CC BY
7Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 1(17), 2015 г., [113-126] УДК 532.542 Л. И. Выеоцкий
Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., Саратов, Российская Федерация
РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО СУЩЕСТВОВАНИЮ ЗОН С КОНТРГРАДИЕНТНЫМ ТЕЧЕНИЕМ В ГЛАДКИХ ТРУБАХ
В статье приведены результаты анализа степенного закона распределения ос-редненных скоростей в продольно-однородных потоках. Его целью является подтверждение существования пристенного слоя, в котором коэффициент турбулентной вязкости отрицателен. Метод достижения поставленной цели заключается в широком привлечении вычислительного эксперимента с использованием ПЭВМ. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что при степенном законе распределения осред-ненных скоростей вблизи твердой стенки имеет место слой с отрицательной турбулентной вязкостью, толщина которого зависит от числа Рейнольдса и меняется в достаточно широких пределах от 0,015 величины гидравлического радиуса до ничтожных значений. На стенке и на оси трубопровода кинематический коэффициент турбулентной вязкости принимает отрицательное значение. Этот факт объясняется тем, что степенной закон здесь не удовлетворяет граничному условию. На расстоянии от стенки, равном толщине слоя с отрицательным коэффициентом кинематической вязкости на внешней границе, коэффициент турбулентной вязкости равен нулю, как то и было обосновано предварительным анализом, а связь отношения толщины слоя с отрицательной турбулентностью к гидравлическому радиусу зависит от функции Рейнольдса при степенном законе вполне идентична той же связи, полученной ранее для собственной модели автора. Так же как и в случае других наиболее распространенных законов распределения осредненных скоростей в продольно-однородных потоках, степенной закон предусматривает наличие у твердой стенки слоя с контрградиентным течением.
Ключевые слова: осредненная скорость, контрградиентные течения, отрицательная турбулентная вязкость, степенной закон распределения осредненных скоростей.
L. I. Vysotskiy
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation
DEVELOPING THE RESEARCH ON THE EXISTENCE OF ZONES WITH CONTRAGRADIENT FLOW IN SMOOTH PIPES
The article deals with the results of the analysis of power law distribution of averaged velocities in the longitudinally uniform flows. The purpose of investigation is to confirm the existence of a wall layer inside the flow where the coefficient of turbulent viscosity is negative. To achieve the set goal computing experiment was used. Data obtained allow concluding that in the frame of power law distribution of averaged velocities near a solid wall the layer with negative turbulent viscosity exists. The thickness of the layer depends on the Reynolds number and changes in a wide enough range from 0.015 of hydraulic radius to negligible values. At a wall and at the axis of a pipe kinematic coefficient of turbulent viscosity has negative value. This is explained by the fact that the power law here does not satisfy the boundary condition. When the distance from the wall equals to the thickness of a layer with negative coefficient of turbulent viscosity at external boundary, the coefficient of turbulent viscosity equals to zero, what was substantiated by preliminary analysis. The relation of the thickness
of a layer with negative coefficient of turbulent viscosity to hydraulic radius depends on the Reynolds function found in the frame of the power law for distribution equals to the same relation earlier found for the author's own model. In the case of the other distribution laws of averaged velocities in longitudinally uniform flows the power law provides the existence of a layer with contrgradient flow near a solid wall.
Key words: averaged velocity, contragradient flow, negative turbulent viscosity, power low distribution of averaged velocities.
Введение
Можно утверждать, что никто никогда не интересовался вопросом, какой знак принимает турбулентная вязкость при том или ином постулировании закона распределения осредненной скорости в гладких трубах. Так, например, один из основателей полуэмпирической теории турбулентности Л. Прандтль полагал, что кинематический коэффициент турбулентной вязкости v Т = - u u I du / dz равен l2
положительной величиной.
Исключением является анализ, выполненный автором в работе, опубликованной ранее [1], где показано на примерах рассмотрения некоторых известных формул для распределения скорости, что она в указанных случаях (в том числе и при линейном распределении осредненных скоростей) неизменно принимает отрицательное значение. Таким образом, понятие об отрицательной турбулентной вязкости в неявной форме было фактически использовано и ранее при отрицании этого феномена.
Таким образом, полученные результаты позволяют предварительно заключить, что возникновение отрицательной турбулентной вязкости является неизбежным процессом. Можно подозревать, что этот факт как непонятый или нежелательный преднамеренно исключался из рассмотрения с помощью уловок типа предположения о наличии ламинарного слоя, в котором v Т = 0, либо искажения основного уравнения равномерного движения исключением из него вблизи стенки члена z/L (из-за малости) и т. п.
Одной из широко распространенных формул для распределения осредненных скоростей является степенная формула. Выясним дополнитель-
du
— , то есть является заведомо
dz
но, какой знак имеет турбулентная вязкость вблизи стенки в этом случае.
В случае турбулентного продольно-однородного течения жидкости для градиента осредненной скорости справедливо условие:
du
и
dz у+у
т v
1-у
L
(1)
где и - осредненная скорость, м/с; и* - динамическая скорость, м/с;
у - кинематический коэффициент вязкости жидкости, см /с; у т - кинематический коэффициент турбулентной вязкости; у - расстояние по нормали от стенки, м;
L - характерная длина (L = г0 - радиус трубопровода круглого сечения, м; L = Н - глубина плоского потока).
В безразмерном виде уравнение (1) принимает следующую форму:
du+
1
-х
V
(2)
dy + 1+у т/ у где и + = и / и*; у += у-и*/ут;
у т - кинематический коэффициент турбулентной вязкости; L+ = L-и*/Ут.
В случае, когда всюду выполняется условие у т > 0, эпюра распределения скоростей и += f (у +) должна находиться выше луча и + = у + (рисунок 1).
Рисунок 1 - Схема эпюры распределения скоростей при условии ут > 0
Если предположить, как это сделано ранее [1, 2], что непосредственно у гладкой стенки существует слой жидкости, в котором кинематический коэффициент турбулентной вязкости принимает отрицательное значение (что соответствует так называемому контрградиентному течению, в котором часть энергии турбулентности возвращается осредненному течению), то, как легко установить, на внешней границе этого слоя толщиной 5(-)
должно быть:
V Т = 0.
Тогда в этой точке градиент скорости должен принять значение:
du+ л у+
-=1-—.
dy+ Г
(3)
На близком расстоянии от нее в предположении малости значения градиент скорости оказывается равным (формулы (2) и (3):
du
dy у
=1.
(4)
Это означает, что эпюра и+ = / (у+) должна иметь вблизи стенки вид (рисунок 2):
п
Рисунок 2 - К определению толщины слоя с отрицательной турбулентной вязкостью 8(_
Анализ степенного закона распределения скорости на наличие в турбулентном потоке слоя с отрицательной турбулентной вязкостью
Широкое распространение получила степенная аппроксимация закона распределения осредненных скоростей в продольно-однородных пото-
ках. Проанализируем, существует ли такая точка, удовлетворяющая условию (4), на эпюре распределения осредненных скоростей при распространенном представлении ее степенным законом с показателем степени п :
и = и
V"
V L у
где им - максимальная скорость (им = и =ь );
п - показатель степени (изменяется от 1/6 до 1/10).
Как показал Г. Шлихтинг [3], степенной закон распределения осредненных скоростей в круглой гладкой трубе хорошо удовлетворяет опытным данным за исключением небольшой зоны вблизи оси трубопровода (рисунок 3). Оказалось, что показатель степени п слабо зависит от числа Рейнольдса, что отражено в таблице 1.
Рисунок 3 - Распределение скоростей в гладкой трубе
Таблица 1 - Значения показателя степени п при разных значениях числа Рейнольдса Rerf
< 4-103 < 1,Ы04 > 4-103 < 1,1105 > 1,Ы04 < 1,1-106 > 1,1105 < 1,1-107 > 1,1-106
п 1/6 1/6,6 1/7 1/8,8 1/10
В безразмерном виде формула (4) переходит в формулу:
и+ = и+
м
У
V ^ У
Тогда
du+ "и+ . ,," -=-X ( у+ )"
dy+ (Ь+)"
"
Чтобы решить проблему определения толщины слоя 5(-) сут < 0, приравняем правые части выражений (4) и (5). Итак, имеем условие
Отсюда
1=
пи
(^)
-х
ч,4
£+у
Л ' L+
8 +-,
. L+ V пи ,
V /V м /
п—1
гпи + Л
V ^ у
(6)
Более точным условием является следующее:
8 +) 1— (—)
пи
V L+
х
8 +—)
п—1
(7)
Уравнение (7) требует применения некоторого специального метода решения (итераций, Ньютона и т. п.). Имея в виду малость толщины рассматриваемого слоя 5(—), исходим далее из уравнения (6). Несколько преобразуем его. Так как Reа = , то — = ^а
у
у 2к
Но в данном случае L+ =, следовательно, получим:
у
Re а
(8)
2У 2У+
Тогда зависимость (6) можно записать в виде, удобном для расчетов:
8+—)
г2пи+У+л 1-п
V Re а у
V а ;
(9)
Очевидно, тем же способом для плоских потоков получим:
«к
Н+
'пи+¥1-п
м
V ^ Н у
(10)
В принципе, исходя из самой формулировки распределения осреднен-ных скоростей в виде степенного закона, можно заявить, что это равносильно
1 —п
+
г
0
признанию существования слоя с отрицательной турбулентной вязкостью.
На самом деле, из формулы (5) следует, что градиент скорости при у— = 0 равен бесконечности (вместо физически требуемой единицы):
du—
То есть, строго говоря, степенной закон не удовлетворяет граничному условию на твердой стенке. Он не удовлетворяет граничному условию и на оси трубопровода (или на свободной поверхности для плоских потоков), где градиент скорости хотя и принимает малое значение, но все-таки не нулевое, как это требуется здесь физикой явления.
Поскольку график степенной зависимости монотонен, а градиент du+
скорости - изменяется от да примерно до нуля, то найдется точка, где
dy+
выполняется условие (9) или (10). Это со всей очевидностью доказывает факт существования понятия толщины слоя, в котором VТ < 0 при степенном законе распределения осредненных скоростей. Это также строго следует из факта, демонстрируемого формулами (9) и (10), которые неопровержимо указывают на то, что 5(-) > 0.
Для демонстрации зависимости -du— от числа Рейнольдса Яе а при-
dy—
ведем результаты вычислительного эксперимента (таблица 2). Вычислительный эксперимент предусматривал определение для ряда значений чисел Рейнольдса соответствующих им относительных толщин слоев с отрицательной турбулентной вязкостью. Для возможности сопоставления получаемых данных с результатами вычислительного эксперимента, выполненного автором ранее для собственной модели [1], принимаемые здесь и ранее числа Рейнольдса были одинаковыми. Значения показателя степени п принимались в соответствии с рекомендациями Г. Шлихтинга [3], приведенными в таблице 1.
Таблица 2 - Результаты вычислительного эксперимента
по определению толщины слоя с отрицательной турбулентной вязкостью при степенном законе распределения осредненных скоростей
По результатам эксперимента, При степенном законе
выполненного ранее [1]
5 сп/ / 5(У Г0 1вЯе „ 1§(5( _)//0) 5( _)/ Г0 1§(5( _)//с) VT/ V п
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,8-103 0,9468 0,01970 3,447 _ 1,706 0,01350 _ 1,868 _ 0,012 1/6
3,0-103 0,8752 0,01830 3,477 _ 1,737 0,01260 _ 1,920 _ 0,012 То же
5,0403 0,5097 0,01090 3,699 _ 1,962 0,00757 _ 2,121 _ 0,016 1/6,6
104 0,2502 0,00536 4,000 _ 2,255 0,00416 _ 2,381 _ 0,007 То же
1,3-104 0,1916 0,00428 4,114 _ 2,369 0,00335 _ 2,475 _ 0,003 1/7
1,5-104 0,1677 0,00374 4,176 _ 2,427 0,00296 _ 2,529 _ 0,002 То же
3,0404 0,0896 0,00199 4,477 _ 2,782 0,00157 _ 2,803 _ 0,001 и
5,0^ 104 0,0500 0,00125 4,699 _ 2,903 0,00098 _ 3,008 _ 0,001 и
105 0,0316 0,00067 5,000 _ 3,175 0,00051 _ 3,289 _ 0,000 и
2,0405 0,0169 0,00036 5,301 _ 3,448 0,00027 _ 3,575 _ 0,002 1/8,8
5,0^ 105 0,0073 0,00015 5,699 _ 3,811 0,00012 _ 3,941 _ 0,002 То же
106 0,0038 0,00008 6,000 _ 4,087 0,00006 _ 4,222 _ 0,000 1/10
107 0,0005 0,00001 7,000 _ 5,011 0,000007 _ 5,168 _ 0,000 То же
Вычислительный эксперимент предусматривал получение значений 8сп/г0, 5(_)/г0, lgReй, 1§(5(_)/г0), ут/V как для модели, предложенной ранее [1], так и для степенного закона.
Результаты анализа полученных данных удобно представить в графической форме.
Во-первых, данные граф 3 и 6 таблицы 2 неопровержимо свидетельствуют о наличии слоя с отрицательной турбулентной вязкостью, имеющего относительную толщину 5 (_) / г0.
Во-вторых, полученные данные показывают убывание 5(_)/ г0 с ростом числа Рейнольдса. Графики зависимости 5(_)/ г0 от Яел представлены на рисунке 4.
Полученные графики свидетельствуют, как ни странно, о хорошем их качественном согласии при некотором количественном расхождении.
Согласно фундаментальному условию (2) легко установить, что закон распределения осредненных скоростей в продольно-однородных пото-
ках однозначно определяется законом распределения турбулентной вязкости. Справедливо и обратное утверждение: каждому закону распределения осредненных скоростей соответствует свой закон распределения турбулентной вязкости. Он имеет вид:
V
Т
V
1
du' ¿у'
-х
V
-1.
- - модель автора; степенной закон
(11)
Рисунок 4 - Графики зависимости ^(5(_/го) от lgRerf
V
Чтобы найти закон распределения — поперек потока, следует
V
в уравнение (11) подставить
du4
определяемое формулой (5). В результа-
те получим:
-V ( Т+)п
( у+ )1-п-1.
V пи+
(12)
Для круглых труб значение Ь+ определяется выражением (8). С его учетом формула (12) принимает вид:
V
т v
г+
Re
¿г +\1-п
о У
V 2пи+У+
м
-х
У
Г+ V 0 у
1.
(13)
V
Таким образом, распределение —, помимо относительной попереч-
V
у+
ной координаты —, определяется также параметрами: числом Рейнольдса г+
'о
Re й, показателем степени п, максимальной и- и средней V- относительными скоростями.
С использованием формулы (13) в вычислительном эксперименте
V
были определены значения — в пределах двойной толщины слоя с отри-
V
цательной вязкостью VТ < 0, в пределах 0,001 < — < 0,01, в пределах
г0+
0,01 < У- < 0,1, в пределах 0,1 < У- < 1,0.
г+ г+
00
Результаты вычислительного эксперимента приведены в таблицах 3 и 4. Расчеты проводились при значении числа Рейнольдса Re й = 106 и
п =0,1. При степенном законе распределения скоростей соотношение средней и максимальной скоростей равно [3]:
V 2
им (п+1)(п - 2)'
Таблица 3 - Результаты вычислений для диапазона 0 < у/5(_) < 2
(14)
у/ 5 (-) Ут/ V у/ 5 (-) vт/ V У/ 5 (-) vт/ V У/ 5 (-) vт/ V
0,0 - 1,000 0,6 - 0,369 1,2 0,178 1,8 0,696
0,1 - 0,874 0,7 - 0,275 1,3 0,266 1,9 0,781
0,2 - 0,765 0,8 - 0,182 1,4 0,353 2,0 0,865
0,3 - 0,662 0,9 - 0,091 1,5 0,440
0,4 - 0,562 1,0 0,000 1,6 0,526
0,5 - 0,464 1,1 0,089 1,7 0,611
Таблица 4 - Результаты вычислений для диапазона 0,001 < у/г0 < 1
0,001 < у / г0 < 0,010 0,01 < у / г0 < 0,10 0,10 < у / г0 < 1,0
У / г0 vт/ V У / г0 vт/ V у / г0 vт/ V
1 2 3 4 5 6
0,001 11,6 0,01 98,9 0,1 713
0,002 22,4 0,02 183 0,2 1183
Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 1(17), 2015 г., [113-126] Продолжение таблицы 4
1 2 3 4 5 6
0,003 32,7 0,03 259 0,3 1492
0,004 42,6 0,04 333 0,4 1657
0,005 52,3 0,05 403 0,5 1688
0,006 61,7 0,06 470 0,6 1591
0,007 71,0 0,07 534 0,7 1371
0,008 80,1 0,08 596 0,8 1030
0,009 89,0 0,09 656 0,9 572
0,010 98,9 0,10 713 1,0 - 1
Тогда окажется, что
+ ТЛ+ 2(М+ )2
(п+1)(п + 2)
В дальнейших расчетах для возможности корректного сопоставления результатов вычислительных экспериментов, приведенных ранее [1], с соответствующими результатами в таблицах 3 и 4 были приняты одинаковые значения им. Оказалось, кроме того, что соотношение средней и максимальной скоростей, полученное ранее [1] и определенное в данном случае, удивительным образом совпали: V / и = 0,865 для результатов, полученных ранее [1], и V / и = 0,866 по формуле (14).
Полученные данные позволяют представить искомые связи в графической форме. Данные таблицы 3 обобщены на рисунке 5, а таблицы 4 -на рисунке 6.
Рисунок 5 - График зависимости ут/у = Ду/5(_))
а)
0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002
У-Го
0
0 20 40 6 0 80 10 0 12
к./ V
б)
0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 у/г° 0
0
3 100 200 300 400 500 6( И/ V )0 7С 0 8С
в)
1-т/ V
а) в диапазоне 0,001 < у / г0 < 0,010; б) в диапазоне 0,01 < у / г0 < 0,10; в) в диапазоне 0,10 < у / г0 < 1,0
Рисунок 6 - Графики зависимости ут/у = Ду/го)
Анализируя результаты выполненного вычислительного эксперимента с использованием степенного закона распределения осредненных скоростей, можно сделать следующие выводы.
1 Главный вывод: при степенном законе распределения осреднен-ных скоростей вблизи твердой стенки имеет место слой с отрицательной турбулентной вязкостью, толщина которого зависит от числа Рейнольдса и меняется в достаточно широких пределах от 0,015 г0 до ничтожных значений.
2 На стенке vT =-у . Этот факт объясняется тем, что степенной закон здесь не удовлетворяет граничному условию.
3 На оси трубопровода также и по той же причине vT = -V.
4 На расстоянии от стенки, равном 5(-), коэффициент турбулентной вязкости vT равен нулю, как то и было обосновано предварительным анализом (графа 8 таблицы 2).
5 Связь 5( -) / г0 = / ^е а) при степенном законе вполне идентична той
же связи, полученной ранее для другой модели (рисунок 4) [1].
6 Так же как и в случае других наиболее распространенных законов распределения осредненных скоростей в продольно-однородных потоках, степенной закон предусматривает наличие у твердой стенки слоя с контрградиентным течением. Этот вывод вряд ли может быть опровергнут.
7 Получается, что формальное отрицание многими исследователями самой возможности существования при продольно-однородном течении у твердой стенки слоя с отрицательной турбулентной вязкостью не помешало широкому распространению и применению эмпирических и полуэмпирических формул, фактически предусматривающих его наличие.
8 Предложение автора, сделанное в ранее опубликованных работах [1, 2], исправляет это положение на основе новой модели строения продольно-однородного турбулентного потока.
Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 1(17), 2015 г., [113-126] Список использованных источников
1 Высоцкий, Л. И. Продольно-однородные осредненные турбулентные потоки / Л. И. Высоцкий, И. С. Высоцкий. - Саратов: СГТУ, 2011. - 560 с.
2 Высоцкий, Л. И. Построение сквозной для всех зон сопротивления формулы для распределения осредненных скоростей в продольно-однородных турбулентных потоках / Л. И. Высоцкий // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений: межвуз. науч. сб. - Саратов: СГТУ, 2005. -С. 7-63.
3 Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1974. -712 с._
Высоцкий Лев Ильич - доктор технических наук, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, профессор, профессор, Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А., Саратов, Российская Федерация. Контактный телефон: +7 845 228-89-38. E-mail: vysotli@yandex.ru
Vysotskiy Lev Ilich - Doctor of Technical Sciences, Honored Scientist of the RSFSR, Professor, Professor, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation.
Contact telephone number: +7 845 228-89-38. E-mail: vysotli@yandex.ru
