Развитие метода нечетко-статистического моделирования и управления в задачах экономики Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 629.4.016.12

В. В. СКАЛОЗУБ (ДИИТ), В. Вл. СКАЛОЗУБ (Днепропетровский государственный аграрный университет)

РАЗВИТИЕ МЕТОДА НЕЧЕТКО-СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ ЭКОНОМИКИ

Розроблено моделi та методи нечеткого адаптивного управлшня на o^OEi даних спостережень, що ура-ховують також статистичну iнфoрмацiю й умови ризику.

Разработаны модели и методы нечеткого адаптивного управления на основе данных наблюдений, которые также учитывают статистическую информацию и условия риска.

The mathematical models and methods for adaptive fuzzy control are offered. The methods also take into account the statistical information and risk conditions at the control implementation.

Введение

В работе представлены результаты исследований, направленных на развитие метода нечетко-статистического моделирования и управления (НСУ) на основе данных наблюдений [1], которые обобщают известные методы нечеткого управления (НУ), разработанные для нечетких экспертных систем [2, 3]. Содержание метода НСУ состоит в объединении в единой математической модели различных форм описания основных характеристик неопределенности параметров (вероятностная и нечеткая интерпретации обрабатываемых данных) сложных технологических либо экономических процессов. С формальной точки зрения строится модель и соответствующий метод управления, оперирующий вероятностными оценками нечетких множеств; вместе с тем обобщенный показатель неопределенности системы, на основе которого выбирается управление, можно трактовать как составляющую энергии нечеткого множества [3]. Для формирования моделей автоматизированного управления существенно, что одни из переменных НСУ характеризуют нормативные параметры (либо качественные, субъективные оценки), а другие -результирующие характеристики (фактически реализованные значения параметров). Целесообразность использования и специфика моделей НСУ основана на неоднородности статистических характеристик входных переменных, а также управляющих величин, характеризующих рассматриваемые процессы. В первую очередь, это связано с невозможность на практике точного определения параметров состояния управляемой системы и значений функций принадлежности. Введение статистических

данных, которые отражают реализации процессов, в модель задачи управления в качестве дополнительной к оценкам степени принадлежности информации является эффективным механизмом адаптации, который формируется на основе мониторинга значений параметров экономических и технологических систем.

В рамках современных производственных систем управления такие статистические данные позволяют выполнить автоматизированное моделирование величин, входящих в нечеткие продукционные модели баз знаний. Параметры нечетких величин «взвешиваются» статистическими параметрами, при выполнении процедур нечеткого управления, в первую очередь методов «скаляризации» при вычислении оценок величины управляющего воздействия [2, 3].

Главной отличительной чертой и научной новизной предлагаемых методов управления в условиях неопределенности является включение в НСУ принципов известных методик принятия рациональных решений в условиях риска. При этом исследуется возможность углубления содержания нечеткого управления за счет дальнейшего развития НСУ. А именно, для формирования нечетко-статистического управления на этапе «скаляризации» предлагается использовать аналог меры оценки эффективности инвестиционных портфелей - отношения У. Шарпа [4]. Схематически расширенная процедура НСУ (НСУШ) может быть представлена следующим образом. Формируется нечетко-статистическая мера (НСМ) области значений управляемых параметров систем в виде произведения - взвешивания степени принадлежности вероятностными оценками. Для такой обобщенной характеристики неопределенности НСМ выполняется стандартная про© Скалозуб В. В., Скалозуб В. Вл., 2010

цедура НУ со «скаляризацией», например, на основе вычисления «центра тяжести», а также расчет обобщенного показателя неопределенности для точки «центр тяжести». В отличие от классических схем нечеткого вывода, вычисление НСУ на этом этапе не заканчивается, а найденное значение (или же некоторое заданное, рассчитанное с учетом оценки управления в точке «стандартного» НСУ- решения) обобщенного показателя используется для того, чтобы выделить область значений управляемых параметров, в которой интегральная характеристика неопределенности имеет предпочтительные оценки. А именно, в каждой точке выделенной на основе дополнительного ограничения области вычисляется показатель, сходный по структуре и в определенной мере содержательно с отношением У. Шарпа. В качестве управления принимается точка выделенной области, в которой введенное отношение принимает экстремальное (максимальное) значение. Последнее свойство служит обоснованием выбора на основе введенной меры НСМ.

В работе приводятся примеры реализации НСУ для ряда задач экономики, которые сравниваются с соответствующими решениями, полученными и с учетом предложенной модификации нечеткого вывода на основе показателя, подобного отношению У. Шарпа (НСУШ).

Процедуры метода нечетко-статистического управления

Рассмотрим содержательные постановок задач управления, условия осуществления и свойства решений которых характеризуются статистической и нечеткой информацией, чтобы выявить их общую формальную структуру, характерную для концепции нечеткого моделирования и не связанную с содержательными различиями. Существенно, что для построения моделей управления далее предполагается наличие данных о подобных ранее реализованных задачах, что служит дополнительным как нечетким, так и статистическим базисом, используемым для более обоснованного выбора управления.

Пусть задача по выбору экономически целесообразного управления (У) при неопределенности сводится к оценке величины некоторого ресурса либо прогнозу ожидаемого времени выполнения работы при использовании нормативного ресурса. Управление зависит от оценок двух характеристик: объема (Х1) и удельной

трудоемкости работы (Х2). Объемный показа-

тель и показатель трудоемкости, а также требуемый ресурс представляются в виде нечетких величин для 2 возможных случаев выбора управлений - функционирования системы: условия, близкие к нормальным (А)); функционирование с перегрузкой (§2( В)). Примером такой задачи выбора нечеткого управления является планирование затрат на выполнение заказов, поступающих от множества абонентов. Здесь Х1 - средний объем поступающих за некоторый период заказов, Х2 - оценка их удельной трудоемкости (сложность обработки и затраты на выполнение отдельного заказа), У - планируемое время обработки всей совокупности заказов (предполагаемые затраты). Такие задачи выбора управления имеют ряд особенностей, из которых наиболее существенна очевидная невозможность задания точных значений параметров XX 1 и XX 2, оценивающих

условия задач по выбору управлений У, состояние системы управления. Здесь на этапе оценки состояния системы могут применяться статистические методы.

В указанном примере необходимость и содержание нечетко-статистического управления обусловлено двумя обстоятельствами. Формально они затрагивают переменные-посылки и переменные-заключения правил продукций стандартного модуля нечеткого управления (математической модели процесса) [2, 3]. Первое связано с тем, что, например, согласно статистическим данным частоты разных возможных значений объемного показателя (Х1) и показателя удельной трудоемкости (XX 2) были не одинаковы. В то же время для одинаковых предварительных оценок величин требуемых ресурсов (в области их возможных значений) частоты реализаций фактических времен (затраченных объемов ресурсов) оказываются различными. Очевидно, что операция выбора значений параметров управлений (переменных-заключений относительно прогноза требуемых ресурсов) среди одинаковых по достоверности величин должна учитывать статистическую природу рассматриваемых процессов.

Более сложным является учет статистической неоднородности значений переменных-посылок. Как правило, в стандартном нечетком управлении роль переменных-посылок проявляется при «фаззификации» - соотнесении текущей ситуации (X*) с описанием нечетких правил и получением оценок меры их соответ-

ствия в виде степени принадлежности (X* е Ак (X)), где Ак (X) описывает одну из нечетких переменных рассматриваемого правила продукции. Классическая схема НСУ построена исходя из предположения, что значение (X*) известно точно и возможно однозначно вычислить степень принадлежности цр (X* е Ак (X)). Если же рассматриваемая для принятия решения ситуация (X*) может быть оценена в другом виде, например, с точностью до некоторого интервала (X*д е [X(_), X(+)]), то

однозначно вычислить степень принадлежности цр (X,де Ак (X)) не удается. Именно в этом случае статистические свойства переменных-посылок служат дополнительной информацией для расчета обоснованных значений оценок цр (X*д е Ак (X)). При этом для различных форм описаний значений входных множеств, представляющих ситуации принятия решений при неопределенности (X*), потребуются различные методики вычисления степеней принадлежности цр (XX* е Ак (X)).

Классический модуль нечеткого управления (НУ) основан на правилах нечеткой импликации цА^Б (х, у), и состоит из следующих эта-

пов [2, 3]: оценка текущего состояния и «фаз-зификация» входных данных (оценка степеней принадлежности цр (X* е Ак (X))), модификация нечетких переменных-заключений для всех правил, формирование результирующих нечетких множеств (или же их суперпозиции), отображение результирующих нечетких множеств в единственное управляющее воздействие («дефаззификация, скаляризация») методами центра тяжести, максимума функции принадлежности и др. Заметим, что метод выбора НУ априори предполагает одинаковыми и поэтому не учитывает вероятности возможных значений как входных, так и выходных параметров, относительно которых, в конечном счете, и вычисляется управление.

Метод нечетко-статистического управления отличается тем, что учитывает различие вероятностей возможных значений входных и выходных параметров. Это является содержательным основанием для применения НСУ как при решении задач фаззификации, так и при выборе результирующего воздействия, дефаззифика-ции, что позволило определить НСУ как модификацию классического нечеткого управления [1, 5]. Наглядно НСУ может быть представлено в виде графической схемы (рис. 1), которая далее определена аналитически, следуя [1, 2].

Рис. 1. Графическая схема нечетко-статистического управления

Рис. 1 соответствует примеру задачи выбора управления, когда правила {пj (X ^ Уимеют две нечеткие переменные-посылки (XX1, XX 2) и нечеткую переменную-вывод У. Значения величин (X), XX2) измеряются с помощью показателей {и, V}. Правило, изображенное на рис. 1 сверху, соответствует ситуации (А1, А2), частота которой при наблюдениях составляла п1, в то время как частота ситуации (В1, В2)

равнялась п2. В виде условных гистограмм G(Xi); 1 е {1, 2} на рис. 1 представлены свойства неоднородности частот возможных значений переменных-посылок и переменных-заключений. В качестве результирующих значений величин, используемых для установления степеней принадлежности наблюдаемых переменных-посылок, на рис. 1 указаны (X1, X2).

В рамках НСУ эти значения не определяются однозначно по данным наблюдений (измере-

ний состояний системы), а рассчитываются на основе процедур, подобных вычислению математического ожидания случайных величин, представленных гистограммами. Как показано на рис. 1, переменные-заключения У могут модифицироваться на основе измерений степеней принадлежности посылок в соответствии с различными правилами - Мамдани (минимума), Ларсена (произведения) и др. [2]. В соответствии с одной из основных форм классической процедуры нечеткого управления модификация переменных-заключений У выполняется с использованием правила Мамдани для степеней принадлежности переменных-посылок (модификация правой части правила по уровню меньшей из степеней принадлежности посылок).

Указанная возможность модификации нечеткого управления использует определение вероятности расплывчатого [6, с. 183], согласно которому расплывчатое событие А в пространен « « «

стве к с заданной в нем вероятностной мерой Р является расплывчатым подмножеством, когда его функция принадлежности цА измерима. При этом вероятность соответствующего расплывчатого события задается интегралом

Р(А) = | цА (Х)йР = | (цА (х)/а (X))dx , (1)

кп кп

где /А (х) - функция плотности. Таким образом, вероятность расплывчатого события определяется с помощью оператора математического ожидания Р(А) = Е(цА) (1), где нечеткие и статистические величины входят подобным образом.

Схема рис. 1 отражает следующие этапы процедуры НСУ:

1) расчет результирующих значений величин Xi для установления степеней принадлежности наблюдаемых переменных-посылок; далее считается, что рассматриваемая ситуация управления (X*) может быть оценена с точностью до некоторого интервала (X,д е [Х(_), Х(+)]). Для вычисления Xi и далее

цЕ (Xi е А (X)) используются следующие методы. Во-первых, Xi является математическим ожиданием с учетом гистограмм распределения в интервале [Xi(_), Xi(+)] возможных значений

переменных, т.е.

X,. =

| xg1 (х) dx,

где gi (х) есть функция плотности для данных О(Xi); } е {1, 2} . На основании значения Xi стандартным способом, изображенном на рис. 1, вычисляется цЕ (Xi е А (X)), завершая процедуру фаззификации.

Во-вторых, величина цЕ (Xi е А (X)) вычисляется согласно (1) как нормированное взвешенное значение цЕ (Xi е А (X)) для интервала неопределенности [Xi(_), Xi(+)]:

ц^ (X е А (X)) =

( цт (х е А (х)) g1 (х) dx

х е[Xi(=); Xi(+)]

i (х) dx

(3)

х е[ Xi (=); Xi (+)]

Обозначения уравнения (3) соответствуют приведенным выше величинам.

2) На основе цЕ (Xi е А (X)) (3) посылок для правил {п j (X ^ У)}? рассчитывается цЕ, {пj (X ^ У)} - мера его соответствия оцениваемой ситуации выбора управления, согласно НУ [2]. Правила со значениями цр меньше

заданного уровня могут быть отброшены. Исключение несущественных правил также может быть выполнено путем сравнительного анализа относительных значений цЕ, . При исключении

правил следует учитывать и частоты п1, п2 появления ситуаций (А1, А2), (В1, В2) и др.

3) Модификация нечетких моделей переменных-заключений У с использованием величин ц^. {п; (X ^ У)} [2].

4) Формирование суперпозиции правил {п j (X ^ У)}? в соответствии с [2], которая дополняется построением интегральной по всем правилам гистограммы О(У), характеризующей различные частоты реализации возможных значений переменной-решения.

5) Расчет результирующей величины нечетко-статистического управления согласно

| У це (у е У (у)) gY (у) dy

У* =

У е [У(=); У(+)]

I цЕ (У е У (у)) gY (у) dy

у е [У(=); У(+)]

. (4)

(2)

Предлагаемое обобщенное нечетко-статистические управление, основанное на исполь-

х е[ Xi (=); Xi (+ )]

I

зовании в качестве характеристики неопределенности решения X величины

ф(х) = ц(х) ■ р(х),

(5)

представляющей произведение степени принадлежности х) на плотность вероятности р(х) в произвольной допустимой точке Х. В стандартном методе нечеткого управления на этапе «скаляризации» при выборе величины управления часто используют оценку центра тяжести вида

| х ф( х) dx

х=

ц ф ь

(6)

| ф( х) dx

Заметим, что в предлагаемом случае в (6) используется характеристика неопределенности (5), а не х), как в известных процедурах [2, 3].

Модуль нечетко-статистического управления Такаги-Сугено

Нечеткое управление Такаги-Сугено отличается тем, что нечеткие величины присутствуют лишь в посылках правил управления, в то время как заключительное решение выбирается на основе детерминированных функций [2]. Степени неопределенности, характеризующие исследуемое состояние системы, являются оценками весовых коэффициентов при вычислении интегрального показателя, учитывающего результаты применения каждого из отдельных правил. В модифицированном модуле нечетко-статистического управления Такаги-Су-гено при расчетах характеристик неопределенности каждого из правил вместо степеней принадлежности цр (X* е Лк (X)) правил используются обобщенные значения вида (1), (5), в то же время остальные этапы вычисления значений управлений выполняются в соответствии с [2] (рис. 2).

Рис. 2. Графическая схема нечетко-статистического управления Такаги-Сугено

Выбор нечетко-статистического управления

с использованием отношения У. Шарпа

С учетом обобщенной характеристики неопределенности (5) возможно развитие метода нечетко-статистического управления за счет привлечения методик принятия экономически обоснованных решений в условиях неопределенности, в частности, использования отношения У. Шарпа [1]. Как известно, это отношение применяется при выборе оптимальных инвестиционных портфелей путем сравнения относительных показателей в соответствии со следующим критерием:

т - г

V = -

->шах,

(7)

где mi - математическое ожидание, гп - установленный предельно допустимый уровень, о^ - среднее квадратическое отклонение искомой характеристики (эффективности портфеля). Таким образом, предпочтение отдается тому решению, у которого больше относительное приращение качества с учетом неопределенности, представленной оп.

Модификация НСУ с использованием критерия (7) - НСУШ - выполняется следующим образом. На основе уравнения (6) вычисляется значение нечетко-статистического управления, в точке решения рассчитывается оценка (4), обозначенная как ф*:

С* =Ф( хц ф ) = ф.

(8)

в качестве ф* может выбираться и некоторый другой уровень допустимых оценок степеней принадлежности возможных решений. Далее формируется суженная область решений, для которой выполнены условия вида:

Ар(х) = {х | ф(х) >ф*} .

(9)

Уточнение решения модифицированного управления производится в области, удовлетворяющей условиям (5), на основе критерия вида:

(х):

: [ф(Ь) - С]2

й (Ь)

max,

Ь е А ф

(10)

где величина

й 2(Ь) = | (х - Ь)2 ф( х) с1х (11)

а

отражает рассеяние (9) относительно возможного решения «Ь». Содержательно такое решение устанавливает некоторую точку «Ь» в области (9), для которой дополнительное относи-

тельное приращение целевого показателя с учетом риска (характеристика неопределенности искомой величины) максимально.

Различие решений нечеткого и нечетко-статистического управления в приведенных выше различных формах показывает следующий пример (рис. 3) [5]. На рисунке представлены следующие характеристики ситуации выбора оптимального управления с учетом различных видов неопределенности: М(X) - степень принадлежности, Р (X) - плотность вероятности, П (X) = М(X) • Р (X) - аналог отношения У. Шарпа У(Ь), П (X) > 0,38 задано для выбора управления на основе У(X). Для классического нечеткого управления (НУ) и различных видов НСУ получены следующие решения: НУ на основе «центр тяжести» (М (X)) - Х = 1, НСУ (П (X)) - Х = 1,2, НСУШ (5) (У(X)) Х = 1,28, максимум П (X) в точке управления Х = 4/3. Таким образом, учет наряду с нечеткой также и статистической информации, дополненной предпочтениями в условиях риска, приводит к существенному различию в рекомендуемых рациональных управлениях.

Функции НС Управления

1,2

I 0,8

а

£ 0,6

о

я

к 0,4

8

Я

«

К

£ 0,2

-0,2

М(Х)-колокол Р(Х)-прямая У(Ь)-зигзаг ■ Р1(Ь)-волна 0,38-уровень

управляемая переменная

Рис. 3. Реализация различных форм выбора управления с учетом нечетких

1

0

Выводы

Разработаны модели, методы и адаптивные автоматизированные процедуры, использующие нечетко-статистическое моделирование и управление на основе данных наблюдений. При этом предложен метод формирования нечетко-статистического управления с использованием отношения У. Шарпа [4]. В них развитие процедур классического нечеткого управления [2, 3] получено за счет дополнительного учета статистической неоднородности входных переменных и формирования соответствующих управлений.

Показано, что в автоматизированных системах управления (АСУ) железнодорожного транспорта имеется возможность введения в процедуры управления дополнительных механизмов адаптации, связанных с данными наблюдений, мониторинга исследуемых процессов. Статистические данные, накапливаемые в базах знаний АСУ, позволяют выполнять автоматическое или автоматизированное моделирование величин, используемых в моделях управления, технологическими и экономическими процессами, в том числе на основе нечетких продукционных баз знаний. В последнем случае могут быть непосредственно применены предложенные выше методы НСУШ.

Для реализации предложенных методов развиты соответствующие информационные технологии адаптивного нечетко-статистического моделирования и управления по данным наблюдений.

Они частично реализованы в задачах из области моделирования, управления и планирования на железнодорожном транспорте, в автоматизированных системах управления грузовыми перевозками на полигоне железных дорог Украины и некоторых других технологических и экономических сферах. Реализации НСУ и НСУШ показали их достаточно высокую эффективность и универсальность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Скалозуб, В. В. Метод и информационные технологии нечетко-статистического управления [Текст] / В. В. Скалозуб // Системш технологи. - 2008. - № 1' (50). - С. 120-127.

2. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы [Текст] / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия-Телеком, 2004. - 452 с.

3. Яхъяева, Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети [Текст] / Г. Э. Яхъяева. - М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, БИНОМ, 2008. - 316 с.

4. Шарп, У. Инвестиции [Текст] / У. Шарп. - М.: ИНФРА-М, 1994. - 268 с.

5. Скалозуб, В. В. Нечетко-статистическое и ней-ронно-сетевое моделирование и управление в задачах экономики. [Текст] / В. В. Скалозуб, В. Вл. Скалозуб // Тез. докл. VIII межд. науч. конф. «Проблемы экономики транспорта». - Д.: ДИИТ, 2009. - С. 146-147.

6. Беллман, Р. Принятие решений в расплывчатых условиях [Текст] / Р. Беллман, Л. Заде. - М.: Мир, 1976. - С. 172-215.

Поступила в редколлегию 08.07.2009.

Принята к печати 03.12.2009.