CC BY
20
УДК 625.143
ТАТЬЯНЧЕНКО А.Г., профессор, д.т.н., (ДонИЖТ); БУБЛИК СВ., студент (ДонИЖТ).
Развитие математической модели напряженно-деформированного состояния бесстыкового пути
Проблема и ее связь с научными или практическими исследованиями
Внедрение бесстыкового пути за счет использования длинных рельсовых плетей является основным приоритетным направления развития магистральных перевозок железнодорожным транспортом [1]. Однако, эксплуатация бесстыкового пути в климатических условиях, характерных для Украины, вызывает целый ряд технических и технологических проблем, связанных, в первую очередь, с компенсацией температурных напряжений и предотвращением потери устойчивости плети при ее деформировании в результате годовых колебаний температуры [2, 3]. Одним из направлений решения этой проблемы является развитие математической модели напряженно-деформированного состояния плети при изменении температуры, позволяющей адекватно моделировать физические процессы, происходящие в плети, и прогнозировать ее деформации при нагреве.
Анализ исследований и публикаций и постановка задачи
Анализ исследований, посвященных проблемам эксплуатации бесстыкового пути [1-3], показал, что для прогнозирования деформаций плети в настоящее время используется математическая модель плети с компенсационными зазорами, состоящая из трех участков: недефор-мируемого участка посредине плети, сжа-
того постоянным продольным усилием Ы, и двух деформируемых концевых участков ¡к по краям плети. Технологическая
роль концевых участков заключается в частичном снижении продольных температурных усилий в плети за счет выборки компенсационных зазоров. Поперечные сечения концевых участков могут смещаться, вызывая дополнительные реакции отпора, снижающие продольное усилие N. Считается, что эти реакции Я, возникают в результате сопротивлении насыпи при смещении шпал 5г- и, поэтому, должны быть пропорциональны этим смещениям
Я, = С-д,, (1)
где С - жесткость упругого основания, которая эквивалентна реакции, вызванной смещением опоры на один метр.
Общепринятой является замена в математической модели отдельных реакций Я, приведенным погонным сопротивлением г (х), которое аналогично (1) должно быть пропорционально функции продольных смещений 8(х) плети на концевом участке
г( х) = С -5(х). (2)
Важным является вопрос о законе изменения приведенного погонного сопротивления г(х) по длине концевого участка, который обычно принимается в виде линейной или степенной функции [1]. Однако, даже предварительный анализ показывает, что в этом случае для плети нарушается соотношение (2), что снижает дос-
товерность результатов, полученных на основе такой модели.
Поэтому в настоящей работе поставлена задача анализа напряженно-деформированного состояния концевых участков плети и обоснования вида согласованных функций г(х) и 8(х) для математической модели плети, обеспечивающих выполнение условия (2).
Изложение материала и результаты
Известно, что за счет сезонных колебаний температуры А? и связанными с
этим температурными деформациями в плети может возникать дополнительное продольное усилие
N = а{ ■ Е ■ ¥-А! .
(3)
где а^ - коэффициент линейного температурного расширения, Е - модуль упругости материала плети, ¥ - площадь поперечного сечения плети.
Частично эта дополнительная нагрузка на плеть снимается за счет компенсационных зазоров А (рис.1), позволяющим краям плети смещаться на величину А / 2 .
N
А
N
Рис. 1. - Нагружение бесстыкового пути с компенсационным зазором при повышении температуры
В случае, когда рельсы жестко соединены со шпалами, на каждой шпале будет возникать определенное сопротивление смещению Я1 (рис.2а). Предположим,
что на расстоянии ¡к (рис.2а) существует
сечение, которое не смещается. Следовательно, в шпале под этим сечением не возникает реакции и слева от него продольное усилие постоянно и равно N . Суммарное сопротивление шпал на участке ¡к будет равно
Я1 + Я2 + Я3 +.... + Яп = N - Я,
где Я - реакция в точке контакта двух плетей после выборки компенсационного зазора.
Эпюра продольных сил в этом случае будет иметь два участка - с постоянным продольным усилием N в середине плети и с переменным усилием - по краям плети (рис.2б).
а)
б)
N
Я„
Яз Я2 Я1
N
Я
шшшшмшттш
Я
Щх)
Рис. 2. - Нагружение плети с компенсационным зазором
I
к
Очевидно, что реакции Щ существенно отличаются между собой. Это связано с тем, что смещение и отпор шпал в вертикальном направлении или вдоль рельс зависит от жесткости упругого основания (насыпи). Поэтому согласно (1) реакции Щ (отпор) должны быть пропорциональны смещениям шпал 5г-. При этом очевидно, что смещения опор увеличиваются по мере приближения к концу плети, то есть 8п < 8п_1 <......< 83 <82 < 8!. По-
этому и отпор шпал должен увеличиваться в этом же направлении. Если распределить это сопротивление по длине ¡к в виде погонного сопротивления г, то нагру-жение плети на этом участке будет иметь вид, представленный на рис.3. При этом гп < гп_1 <.....< г3 < г2 < г1. Поэтому с
учетом неравномерного распределения отпора шпал, интенсивность погонного сопротивления будет возрастать по мере приближения к концу плети (рис.3).
я„
я„
Я
Я
N
Гп 6 Гп_1 ' 6
То Я2
Г3 = Т Г2 = Т 1
6 6 ¡к 6 6 6
Я
6'
Рис. 3. - Распределение погонного сопротивления по длине концевого участка
Моделирование поведения плети при нагреве на основе схемы, приведенной на рис.2, является достаточно трудоемким и громоздким. По данным экспериментальных замеров [2] длина участка ¡к может достигать 65 метров, что соответствует более чем ста шпалам и, следовательно, ста отдельным участкам с различным отпором Я и г\. Поэтому, как уже отмечалось выше, общепринятым является использование приведенного погонного сопротивления г(х) (рис.3). Очевидно, что с учетом приведенных выше замечаний, закон изменения г( х) должен быть, как минимум линейным. Предположим (рис.4а), что
г (х) =
го •х
I
(4)
к
Тогда продольное усилие N (х) в сечении с координатой х будет равно
(рис.4б)
л.
N (х) = N г (£) • ^
или
N (х) = N
хго = ж-го •х2
I
к
2 • I
(5)
к
Эпюра продольных усилий согласно (5) приведена на рис.4в.
о
о
а)
б)
б)
г)
r(x) =
ro •x
N
x /к
N
r (4) =
ro -4
с * > dt,
Г x
N(x)
N
N
N
N(t)
с t „
N(t)
N(x)
R
N R
N(x)
Рис. 4. - Нагружение плети при линейном законе изменения приведенного погонного сопротивления r(x): а) расчетная схема; б) определение продольных усилий; в) эпюра продольных усилий; г) определение продольного смещения 5(x)
Очевидно, что если бы по всей длине плети действовало постоянное продольное усилие N, то смещение не только концов плети, но и всех поперечных сечений было бы равно нулю. Поэтому продольное смещение может возникать только за счет снижения величины этого продольного усилия
AN(х) = N - N(х) = Г0-Х- . (6) 2 • 1к
Предположим, что поперечное сечение плети в начале концевого участка не
Х Х г^ • £2 • ^ _
5(x) = ¡Ad; = Р
смещается, и, что деформация бесконечно малого элемента плети (рис.4г) подчиняется закону Гука
т (о • ^
Ad4 =■
E • F
где согласно (6) AN (4) =
ro 2 2 • l
к
Тогда продольное смещение 8(х) сечения на расстоянии х от начала участка можно найти в виде
о
2 • ¡к. • E • F 2 • • E • F
"tVT ¡42' d4
• 4 • E • FJ
к о
ro •x'
6 • /к • E • F
(7)
Подставляя (7) в (4), получим новое значение погонного сопротивления r(x) :
r(x) = C • 8(x) =
С • r0 • x 6 • /к • E • F
= A • C • x3, (8)
/
к
/
к
x
5
x
x
o
Сравнивая (8) и (4) и учитывая, что выражение A = 10/(6 • ¡к • Е • Е) является постоянным множителем, можно сделать вывод, что первоначальное предположение о линейном законе изменения приведенного погонного сопротивления г (х) по длине концевого участка является неверным. Очевидно, что аналогичный результат можно получить для любых зависимостей вида у( х) = а • хп. Поэтому в качестве
закона изменения приведенного погонного сопротивления используем экспоненциальную зависимость вида
г(х) = 10 • еа(х ¡к).
(9)
Аналогично (4) определим продольные усилия и продольные смещения для этой зависимости. Согласно (5) продольное усилие в плети для данного случая
х
N(х) = N _ |г0 • еа(г_1к) • Ог = N
а( х_и) _ак
10 • е у +г0 • е
а
а
(10)
Изменение продольного усилия сос-
тавит
т (х) =
г0 •е
а( х_1к)
а
Тогда, согласно (7), продольное смещение 8(х) сечения на расстоянии х от начала участка будет определяться зависимостью
8(х) = \
х г0 • еа(г_1к) • Ог _ г0 • еа(х_1к) г0 • е~а1к
а • Е • Е
а2 • Е • Е а2 • Е • Е
2
а( х_и) г0 • е ( к)
или, учитывая, что 80 ^ 0,
8( х)
г0 •е
а( х_1к)
а2 • Е • Е
С другой стороны, согласно (2)
С
С
а = .
С
(11)
'Е • Е
(13)
8(х) = = Г0 •еа(^) . (12)
Тогда, с учетом (13), закон изменения приведенного погонного сопротивления (9) будет иметь вид
(
г(х) = г0 • exp
Сравнивая зависимости (11) и (12), можно заметить, что они имеют тождественный математический вид. Следовательно, уравнение продольных смещений (12), принятое первоначально для описания закона приведенного погонного сопротивления (9) полностью соответствует уравнению продольных смещений (11), полученному на основе анализа напряженно-деформированного состояния плети. Приравнивая (12) и (11), можно найти значение коэффициента а в выражении (9)
(х _ ¡к N ЕЕ
л
(14)
у
закон изменения продольного усилия (10) в плети
ЕЕ
Щх-) = а ( ■Е •Е-М _ г0 -л/— е:хр1 (х _ ¡к^Ер
)М 1 -('5)
продольное смещение (11)
(
8(х) = — • ехР
(х _ ¡к \
1_С_ ЕЕ
(16)
Применение этих зависимостей для моделирования напряженно-
деформированного состояния в бесстыко-
0
0
вом пути с компенсационным зазором ограничено рядом условий. Так, граничным условием зависимости (15) является
N (1к) = N - Я
или
ЕЕ
а, ■ Е • Е •М - Я = г^ . (17)
Граничным условием зависимости (16) является
5(4) = А/2
А = г0 2 С '
или
(18)
Использование этих условий позволяет значительно разнообразить возможности моделирования поведения плети. Зависимости (14)-(16), в отличие от других математических форм представления г(х) , взаимно согласованы и обеспечивают выполнение соотношения (2). Они позволяют решить задачи по исследованию напряженно-деформированного состояния плети бесстыкового пути с компенсационными зазорами как чисто исследовательские (на основе математической модели), так и практические (на основе экспериментальных замеров деформации в начале и конце концевого участка, длины концевого участка, усилия в стыке двух плетей, температуры и других параметров).
Анализ зависимостей (14)-(16) показывает, что их основным недостатком является то, что ни при каких значениях входных параметров exp(х) ^ 0. В этом случае не обеспечивается выполнение условия отсутствия перемещений в начале концевого участка 5(0) = 60 = 0 . Однако,
с одной стороны, определение длины концевого участка обусловлено возможностями и точностью измерительных приборов. С другой стороны, согласно (16) величина 5(0) для реальных условий нич-
тожно мала и стремится к нулю. Более того, согласно (16), в начале концевого участка возникают незначительные деформации и лишь в конце участка продольные деформации и продольное сопротивление начинают расти. Поэтому всю длину концевого участка, как и плеть в целом, можно условно разбить на две зоны с минимальными и существенными деформациями. Это обстоятельство открывает новые возможности для моделирования напряженно-деформированного состояния не только концевого участка, но и всей плети на основе экспоненциальной зависимости продольного сопротивления, то есть на основе единой математической функции. В этом случае середина плети будет испытывать незначительные деформации, которые не могут быть измерены современными приборами, и, лишь на концевых участках, продольные деформации будут заметными. Такой подход позволяет моделировать не только напряженное состояние концевых участков, но и напряженное состояние и устойчивость всей плети.
Важным следствием использования закона продольных смещений (16) и продольного сопротивления плети (14) является возможность дальнейшего развития реологических моделей бесстыкового пути, традиционно основанных на сходных экспоненциальных зависимостях [3]. Использование сходных математических выражений позволит существенно упростить моделирования напряженно-
деформированного состояния в плети с учетом фактора времени.
Выводы и направление дальнейших исследований
В работе представлена и обоснована новая форма математического описания приведенного погонного сопротивления и продольных смещения концевых участков плетей бесстыкового пути с компенсаци-
онными зазорами, которая в отличие от известных зависимостей:
1) Обеспечивает согласованное изменение продольных усилий и смещений;
2) Позволяет рассматривать напряженно-деформированное состояние всей плети на основе единой экспоненциальной функции;
3) Открывает возможности моделирования напряженно-деформированного состояния в плети с учетом фактора времени.
Список литературы
1. Бесстыковый путь / В.Г. Альбрехт, Н.П. Виноградов, Н.Б. Зверев и др.; Под ред. В.Г. Альбрехта, А.Я. Когана. -М.: Транспорт, 2000. - 408с.
2. Техшчш вказiвки по улаштуван-ню, укладанню, ремонту i утриманню без-стиково'1 колп на залiзницях Украши / Е.1. Данiленко, М.1. Карпов, М.Д. Костюк, П.1. Рибачок, В.П. Шраменко. - К.: Транспорт Украши, 2002. - 106с.
3. Новакович В.И. Бесстыковый железнодорожный путь с рельсовыми плетями неограниченной длины. - Львов: Издательство ЛГУ, 1984. - 99с.
Анноации:
Ключевые слова: математическая модель, бесстыковый путь, рельсовая плеть, напряженно-деформированное состояние, компенсационный зазор
Рассмотрена работа рельсовой плети в условиях изменения температуры. Проанализированы существующие подходы к формированию математической модели напряженно-
деформированного состояния плети при изменении температуры и предложена математическая модель на основе взаимно согласованных функций продольных смещений и продольных усилий.
Considered work rail braid in condition of the change temperatures. The existing approaches will analyzed to shaping the mathematical model tense-deformed conditions braid when change the temperature and is offered mathematical model on base mutually coordinated function of the longitudal offsets and longitudal effort.
Розглянуто роботу рельсово! плт в умовах змши температури. Проанал1зоваш iснуючi тдхо-ди до формування математично! моделi напруже-но-деформованого стану плт при змш темпера-тури та запропонована математична модель на основi взаемно узгоджених функцiй поздовжнiх перемiщень та поздовжшх зусиль.
