Развитие метода синтеза геометрии канатов линейного касания Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010 УДК 622.673.6

РАЗВИТИЕ МЕТОДА СИНТЕЗА ГЕОМЕТРИИ КАНАТОВ ЛИНЕЙНОГО КАСАНИЯ

© 2010 Е.А. Калентьев1, В.В. Тарасов1, В.Н. Новиков2

1 Институт прикладной механики УрО РАН, г. Ижевск 2 Ижевская государственная сельскохозяйственная академия

Поступила в редакцию 29.03.2010

На основе системы синтезирующих уравнений геометрии каната линейного касания производится уточнение решения вспомогательного уравнения. Решение строится на отыскании минимума функциональной зависимости, расстояния между винтовыми осями линейно контактирующих проволок, путем разложения производной в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки. Показывается, что применение полученных результатов позволяет проводить практические расчеты канатов линейного касания с высокой степенью точности.

Ключевые слова: канат линейного касания, метод синтеза, геометрия

Стальной канат широко применяется в современной подъемно-транспортной технике, являясь при этом сложным и ответственным элементом. Одним из значимых факторов, обеспечивающих высокий технический ресурс и работоспособность, является линейный контакт проволок в прядях каната. Для расчета геометрии канатов линейного касания в работе [1], была получена система синтезирующих уравнений:

^12 =

(s,+s1 2

= 0>12

(1)

ф12 = 4 + r2 + r2 - 2 ■ ri ■ r2 ■ C0s(*12 ) .

(2)

x12 = ri ■ tg(a2 ) ■ Sin(^12 ) = r2 ■ tg(а1 ) ■ Sin(^12 ) •

ri ■ ctg («1 ) = r2 ■ ctg (a2 )=■

h

(3)

2 (4) S12 = Л2 - sin (*12 ) ■ tg (a1 ) ■ tg (a2 )

(5)

где ¿12 - расстояние между точками а и b (см. рис. 1), ¿ь ¿2 - диаметры проволок в пряди, х12 - проекция отрезка ¿12 на ось x, r1, r2 - радиусы винтовых линий проволок в пряди, а1, а2 -углы свивки проволок, е12 - разность полярных углов точек а и b, Х12 - полярный угол контакта.

Калентьев Евгений Александрович, аспирант. E-mail: EugeneDavis@mail. ru

Тарасов Валерий Васильевич, доктор технических наук, профессор. E-mail:tvv@udman.ru Новиков Виктор Николаевич, ассистент. E-mail: Novikow-V@yandex.ru

Рис. 1. Линейный контакт проволок в пряди каната

Трансцендентное уравнение (5) имеет вспомогательный характер и может быть решено методом последовательных приближений. В качестве приближенного решения уравнения (5) было предложено использовать выражение (6):

ctg (*12 ) =

tg (a )■ tg (a) +cos (Л2)

sin (12)

(6)

Данное приближенное решение основывалось на малости угла в (см. рис.1) и, как следствие, приближенном равенстве Р«8т(в). При этом выражение (6) дает удовлетворительное решение уравнения (5). Однако возможны случаи, когда величина угла в будет значительна (например, при малом шаге свивки проколок в пряди каната). Кроме того, точность формулы (6) зависит от полярного угла контакта Х12,

2

Машиностроение

который в свою очередь связан с количеством проволок в слое пряди каната. Проведенные расчеты показали, что абсолютная погрешность выражения (6) может быть более одного градуса, а в некоторых случаях доходить и до 3-4 градусов. Следует отметить, что в работе [2] рассмотрено применение метода итерации для решения системы уравнений (1-5).

Учитывая вышесказанное, авторами предпринята попытка уточнить решение

трансцендентного уравнения (5) для применения его в практических расчетах. Для этого запишем расстояние между точкой Ь винтовой линии 2-ой проволоки и винтовой линией 1-ой проволоки в зависимости от угла в, используя известную зависимость из аналитической геометрии в пространстве [3], и после преобразований получим:

.(ß) = -y/(r •ß2 • ctg2 (а)) + Г!2 + r22 - 2 • r • r2 • cos(2-ß)

(7)

Принимая во внимание, что в=Х12 - £12, перепишем уравнение (7) в следующем виде:

¿12 (S12 ) = у1(Г1 • (Л2 - S12 )2 • ctg2 (а1 )) + Г12 + Г22 - 2 • Г • Г2 • C0s (12 ) Продифференцируем данное выражение по £12, получим:

dS12 (Б12 ) = Г12 ^ (2 • ^12 - 2 •БМ ) ^ Ctg2 (а1 ) - 2 ^ Г ^ Г2 ^ SÍn (S12 )

(8)

ds,

12

• V Г12 + г22 - 2 • r • Г2 •cos (S12)+Г12 • (Л2- s1 )2 • ctg2 (а)

(9)

Очевидно, что минимальное значение функции ё12 (е12), на графике рисунок 2 кривая 1, соответствует условию линейного касания проволок. Минимальному значению функции ¿12 (е12) соответствует некоторый угол е12. Как известно из курса математического анализа значение производной ёд(е12)1ёе12 в этой точке должно быть равно нулю, на графике рисунок 2 кривая 2. Для этого достаточно, чтобы числитель производной ёд(е12)1ёе12 был равен нулю. На графике видно, что в окрестности своего решение производную йд(е12)1йг12 можно

аппроксимировать прямой. Разложим числитель производной dó(e12)/ds12 в ряд Тейлора teilor2(e12) со степенью старшего члена равного 1, в окрестности точки е12:

teilor2(4) = 2 • r1 • r2 • sin (4 ) + (2 • ri2 • ctg2 (a) + 2 • ri • r2 • cos (4)) • ( - 4) -

-ri2 •( Ч2 - 2 42 ))2 (ai)

(10)

- кривая 1

кривая 2 - • • кривая 3

512(512)

■í-Ь12(е12)

■M2

teik.r3[Ea2)

712

Рис. 2. Графики функций 812(^12), dö(e\2)lde\2, teilor2(e12)

В качестве точки, в окрестности которой производится разложение производной функции йд(г12)!йг12 в ряд Тейлора, выбрана точка

е12, вычисленная с использованием выражения (6). Приравняем уравнение (10) к нулю и запишем его решение в следующем виде:

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 12, №1(2), 2010

_ ^2 • 1 - r • tg2 («1 ) • sln (¿2 ) + r2 ¿2 • tg2 (a ) • C0s (¿2 )

12 r2 • COS (¿2 )• tg2 (ai ) + ri

После преобразований получим:

, ( ( ) - Sln (¿2 )+S12 • COS (¿2 )

_ tg (a )• tg («2) _

¿12 _ 1

COS (¿2)+t ( ) t ( )

V ^ tg («1 )• tg («2 )

Выводы: полученная формула (12) позволяет произвести уточнение решения трансцендентного уравнения (5) и может быть использована при выполнении практических расчетов. Кроме этого данная формула может использоваться при расчетах новых или нестандартных конструкций канатов линейного касания. В частности, формула (12) применялась авторами при построении моделей канатов линейного касания и последующем численном анализе напряженно-деформированного состояния.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глушко, М.Ф. Стальные подъемные канаты. -Киев, Техника, 1966. - 327 с.

2. Шкарупин, Б.Е. К расчету геометрических параметров канатов линейного касания / Б.Е. Шкарупин, Л.А. Кононенко // Прочность и долговечность стальных канатов. - Киев, Техника, 1975. - 251 с.

3. Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.А. Корн, Т.М. Корн. - М., Наука, 1973. - 831 с.

DEVELOPMENT OF GEOMETRY SYNTHESIS METHOD OF THE LINEAR CONTINGENCE ROPES

© 2010 E.A. Kalentyev1, V.V. Tarasov1, V.N. Novikov2

1 Institute of Applied Mechanics UB RAS, Izhevsk 2 Izhevsk State Agricultural Academy

On the basis of geometry synthesizing equations system of linear contingence rope specification of the decision of auxiliary equation is made. The decision is under construction on searching the minimum of functional dependence, distances between screw axes of linearly contacting strands, by decomposition of derivative in Taylor's series in environ of some point. It is displayed, that application of the received results allows to spend practical calculations of linear contingence ropes with a high scale of exactitude.

Key words: linear contingence rope, method of synthesis, geometry

Evgeniy Kalentyev, Graduate Student. E-mail: EugeneDavis@mail. ru

Valeriy Tarasov, Doctor of Technical Sciences, Professor. E-mail: tvv@udman.ru

Viktor Nivikov, Assiatant. E-mail: Novikow-V@yandex.ru

(11)

(12)

Проиллюстрируем уточнение решение на примере слоя проволок каната линейного касания, изображенному на рисунке 3, со следующими параметрами: г 1=1,75 мм, г2=1,75 мм, а1=0,785 рад, а2=0,785 рад, Л,12=1,0467 рад.

Рис. 3. Слой проволок каната линейного касания

После выполнения расчетов абсолютная ошибка вычисления угла е12 с использованием выражения (6) составила Де12 = 0,012 рад = 0,723о, а при использовании формулы (12) Де12 = 0,00002 рад = 0,001о. Эталонное значение угла е12 определялось с использованием метода секущих и составило е12 = 0,5364367 рад.