РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ НА ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ ТРЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 622.276.66 DOI 10.24412/1728-5283-2023-4-30-40

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ НА ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ ТРЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ *

© Макеев Григорий Анатольевич

Общество с ограниченной ответственностью «РН-БашНИПИнефть» г. Уфа, Российская Федерация

Операция гидроразрыва пласта (ГРП) играет важнейшую роль при добыче трудноизвлекаемых запасов углеводородов. При этой операции в пласте создаётся заполненная расклинивающим агентом (пропантом) трещина с высокой проводимостью, увеличивающая продуктивность скважины. Параметры создаваемой трещины являются предметом моделирования в специализированном программном обеспечении - симуляторе ГРП. Корректная оценка гидравлического трения смеси с пропантом в насосно-компрессорных трубах (НКТ) важна для предотвращения преждевременной остановки операции ГРП из-за превышения допустимого для насосов давления. Прямой расчёт потери давления на трение при движении смеси в НКТ в симуляторе ГРП, как правило, производится с помощью корреляционных моделей, в которых трение представляется функцией только от расхода. Решение обратной задачи для идентификации параметров модели трения имеет важное прикладное значение для инженеров по ГРП, которые должны актуализировать модели трения используемых ими жидкостей. В работе приводится общая постановка прямой и обратной задачи расчёта потерь давления на трение в НКТ при ГРП. Кроме этого, в зависимости от условий, в которых производится закачка жидкости при ГРП, задача идентификации может быть поставлена в упрощённых постановках, которые применимы для некоторых интервалов типовых операций ГРП. В работе приводится 8 таких постановок для разных ситуаций закачки жидкости без пропанта. Для каждой из постановок приведён метод решения обратной задачи, сводящийся к решению системы линейных алгебраических уравнений или к миними-

_ Ключевые слова: моделирование ГРП, дизайн ГРП, карта трения, потери давления на трение, моделирование ГРП, идентификация параметров моделей, обратная задача.

зации функционала. Показано, какие из постановок являются разрешимыми и неразрешимыми, а также проведён анализ единственности имеющихся решений.

MODEL IDENTIFICATION PROBLEM SOLVABILITY FOR HYDRAULIC FRICTION PRESSURE LOSS IN VARIOUS FORMULATIONS

© Makeev Grigory Anatolyevich

Limited Liability Company "RN-BashNlPIneft", Ufa, Russian Federation

Hydraulic fracturing plays a vital role in the tight hydrocarbon reserves recovery. A highly conductive fracture filled with proppant is created inside the formation during the frac operation, increasing the productivity of the well. The fracture geometry is subject to modeling in a specialized software - a hydraulic fracturing simulator. Correct assessment of the hydraulic friction of slurry in the tubing is important to prevent treating pressure build-up and premature shutdown of the operation. Direct calculation of tubing friction pressure loss is, as a rule, carried out using correlation models in which friction is represented as a function of flow

* Для цитирования:

Макеев Г.А. Разрешимость задачи идентификации параметров модели потери давления на гидравлическое трение в различных постановках // Вестник Академии наук Республики Башкортостан. 2023. №4. С. 30-40. DOI 10.24412/1728-5283-2023-4-30-40.

А

г

rate. Solving the inverse problem to identify the friction model parameters is important for hydraulic fracturing engineers, since they have to update the friction models of the frac fluids they use. This paper provides a general formulation of the direct and inverse tubing friction pressure loss problems. Depending on the operation specifics, the identification problem can be formulated in several simplified formulations, applicable for certain intervals of typical hydraulic fracturing operations. The work presents 8 such settings for different situations of fluid injection without proppant. For each formulation, an inverse problem solution method is

Введение. Успешное проведение на добывающей или нагнетательной скважине такой технологической операции как гидроразрыв пласта (ГРП) требует предварительного моделирования комплекса всех физических явлений, сопутствующих операции. При проведении ГРП в скважину спускают насосно-компрессорные трубы (НКТ), через которые в пласт закачивается под большим давлением жидкость и смесь жидкости с пропантом, благодаря которым в пласте появляется трещина, обеспечивающая повышение притока к скважине после окончания операции.

Одним из явлений, которые обязательно нужно моделировать при планировании ГРП, является движение жидкости/смеси по НКТ до входа в пласт, при котором жидкость испытывает трение о стенки НКТ и вязкостное трение внутри самой смеси. В результате образуется перепад давления между поверхностью, откуда осуществляется закачка, и точкой входа жидкости/смеси в пласт. Давление на конце трещины определяется свойствами породы и не поддаётся управлению. Забойное давление, а также давление в окрестности интервала перфорации, где жидкость входит в скважину, превышает давление на конце трещины на величину так называемого чистого давления и зависит от реологии жидкости и геометрии трещины. Давление на устье определяется забойным давлением, гидростатическим давлением столба смеси в НКТ, потерями давления на трение при проходе смеси через отверстия перфорации и потерями давления на трение в смеси при движении в НКТ, которое зависит от свойств жидкости и скорости закачки. Неправильная оценка потери давления на трение может привести к превышению максимально допустимого устьевого давления и преждевременной остановке операции. Для правильной оценки трения инженеры должны использовать актуализируемые модели трения непосредственно для жидкостей, которые они используют в своих операциях. В данной работе рассматриваются различные упрощённые и неупрощённые постановки задачи восстановления параметров модели трения по данным фактических замеров трения в НКТ при ГРП. Показано, в каких постановках задача разрешима, а в каких нет.

Общая постановка прямой задачи расчёта трений и обратной задачи идентификации параметров модели трения

Гидравлические потери давления на трение при движении жидкости в цилиндрической трубе могут оцениваться с помощью разных подходов. Известно, что при ГРП типовые скорости движения жидкости по трубе таковы, что жидкость двигается в турбулентном или переходном (ламинарно-тур-булентном) режиме, а значит, к ним не применимо большинство методов, использующих предположение о ламинарном режиме течения. Поэтому в индустрии ГРП потери давления на трение при движении жидкости в трубе рассчитываются с помощью подхода, когда они определённой корреляцией, например, степенной корреляцией (5) связываются со скоростью движения жидкости. Вопрос о связи этих корреляций с реологическими параметрами жидкости для разных моделей реологии в данной работе не рассматривается.

Прямая задача расчёта потерь давления на трение смеси при движении в трубе подразумевает, что даны:

— (г) - зависимость удельного (на каждый 1 м НКТ) коэффициента потерь давления на трение от расхода Т для конкретной НКТ постоянного диаметра - так называемые карты трения для каждой из 71 закачиваемых жидкостей (/ = 1..л);

- ( с ) - поправка для трение на пропант, зависящая от концентрации пропанта;

— Г = 1 ..Т ~ дискретные моменты времени;

- С (О, Г) ~ концентрация пропанта в закачиваемой смеси, где с (1, С) - концентрация пропанта

Key words: hydraulic fracturing modeling, hydraulic fracturing design, friction map, tubing friction pressure loss, model parameters identification, inverse problem

given. Typically it is either solving a system of linear algebraic equations or minimizing a functional. The paper shows if each of the problem statements is solvable to a unique solution or not.

ВЕСТНИК АКАДЕМИИ НАУК РБ / __

I 2023, том 49, № 4(112)^^^^ШПШШШ 31

в точке ствола I в момент времени t; при этом J есть точка ствола, определяемая измеренной длиной вдоль ствола (так называемая измеренная длина - measured depth, MD);

- t\ (0, t) - индикаторные функции закачиваемых жидкостей, где е,- (I, t) равна 1, если в точке ствола I в момент времени f присутствует жидкость i и равна 0 в обратном случае;

- Q (t) - накопленный объём закачки от времени или r(t) - скорость закачки, то есть производная накопленного объёма по времени;

- ¿, - длина НКТ постоянного диаметра DHKT.

При if ом требуется найти F (f ) - суммарные потери гтяитгения на трение в НКТ в любой момент времени . Функции, зависящие от времени, такие, как С СО, c(o,t), во входных данных

могут определяться для дискретных моментов времени t, в этом случае подразумевается, что они непрерывно линейно интерполируются между заданными точками.

Обратная задача идентификации параметров модели потери давления на трение подразумевает, что даны фактические ^измеренные) потери давления на трение F(t) или измеренные значения устьевого давления ^уст СО , забойного давления f3ag(t) и рассчитанного гидростатического давления Ргс ( t). через которые фактические потери давления на трение F(t) тривиально выражаются:

ЭД = Py^iO ^(t) + hiity (!)

При этом нужно найти f-(7-) - карты трения для каждой из закачиваемых жидкостей и h (с ) - поправку для трения на пропант, такие, что они минимизируют функционал невязки расчётных и фактических потерь давления на трение:

fi(r),.....fn(г), hie') = argmin^ (Ffaf^r), (r), h(с)) - F(t))2- (2)

Карта трения /¡- (?") для 7-й жидкости определяет градиент потерь давления на трение этой жидкости при определённой скорости её движения по НКТ диаметра г. Суммарные потери на трение складываются из трения всех жидкостей в тех частях НКТ, по которым они двигаются, а значит, выражаются в виде зависящего от времени интеграла вдоль НКТ длины LHKT и диаметра ¿)нкт:

(3)

В случае, когда пропант отсутствует, }\ (с(7р Г)) = 1 и формула (3) упрощается. Считая, что

доля

ствола, занятого каждой жидкостью в каждый момент времени выражается через интеграл по стволу £. (г) = е. (I, Г) (11 ■ можно записать:

л

F И=£

¿■Р--К

л (к о) eia,t)di

= L,

it

^[fiirCOj^CO].

(4)

i=l

Существуют аналитические методы расчёта потерь давления на гидравлическое трение, которые связывают эти потери с параметрами реологической модели (ц', к' Для степенной жидкости и т.д.), с вязкостью жидкости, температурой, диаметром, профилем и шероховатостью трубы, скоростью течения и т.д. Эти методы обычно не используются в симуляторах ГРП для прямой задачи расчёта трения и поэтому в данной работе не рассматриваются.

Частные постановки обратной задачи идентификации параметров модели трения и их разрешимость

Задача идентификации параметров модели потери давления на трение при отсутствии пропанта в виде, принятом в симуляторах ГРП, может быть рассмотрена в разных постановках, в зависимости от следующих факторов:

— закачка только одной жидкости или замещение одной жидкости другой;

— НКТ, состоящая только из одного или из нескольких сегментов разного диаметра;

— постоянный или изменяющийся расход жидкости.

Различные постановки могут иметь разную применимость при типовых операциях ГРП. Далее приводится анализ различных постановок в разрезе их формальной модели, метода решения, разрешимости и применимости. Во всех таких постановках необходимо идентифицировать параметры

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ НА

ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ ТРЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ А

модели гидравлического трения для всех участвующих жидкостей, диаметров и расходов, считая, что известны:

— фактические суммарные потери давления на трение в НКТ в каждый момент времени

ЯО = ТО).....то>

— диаметры и длины всех сегментов НКТ;

— постоянный или переменный расход г (О. во всех точках НКТ.

В случае постоянного расхода модель трения для жидкости будем представлять одним постоянным коэффициентом удельных потерь давления на трение f на 1 метр трубы. Для изменяющегося расхода г(Е) моделью гидравлического трения, зависящего от расхода, будем считать степенную модель:

Г(г) = С*г(гУ. (5)

В случае одной жидкости, прокачиваемой с постоянным расходом Г (О через НКТ постоянного диаметра О н к т длиной £ т можно записать переопределённую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

(L

НКТ

кп

^тоУ

(6)

В этой СЛАУ единственная неизвестная величина ^ А - это удельный коэффициент потери давления на трение для жидкости А на 1 метр НКТ для постоянного расхода. Данную переопределённую СЛАУ можно решить относительно fA с помощью любого метода, минимизирующего следующий функционал:

/ТО)

: ; ! ' мпл. (7)

\F(T),

Несложно показать, что в данном случае задача имеет простое аналитическое решение:

Таким образом, при прокачке через НКТ постоянного диаметра одной жидкости с постоянным расходом можно определить только удельный коэффициент потери давления на трение для данного расхода через среднее арифметическое всех замеров фактических потерь давления на трение F(t) Карту трения f] (г) как зависимость от расхода в такой постановке определить невозможно.

Такая постановка возможна на некоторых, достаточно кратких этапах проведения ГРП, когда вся НКТ постоянного диаметра заполнена одной жидкостью, и расход изменяется мало. Чаще всего такое бывает только в конце стадии подушки, когда подаваемый сшитый гель полностью заместил исходную жидкость ствола, перед началом подачи пропанта, на стадии замещения после продавки всей жидкости ствола в пласт или на стадии мини-ГРП после продавки сшитого геля в пласт линейным гелем.

В случае двух жидкостей, когда жидкость В замещает с постоянным расходом i"(t ) жидкость А в НКТ постоянного диаметра D н к т длиной L н к т, расход ?'*(0 однозначно определяет для каждой жидкости длину части ствола £ 1 (t) и £2 (£), которую они занимают в любой момент времени. В этом случае можно записать переопределённую СЛАУ:

^l(l) ¿2(1)4 ffA\ /ТО)\

; : ; :■ (9)

¿¿Т) LZ(T)/ V/ } yF(T) J

В этой СЛАУ две неизвестных величины / *4 и f в ~ это удельные коэффициенты потери давления на трение для жидкостей А и В на 1 метр НКТ для постоянного расхода. Для ненулевой закачки ранг данной СЛАУ равен двум, значит, она имеет единственное решение в смысле метода наименьших квадратов (МНК), то есть единственную пару коэффициентов и fв. минимизирующую следующий функционал:

ВЕСТНИК АКАДЕМИИ НАУК РБ / __

I 2023, том 49, № 4(112)^^^^ИПШПППП1 33

^i(l) 1' МТ)

min.

(10)

Это решение может быть найдено стандартным способом, например, с помощью сингулярного разложения (Singular Values Decomposition, SVD) или с помощью любого метода численной оптимизации.

Таким образом, при замещении постоянным расходом в НКТ постоянного диаметра одной жидкости другой можно определить только удельные коэффициенты потери давления на трение для данного расхода, но сразу для обеих жидкостей, и решение будет единственным. Такой результат можно понять, если представить себе, что в начале процесса замещения весь ствол наполнен одной жидкостью, а в конце замещения - другой. Однако использование всех промежуточных точек, когда в стволе находятся обе жидкости, позволяет избежать проблем, связанных с негативным влиянием погрешности расходомера на результат вычислений при малом количестве точек. Карты трения f} (У) как зависимостей от расхода в такой постановке определить невозможно ни для одной из двух жидкостей.

Рассмотренная постановка задачи применима на большинстве закачек в типовых операциях ГРП: и при операциях замещения, и в процессе мини-ГРП, и на этапе закачки подушки во время основного ГРП. Однако область применимости ограничена только случаями, когда расход изменяется мало.

В случае одной жидкости, прокачиваемой с переменным расходом r(f ) через НКТ постоянного диаметра D н к т длиной L н к т, не существует единственного удельного коэффициента f 4 потери давления на трение, так как он обычно изменяется в зависимости от расхода. Представим степенную зависимость с двумя неизвестными коэффициентами С, N-

*C*T(ty. (11)

Ht) = ¿нкг*

Логарифмируя обе части уравнения, можно записать:

log Щ)~1од LKKI = logC+N* log r(t). (12)

В этом случае можно записать переопределённую СЛАУ:

<1 log г(1)\ , „

1 flog Cj =

log F(l) — log L

a iogr(T^

V N

(13)

Jog F(T) - log L

t

В этой СЛАУ две неизвестные величины: log С и N. Для непостоянного расхода ранг данной СЛАУ равен двум, значит она имеет единственное решение в смысле МНК, то есть единственное решение на log С и N. минимизирующее следующий функционал:

1 log ray

a log r(T),

(T)

log F(l) - log L

h:-

Jog F(T) - log L

min.

(14)

Это решение может быть найдено стандартным способом, например, с помощью ЗУБ-разложения или с помощью любого метода численной оптимизации. Полученное в результате значение 1од С необходимо подставить в экспоненциальную функцию, чтобы получить С.

Другой возможный метод решения задачи заключается в том, чтобы без логарифмирования записать и минимизировать функционал невязки:

С" .V = ■: г) - С" ^т)' ;" (15)

Следует отметить, что эти два метода на самом деле решают разные оптимизационные задачи, и полученные результаты будут отличаться, так как задача линейной регрессии в пространстве X — У не эквивалентна задаче линейной регрессии в пространстве 1одХ — 1 од У. С практической точки зрения, однако, этим отличием можно пренебречь, так как оно будет тем меньше, чем лучше искомая степенная модель карты трения описывает имеющиеся фактические данные.

Таким образом, при прокачке через НКТ постоянного диаметра одной жидкости с переменным расходом появляется возможность единственным образом определить карту трения для единственной участвующей жидкости в виде степенной зависимости удельного коэффициента потерь давления на трение от расхода: /¡(г) = С * т(£)м.

А

г

Такая постановка возможна на тех этапах ГРП, где расход намеренно или ненамеренно изменяется в достаточно широких пределах, при этом закачиваемая жидкость совпадает с жидкостью ствола. Например, на начальном этапе закачки, а также на этапе выхода насосов на режим расход может нарастать до целевого значения постепенно. Кроме того, при некоторых технологиях проведения ГРП, расход на определённом этапе целенаправленно сбрасывается, например, при доводке шара для открытия следующего порта ГРП.

С математической точки зрения в такой постановке для определения степенной карты трения для любых расходов достаточно иметь в исходных данных только две точки для разных расходов. Несмотря на это, с практической точки зрения, полученную карту трения можно рекомендовать считать достоверной только для такого интервала расхода, который действительно наблюдался в используемом наборе данных (исключая экстраполяцию для таких расходов, которых в закачке не было).

Представляется целесообразным выделить такие этапы операции ГРП, когда технологически возможно и безопасно варьировать расход в достаточно широких пределах для того, чтобы получать карты трения для более широкого диапазона расхода.

В случае одной жидкости, прокачиваемой с постоянным расходом г(() через НКТ, состоящую из двух ссг^нтпр постоянного диаметра: сегмента диаметром О\ к т длиной Ьк г, сегмента диаметром к т длиной к т. для разных диаметров НКТ можно ожидать разные потери давления на трение. В этом случае можно записать переопределённую СЛАУ:

^^ НКТ ¿нкт\ /у1Ч /^(1)

. (16)

¿НКТ ¿НЕТГ' V СО,

В этой СЛАУ две неизвестные величины: f1 и f2 - это удельные коэффициенты потери давления на трение для первого и второго сегмента НКТ. Данную переопределённую СЛАУ можно решить относительно ^1 и с помощью любого метода, минимизирующего следующий функционал:

^нкт ¿нкт\ (flx ' ^(1)

':л::. (17)

И" —

^¿нкт ¿нкт-'

Однако видно, что матрица этой СЛАУ имеет ранг, равный единице, а значит, она имеет бесконечное число решений в смысле МНК, то есть множество пар коэффициентов £1 и у2, которые в одинаковой мере минимизируют функционал невязки.

Другой возможный метод решения задачи заключается в том, чтобы любым методом численной оптимизации минимизировать следующий функционал невязки:

Г,Г = атдтт^Ю-¿^Г" ¿2„кт - РУ■

(18)

ь

Видно, что если - это решение, минимизирующее функционал (18), то

(,/ | 77 . Г — ~~7 ) или (аГ1 (1 + Г1 — а) —— ) f2^- тоже решения, минимизирующее этот функционал для любого а, а значит, задача имеет произвольное число решений.

Таким образом, при прокачке через НКТ, состоящую из двух сегментов разного диаметра одной жидкости, с постоянным расходом невозможно разделить суммарные потери давления на трение между этими сегментами и определить удельные коэффициенты трения для каждого из диаметров.

Такая постановка возможна на скважинах с составными НКТ на некоторых, достаточно кратких этапах проведения ГРП, когда вся скважина постоянного диаметра заполнена одной жидкостью, и расход изменяется мало.

В случае двух жидкостей, когда жидкость В замещает с переменным расходом г(£) жидкость А в НКТ постоянного диаметра Он к т длиной ¿нкт заданный расход г(С) однозначно определяет для каждой жидкости длину части ствола ¿д (С) и £ в (О. которую они занимают в любой момент времени. Для любого момента времени в этом случае суммарное трение складывается из трения обеих жидкостей с собственными степенными моделями трения:

Щ) = ьА (О * сл *г&Га + 1в(0*сб *г((19)

В данной постановке нет возможности записать СЛАУ, однако можно любым методом численной оптимизации минимизировать следующий функционал невязки:

Р(Х)-ЬА(Х) * СА * г(0

1В (О* Св * г (0

»В

Таким образом, при замещении переменным расходом в НКТ постоянного диаметра одной жидкости другой можно определить не только удельные коэффициенты потери давления на трение для обеих жидкостей, но и карты трения для них, представленные в виде степенной зависимости от расхода.

Рассмотренная постановка задачи применима на большинстве закачек в типовых операциях ГРП: и при операциях замещения, и в процессе мини-ГРП, и на этапе закачки подушки во время основного ГРП. В данной постановке необходимо, чтобы расход изменялся в широких пределах. Это часто бывает в начале закачки при выходе насосов на режим, или в конце закачки при выполнении тестов со ступенчатым понижением расхода.

Аналогично третьей постановке, на практике можно считать достоверными полученные карты трения только для того интервала расхода, который реально наблюдался при закачке. Более того, на практике важно, учитывая дисперсию показаний расходомера, какую долю ствола при данном расходе занимает каждая жидкость. Допустим, при расходе 1 м3/мин одна жидкость занимала только 10 м ствола. Когда она стала занимать (в процессе замещения) 100 м ствола, расход уже вырос до 2 м3/мин. В этом случае, нельзя считать достоверно определённой карту трения для этой жидкости для 1 м3/мин, т.к. для таких расходов жидкость занимает слишком малую часть ствола и образует слишком маленькую часть суммарного трения. Конкретные пределы таких ограничений ещё предстоит установить для конкретных значений дисперсии расходомеров и манометров. Такой подход можно предлагать в случаях, когда считаются достоверными только такие интервалы расхода карты трения для конкретной жидкости, при которых данной жидкости было не менее 10% ствола по длине.

В случае одной жидкости, прокачиваемой с переменным расходом г СО через НКТ. состоящую из двух сегментов постоянного диаметра: сегмента диаметром О ^ к т длиной £ ^ к т, сегмента диаметром £)- ^ т длиной ]_,~и к г, суммарное трение складывается из трения жидкостей в обоих сегментах с собственными степенными моделями карт трения:

В данной постановке также нет возможности записать СЛАУ, однако можно любым методом численной оптимизации минимизировать следующий функционал невязки:

(22)

Вопрос единственности решения этого функционала необходимо рассмотреть отдельно. Во-первых, видно, что если ¿V1 Ф ЛГ2и (С1, АГ1),^2, ЛГ2)-эторешение,то —

- тоже решение, поэтому для ДО1 ф $ 2 задача решения этого нелинейного функционала может сойтись к одному из этих двух решений (но только двух!). Это можно интерпретировать как своеобразное правило «от перестановки мест слагаемых» для трения в двух сегментах НКТ: если есть два сегмента НКТ, то, не зная, в каком порядке они расположены, мы не можем этот порядок идентифицировать. В реальности, как правило, один из двух сегментов имеет больший диаметр, и можно ожидать, что он будет иметь меньший из двух показателей ^1 > N 2 в силу того, что линейная скорость движения жидкости там будет меньше.

Во-вторых, видно, что если ¿V1 = ЛГ2 = то функционал можно записать по-другому, вынеся ^ заск°бки:

(23)

В этом случае видно, что если (С1, С^, - это решение, минимизирующее этот функционал, то СС1 + , С2--или Со С1, (1 + (1 — а) 1}Г~К~ 'С2)С2 , Л/) " тоже решения, минимизи-

рующие этот функционал для любого а, а значит, задача имеет произвольное число решений.

А

г

Таким образом, при прокачке через НКТ, состоящую из двух сегментов разного диаметра одной жидкости с переменным расходом, можно определить не только удельные коэффициенты потери давления на трение, но и карту трения для разных расходов целиком для используемой жидкости с точностью до перестановки порядка сегментов. Однако это возможно только в случае, если степени N1, N 2 Для сегментов НКТ в картах трения для них, наилучшим способом описывающих фактические данные, являются различными. Образно говоря, сумма двух степенных кривых с разными показателями не представляется в виде суммы каких-то других двух степенных кривых. В противном случае, разделить их не представляется возможным. Например, если НКТ состоит из двух сегментов одинакового диаметра, тогда есть основания считать, что Д?1 = Д/2 = Д/ и в этом случае трения разделить по сегментам не получится.

В случае достаточно отличающихся диаметров сегментов НКТ есть основания считать, что степени N 1, N 2 будут различны в силу различных скоростей течения, а значит и разных режимов течения через разные диаметры одной и той же гидравлической системы.

Рассмотренная постановка задачи применима при некоторых технологиях ГРП, где используется составная НКТ с манометрами только на устье и в конце нижнего сегмента.

В случае двух жидкостей, когда жидкость В замещает с постоянным расходом }' (t ) жидкость А в НКТ, состоящей из двух сегментов постоянного диаметра: сегмента диаметром длиной

¿а/ к г' сегмента диаметром 0~и к т длиной ¿.-^ к заданный расход г(Г) однозЙа'Тн^ определяет для каждой жидкости длину части каждого сегмента НКТ ствола, ¿^(0' ¿л2 СО' ¿31(0' , которые они занимают в любой момент времени. В этом случае можно записать переопределённую СЛАУ:

^1(1) ¿А2(1) ¿,1(1)

¿В2(1 Г

СО ¿31 СП ¿ 32 (Г).

(ГЛ1\ /А2 Г1 \Г2)

^аУ

(24)

В этой СЛАУ четыре неизвестных величины fБ1 и - это удельные коэф-

фициенты потери давления на трение для жидкостей А и В на 1 метр НКТ. соответственно, первого и второго сегментов для постоянного расхода. При этом ]_> ,л ( ■£) Ь ал ( О — Ь^- • а : ;,■ , а значит, ранг этой матрицы не превышает 3. Значит, эта СЛАУ имеет бесконечное число решений.

Это говорит о том, что при замещении одной жидкости другой постоянным расходом в НКТ, состоящей из двух сегментов, определить однозначно даже удельные коэффициенты потери давления на трение не представляется возможным - трение не разделяется. Тем более бессмысленно в этом случае записывать и минимизировать следующий функционал:

СА1^А\СА2^А2,СБ1МВ\СБ2^В2 =

= агдтт

КО - ¿Л1(0 * сА1 * гСО^1 - ¿¿2(0 * СА2 * г(о*

(25)

т(0 *С

В1

«В1

Решением уравнения (25) будет любая такая комбинация параметров СА1 ,СА2 ,№А2 ,СБ1 ,СВ2 которая при единственном имеющемся расходе

даёт одно из решений € минимизирующих СЛАУ (24).

В случае двух жидкостей, когда жидкость В замещает с переменным расходом Г (О жидкость А в НКТ, состоящей из двух сегментов постоянного диаметра: сегмента диаметром длиной

сегмента диаметром В'и к Т длиной Ь'н к т. заданный расход г(Г) однозначно определяет для каждой жидкости длину части каждого сегмента НКТ ствола, ЬЛ2 СО' ¿31(0' ¿В2 (0-

которые они занимают в любой момент времени. Для любого момента времени в этом случае суммарное трение складывается из трения обеих жидкостей в обоих сегментах с собственными степенными моделями карт трения:

1А1 со - сА1 * г(0"Л1 + ьА2 со * СА2 * г(хУ" +

А2

51

+¿,,(0 *СБ1 +¿0,(0 *СВ2 *г(О

,В 2

(26)

'нкг'

так как каждый сегмент

При этом 1А1(Х) +ЬВ1(Х) = ¿^ а 1А2{£) + ¿02СО = Ц

НКТ заполнен только двумя жидкостями.

В данной постановке также нет возможности записать СЛАУ, однако можно любым методом численной оптимизации минимизировать следующий функционал невязки: СА1«А1СЛ2«А2СВ1КВ1СВ2КВ2 =

агдтт

КО - ¿¿1(0 * сЛ1*г(хУЛ1 - ЬА2(О * САг *гСО^2'

(27)

¿Я1(0*сВ1*г-аг-Ьвгю *СВ2*Г со

,:В 2

Таким образом, при замещении переменным расходом в НКТ, состоящей из двух сегментов разного диаметра одной жидкостью другой, можно определить коэффициенты степенных моделей обеих участвующих жидкостей для обоих диаметров. Однако это возможно только в случае, если степени для сегментов НКТ в картах трения для них, наилучшим способом описывающих фактические данные, являются различными. В противном случае, разделить их не представляется возможным. Например, если НКТ состоит из двух сегментов одинакового диаметра, и в закачке участвуют жидкости, отличающиеся только линейным коэффициентом трений, то есть основания считать, что ДМ1 = Д/Л2 = ДГВ1 = Д/В2 = Д/ и в этом случае трение разделить по сегментам не получится, так как для любого фиксированного N задача сведётся к решению следующей СЛАУ относительно неизвестных СА1, СА2, СБ1, С32 '-

^1(1)

СП

А2

(1) I

т(1)

А 2

СТ) ьВ1(Т)

* Г-

ГО)

/СП,

(28)

Как и в предыдущем случае, матрица имеет неполный ранг, меньший 4, а значит, имеет бесконечно много решений. В случае Д/ 1 = ¡\]Л2 = = NB2 = N функционал можно переписать, вынося расход за скобки:

(29)

Тогда зная, что : (О + ¿В1Ю = I нкт, а ьА2 СО + ¿ В2 (0 - ¿нкт можно показать, что если СА1, СА2, СВ1, СБ2 , N - эт° решение, минимизирующее функционал, то для произвольного О. решением также является любая четвёрка СА1 Ч—— , СА2 Ч—— , СВ1--, СВ2--г—, ¿V, а значит,

задача имеет бесконечно много решений. ¿ют VI 'ит

Матрица разрешимости задач

Для всех приведённых выше постановок задачи в сводной таблице 1 показано, чем они все отличаются друг от друга, каким методом решаются, также показана разрешимость постановки и актуальность её для инженерной практики в области ГРП.

Таблица 1 - Постановки задачи идентификации модели трения

N Расход Число жилк. Число сегм. Метод (кол-во переменных) Результат (разрешимость задачи)

1 Пост. 1 1 СЛАУ(1) Коэффициент трения

2 Пост. 2 1 СЛАУ(2) Коэффициенты трения для двух жидкостей

3 Перем. 1 1 СЛАУ(2), функционал(2) Степенная модель трения для жидкости

4 Пост. 1 2 СЛАУ(2), функционал(4) Некорректная задача: решений произвольное число

А

РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ПОТЕРИ ДАВЛЕНИЯ НА

ГИДРАВЛИЧЕСКОЕ ТРЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ПОСТАНОВКАХ

Г

Из указанной таблицы видно, что все постановки с постоянным расходом и двумя диаметрами не позволяют восстановить параметры модели трения. Переменный расход позволяет разделить трение по составной НКТ без дополнительного манометра между двумя ступенями, однако если показатели степенной модели трения для обоих диаметров получаются близкие (например, для близких диаметров), то и в этом случае трение по сегментам неразделимо.

Постановка номер 5 применима на большинстве скважин с однопроходной НКТ и на большинстве этапов типовой операции ГРП, когда в стволе отсутствует пропант. Самой универсальной из рассмотренных является последняя, восьмая, постановка, применимая и для составных НКТ, но с описанными в таблице 1 ограничениями. Однако эти постановки требуют решения задач численной оптимизации нелинейного функционала на 4 или 8 параметров, и всегда будет оставаться вопрос о том, является ли найденное решение локальным или глобальными оптимумом. Именно поэтому для тех случаев, когда это применимо, рекомендуется использовать упрощённые постановки, особенно сводящиеся к приближённому решению СЛАУ, где единственность найденного решения гарантируется. Для решения задачи идентификации параметров модели трения при наличии пропанта требуется использовать модификацию модели трения, не рассмотренную в данной работе.

5 Перем. 2 1 функционал(4) Степенные модели трения для обеих жидкости

6 Перем. 1 2 функционал(4) Степенные модели трения для обоих диаметров с точностью до перестановки (2 решения); нет решения при одинаковых степенях

7 Пост. 2 2 СЛАУ(4), функционал(4), функционал(8) Некорректная задача: решений произвольное число

8 Перем. 2 2 функционал(8) Степенные модели трения для обоих диаметров и обеих жидкостях; нет решения при одинаковых степенях

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Аксаков А.В., Борщук О.С., Желтова И.С. и др. Корпоративный симулятор гидроразрыва пласта: от математической модели к программной реализации// Нефтяное Хозяйство. 2016. № 11. С. 35-40.

2. Ахтямов А.А., Макеев Г.А., Байдюков К.Н. и др. Корпоративный симулятор гидроразрыва пласта «РН-ГРИД»: от программной реализации к промышленному внедрению// Нефтяное хозяйство. 2018. № 5. С. 94-97. DOI: 10.24887/0028-24482018-5-94-97

3. Климанов В.И., Байдюков К.Н. Построение карт трений жидкости ГРП по данным забойных манометров горизонтальной скважины сложной конструкции // Нефтяное хозяйство: материалы науч.-техн. конф.: электр. версия. 2020. URL: http://new.oil-industry.ru/SD_Prezent/2020/10/01-32 Калиманов^£ (дата обращения: 11.09.2023)

4. Желтова И.С., Филиппов А.А., Пестриков А.В., Холодов Д.Ю., Климентьев А.Г., Кононен-ко В.А., Байдюков К.Н. Разработка симулятора для моделирования технологических операций

с гибкими НКТ // Нефтяное хозяйство. №7. 2020. С. 120-126

5. Малкин А.Я., Исаев А.И. Реология: концепции, методы, приложения. СПб.: Профессия, 2007. 560 с.

6. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / Под ред. М.О. Штей-нберга. 3-е изд., перераб. и доп. // М.: Машиностроение, 1992. 672 с.

7. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости: Гидромеханика, перемешивание и теплообмен / Пер. с англ. канд. техн. наук З.П. Шуль-мана; под ред. акад. проф. А.В. Лыкова. Москва : Мир, 1964. 216 с. :

8. Satish G. Kandlikar. Single-Phase Liquid Flow in Minichannels and Microchannels// Heat Transfer and Fluid Flow in Minichannels and Microchannels, Elsevier, 2014. Pp. 87-136.

R E F E R E N C E S

1. AksakovA.V., Borshchuk O.S., Zheltova I.S., etc. Corporate hydraulic fracturing simulator: from mathematical model to software implementation// Oil Industry. 2016. No. 11. pp. 35-40.

ВЕСТНИК АКАДЕМИИ НАУК РБ / __

I 2023, том 49, № 4(112)^^^^ИПШПППП1 39

митин а.а., масагутов р.х., ярополова е.а. /^^mmmmmm^mmfmmm'/

2. Akhtyamov A.A., Makeev G.A., Baydyukov K.N. et al. Corporate hydraulic fracturing simulator "RN-GRID": from software implementation to industrial implementation// Oil industry. 2018. No. 5. pp. 94-97. DOI: 10.24887/0028-24482018-5-9497.

3. KlimanovV.I.,BaydyukovK.N. Constructing maps of hydraulic fracturing fluid friction according to downhole pressure gauges of a horizontal well of complex design // Oil industry: materials of scientific and technical. conf.: elektr. version. 2020. URL: http://new.oil-industry.ru/SD_Prezent/2020/10/01 -32 Kalimanov.pdf. (Date of access: 11.09.2023).

4. Zheltova I.S., Filippov A.A., Pestrikov A.V., Kholodov D.Yu., Klimentyev A.G., Kononenko V.A., Baydyukov K.N. Development of a simulator

© Макеев Григорий Анатольевич,

кандидат технических наук, Заместитель начальника управления разработки ПО для моделирования ООО «РН-БашНИПИнефть» ул. Ленина, д. 86/1,

450006, г. Уфа, Российская Федерация.

ORCID ID: 0009-0009-6947-8671

эл. почта: MakeevGA@bnipi.rosneft.ru

for modeling technological operations with flexible tubing // Oil industry. No.7. 2020. pp. 120-126

5. Malkin A.Ya., Isaev A.I. Rheology: concepts, methods, applications // St. Petersburg: Profession. 2007. 560 p.

6. Idelchik I.E. Handbook of hydraulic resistances / Edited by M.O. Steinberg. 3rd ed.. reprint. and add. // Moscow: Mashinostroenie, 1992. 672 p.

7. Wilkinson U.L. Ed. Lykov A.V. Non-Newtonian liquids. Hydromechanics. mixing and heat exchange. // M. Mir. 1964. 216 p.

8. Satish G. Kandlikar. Single-Phase Liquid Flow in Minichannels and Microchannels// Heat Transfer and Fluid Flow in Minichannels and Microchannels. Elsevier. 2014. Pp. 87-136.

© Makeev Grigory Anatolyevich,

Candidate of Technical Sciences, Deputy Head,

of the Modeling Software Development Department, LLC "RN-BashNIPIneft", Lenin str., 86/1,

450006, Ufa, Russian Federation ORCID ID: 0009-0009-6947-8671 Email: MakeevGA@bnipi.rosneft.ru

УДК 553.984 DOI 10.24412/1728-5283-2023-4-40-49

ГЕНЕТИЧЕСКАЯ ТИПИЗАЦИЯ НЕФТЕЙ МОСКОВСКОГО ЯРУСА И НИЖЕЛЕЖАЩИХ ОТЛОЖЕНИЙ НА СЕВЕРО-ЗАПАДЕ ПЛАТФОРМЕННОГО БАШКОРТОСТАНА*

© Митин Алексей Андреевич,

Общество с ограниченной ответственностью «РН-БашНИПИнефть» ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», г Уфа, Российская Федерация

© Масагутов Рим Хакимович

Акционерное общество "Научно-производственная фирма "Геофизика", Академия наук Республики Башкортостан, г Уфа, Российская Федерация

© Ярополова Елена Андреевна

Общество с ограниченной ответственностью «РН-БашНИПИнефть» г Уфа, Российская Федерация

В Республике Башкортостан большинство месторождений нефти находится на завершающей стадии разработки. За счет успешного внедрения современных технологий интенсификации и увеличения нефтеотдачи, а также ускоренного ввода в разработку запасов открываемых залежей, в пос-

* Для цитирования:

Митин А.А., Масагутов Р.Х., Ярополова Е.А. Генетическая типизация нефтей московского яруса и нижележащих отложений на северо-западе платформенного Башкортостана // Вестник Академии наук Республики Башкортостан. 2023. №4. С. 40-49. DOI 10.24412/17285283-2023-4-40-49