено развитие методов учета влияния классического размерного эффекта на теплопроводность пленок кремния в продольном направлении в рамках модификации модели Зондхаймера [13], основанной на решении транспортного уравнения Больцмана.
Проведен анализ различных факторов, влияющих на теплопроводность пленок
в продольном направлении: температуры Т , толщины пленок к, поляризации волн фо-нонов у в поперечном Т и продольном Ь направлениях, зависимости скоростей V. и
времен релаксации т от частоты с для фононов различных типов волн у = ТА, ЬА .
В представленной работе впервые сформулировано и рассмотрено влияние вышеописанных параметров на расчет теплопроводности пленок. На основании этого построе-
Заключение
ны три модели разной степени точности для оценки влияния детализации рассматриваемых процессов на значения kplm (h,T) в широком диапазоне температур (от 10К до 450К)
и толщин (от 10 нм до 100 мкм) пленок:
1. в методе I впервые при расчёте теплопроводности наноплёнок корректно и наиболее полно учитываются зависимости скорости v. и времени релаксации т. фононов от
частоты с и поляризации j = TA, LA . Полученные значения (h, T) хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными и теоретическими моделями других авторов, с максимальной погрешностью до 10-17% в отдельных узких областях (h ~10 - 50нм и T «0D).
2. В методе II для каждой поляризации j = TA, LA вводится среднее время релаксации т.(T), не зависящее от частоты фононов. Полученные значения kfilm(h,T) дают погрешность до 20% в нанометровой области и до 40% в микрометровой области при температурах ниже 150 К.
3. В методе III рассматривается серое приближение, в котором вводится одно единственное значение для времени релаксации и для скорости, не зависящие от частоты и поляризации фононов. Это ведет к существенной потери точности kfilm(h, T) от 40% (микрометровый диапазон и Т < 150К) до 100% и более (в нанометровом диапазоне толщин пленок).
Поэтому использование методов осреднения (серого приближения и пр.) в расчетах теплопроводности пленок недопустимо. Необходимо прибегать к детальному описанию процессов распространения фононов различных энергий (частот) и поляризаций, с рассмотрением дисперсионных соотношений (скоростей их распространения) при каждой интересующей нас температуре и толщине образца.
Данные рекомендации могут быть использованы для оценки величины теплопроводности пленок в продольном направлении при моделировании новых структур в перспективных полупроводниковых устройствах.
Список литературы
1. Pop E., Goodson K.E. Thermal phenomena in nanoscale transistors // Trans. of the ASME. J. of Electronic Packaging. 2006. Vol. 128. № 2. Pp. 102-108. DOI: 10.1115/1.2188950
2. Balandin A.A. Thermal properties of graphene and nanostructured carbon materials // Nature Materials. 2011. Vol. 10. № 8. Pp. 569-581. DOI: 10.1038/nmat3064
3. Хвесюк В.И. Перенос теплоты в наноструктурах // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. № 5 (17). С. 23. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-5-721
4. Хвесюк В.И., Скрябин А.С. Теплопроводность наноструктур // Теплофизика высоких температур. Т. 55. № 3. С. 447-471. DOI: 10.7868/S0040364417030127
5. Рейсленд Дж. Физика фононов: пер. с англ. / Под ред. проф. Г.С. Жданова. М.: Мир, 1975. 365 с. [Reissland J.A. The physics of phonons. N.Y.: Wiley, 1973. 319 p.].
6. Пайерлс Р. Э. Квантовая теория твердых тел: пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1956. 259 с. [Peierls R.E. Quantum theory of solids. Oxf.: Clarendon Press, 1955. 229 p.].
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика: учеб. пособие. Ч. 1. 5-е изд. М.: Физматлит, 2010. 616 с.
8. Tellier C.R., Tosser A.J. Size effects in thin films. Amst.; N.Y.: Elsevier, 1982. 310 p.
9. Asheghi M., Leung Y.K., Wong S.S., Goodson K.E. Phonon-boundary scattering in thin silicon layers // Applied Physics Letters. 1997. Vol. 71. No. 13. Pp. 1798-1800. DOI: 10.1063/1.119402
10. Klemens P.G. Thermal conductivity of lattice vibrational modes // Solid state physics. Advances in research and applications. Vol. 7. L.; N.Y.: Academic Press, 1958. Pp. 1-98.
11. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 791 с. [Kittel C. Introduction to solid state physics. 5th ed. N.Y.: Wiley, 1976. 599 p.].
12. Баринов А.А., Цао Ж., Хвесюк В.И. Баллистический перенос тепла в наноструктурах // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 5. С. 140-151. DOI: 10.7463/0516.0840329
13. Sondheimer E.H. The mean free path of electrons in metals // Advances in Physics. 1952. Vol. 1. Iss. 1. Pp. 1-42. DOI: 10.1080/00018735200101151
14. Zhang Z.M. Nano/microscale heat transfer. N.Y.: McGraw-Hill, 2007. 479 p.
15. Holland M.G. Analysis of lattice thermal conductivity // Physical Review. 1963. Vol. 132. № 6. Pp. 2461-2471. DOI: 10.1103/PhysRev.132.2461
16. Brockhouse B.N. Lattice vibrations in silicon and germanium // Physical Review Letters. 1959. Vol. 2. № 6. Pp. 256-258. DOI: 10.1103/PhysRevLett.2.256
17. Length-scale dependent phonon interactions / Ed. by S.L. Shinde, G.P. Srivastava. N.Y.: Springer, 2014. 296 p.
18. Asheghi M., Touzelbaev M.N., Goodson K.E., Leung Y.K., Wong S.S. Temperature-dependent thermal conductivity of single-crystal silicon layers in SOI substrates // Trans. of the ASME. J. of Heat Transfer. 1998. Vol. 120. Iss. 1. Pp. 30-36. DOI: 10.1115/1.2830059
19. Ju Y.S., Goodson K.E. Phonon scattering in silicon films with thickness of order 100 nm // Applied Physics Letters. 1999. Vol. 74. № 20. Pp. 3005-3007. DOI: 10.1063/1.123994
20. Liu W., Asheghi M. Phonon-boundary scattering in ultrathin single-crystal silicon layers // Applied Physics Letters. 2004. Vol. 84. № 19. Pp. 3819-3821. DOI: 10.1063/1.1741039
21. Srinivasan S., Miller R.S., Marotta E. Parallel computation of the Boltzmann transport equation for microscale heat transfer in multilayered thin films // Numerical Heat Transfer. Pt. B: Fundamentals. 2004. Vol. 46. № 1. Pp. 31-58. DOI: 10.1080/10407790490438707
22. Maldovan M. Transition between ballistic and diffusive heat transport regimes in silicon materials // Applied Physics Letters. 2012. Vol. 101. Iss. 11. Pp. 113110 -113111.
DOI: 10.1063/1.4752234
Science ¿Education
of the Baumail MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 06, pp. 56-71.
DOI: 10.7463/0617.0001221
Received: 10.05.2017
Revised: 24.05.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Development of In-plane Thermal Conductivity Calculation Methods in Thin Films
A.A. Barinov1*, K. Zhang1, B. Lu1,
barmovEGffbmstuju
V.I. Khvesyuk1
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: thermal conductivity, thin films, size effect
The future nanoelectronics development involves using the smaller- -and-smaller-sized circuit components based on the micro- and nanostructures. This causes a growth of the specific heat flows up to 100 W/cm . Since performance of electronic devices is strongly dependent on the temperature there is a challenge to create the heat transfer models, which take into account the size effect and ensure a reliable estimate of the thermal conductivity. This is one of the crucial tasks for development of new generations of integrated circuits.
The paper studies heat transfer processes using the silicon thin films as an example. Thermal conductivity calculations are performed taking into account the influence of the classical size effect in the context of the Sondheimer model based on the solution of the Boltzmann transport equation.
The paper, for the first time, presents and considers the influence of various factors on the thermal conductivity of thin films, namely temperature, film thickness, polarization of the pho-non waves (transverse and longitudinal), velocity and relaxation time versus frequency for the phonons of different wave types.
Based on the analysis, three models with different accuracy are created to estimate the influence of detailing processes under consideration on the thermal conductivity in a wide range of temperatures (from 10 K to 450 K) and film thickness (from 10 nm to 100 |im).
So in the model I for the first time in calculating thermal conductivity of thin films we properly and circumstantially take into account the dependence of the velocity and the relaxation time of phonons on the frequency and polarization. The obtained values are in a good agreement with available experimental data and theoretical models of other authors. In the following models we use few average methods for relaxation times and velocities, which leads to significant reduction in calculating accuracy up to the values exceeding 100%.
Therefore, when calculating the thermal conductivity for micro - and nanostructures it is necessary to employ a detailed process description of the phonons propagation for different en-
ergies (frequencies) and polarizations, and consider the real dispersion relations (velocities of their propagation) for each concerned temperature and thickness of the sample.
The above recommendations can be used to estimate the in-plane thermal conductivity of thin films when simulating the new structures in advanced semiconductor devices.
References
1. Pop E., Goodson K.E. Thermal phenomena in nanoscale transistors. Trans. of the ASME. J. of Electronic Packaging, 2006, vol. 128, no. 2, pp. 102-108. DOI: 10.1115/1.2188950
2. Balandin A.A. Thermal properties of graphene and nanostructured carbon materials. Nature Materials,, 2011, vol. 10, no. 8, pp. 569-581. DOI: 10.1038/nmat3064
3. Khvesyuk V.I. Heat transport in nanostructures. Inzhenernyj zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal: Science and Innovation], 2013, no. 5(17), p. 23. DOI: 10.18698/2308-60332013-5-721 (in Russian)
4. Khvesyuk V.I., Skryabin A.S. Thermal conductivity of nanostructures. High Temperature, 2017, vol. 55, no. 3, pp. 428-450. DOI: 10.1134/S0018151X17030129
5. Reissland J.A. The physics of phonons. N.Y.: Wiley, 1973. 319 p. (Russ. ed.: Reissland J. Fizika fononov. Moscow: Mir Publ., 1975. 367 p.).
6. Peierls R.E. Quantum theory of solids. Oxf.: Clarendon Press, 1955. 229 p. (Russ. ed.: Peierls R.E. Kvantovaia teoriia tverdykh tel. Moscow: Foreign Literature Publ., 1956. 259 p.).
7. Landau L.D., Lifshits E.M. Statisticheskaia fizika [Statistical physics]. Pt. 1. 5th ed. Moscow: Fizmatlit, 2010. 616 p. (in Russian).
8. Tellier C.R., Tosser A.J. Size effects in thin films. Amst.; N.Y.: Elsevier, 1982. 310 p.
9. Asheghi M., Leung Y.K., Wong S.S., Goodson K.E. Phonon-boundary scattering in thin silicon layers. Applied Physics Letters, 1997, vol. 71, no. 13, pp. 1798-1800. DOI: 10.1063/1.119402
10. Klemens P.G. Thermal conductivity of lattice vibrational modes. Solid state physics. Advances in research and applications. Vol. 7. L.; N.Y.: Academic press, 1958. Pp. 1-98.
11. Kittel C. Introduction to solid state physics. 5th ed. N.Y.: Wiley, 1976. (Russ. ed.: Kittel C. Vvedenie vfiziku tverdogo tela. Moscow: Nauka, 1978. 791 p.).
12. Barinov A.A., Zhunvei Ts., Khvesyuk V.I. Ballistic thermal transfer in nanosystems. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2016, no. 5, pp. 140-151. DOI: 10.7463/0516.0840329 (in Russian)
13. Sondheimer E.H. The mean free path of electrons in metals. Advances in Physics, 1952, vol. 1, iss. 1, pp. 1-42. DOI: 10.1080/00018735200101151
14. Zhang Z.M. Nano/microscale heat transfer. N.Y.: McGraw-Hill, 2007. 479 p.
15. Holland M.G. Analysis of lattice thermal conductivity. Physical Review, 1963, vol. 132, no. 6, pp. 2461-2471. DOI: 10.1103/PhysRev.132.2461
16. Brockhouse B.N. Lattice vibrations in silicon and germanium. Physical Review Letters, 1959, vol. 2, no. 6, pp. 256-258. DOI: 10.1103/PhysRevLett.2.256
17. Length-scale dependent phonon interactions / Ed. by S.L. Shinde, G.P. Srivastava. N.Y.: Springer, 2014. 296 p.
18. Asheghi M., Touzelbaev M.N., Goodson K.E., Leung Y.K., Wong, S.S. Temperature-dependent thermal conductivity of single-crystal silicon layers in SOI substrates. Trans. of the ASME. J. of Heat Transfer, 1998, vol. 120, iss. 1, pp. 30-36. DOI: 10.1115/1.2830059
19. Ju Y.S., Goodson K.E. Phonon scattering in silicon films with thickness of order 100 nm. Applied Physics Letters, 1999, vol. 74, no. 20, pp. 3005-3007. DOI: 10.1063/1.123994
20. Liu W., Asheghi M. Phonon-boundary scattering in ultrathin single-crystal silicon layers. Applied Physics Letters, 2004, vol. 84, no. 19, pp. 3819-3821. DOI: 10.1063/1.1741039
21. Srinivasan S., Miller R.S., Marotta E. Parallel computation of the Boltzmann transport equation for microscale heat transfer in multilayered thin films. Numerical Heat Transfer. Pt. B: Fundamentals, 2004, vol. 46, no. 1, pp. 31-58. DOI: 10.1080/10407790490438707
22. Maldovan M. Transition between ballistic and diffusive heat transport regimes in silicon materials. Applied Physics Letters, 2012, vol. 101, iss. 11, pp. 113110 -113111.
DOI: 10.1063/1.4752234
