CC BY
91
Чиркова Н.И.
развитие логической культуры младших школьников на уроках математики
в соответствии с действующим Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования (ФГОС НОО) учащиеся начальной школы должны овладеть широким спектром логических действий и операций: сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установления аналогий и причинно-следственных связей, построения рассуждений, отнесения к известным понятиям [4, с. 8]3та общая цель конкретизируется в Примерной основной образовательной программе начального общего образования (ПООП НОО): «в результате изучения курса математики обучающиеся на ступени начального общего образования овладеют основами логического и алгоритмического мышления» [3, с. 37]. в ходе освоения математических знаний выпускник начальной школы научится:
- осуществлять анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;
- осуществлять синтез как составление целого из частей;
- проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям;
- устанавливать причинно-следственные связи в изучаемом круге явлений;
- строить рассуждения в форме связи простых суждений об объекте, его строении, свойствах и связях;
- обобщать, т. е. осуществлять генерализацию и выведение общности для целого ряда или класса единичных объектов на основе выделения сущностной связи;
- осуществлять подведение под понятие на основе распознавания объектов, выделения существенных признаков и их синтеза;
- устанавливать аналогии.
выпускник получит возможность научиться:
- осуществлять синтез как составление целого из частей, самостоятельно достраивая и восполняя недостающие компоненты;
- осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических операций;
- строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-следственных связей» [3, с.24].
Таким образом, перед учителем начальных классов стоит задача развития логической культуры учащихся, которая позволила бы детям строить умозаключения, приводить доказательства, высказывать логически связанные суждения, обосновывать их. Логическая культура предполагает и овладение навыками организации мышления: структурирование поставленной задачи, опирающееся на выделении и распределении операций, необходимых для ее разрешения; определение уровня достаточности осуществленных разработок для обеспечения планируемого результата. Сложность развития логической культуры состоит в том, что ученик осваивает учебный материал, представленный в готовых, логически обработанных моделях: правилах, описаниях, алгоритмах, учебных текстах, заданиях. Ученик запоминает правила и тексты учебника, объяснение учителя, повторяет готовые определения.
Познание как процесс отражения сознанием человека объективного мира представляетединствочувственногоирационального.Чувственнаясоставляющая
- результат перцептивного взаимодействия человека с окружающим миром
- протекает в трех основных формах: ощущение, восприятие, представление. Ощущение - это отражение отдельных чувственно воспринимаемых свойств предметов (цвет, форма, вкус, размер и т.п.). В результате непосредственного воздействия на органы чувств создается целостный образ предмета. Это
- восприятие. Сохранившийся в сознании чувственный образ предмета, когда непосредственное его воздействие на органы чувств отсутствует, есть представление.
Чувственное познание дает знание об отдельных предметах, об их внешних качествах. Но оно не может дать знаний о причинной зависимости между явлениями (например, смена дня и ночи и вращение Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца).
Познавая окружающий мир, человек стремится проникнуть в суть явлений, вещей, раскрыть законы природы и общества. это не возможно без мышления, отражающего действительность в логических формах: понятие, суждение, умозаключение. Понятие - форма мышления, отражающая предметы в их существенных признаках (например, математические понятия «число», «величина», «уравнение», «выражение», «задача», «геометрическая фигура» и т.д.). Суждение - форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношение между предметами или факт существования предмета [2, с. 64]. Например, «Периметр - сумма длин сторон многоугольника» - суждение простое, «Если сумма цифр числа делится на три, то и само число делится на три» - сложное суждение. Умозаключение -это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение [2, с. 119]. Например: «Натуральные числа, запись которых состоит из трех знаков (цифр), называются трехзначными числами. Число 567 - натуральное число и записано с помощью трех знаков (цифр). значит, число 567 - трехзначное».
Учебный материал построен на формально-логическом аппарате, поэтому
может быть понят учеником только на основе умозаключений, суждений, понятий. Однако сами виды названных логических форм не являются доминирующими в логике мысли ученика. Чувственный и логический компоненты в сознании человека переплетаются, взаимодействуют, а, следовательно, должны оба использоваться в образовательном процессе.
Чувственный опыт ребенка гораздо богаче, чем необходимо при освоении математического учебного содержания. Так, при изучении нумерации чисел в пределах первого десятка первоклассник должен освоить образование, последовательность чисел, состав каждого числа и т.п. При этом традиционно используются счетные палочки, раздаточный материал. Круг представлений ребенка ограничивается содержанием учебного материала, поскольку ученик сосредоточен на вышеназванных предметах. Тенденции к формированию представления о многообразии явлений окружающего мира нет. этого и не требуется от ребенка с точки зрения формально-логического построения учебного материала. При таком подходе чувственные образы выступают как средство познания, а ученик осваивает готовые алгоритмы, предлагаемые ему или учителем в ходе объяснения материала, или логикой учебника. в результате возникают трудности в обучении, обусловленные сложностью в восприятии нового материала, самостоятельном овладении знаниями. Учитель использует дидактические игры, нестандартные задания, направленные на развитие восприятия, внимания, памяти, логического мышления младших школьников. Такие задания вызывают некоторый интерес у учеников, но поскольку для выполнения предлагаемых заданий требуется владение формально-логическими операциями, то не все ученики могут справиться с задачей, что недостаточно способствует развитию самостоятельности их мысли и интереса к учению [1].
Таким образом, в структуре логики познания у ребенка возникает противоречие между тем, как его учат, и тем, как сам он может понять материал.
Люди всегда пытались создать универсальный язык, с помощью которого можно было бы получить истинное, безошибочное знание, применимое не только к конечным множествам, но и бесконечным. Так, Лейбниц видел в логике учение о рассуждениях, в которых вывод оправдывается в силу своей формы, настойчиво искал общую теорию таких рассуждений на пути сближения логики с математикой. Он целенаправленно применял в логике математические методы, впервые представил ее в виде символического исчисления, положив тем самым начало логике высказываний.
С ходом истории логика поднимается на более высокую ступень развития, абстрагирования, используя четыре логических операции (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция) и оперируя двумя значениями истинности (истинно, ложно).
Конъюнктивным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «и». дизъюнктивным называют суждение, состоящее из нескольких простых, связанных логической связкой «или». Импликативным называют суждение, состоящее из нескольких простых,
связанных логической связкой «если..., то...». Эквивалентным называют суждение, включающее в качестве составных два суждения, связанных двойной условной зависимостью, выражаемой логической вязкой «если и только если., то.». Все логические операции находятся в отношении зависимости друг от друга и их можно выразить друг через друга. Каждая из этих операций направляет мысль ребенка в соответствии с его собственными знаниями и сформировавшимся опытом. В этом отношении логика высказываний (в отношении учебного материала) проще усваивается младшим школьником.
Рассмотрим возможность использования логики высказываний на уроке математики при освоении первоклассниками знаний о составе чисел первого десятка (на примере числа 6). Обычно состав числа изучается путем подбора двух произвольных слагаемых. Для числа 6 - из чисел от 1 до 5. Такой подход оправдан с точки зрения формирования у младшего школьника навыка математической операции сложения. При этом более абстрактной и глубокой мысли от ребенка не требуется.
Введение операции дизъюнкции способствует формированию глубокого, осознанного понимания этого математического выражения. Исходное положение - число 6. Нам нужно найти доступную логику для младшего школьника. Предлагаем ребенку определить место числа 6 в натуральном ряду чисел. При этом опираемся на то, что всякое предыдущее число меньше на 1, чем последующее. значит, состав числа 6 - это 5 (предыдущее число) и 1. В процессе рассуждений получаем следующий ряд положений:
«6 - это 5 и 1» или «6 - это 4 и 1 и 1» или «6 - это 3 и 1 и 1 и 1» или «6 это 2 и 1 и 1 и 1 и 1» или «6 это 1 и 1 и 1 и 1 и 1 и 1».
Такова логика самостоятельного высказывания младшего школьника, определяющая состав числа. Ученик видит, что состав всякого числа определяется последовательностью натурального ряда чисел. Такие рассуждения углубляют математическую мысль школьника, причем к этой мысли он приходит самостоятельно.
Как следствие предлагаемого логического высказывания есть составление примеров вида: 2 + 4, 1+5 и т.п.
Использование названных выше логических операций способствует интенсифицированному развитию последовательности, обоснованности мышления ребенка, помогает ему в мыслительных действиях наблюдения изучаемых фактов, связей и отношений, сравнения, выделения признаков, соединения их в одно общее понятие. Вследствие чего учащиеся приобретают навыки правильного рассуждения и отчетливых формулировок, у них повышается логическая культура.
Например, сравнение чисел первого десятков, когда не только вводятся слова больше, меньше, столько же, но и обозначение этих отношений с помощью знаков <, >, =. Так, при сравнении чисел 7 и 4, как правило, ограничиваются высказыванием 7 > 4. Хотя, имея эти числа, мы можем составить три высказывания (7 < 4 или 7 > 4 или 7 = 4) и определить истинность или ложность каждого.
Главным здесь является отношение, поэтому важно первоначальное знакомство с тремя отношениями в числовом множестве. выполнение упражнений такого вида становится базой для составления новых числовых равенств (неравенств) с сохранением истинности или ложности исходного суждения. При этом учащиеся получают возможность для развития вычислительных навыков во всех концентрах.
Рассмотрим еще пример. Дано числовое равенство 7 = 4 + 3. Выясняем, что это истинное суждение. Затем предлагаем учащимся составить еще верные суждения, прибавляя к обеим частям равенства одно и то же число. 7 = 4 + 3 7 + 1 = 4 + 3 + 1 7 + 4 = 4 + 3 + 4 7 + 5 = 4 + 3 + 5 и т.д.
Или такое упражнение: назови (запиши) числа 4, 7, 3 в той последовательности, чтобы между ними можно было поставить знак «>» или же: назови (запиши) числа 4, 7, 3 одно за другим так, чтобы между ними можно было поставить знак «<»:
3 < 4 < 7 (3 меньше 4, а 4 меньше 7).
для того чтобы выполнение заданий такого вида не стало формальным, просим детей обосновать истинность каждого полученного равенства/ неравенства. в центре внимания при рассуждении об истинности или ложности суждения понятие отношение становится основополагающим. выполнение таких упражнений дает возможность осознанно подойти к понятиям уравнение, неравенство, решение уравнения (неравенства).
Более того, такие задания способствуют широкому осмыслению традиционной задачи: «Одна пачка печенья стоит 18 рублей. Сколько таких пачек печенья можно купить на 72 рубля?» Обычным ответом на вопрос этой задачи является число 4. Но с точки зрения логики суждений это число является только одним из ответов: можно купить 4 (максимальное число), и 3, и 2, и 1. Подобное истолкование записи х < 4 - важный шаг не только для развития логической культуры младшего школьника, но и для решения неравенств в старших классах, и для формирования элементов линейного программирования.
При таком подходе высказывания младших школьников становятся обоснованными, структурированными, последовательными, убедительными. это можно проиллюстрировать примером рассуждений детей разных классов (в одном классе в своей работе учитель опирался на логику высказываний (далее -экспериментальный класс), а в другом обучение шло по традиционной методике (далее - контрольный класс)) во время решения следующей задачи: «Бабушке надо пожарить 8 пирожков. Каждый пирожок надо жарить 3 минуты с одной стороны и 3 минуты с другой. Сколько времени потребуется бабушке для жарки пирожков, если, на сковороде помещаются только 6 пирожков?» Учащиеся давали такие пояснения к решению.
Учащиеся контрольного класса.
Первый ученик: «Все понятно, бабушка пожарит восемь пирожков за сорок восемь минут, так как с одной стороны надо жарить три минуты, переворачиваем, жарим еще три минуты. Получается, один пирожок жарится шесть минут. значит надо шесть умножить на восемь, будет сорок восемь».
На вопрос: «для чего в задаче говорится, что на сковороде умещается только шесть пирожков?» ученик отвечает: «Чтобы задача была длиннее и решалась труднее».
Второй ученик записывает решение следующим образом:
6 пирожков - 6 минут
2 пирожка - 6 минут
6 + 6 = 12 минут.
На просьбу объяснить решение, дает ответ: «Сначала шесть пирожков жарим, а потом еще два. Получается двенадцать минут».
Учащиеся экспериментального класса.
Первый испытуемый: «Бабушке потребуется двенадцать минут, чтобы пожарить пирожки. Кладем на сковороду шесть пирожков, жарим их с одной стороны три минуты, а потом с другой еще три минуты. значит, шесть минут жарятся шесть пирожков. Еще осталось пожарить два пирожка, тоже три и три минуты. Итого, два пирожка жарятся шесть минут. Складываем, получаем двенадцать минут».
Второй испытуемый: «Я думаю, что бабушке потребуется девять минут. Сначала жарим шесть пирожков. Два снимаем. Теперь кладем два новых пирожка, а четыре старых переворачиваем. Когда они еще три минуты пожарятся, снимаем старые пирожки совсем, а два переворачиваем и добавляем те два, которые недожаренные. Получается, еще три минуты. По три минуты три раза - всего девять минут».
Экспериментатор: «А я думала, что можно только за двенадцать или за сорок минут».
Испытуемый: «Сейчас подумаю. Да, можно и за сорок восемь минут, и за двенадцать. Только зачем тратить столько времени?»
Экспериментатор: «значит, ребята решили задачу неправильно?»
Испытуемый: «Нет, все решили задачу правильно, потому что вопрос в задаче так стоит: «Сколько времени..?», а не «Как быстрее всего пожарит пирожки?».
Как видно из приведенных примеров при таком подходе мысль ученика становится структурированной, последовательной, обоснованной. В процессе освоения математических знаний младший школьник действует не только по образцу, предлагаемому учителем или учебником, но и самостоятельно осознает материал, что способствует развитию его логической культуры на основе систематизации, обобщения множества чувственных образов о мире Вселенной, получаемых в течение жизни, помогает интеллектуальному развитию и сохранению интереса к учению.
литература
1. Баранов С.П., Чиркова Н.И. Развитие логики мышления у младших школьников //Начальная школа. 2006. № 12. С.22-25.
2. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: учебник. - М.: Юристъ, 2006.
3. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Начальная школа / [сост. Е.С.Савинов]. — М.: Просвещение, 2010.
4. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. - М.: Просвещение, 2010.
5. Яковлева С.Г. Развитие у младших школьников логических суждений в процессе освоения учебного материала: Дис. ... к.п.н. - М., 2002.
