Развитие лагранжева подхода для исследования дифференциальных характеристик полей пассивной примеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 919-921

УДК 532.5

РАЗВИТИЕ ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛЕЙ ПАССИВНОЙ ПРИМЕСИ

© 2011 г. Н.А. Лебедева

НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова

lebedeva@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 16.06.2011

Развивается полный лагранжев подход [1, 2] для описания эволюции и сингулярностей дифференциальных характеристик полей пассивной примеси в различных гидро- и газодинамических течениях. В качестве пассивной примеси может выступать любая физическая величина, которая не влияет на течение (поле скорости). Диффузионный перенос параметров не учитывается. Под дифференциальными характеристиками пассивной примеси можно понимать, например, различные характеристики фазы частиц в двухфазных дисперсных течениях: градиенты плотности и температуры, производные компонент скорости и завихренность. Также метод применим для исследования градиентов таких величин, как: температура в течениях с большим числом Пекле, завихренность в невязких потоках, вмороженное магнитное поле, слабые неоднородности плотности в быстрых течениях неоднородных жидкостей и т.д.

Ключевые слова: лагранжев подход, градиент пассивного скаляра, пассивная примесь, стратифицированная жидкость.

Пусть имеется пассивная примесь р,, переносимая со скоростью у, и не влияющая на известное поле скорости несущего потока у. В общем случае скорости у ну5 различны, как, например, при переносе пассивных инерционных частиц в дисперсном течении, однако имеется широкий класс течений, в которых пассивная примесь переносится со скоростью потока у (например перенос слабых неоднородностей плотности в быстрых течениях неоднородных жидкостей). Пусть в начальный момент времени ? = 0 известно распределение р,(? = 0, г0) = р^о(г0) в точках г0 = (х10, х20, х30) области О.

Для вычисления лагранжевых траекторий г//1 , г0), по которым переносится р,, используется уравнение движения

дг,/д? = у ,. (1)

В случае когда у, = у или у, - известная функция, уравнения (1) достаточно для определения гх(? , г0). Для поля у, Ф у продемонстрируем суть метода на примере двухфазного дисперсного течения, в котором пассивные инерционные частицы с пренебрежимо малой объемной долей движутся в потоке под действием межфазной силы

ду,/ д? = Г,. (2)

Здесь Г, - известная функция параметров обеих фаз, например сила сопротивления Стокса Г =

= в(у, - у), в которой в - константа, зависящая от физических свойств фаз.

Для вычисления дифференциальных характеристик (градиента, дивергенции, ротора) р, по пространственным эйлеровым координатам г = (х1, х2, х3) как функций лагранжевых координат г0 = (х10, х20, х30) вдоль траекторий движения пассивной примеси рассмотрим зависимость дифференциального оператора Гамильтона V = (Э / дхі) по эйлеровым декартовым координатам от аналогичного оператора V 0 = (д / дхю) по лагранжевым координатам:

VP, = J0р,, ^Р, = ■1~^0 ■ Р^

^ Р, = 0 х Р, • (3)

Эти соотношения получены по правилу дифференцирования сложной функции. Здесь в первом выражении р, — скалярная величина, а в остальных - векторная. В (3) J = (Jij) = (дхі / дху- 0) — матрица Якоби перехода от эйлеровых координат к лагранжевым. Уравнения для J¿ вдоль траекторий получаются путем дифференцирования (1) и (2) по лагранжевым координатам [1, 2]:

Ыу / д = Ц, дЦ / Ш = д/,і / дх0і • (4)

Начальные условия для (1), (2), (4) имеют вид:

і = 0: х,і = х0і, у,і = У0і , Jit = 1

JiJ(і * і) = Цу = д%/дх0і. и і = 1,2,з. (5)

Чтобы замкнуть систему (1)—(5), необходимы дополнительные уравнения для определения дифференциальных по лагранжевым координатам

Рис. 1. Изолинии (а) и экспериментальная теневая картина из [3] (б) для др /ду при стационарном обтекании сферы невязким потоком с продольным градиентом плотности V 0р0 = (1; 0) . Изолинии (в) и экспериментальная теневая картина из [4] (г) для др / дх вблизи вихревого кольца, движущегося в потоке с поперечным градиентом плотности V0р0 = (0;1)

характеристик V 0р s, V 0 ps и V 0 xps, которые присутствуют в (3). Имеется широкий класс течений, в которых некоторая пассивная примесь сохраняет свое значение вдоль траектории: ps(t , r0) = ps0. В качестве ps может выступать, например, плотность р в быстрых течениях неоднородных несжимаемых жидкостей (рис. 1). В этом случае замыкающее соотношение для (1)-(5) получается применением оператора Vq к уравнению сохранения. Для вычисления градиента плотности оно имеет вид V 0 р = V 0 Р0. В общем случае ps не сохраняет своего значения вдоль лагранжевой траектории, а удовлетворяет некоторому уравнению эволюции, из которого аналогично получаются уравнения для дифференциальных характеристик по лагранжевым координатам. Например, в двухфазном течении с инерционными дисперсными частицами (рис. 2) используются следующие уравнения: при вычислении градиентов концентрации Vns и температуры VTs фазы частиц для нахождения V0ns и V0Ts используются соотношения и д(V0Ts)/dt = с(JVT- V0Ts), полученные из уравнений неразрывности и обмена теплом соответственно (T - известная температура несущей фазы, с - константа, зависящая от физических свойств фаз); для нахождения завихренности й s = Vx v s используется преобразованное уравнение (2):

д(V0 x vs ) / дt = ß( JV x v - V0 x vs ).

Рис. 2. Пример расчета различных дифференциальных характеристик инерционной дисперсной фазы, движущейся в окрестности плоской критической точки в идеальном несжимаемом газе с полем скорости V = = (х + Ау, —у) для в = 5, А = 1 и следующими граничными значениями вдали от критической точки: V0n, =

= (1; 1), V0Ts = (1; 1), ю,0 = 2

Таким образом, предлагаемый метод вычисления дифференциальных характеристик полей пассивной примеси по эйлеровым координатам вдоль лагранжевых траекторий заключается в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений с конечными соотношениями (1)-(5), замкнутой при помощи дополнительных уравнений для V op s, Vq ps и V o xps, которые получа-

ются из различных уравнений эволюции для рг Подход применим для исследования течений с сингулярным поведением дифференциальных характеристик.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 11-01-00483), Аналитической ведомственной программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/1399) и грантом Президента РФ (проект МК-3582.2011.1).

Список литературы

1. Osiptsov A.N. Lagrangian modeling of dust admix-

ture in gas flows // Astrophys. Space Sci. 2000. V. 274. P 377-386.

2. Осипцов А.Н. Развитие лагранжева подхода для моделирования течений дисперсных сред // В сб.: Проблемы современной механики. К 85-летию со дня рождения акад. Г.Г Черного. М.: Изд-во МГУ, 2008. C. 390-407.

3. Yick K.W., Torres C. R., Peacock T., Stocker R. Enhanced drag of a sphere settling in a stratified fluid at small Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2009. V. 632. P. 49-68.

4. Прохоров В.Е. Присоединенные возмущения вокруг вихревого кольца в стратифицированной жидкости // Изв. РАН. МЖГ 2010. №4. С. 59-68.

THE DEVELOPMENT OF THE LAGRANGIAN APPROACH FOR STUDYING DIFFERENTIAL CHARACTERISTICS OF PASSIVE-ADMIXTURE FIELDS

N.A. Lebedeva

The study is devoted to the development of the full Lagrangian approach for describing the evolution and the formation of singularities of differential characteristics of passive-admixture fields in various hydro- and gasdynamic flows. As a passive scalar one may regard an arbitrary physical quantity which is transported at the carrier-flow velocity and makes no impact on the carrier-flow velocity field. The diffusion transport of the scalar is ignored. The differential characteristics of the passive admixture may include, for instance, different differential parameters of a dispersed phase in two-phase flows, such as gradients of density and temperature, derivatives of the velocity components, vorticity, etc. The method is also applicable to the investigation of such parameters as temperature gradients in single-phase flows with a high Peclet number, the vorticity in inviscid flows, the frozen magnetic field, the electric charge, weak density nonuniformities in fast flows of stratified fluids, etc.

Keywords: Lagrangian approach, passive scalar gradient, passive admixture, stratified fluid.