CC BY
382015
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
Вып. 3(30)
ИСТОРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
УДК 512 (091)
Развитие комбинаторного метода в математике в XIX веке
В. Г. Алябьева
Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614900, Пермь, ул. Букирева, 15 [email protected]; 8-912-985-15-91
Рассматривается процесс формирования комбинаторного метода. В XIX в. комбинаторный метод применялся в исследовании комбинаторных и геометрических конфигураций, теории конечных групп, приобретал статус общематематического метода исследования. Г.В. Лейбниц предрекал искусству комбинаторики роль универсального метода исследования. Искусство комбинирования он дополнил анализом положения (analysis situs). Развитие идеи анализа положения в XIX в. привело к созданию проективной геометрии и топологии.
Ключевые слова: комбинаторика; комбинаторный метод; analysis situs; тактика; тактическая конфигурация; комбинаторная конфигурация.
С конца 40-х гг. XX столетия в математике акцент стал смещаться в сторону дискретных методов, что было связано с развитием вычислительной техники. С этого же времени возрос интерес к комбинаторике, которая с течением времени стала включать в себя все новые и новые разделы. Современную дискретную математику порой отождествляют с комбинаторикой.
Идея комбинаторного метода в математике восходит к Лейбницу (1646-1716). И до Лейбница эпизодически решались комбинаторные задачи, и до Лейбница использовали термин "комбинаторика", "комбинировать". Разрозненные комбинаторные задачи относились к свойствам фигурных чисел, числовым квадратам, перестановкам,
В XVII в. появились первые серьезные работы, в которых были систематизированы комбинаторные задачи. В 1665 г. опубликован "Трактат об арифметическом треугольнике" Блеза Паскаля, в 1713 г. опубликовано "Искусство предположений" Якоба Бернулли -огромное сочинение, посвященное в основном теории вероятностей. Сочинение состоит из четырех частей. Комбинаторные задачи со-
держатся во второй части, состоящей из 9 глав, посвященных перестановкам и сочетаниям (с повторениями и без повторений).
Лейбниц возвел искусство комбинаторики в ранг универсального метода исследования. В своем стремлении изобрести универсальный язык Всеобщей науки он предлагал выявить простейшие элементы, создать алфавит языка науки, создать правила комбинирования символов такого алфавита, позволяющие получать из известных истин новые истины. Если создать систему знаков, подобную системе цифр в науке о числах (в арифметике), и использовать формулы, определяющие истинность или ложность высказываний аналогично алгебраическим уравнениям, то можно разработать формальную комбинаторику, дающую возможность определять истинность или ложность любых высказываний, получать приращение знания комбинаторным методом. Идея всеобщей науки, высказанная еще Ф. Бэконом и Р. Декартом, получила в замыслах Лейбница форму исчисления высказываний, дающего возможность получать истинное знание формально-логическим путем.
Первый опыт комбинирования посылок и построения силлогизмов Лейбниц продемонстрировал в магистерской диссертации 1666 г. "Искусство комбинаторики" (De arte combinatoria) [1]. Диссертацию Лейбниц писал будучи совсем молодым человеком, не достигшим 20 лет. Первые главы своей "Диссертации о комбинаторном искусстве" он опубликовал отдельным изданием как "Арифметическое исследование комплексий". Основное философское содержание диссертации содержится в главе "Применение Задач I и II". Лейбниц утверждает, что подобно тому, как геометрия Евклида начинается с аксиом, так и во всех прочих науках должны быть установлены первопринципы, из которых путем комбинирования по определенным правилам выводились бы все прочие утверждения. Например, юриспруденция во всем похожа на геометрию, разве что в одном случае имеются элементы, в другом - казусы. Простыми элементами в геометрии являются фигуры: треугольники, круги и пр. В юриспруденции -действия, обязательства, право продажи и пр. Казусами являются их комплексии. Аналогичным образом комбинаторный метод применим, по мысли Лейбница, в медицине, натурфилософии, музыке, военном деле и стихосложении.
Важнейшее значение имела идея Лейбница об analysis situs, сформулированная им в письме к Гюйгенсу от 8 сентября 1679 г.: "...я еще не доволен алгеброй, так как она не даёт для геометрии ни кратчайших путей, ни наиболее изящных конструкций. Вот почему по поводу этого я думаю, что нам необходимо иметь еще другой анализ - собственно геометрический или линейный, который непосредственно давал бы нам выражения по месту (situm) так же, как алгебра дает выражения по величине (magnitudinem). И я полагаю, что вижу средство для этого и что можно было бы представить фигуры и даже машины и движения буквами, как алгебра представляет числа и величины". В заключительной части письма Лейбниц отмечает, что эта точка зрения открывает новый тип исчисления, которое сильно отличается от алгебраического. "Мне нравится называть его analisys situs, так как это объясняет ситуацию прямо и непосредственно, т. е., если фигура не нарисована, ее можно изобразить с помощью символов. ... Следовательно, это исчисление ситуации, как я предполагаю, будет дополнением к чувственному
воображению и усовершенствует его. Оно будет иметь применение не только в геометрии, но и к изобретению машин" [2. с. 254, 257].
Лейбниц был знаком и состоял в переписке со многими выдающимися учеными-современниками. Достойным его собеседником был французский математик Пьер Ремон де Монмор (Pierre Rémond Momort, (1678— 1719), член Английской и Французской академий наук, занимался проблемами философии, религии, математики. Монмор вел переписку со многими известными математиками своего времени: Лейбницем, Николаем I Бернулли, А. де Муавром, Б. Тейлором. Г.В. Лейбниц в 1716 г. предложил Монмору быть посредником в споре с Ньютоном о приоритете авторства в создании дифференциального и интегрального исчислений. В 1708 г. Монмор опубликовал книгу "Опыт исследования азартных игр" (Essay d'analyse sur les jeux de hazard), переизданную с дополнениями в 1713 г. [3]. Первая часть книги составила самостоятельный "Трактат о сочетаниях". Восемнадцать предложений и 25 следствий из них посвящены свойствам сочетаний и перестановок (с различными ограничениями на выбор элементов), свойствам фигурных чисел, правилам подсчета исходов, благоприятствующих наступлению определенных событий. Лейбниц в письме Монмору от 17 января 1716 г. делится своими представлениями о применении "анализа положений" в игре солитер: "Среди игр, которые полностью зависят от чисел, встречаются такие, в которых большое значение имеет расположение, как триктрак, шашки, особенно шахматы. Мне очень нравится игра солитер. Вместо того, чтобы по правилам игры не допустить расположения шашек, при котором одной шашкой ходим через другую на свободное место и забираем ту шашку, через которую ходим, я держу за лучшее строить то расположение, из которого выводится перепрыгивание шашкой. Этим способом можно изобразить любую фигуру" [4]. Вслед за Лейбницем геометрией на шахматной доске занимались Л. Эйлер (1758) и Ш.А. Вандермонд (1771). Эйлер решал задачу обхода конем всех клеток шахматной доски, при котором конь должен побывать в каждой клетке точно один раз. Эйлер рассматривал квадратные, крестообразные и прямоугольные доски. Вандермонд (Charles Auguste Vandermonde, 1735-1796) обобщил задачу хода коня на трехмерный случай.
В XIX в. идеи analysis situs нашли воплощение в комбинаторике, проективной геометрии, топологии и теории графов.
Основателем теории графов считают Эйлера, решившего в 1736 г. задачу о кенигс-бергских мостах (хотя изображения графа в работе Эйлера нет). Преемником идей Лейбница и Эйлера, относящихся к analysis situs, считал себя французский математик и механик Луи Пуансо (1777-1859). В 1809 г. он прочитал в Институте Франции доклад "О многоугольниках и многогранниках", который был опубликован в 1810 и 1811-м гг. ("Мемуар о многоугольниках и многогранниках"). Свое исследование Пуансо относит к геометрии положения, основоположником которой считает Лейбница. "Мемуар" состоит из трех частей. В первой части строится общая теория правильных звездчатых n-угольников.
Вторая часть "Мемуара" посвящена механическим и (как бы мы сказали сейчас) теоретико-графовым приложениям теории правильных звездчатых n-угольников. В современной терминологии проблема сводилась к существованию эйлерова цикла в полном графе. Пуансо доказал, что для четных n, превышающих 2, задача не разрешима. В третьей части "Мемуара" Пуансо строит правильные звездчатые многогранники. Со времен греков были известны пять видов правильных выпуклых многогранников: куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. И. Кеплер в своем главном труде "Гармония мира" (1619) указал на существование еще двух правильных многогранников - звездчатых. Через 200 лет после Кеплера Пуансо переоткрыл существование звездчатых многогранников Кеплера и обнаружил существование еще двух правильных звездчатых многогранников, взаимных по отношению к первым двум: большой додекаэдр и большой икосаэдр. После выхода этой работы Пуансо правильные звездчатые многогранники стали называть правильными телами Кеплера-Пуансо. В своем "Мемуаре" Пуансо сформулировал вопрос: "Существуют ли правильные многогранники, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20?" На этот вопрос ответил О.Коши в работе 1813 г. "Исследование многогранников". Он доказал, что правильными телами Кеплера-Пуансо исчерпываются все правильные звездчатые многогранники. Коши обобщил методы Пуансо следующим образом. Если Пуансо отмечал, что все правильные звездчатые мно-
гоугольники могут быть получены из выпуклых правильных многоугольников продолжением сторон, то правильные звездчатые многогранники могут быть получены из правильных выпуклых многогранников продолжением ребер или граней.
Через 35 лет Пуансо вновь обратился к идеям "Мемуара" 1810 г. В работе "Размышления об основных положениях теории чисел" (1845) он дает обзор некоторых новых идей в математике и отмечает, что успехи современной ему геометрии и теории чисел идут рука об руку. Если теория чисел рассматривает числа сами по себе, изучает их свойства, не зависящие от способа их представления и действий над ними, а обыкновенная алгебра (или универсальная арифметика), отталкиваясь от обыкновенных чисел, распространяется на какие угодно, то высшая алгебра в теории уравнений опирается на теорию порядка и комбинаций.
Геометрия - наука о пространственных или протяженных формах - подобно алгебре распадается на две части: предметом изучения первой из частей является пропорциональность и измерение.
Вторая часть геометрии рассматривает порядок и расположение вещей в пространстве, не обращая внимания на их величину и фигуру. Эта наука называется геометрией положения, к которой Пуансо относит и теорию звездчатых многоугольников и многогранников. К геометрии положения Пуансо относит также ту "область механики, которая исследует взаимное расположение тел, их взаимодействие, способы, какими скрещиваются их пути, не обращая внимание ни на направление этих путей, ни на время, которое необходимо телам для пробега, ни на силы, двигающие тела. Таковы, например, некоторые машины, в которых не рассматриваются ни сила, ни величина движения, а единственно положение и геометрическое движение разных частей, составляющих эти машины. Ясно, что эта область механики всецело основана на геометрии положения и совпадает с ней".
"Таким образом, в математике всюду мы видим две категории объектов: во-первых, величину и измерение величин, во-вторых, число, порядок, положение вещей без всякой мысли об измерении и количестве. Так что математика ... может быть определена как наука о числе, порядке и мере" [6].
Рассмотрим осмысление идей Лейбница в комбинаторике. Выдающийся математик XIX в. Дж. Дж. Сильвестр (James Joseph Sylvester, 1814-1897) разделял взгляды Лейбница на высокую значимость комбинаторного искусства. Исследованию комбинаторных проблем Сильвестр посвятил несколько статей, начиная со статьи 1844 г. "Элементарные исследования в анализе комбинаторных агрегатов" [7], в которой он обсудил правила образования различных наборов и систем наборов из элементов данного «-множества. Сильвестр подчеркивал, что решаемые им проблемы относятся к новой математической дисциплине, предметом изучения которой является расположение элементов друг относительно друга. Эта новая наука находится в таком же отношении к количественному комбинаторному анализу, в каком геометрия положения -к метрической, или теория чисел - к вычислительной арифметике. "Положение, комбинация, число представляются мне тремя пересекающимися, но различными сферами мысли, к которым имеют отношение все математические идеи", - пишет Сильвестр.
К идеям, изложенным в статье 1844 г., Сильвестр вернулся в статьях 1861 г: "Заметка об исторических источниках несимметричных шестизначных функций от шести переменных", "О проблеме тактики, которая служит обнаружению существования четырехзначной функции трех множеств, содержащей по три элемента в каждом", "Замечание о тактике девяти элементов", "Заключительная статья о тактике".
Раздел чистой математики, изучающий порядок, расположение элементов друг относительно друга, Сильвестр назвал тактикой. К этому разделу Сильвестр относил комбинаторный анализ, теорию чисел и теорию групп подстановок. Учению о тактике Сильвестр предрекал большое будущее. Он полагал, что новое учение потребует специального символического исчисления. Однако Сильвестр не реализовал столь широкий замысел, ограничившись решением частных задач.
А. Кэли (Arthur Cayley, 1821-1895) разделял взгляды Сильвестра на тактику. В 1864 г. Кэли в статье "О понятиях и границах алгебры" [8] предлагал различать в алгебре два вида операций: тактические и логистические. Тактическая операция связана с расположением множества вещей некоторым образом, логистическая (арифметическая) операция
представляет собой вычисление для получения в результате числа. Каждая алгебраическая теорема основывается в конечном счете на тактических основаниях. Однако нельзя абсолютно резко разделить тактические и логистические операции. Во всякой серии логистических операций есть тактический элемент, во многих тактических операциях, например при разбиении чисел, есть кое-что логистическое. Таким образом, по мысли Кэли, алгебра имеет два больших раздела: Тактику и Логистику.
Термин "тактический", "тактическая операция", позднее - "тактическая конфигурация" - прижился, особенно в англоязычной среде и используется до сих пор. В Европе чаще использовался термин "комбинаторная конфигурация".
Весьма известными тактическими задачами, привлекавшими внимание многих математиков в XIX в., были задача Киркмана о 15 школьницах (1850) и комбинаторные задачи Штейнера (1853).
В 1896 г. американский математик Елиаким Гастингс Мур (Eliakim Hastings Moore, 1862-1932) в статье "Tactical memoranda" [9] ввел термин тактическая конфигурация:
пусть задано n множеств a1, a2,...,an
для элементов которых задано отношение инцидентности. Эти множества образуют тактическую конфигурацию, если для любых Q м h (g ~f~ h) каждый элемент из множества Q инцидентен с одним и тем же числом элементов из множества h . Конфигурация называется геометрической, если для элементов принадлежащих ей множеств можно ввести геометрическую терминологию, отождествив элементы множества i с подпространством R— размерности i -1 из пространства Rn
размерности n . В своей статье Мур рассматривает многочисленные примеры тактических систем и доказывает их свойства.
Обобщением понятия "тактическая конфигурация" в XX в. явилось понятие блок-схемы. В 1935-1940-м гг. в статьях Р. Фишера [10] и в работах его сотрудников, посвященных планированию эксперимента, появился сначала термин block arrangement, затем -block design, дословный перевод которого -"блочный план". С.А. Широкова (Рукова) в 1966 г. предложила перевести block design
как "блок-схема". Этот перевод в русской литературе утвердился. Под блок-схемой понимается система подмножеств конечного множества, удовлетворяющая некоторым условиям, относящимся к частоте появления пар элементов в подмножествах системы. Блок-схема задается парой множеств (V, B), где V = a2,..., av}, B = {Bj, B2,..., Bb}. Элементы множества V называются элементами блок-схемы, а элементы множества B - ее блоками. Обозначим через V число элементов в схеме, через b - число блоков. Число элементов, принадлежащих блоку B■, обозначим
через kj. Число блоков, инцидентных элементу ai обозначим через ri. Через обозначим число блоков, которым принадлежит пара элементов {ai, }. Если все блоки состоят из одинакового количества k -элементов, если каждый элемент входит в одно и то же число r-блоков и если число блоков, которым принадлежит любая пара элементов {ai, }
постоянна и равна Я, то схема называется уравновешенной неполной блок-схемой. Слово "уравновешенный" характеризует одинаковую частоту появлений элементов и пар элементов, а слово "неполный" служит указанием на то, что, вообще говоря, не все k -элементные множества входят в качестве блоков в схему. Для параметров уравновешенной неполной блок-схемы выполняются соотношения: vr = kb, A(v -1) = r (k -1)..
Частным видом тактических конфигураций являются конечные проективные и аффинные геометрии, которые были аксиоматически определены в конце XIX - начале XX в.
Что касается теории геометрических конфигураций, то она, по словам Д. Гильберта, составляла "поучительную область проективной геометрии" и рассматривалась в течение XIX в. "как важнейшая область всей геометрии". Рассмотрим основные вехи в исследовании геометрических конфигураций в XIX в. Исследованиями геометрических конфигураций занимались многие математики, прежде всего немецкие: К.Т.Рейе, З. Кантор, Э. Штей-ниц, А.М. Шёнфлис, Я. Штейнер, Ф. Клейн и др. На страницах немецких журналов появлялись статьи, посвященные исследованиям конфигураций, англичанина А. Кэли, итальянца Дж. Веронезе, голландца Я. Фриза. В
1910 г. в "Энциклопедии математических знаний" Штейниц (Steinitz E.) поместил большой обзор "Конфигурации в проективной геометрии" [11].
Впервые определение геометрической конфигурации дал К.Т. Рейе (Karl Theodor Reye, 1837-1919) в 1882 г., но исследование конфигураций в проективной геометрии производилось задолго до 1882 г. Рейе в статье "Проблема конфигураций" [12] дал определение плоской симметричной конфигурации ni и пространственной геометрической конфигурации n . Плоская геометрическая конфигурация n состоит из n точек и n прямых, расположенных так, что каждая из n точек инцидентна i прямым и каждая из n прямых инцидентна i точкам.
Пространственная конфигурация ni состоит из n точек и n плоскостей таких, что в каждой плоскости лежит i точек и через каждую точку проходит i плоскостей. Если пространственной конфигурации принадлежит еще д прямых, таких, что на каждой прямой лежит k точек и через каждую прямую проходит k плоскостей, то такая конфигурация обозначается символом (и ¿, д^ ).
Точки, прямые, плоскости конфигурации называются ее элементами. В качестве элементов конфигурации могут быть выбраны другие геометрические образы, например прямые и конические сечения. Тогда отношением, связывающим прямые и конические сечения, может быть касание. Однако в дальнейшем, если это не оговорено особо, под элементами конфигурации мы будем понимать точки, прямые, плоскости.
Проблему конфигураций Рейе видит в нахождении чисел n и i , для которых существуют конфигурации, и в изучении свойств конфигураций. Заслуга Рейе состоит в том, что он впервые предпринял систематическое изучение конфигураций в проективной плоскости и обратил всеобщее внимание на этот важный раздел проективной геометрии.
Весьма последовательно решал поставленную Рейе проблему З. Кантор из Праги (Seligman Kantor, 1857 - ок. 1940).
Непосредственным построением можно убедиться, что параметр n для конфигурации n3 удовлетворяет неравенству n > 7 . Случаи n = 7, 8, 9,10 подвергались наиболее тща-
тельному изучению. Для п = 7 конфигурация 73 единственная, в вещественной плоскости
она не реализуется. Это так называемая конфигурация Фано, или конечная проективная плоскость порядка 2. Схема содержит 7 элементов и 7 блоков, каждый блок содержит 3 элемента, каждый элемент принадлежит 3 блокам, каждые два блока имеют один общий элемент.
Конфигурация 83 также единственная.
Еще Мёбиус в 1828 г. показал, что она не реализуется в вещественной плоскости, хотя может быть представлена мнимыми элементами. Он же показал, что конфигурацию можно представить системой двух четырехугольников, одновременно вписанных и описанных друг около друга. В 1940 г. П.К. Рашевский [12] показал, что конфигурация 83 реализуется в конфигурациях (134,134) и (215, 215), т.
е. в конечных проективных плоскостях порядка 3 и 4 (хотя термина "конечные плоскости" автор не использует).
В 1881-1882-м гг. З. Кантор исследовал конфигурации 93 и 103. Он доказал, что существует три неизоморфные конфигурации 93 [13] и десять неизоморфных конфигураций
103 [14]. Все три конфигурации 93 реализуются в вещественной проективной плоскости. Одна из конфигураций 93 есть конфигурация Паскаля, изучаемая уже давно. Из десяти конфигураций 103 в вещественной плоскости реализуются девять. Одна из конфигураций 103 известна как конфигурация Дезарга (с
1646 г.). Теоремы Паппа и Дезарга являются важнейшими классификационными теоремами проективных плоскостей. Начиная с 30-х гг. XX столетия, исследовались алгебраические эквиваленты для различных конфигураций 93 и 103. Из отечественных ученых, обратившихся к этой тематике, отметим Б.И. Аргунова [15] и Л.А. Скорнякова [16].
Простейшие пространственные конфигурации образуют вершины, ребра и грани многогранников. В 1828 г. Мёбиус исследовал такое расположение тетраэдров, при котором каждый вписан в другой. К.А. Андреев (18481921), обобщая построения Мёбиуса, построил [17] целый класс пространственных кон-
1 « /О П-1 г\ п-1 \
фигураций вида ^2 п ,2 п }, состоящих из
2П-1 г\П-1 ~
точек и 2 плоскостей, расположенных в трехмерном пространстве так, что в каждой плоскости лежит n точек, через каждую точку проходит n плоскостей. Доказывается, что каждая поверхность второго порядка может быть вписана и описана около конфигурации любого порядка. Впоследствии конфигурации Андреева незаслуженно стали называть конфигурациями Кокса.
Значительный импульс исследованиям геометрических конфигураций сообщили работы А. Клебша. К моменту выхода его статей 1863 г. в теории кривых и поверхностей различных порядков накопилось много разрозненных фактов, требующих для своей систематизации некоторой общей идеи. Использовав теорию функций Римана, Клебш построил общую теорию, исследовал геометрические конфигурации на плоскости.
Зимой 1920-1921-го гг. Давид Гильберт прочел в Гёттингене курс "Наглядная геометрия", один из разделов которого был посвящен конфигурациям. Позднее лекции Гильберта, обработанные его учеником С. Кон-Фоссеном, были изданы отдельной книгой. В 1929 г. Ф. Леви в книге "Геометрические конфигурации" [18] подвел итог развитию геометрических конфигураций в XIX в.
Заключение
В XIX в. комбинаторика выделяется в самостоятельный раздел математики, создаются новые математические дисциплины, предметом исследования которых являются комбинаторные объекты, комбинаторный метод приобретает статус общематематического.
Список литературы
1. Leibniz G. W. Dissertatio de arte combinatoria. Philosophische Sriften. Berlin: 1880. Bd.4. S. 27-102.
2. Leibniz G.W. Philosophical Papers and Letters. Kluwer Academic Publisher, 1989.
3. Montmort P. R. Essau d'analyse sur les jeux hasard. Paris, 1713. Bd. 2. P. 1-72. XXV-XLI.
4. Leibniz G.W. Philosophische Sriften. Berlin: Gerausgeber von C.J. Gerhard. 1900. Bd. 3. S. 667.
5. Poinsot L. Mémoire sur les polygones et les polyédres // Journal de l'Ecole polytechnique. 1810, № 10. T. 4. P. 16-48.
6. Poinsot L. Reflexions sur la théorie des polyèdres // Journal de mathématiques pures et appliques. 1845. T. 10. P. 1-101.
7. Sylvester J.J. Elementary researches in the analysis of combinatorial aggregation // The London, Edinburgh, and Dublin philosophical magazine and journal of science. 1844. Vol. 24. P. 285-296.
8. Cayley A. The collected mathematical papers. Cambridge. 1890-1898. Vol. 5. P. 292-294.
9. Moore E.H. Tactical memoranda I-III // American journal of mathematics. 1896. Vol. 18. P. 264-303.
10. Fisher R.A. The design of experiments. Edinburgh: Oliver and Boyd. 3 d.ed. 1942. 236 p.
11. Steinitz E. Konfigurationen der proiektiven Geometrie // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen // Leipzig: Teubner, 18981934. Bd. 3. S. 481-516.
12. Reye K.T. Das Problem der Configurationen // Acta Mathematica. 1882. Bd. 1. S. 92-96.
13. Kantor S. Über die Configurationen (3, 3) mit der Indieces 8, 9 und ihren Zusammen
hang mit den Curven dritten Ordnung // Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlischen Akademie der Wissenschaften Wien. 1881. Bd. 84. S. 915-932.
14. Kantor S. Über die Configurationen (3, 3)10 // Sitzungsberichte der mathematischnaturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlischen Akademie der Wissenschaften Wien. 1882. Bd. 84. Abth. II. S. 1291-1314.
15. Аргунов Б.И. Конфигурационные постулаты в проективных плоскостях и их алгебраические эквиваленты // Вестник Московского университета. 1948. Т. I. С. 47-52.
16. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // Успехи математических наук. 1951. Т. 6. Вып. 6(46). С. 112-154.
17. Андреев К.А. К вопросу о конфигурациях // Сообщения Харьковского математического общества. 1889. Т. 2, серия 2, № 1-3. С.94-107.
18. Levi F. Geometrische Konfigurationen mit einer Einfürung in die Kombinatorische Flächentopologie. Leipzig: Hinzel. 1929.
The development of combinatorial methods in the XIX century
V. G. Alyabieva
Perm State University, Russia, 614990, Bukirev st., 15 [email protected], 8-912-985-15-91
Arrangement, combination, configuration are basic combinatorial concepts. These concept are used in geometry, group theory, combinatorics, in XIX century. Leibniz's idea about analysis situs contributed to emergence of projective geometry and topology.
Key words: combinatorics; configuration; analysis situs; Leibniz; Sylvester; Poinsot.
