CC BY
26
МАТЕМАТИКА
А.Н. Руцкий
РАЗРЕШИМОСТЬ ПО ДОПУСТИМОСТИ МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ 84.ам.£р.£с
Допустимые правила вывода были введены в 50-х гг. К. Лоренценом как правила, применение которых не расширяет множество теорем. Традиционно исследования допустимых правил вывода имеют много аспектов — проверка разрешимости по допустимости, определения базиса допустимых правил вывода, решения логических уравнений с метапеременными, проверка истинности квазитождеств на свободных алгебрах квазимногообразий, исследование уравнений в свободных алгебрах [1; 3; 7] и др. В последние годы изучение разрешимости для допустимых правил вывода проводится также и в связи с исследованиями свойств наследственности и строгой разрешимости ряда общих свойств для различных формальных исчислений.
В статьях Л.Л. Максимовой сформулирован ряд предположений о разрешимости по допустимости некоторых логик [2; 5]. Их подтверждение позволяет провести доказательство строгой разрешимости интерполяционного свойства модальных логик над 84 и ряда других свойств. В настоящей статье приведено доказательство разрешимости для допустимых правил вывода комбинацией части перечисленных в [2] логик, а именно 84.ат.^р.Сд, финитно аппроксимируемой классом транзитивных и рефлексивных фреймов. При этом внутренние сгустки этих фреймов имеют не более д элементов, максимальные сгустки имеют не более р элементов, а их число ограничено значением т. Варьируя параметры р, т и д, мы можем получить критерии допустимости правил вывода для многих проблемных логик. Это позволяет провести доказательство строгой разрешимости интерполяционного свойства модальных логик над 84 и ряда других свойств.
Ранее для распознавания допустимости правил вывода применялись известные алгоритмические и семантические критерии допустимости [3; 7]. Эти критерии можно было использовать в модальных и суперинтуиционистских транзитивных логиках, финитно аппроксимируемых по Крипке, обладающих свойствами ветвления ниже к-го слоя и опускания элементов ниже к-го слоя. Решение задачи распознавания допустимости правил вывода для логики 84.ат.^р.Сд
осложняется тем, что данная логика не обладает свойством ветвления ниже какого-либо слоя. Однако эффективным свойством опускания элементов ниже первого слоя [Т] логика S4.am.^p.Zq обладает - доказательство этого факта полностью аналогично доказательству этого свойства для S4.am [б]. Поэтому, как и прежде, нужно модернизировать алгоритмический критерий допустимости правил вывода, избегая использования в нем свойства ветвления.
Пусть модель K основана на рефлексивном и транзитивном фрейме и не имеет бесконечно возрастающих цепей. Применив технику сжатия, изложенную, например, в [б], получим p-морфную ей модель M, в любом сгустке которой нет элементов с одинаковым означиванием, а все сгустки верхнего слоя неизоморфны как подмодели. В работах [б; З] был введен конечный и эффективно конструируемый класс формул ^(M) = ^(Ci,..., Cf) I CkeSli(M)}, обладающий свойством распознавания сгустков верхнего слоя модели:
Vae I M I a ||—v ф^і,..., Cf) ^ {Cl,., Cf} = Si(C (a) R-).
С помощью класса ^(M) выведен следующий критерий.
Теорема І. Правило вывода
r = ai(xi, ...,Xn), ..., ai(xi, ...,xn)/p(xi, ...,Xn) не является допустимым в модальной логике S4.am.^p.Cq тогда и только тогда, когда существует модель Крипке M = <W,R,S> = UMj c означиванием S для
j
переменных правила вывода r, удовлетворяющая следующим свойствам:
(a) модель M является (S4.am.^p.Zq)-моделью, модель Si(M) - изоморфна модели Si(ChS4.am.^p.Cq (k));
(b) модель М содержит не более g (w, t)2c элементов, здесь с = 2n, w = Si(ChK4(n)), t = ISub (r)I, где g (w, t) - функция, определяемая формулой (1) в [4; б], Sub (r) - множество подформул правила вывода r, замкнутое по отрицанию;
(c) модель М обладает свойством обозрения ниже первого слоя [Т] для множеств Y = Sub (r) U^(M), т. е. для любой антицепи E сгустков модели Mj, фрейм Е~ которой имеет не более m максимальных сгустков, существует элемент Xe из Mj такой, что 0(Xe,Y) = {0(y,Y) I yeE} US (Xe, Y);
(d) каждая модель Mj - открытая подмодель модели ChS4.am^p.zq (n);
(e) модель M также опровергает правило вывода r.
Доказательство
Необходимость. Если правило r недопустимо в логике S4.am.^p.Zq, то по теореме 3.4.2 [Т] для фрейма j-характеристической модели ChS4.am^p.zq (i) существует опровергающее правило r означивание W, формульное для переменных Xi, ..., Xn. Тогда по лемме 2.4 на фрейме модели ChS4.am4p.zq (n) найдется означивание W2 с теми же свойствами. Следуя [б], n-характеристическая модель может быть представлена в виде ChS4.am4p.zq (n) = U Hj, где J<2c. В каждой компо-
jeJ
ненте Hj выделим для каждого подмножества Z е Sub (r) U^(Hj) не лежащий в
максимальном сгустке элемент xz так, чтобы S (xz, Sub (r) U^(Hj)) = Z (если такой элемент в модели н,- найдется). Тогда модель K, = U xz~ будет откры-
Z cSub(r )пП(И J)
той конечной подмоделью Hj. На модели K = Ц K ■, также основанной на
jeJ
(S4.am.^p.Cq)-фрейме, правило r будет ложным. По лемме 3.4.1 [7] для каждой компоненты K, можно построить сжимающий р-морфизм fj из K, в конечную (84.ат.^р^)-модель Mj, тогда модель M = Ц MJ будет удовлетворять свойствам
j
(Ь) и (d). При этом верхний слой этих моделей сохраняется^1(м) = Sl(Chs4.am4p.Zq (n)), как и ограничение на количество элементов в сгустках верхнего слоя. Поэтому свойство (а) для модели M справедливо, откуда ^(M) = ^(K) = ^(Chs4.am4p.zq (n)). Поскольку при р-морфном отображении истинность формул на моделях сохраняется, то модель M свойству (е) также удовлетворяет.
Покажем, что модель M обладает полным свойством обозрения ниже верхнего слоя для множеств Y с Sub (r) U^(M). Пусть E — конечная антицепь сгустков из модели M, и количество максимальных сгустков модели ER_ не превосходит т. Обозначим через U множество представителей ze Ce сгустков антицепи E. В модели K, выделим fj - 1(U) множество прообразов множества U и обозначим через U (fj -1) множество сгустков, содержащих элементы fj -1(U). В совокупности миры множества U (fj -1) «видят» не более т максимальных сгустков в модели Hj. Действительно, пусть S1(ER<) = {C1, ...,Cb}, b<m, тогда по свойству класса формул ^(M) [6; 3] для любого хеЕ имеем x||—s ^Cje{C1, ...,Cb} TyO(Cj)). По выбору элемента Xz и определению р-морфизма тогда для каждого yeU (fj-1) получим ylb (Лс'е {C1, .,Cb} !^(Cj)), что влечет {C1, ...,Cb} с S1(U (fj -1) R<), b<m. Обозначим через E (fj -1) множество минимальных сгустков подмодели U (fj - 1) R<, и тогда
U ◊(y, Sub (r) Uft(M)) = U 0(У, Sub (r) Uft(M)).
y^E( f,1) yeU( f,1)
По построению в модели Hj найдется элемент Xe некоторого сгустка конакры-тия (содержащего не более q элементов) для антицепи fj - 1(U), которая видит в совокупности не более т максимальных сгустков. По построению модели K, в ней найдется элемент Ye глубиной больше 1, такой, что S (XE,Sub (r) U^(M)) = S (Ye, Sub (r) U^(M)). Поскольку р-морфизм fj сохраняет истинность формул, в мире fj (Ye) модели Mj будет справедливо:
◊(fj (Ye), Sub (r) Uft(M)) = 0(Ye, Sub (r) Uft(M)) =
= 0(Xe, Sub (r) Ufl(M)) US (fj (Ye), Sub (r) Ufl(M)) =
= U ◊(У, Sub (r) Ufl(M)) US (Xe, Sub (r) Ufl(M)).
yeU( fj 1)
Таким образом, свойство (c) также выполняется.
Достаточность. Рассмотрим модель Chs4.am.^p.zq (n) = Ц HJ . Согласно свой-
jeJ
ствам (а) и (d) каждая модель Mj является открытой подмоделью Hj и фреймы, образованные подмоделями S1(Hj) и S1(Mj), изоморфны. Поэтому мы можем рас-
сматривать все элементы модели М как некоторые элементы модели Chs4.am4p.zq (п). По теореме 3.3.7 [7], каждый элемент модели Chs4.am4p.Zq (п) является формульным. Поэтому на фрейме модели М, как на подфрейме фрейма модели Chs4.am4p.zq (п), можно построить означивание V для переменных правила г, которое будет совпадать с означиванием S модели М. В дальнейшем будем подразумевать под МЛ = ^,И^) = Ц М* именно такую подмодель модели Chs4.am4p.Zq
№
(п), полагая I МЛ I С I Chs4.am4p.zq (п) I .
Доопределим означивание V на весь фрейм модели №34.^.^^ (п), для чего на каждом компоненте И/ построим последовательность возрастающих подмножеств Е(х,Ь) для Ухе I М* I, УЬ: 0 < Ь < шг, где шг — количество миров в модели М*. Последовательность будет удовлетворять следующим свойствам:
(а1) Ухе I М* I, £(х, Ь) с Е(х, Ь +1),
причем Ухг, хк е I М* I, хг Фхк ^ Е(хг, Ь)П£(хк, Ь) = 0;
(Ь1) каждое подмножество £(х, Ь) формульно при означивании V в модели И/, т. е. Ухе I М* I, УЬ 0 < Ь < шг, найдется формула а(х,Ь) такая, что Ууе I И/ I у ||—V
а(х,Ь) уеЕ(х, Ь);
(с1) УЬ 0 < Ь < шг, фрейм У £(х;, Ь) образует открытый подфрейм фрейма модели И/;
(d1) если означивание V для переменных правила вывода г на фрейме У £(х;, Ь) будет таким, что УpеVаr(г) V(p) = У {Е(хг, Ь) I хг 1 vp},
х; ^0^ Х;е!МСЬ|
тогда У^е Sub (г) ип(МД Ухе I М* I, Уае Е(х, Ь) а ||—V в ^ х |—V в;
(е1) УЬ 0 < Ь < Ш1 Ууе I Н* I, если уё V (р) = У {Е(хг, Ь) I хг 1 vp}, то найдется
подмножество W: такое, что I W I = Ь+1, ¥с I М* I и Ухе I W I ук<П£(х, ь) ^0.
Конструкцию последовательности подмножеств 2(х, Ь) опишем индукцией по значению параметра Ь. Подмножество Е(х,0) определим так: Ухе I М* I Е(х,0) =
{х}. Пусть для элемента Ухе I М* I построены подмножества £(х, g) для g < Ь. Возьмем произвольное Ь+1 элементное подмножество Б элементов модели I МСь I, такое, что фрейм [Б] к< имеет не более ш максимальных сгустков. Пусть
Еб — множество представителей всех минимальных сгустков для подфрейма [Б] к< модели М * (по одному представителю от каждого сгустка), тогда очевидно:
и 0(у, Sub (г) ип(Мс)) = и ◊(у, Sub (г) ип(Мс)).
уеЕБ уеБ
Для антицепи Еб фиксируем элемент Хе, удовлетворяющий свойству (с):
◊(Xe, Sub (r) Ufl(Mj)) = U ◊(у, Sub (r) Ufl(Mj)) US (Xe, Sub (r) Ufl(Mj)).
yeED
Для такого элемента Xe построим формулы q (D) и %(D):
q (D) = (Л ◊a(x,t))A( Л і^(х,0)Лі( V a(x,t)),
xeD x D, xE^M.chI
х ^Mjh I
X(D) = q (D)Л□( Л і a(x,t) ^ ◊q ф))Л( V a(x,t) Vq (D)).
xeIMfI x^DI
где a(x,t) - формулы для множеств £(х, t), удовлетворяющие свойству (bl). Тогда множество £(х, t+І) строим следующим образом:
£(х, t+І) = Е(х, t) U (X UX[V (x(D))),
XE“ x
Нетрудно убедиться, что U £(х, t) = Hj. При таком расширении означива-
Xt elMchI,
0 ^t ^Ші
ния V из модели Mch на весь фрейм модели Chs4.am.^p.Zq (n) получим, что на полученной модели формулы из посылки ai(xi, ...,Xn), ..., ai (xi, ...,Xn) правила r будут истинны. С другой стороны, формула в(хі, ...,Xn) будет ложной в некотором элементе he I Mf I е I Chs4.am.^p.zq (n) I. Таким образом, при построенном означивании V фрейма модели Chs4.am^p.zq (n) правило вывода r опровергается также. □
Следствие 1. Модальная логика S4.am.^p.Zq разрешима по допустимости.
Библиографический список
1. Бабенышев, С.В. Базисы допустимых правил вывода модальных логик S4.2 и S4.2Grz / С.В. Бабенышев // Алгебра и логика. - 1993. - Т.32. - № 2. - C. 11Т-130.
2. Максимова, Л.Л. Разрешимость проективного свойства Бета в многообразиях гей-тинговых алгебр / Л.Л. Максимова // Алгебра и логика. - 2001. - Т. 40. - № 3. -С. 290-301.
3. Руцкий, А.Н. Критерий допустимости правил вывода с метапеременными в модальной логике S4.am // Сибирский математический журнал. — 2006. — Т. 4Т.
4. Рыбаков, В.В. Критерий для допустимых правил вывода модальной системы S4 и интуиционистской логики / В.В. Рыбаков // Алгебра и логика. — 1984. — Т. 23. — № 5. - С. 369-384 (в печати).
5. Mаksimovа, L.L. Strongly Decidabile Properties of Modal and Intuitionistic Calculi // Logic Journal of IGPL. - 2000. - V.8. - № 6. - Р. Т9Т-819.
6. Rutskiy, A.N. Decidability of Modal Logics S4©an, S4©^n, w.r.t. Admissible Inference Rules // Bulletin of the Section of Logic. - 2001. - V. 30. - № 4. - Р. 181-189.
Т. Rybakov, V.V. Admissibility of logical inference rules // V.V. Rybakov. - Elseiver Sci. Publ., North-Holland. - New-York-Amsterdam, 199Т.
