CC BY
40
После подстановки результатов разложения в исходную систему уравнений для расчета полного НДС многослойных оболочек, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений для пары волновых чисел т и п для каждого шага по времени. Осуществляя интегрирование полученной системы уравнений с использованием метода дискретной ор-тогонализации [6], позволяющего автоматически удовлетворять условиям идеального механического контакта слоев, а также суммируя тригонометрические ряды разложения напряжений а11, а12, а22, &2з, &зз, получаем решение задачи о трехмерном НДС многослойной оболочки.
Прогнозирование состояния конструкции осуществляется на основании критериев (1), (2) для полученных значений растягивающих напряжений в зонах концентрации напряжений и областях возможного образования трещин.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бартенев Г.М. Прочность и механизм разрушения полимеров. - М.: Химия, 1984. - 280 с.
2. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. -М.: -Л.: Гостехиз-дат, 1984. - 212 с.
3. Григоренко Я.М., Василенко А. Т., Панкратова Н.Д. Статика анизотропных толстостенных оболочек. - Киев.: Вища школа, 1985. - 190 с.
4. Бакулин В.Н. Использование уравнений трехмерной теории упругости для решения задач динамики многослойных оболочек /Известия вузов. Авиационная техника, 1985. № 3. - С. 7-12.
5. Бартенев Г.М. Сверхпрочные и высокопрочные неорганические стекла. -М.: Стройиздат, 1974. - 240 с.
6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. -232 с.
В.В. Владимиров, Н. С. Звягинцев, Д.В. Граждан
РАЗВИТИЕ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТНОГО КВАТЕРНИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Рост объема вычислений, свойственный современному уровню развития информационных технологий, неразрывно связан с разработкой новых методов и алгоритмов вычислений. В частности, это актуально для решения задач многомерных преобразований. Одним из перспективных путей решения данного класса задач являются итерационные алгоритмы дискретного вращения вектора [1]. Однако эти алгоритмы, как правило, строятся на основе плоского базового оператора. В работах [2-4] предложен итерационный алгоритм дискретного кватернионного преобразования, выгодно реализующий вращение вектора в трехмерном пространстве. Логика построения этого алгоритма дает возможность его развития для многомерных пространств.
Пусть {ei}, i={1...n} - канонический базис n-мерного евклидова пространства, x = {xi} i = {l...n} - исходный вектор, а а = {ai}= const - угловая скорость вращения вектора x , определенного своими проекциями в базисе {ei}. Рассмотрим определитель
F=
1
Х21
2n
X(n-2)1
■ x
а
(n-2)n an
x„
(1)
л.}
где символы Х принимают значения произвольных чисел, которые, в общем случае, образуют систему из (п—3)-х линейно независимых векторов. Условия, при которых символы Х принимают конкретные значения, излагаются ниже.
Выполняя последовательное разложение определителя (1) по минорам первой, п-ой и (п—1)-й строки получим выражение
п п п
Fi(t) = £(-1) ei £(-1)n-1+Jxj £(-1)
n-2+k
i=1
j=1
j*i
k=1 k* J *i
X21
X2(k-
1)
X2(k+1)
ak X
2n
(2)
(n-2)1
■ x
(n-2 )(k-1) X(n-2)(k+1)
x(
(n-2)n
e
n
X
Для перехода в выражении (2) от угловой скорости к углам вращения выполним интегрирование (2) по параметру t на интервале At = t2 —t1.
Axi = £(-1)i+1 e, £ (-1)”-1+Jxj. £(-1)"-2+J AatlIJt , (3)
i=1 j=1 k=1
i* j k*i* j
где
ak = WkAt (4)
- угол вращения вокруг оси ak, а liJ-k - определитель, полученный из (1) удалением первой, (n—1)-й, (п-2)-й строки и i-го, j-го, k-го столбца; i={1 ...n}, j={1...n},}, k={1...n}, i *j *k, причем индекс i принимает n значений, j - n-1 значений, а k - n-2 значений.
Значения Лхі, і=(1...п) представляют собой приращения вектора X на интервале Аґ, а вектор X' = {хі}= Х(ґ1 + Аґ) = х(ґ2) , с учетом (3) и (4), определяется следующим образом
X' = X + АХ = Ах , (5)
где Ах = {Ахі }- вектор приращений, а матрица А равна
С п п-1 \
1 (-1)П+2 £Аак11,2,к ■ ■ (-1)2П £Аак11,пк
к=3 к=3
п п-1
(-1)п+3 ^АакІ2,1,к 1 ■ ■ (-1)2п+1 ТАакІ2,п,к
к=3 к=1
А =
к ф2
. (6)
(—1)2п+1 £АакХп^к . . . 1
У=к
Из (6) видно, что каждый ау элемент матрицы А состоит из к = п-2 (к = 1...п; к #у ^/) элементов - углов вращения, умноженных на соответствующий определитель 1/ук. Каждая /-я строка матрицы А содержит у = п-1 (к = 1...п;у ^/) углов вращения.
Матрица А' = А - 1 кососимметрична, так как а'у = —аУ (учитывая,
что 1у?к = 1]4,к). Исследование матрицы А = 1+А' показали, что при малых значениях интервала А( А ® 0) матрица А является ортогональной [5]. Таким образом, по аналогии с трехмерным пространством выражение (5) с матрицей (6) при бесконечно малых изменениях параметра ^ в выражении (4) задает элементарное вращение (бесконечно малое ортогональное преобразование) в п-мерном евклидовом пространстве на углы Аа/, / = (1...п) вокруг осей щ, / = (1...п). Отметим, что свойства ортогональности и кососимметричности матрицы А инвариантны относительно значений Лцк. Значения операторов Л/,],к определяет многообразие вращений в п -мерном пространстве. Поэтому не ограничивая общности представления вращений, зададим Лцк = {-1,0,1}, в зависимости от вида преобразования (6). Очевидно, что для любого из заданных 1/,у,к можно найти такие значения £у, чтобы удовлетворялось равенство (3).
Выражение (5) с матрицей (6) позволяет организовать итерационный алгоритм, реализующий вращение вектора х в п-мерном пространстве вокруг оси вращения Щ = {щ } на углы а/ , / = (1...п) с шагами
Аа/ =щА = М/2, (7)
Аа ■
где М/ =-р—г - масштабы, обеспечивающие одновременное по всем
тах{Аа/}
углам приведение вектора х в конечную точку.
Алгоритм вращения имеет вид
Ь+1 = Ахи ;
(8)
Ааі,к+1 = Ааі,к + 1і]к(к+1 )Ааі ;
Ааі 0 = 0 ;
Гsign(ai - Ааг- к),... при...аі - Ааг- к ^ 0,
10,. при... Ааі к - аі = 0, где к - номер итерации.
При Лі]к = О получим координаты преобразованного вектора Хк+1. Покажем вычислительные возможности алгоритма (8) многомерного вращения вектора на примере решения системы п линейных уравнений
СХ = Ь , (9)
(<
где С =
-11
\ сп1
\
-1п
пп
- невырожденная матрица и Ь =
\Ьп 0
вектор
свободных членов.
Система (9) решается последовательным приведением матрицы С к верхнему треугольному виду. Для этого введем индекс т=1,2...п-1 и зададим условия формирования значений оператора вращения:
П,...при.../и у = п — т +1,
1цк =\ (10)
[0... при.../и у Ф п — т +1.
Направление вращения определяется знаком соответствующего угла из (14). Далее, дополним (10) условием
к = тах{/,у'}+1, (11)
определяющим один из углов в суммах (6), и, если тах{,у}= п , то к = 2 (в этом случае индекс к принимает значение следующего «свободного» индекса {/,]}). С учетом (10) (11), а также переиндексации т = к-1, матрица
вращения (6) сводится к виду
Т =
(1 о
О 1
оо
оо
о
о
- Аа
о
о
Аа
( т+1 )т
т( т+1) 1
0 0 ■ ■ -Аа(т+1)п 0
Аа
(12)
Х0 = X ;
1
о
1
Для каждого значения m, m = 1...П-1 выполняется обратные преобразование [6] вида
_ _ Cm _ TmCm-1 и bm+1 _ Tmbm , (13)
где C0 = C, b0 _ b , а элементарные углы вращения матрицы Tm определяются следующим образом
Aamr =-Aarm _ Mmr2~s _-Mrm2~s _ c<Z~1} , r = m + 1,m + 2...n . (14)
В условии (14) верхний индекс элемента c(m-1 отмечает его принадлежность к матрице Cm-1.
В результате преобразований (13) n-m элементов m-го столбца матрицы Cm1 сводятся к нулю (n-m элементов считаются снизу). При m = n-1 матрица Cm является треугольной. С учетом (12) - (14) алгоритм приведения матрицы C к треугольному виду заключается в следующем (итерационные индексы h записаны сверху): m _ 1...n -1;
Co = C;
b0 = b;
Ch t Ch-1 • (15)
Cm-1~ TmCm-1;
C o _ C
m-1 m-1
При cft-W-1) _ 0, cm-1 _ Cm.
При m = n - 1, Cm - верхняя треугольная, вычисления окончены. Согласно приведенного выше метода для решения системы из линейных уравнений необходимо выполнить n-1 вращений (преобразование вектора b по алгоритму (15) реализуется параллельно), в каждом из которых участвуют все компоненты матрицы C и вектора b . Для решения систем линейных уравнений известными методами вращения вектора не-n
обходимо выполнить — (n -1) преобразований.
Таким образом, методы многомерного вращения вектора, предложенные в настоящей работе, представляют интерес с точки зрения сокращения и оптимизации вычислений в n-мерных пространствах.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hsiao S.-F., Delosme J.-M. Parallel Singular Value Decomposition of Complex Matrices Using Multidimensional CORDIC Algorithms /IEEE Trans. On Signal Processing. 1996. - Vol. (3).
2. Владимиров В.В. Алгоритм сопроцессора дискретного кватернионного преобразования. /Многопроцессорные вычислительные структуры. - Таганрог: Изд-во ТРТИ, 1989. - Вып. 11.
3. Владимиров В.В. Звягинцев Н.С. Анализ и синтез алгоритмов дискретного вращения вектора для решения задач морской навигации //Проблемы вод-
ного транспорта. Известия вузов, Северо-Кавказский регион. - Ростов-на-Дону: РГУ, 2004.
4. Владимиров В.В■ Звягинцев Н.С■ Граждан Д. В. Вычисление синуснокосинусных сочетаний алгоритмами дискретных кватернионных преобразований //Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы №1 (21). - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005.
5. Звягинцев Н.С■ Граждан Д.В■ Об ортогональности бесконечно малого преобразования вектора в п-мерном евклидовом пространстве // Сб. научных трудов. Вып. 12. - Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2007.
6. Владимиров В.В■ Звягинцев Н.С■ Вычислительные возможности алгоритма трехмерного дискретного вращения вектора //Проблемы водного транспорта. Известия вузов, Северо-Кавказский регион. - Ростов-на-Дону: РГУ, 2004.
Я.Е. Ромм, А.А. Лабинцева
ПОИСК КОРНЕЙ ПОЛИНОМА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В [1, 2] изложен метод применения распараллеливаемой внутренней сортировки по ключу (ниже - сортировки) для локализации и приближенного вычисления нулей функций. В частности, в произвольно фиксированной области метод позволяет программно локализовать и с высокой точно -стью вычислить все нули многочлена, включая случай их плохой отделен-ности. Степень многочлена и его коэффициенты могут быть произвольными в границах числового диапазона языка программирования. Метод обладает параллелизмом, имеет практические приложения.
Ниже ставится задача быстрой программной локализации области всех нулей многочлена с одновременным их вычислением без использования априорной информации о границах области. При этом задача относится к случаю, когда коэффициенты многочлена являются переменными величинами и могут иметь комплексные значения.
Решение задачи конструируется на основе сортировки слиянием. Известные схемы последней [3, 4] для этой цели модифицируются. На основе матриц сравнения (МС) [5] при выполнении модифицированного слияния достигается максимальный параллелизм, устойчивость, прямая и обратная адресация к входным и выходным индексам. Представленная ниже сортировка не перемещает ключи, используя перемещение их индексов, не ограничена целой степенью двойки для числа элементов.
Конструируемая сортировка и реализующая ее программная процедура именуются sort. Сортировка основана на адресном слиянии двух упорядоченных массивов по МС, пример которой представляет таблица:
