Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗРЕШИМОСТЬ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В МНОГОМЕРНОМ ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ*

Исследуется разрешимость обратной задачи нахождения решения и(х, £) и неизвестных коэффициентов (£),..., цт() в многомерном гиперболическом уравнении при задании условий обычной начально-краевой задачи и условия переопределения. Доказываются теоремы существования решения.

Ключевые слова: обратная задача, условия переопределения, гиперболическое уравнение, волновое уравнение, априорная оценка.

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи нахождения вместе с решением гиперболического уравнения неизвестной правой части. К настоящему времени обратные задачи превратились в новую, мощную и бурно развивающуюся область знаний, проникающую практически во все сферы математики — алгебру, анализ, геометрию, дифференциальные уравнения, математическую физику, теорию операторов, вычислительную математику, и т. д.

В теории обратных задач тепло- и массопереноса [1-3] часто возникают проблемы восстановления плотностей неизвестных внешних источников. Во многих случаях имеет место зависимость неизвестной правой части от времени [4]. Рассматриваемые обратные задачи в ряде случаев формулируют как проблемы управления [5].

Целью настоящей работы является исследование разрешимости обратной задачи определения внешнего воздействия для волнового уравнения.

Пусть П есть ограниченная область пространства Яп (П С Кп) с гладкой границей Г, Г = дП, Б = Гх (0, Т), Q есть цилиндр П х (0, Т). Далее, пусть fk(х, £), фк(£), к = 1,...,т, д(х, £), и0(х), и1(х) есть заданные функции, определенные при х € П, £ € [0, Т], х(1),..., х(т) — точки области П такие, что х(к) = х(т) при

В области Q рассмотрим обратную задачу: найти функции и(х,£),

q1(t),... , 5т(£), связанные уравнением

к = т.

т

(1)

с начальными условиями

«к=о = «о(х), м*|*=0 = М1(х), х € П,

(2)

граничным условием

(3)

* Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», мероприятие 2 (код проекта 3443) и гранта Министерства образования и науки РФ №02.740.11.0609.

а также с условиями переопределения

и(х(к),£) = фк (£), к = 1, 2,...,т. (4)

В изучаемой обратной задаче условия (2) и (3) есть условия обычной первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения второго порядка, условия (4) есть условия переопределения; наличие этих условий объясняется тем, что помимо неизвестного решения и(х,£) требуется найти также еще неизвестные функции q1 (£),... , qm(t).

Определим нужные пространства:

V = Мх,£): г>(х,£) € Ь^(0,Т; Ж22(П) П Т^21(П)), г^(х,£) € Ь^(0,Т; Жг(П)) П

Ь2(0,Т; Ж|(П)), ^(х,£) € ¿2(Q)},

V) = |^(х,£) : ^(х,£) € Ь^(0,Т; Ж>2(П) П ^(П)), ^(х,£) € Ь^(0,Т; ^(П)), ^(х,£) € ¿2(Q)}.

Теорема 1. Пусть п < 4 и выполняются условия

д(х,£) € Ь2(0,T; Ж?(П)), &(х,£) € ^(0, Т; Ж|(П)),

fk(х, £) € Ь2(0,Т; ^23(П)), fkt(x, £) € ¿2(0, Т; Ж?(П)),

ио(х) € Ж>3(П) П ^(П)), М1(х) € Ж>2(П) П ^(П)),

фк(£) € С3([0,Т]),

fк(x,t)|s = д(х,£)|^ = 0, Дfk(x,£)|s = 0,

^б£(/?-(х(г),£)) = 0 У£ € [0,Т],

ио(хк) = фк(0), М1(хк) = фк(0), к = 1,..., т.

Тогда существует функция и(х,£) из пространства V) и функции qк(£), к = 1,... , т из пространства Ь2([0,Т]), которые являются решением обратной задачи (1)-(4).

Доказательство. Вначале выполним вспомогательные построения.

Положим в уравнении (1) х = х(1). Получим систему

т

фг"(£) - Ди(х(1),£) = ^ fk(х(1),£^к(£) + д(х(1),£), I = 1,... ,т.

к=1

Эта система является линейной алгебраической системой относительно функций qk (£). Поскольку определитель в (£) матрицы с элементами = Л'(х(г), £) отличен от нуля при £ € [0,Т], имеем представление

т

qk(£) = «к(£) + ^вкг(£)^г(£), к = 1,... ,т,

1=1

в котором г>г(£) = Ди(х(1),£), функции а к(£), вк1 (£) однозначно определяются функциями Д (х(1), £) и д (х(1) ,£), к = 1,... , т, I = 1,..., т.

Подставив данные представления в (1), получим задачу

пи - Лп = ^ /к(х,*)[а(*) + ^ Дьг(фг(*)] + #(х,*), (*)

к=1 1=1

п|*=0 = По(х), п*|*=0 = П1(х),

п(х, *)|^ = 0.

Положим

й0(ж) = Лп0(х), м1(ж) = Лп1(х), /к(х,*) = Л/к(х, *), д(х,*) = Лд(х,*).

Рассмотрим новую задачу (полученную после применения к уравнению (*) оператора Лапласа): найти функцию у(х, *), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения

т т

уи - Лу = ^ /к(х,*)[а(*) + ^ вкг(*М*)] + <?(х,*), (5)

к=1 1=1

у(х, 0) = и0(х), У*(х, 0) = м1 (х), х € П, (6)

у(х, *)|^ = 0, (7)

(здесь у(х, *) = Лп(х,*)).

Докажем, что данная задача разрешима в пространстве Воспользуемся

методом регуляризации и методом продолжения по параметру.

Пусть е есть положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию у(х,*), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения

т т

Уи — Лу — еЛу = £ Ук(х,*)[ак(*) + ^ ^ вк1(*)у1 (*)] + 5,(х,*) (5е)

к=1 1=1

и такую, что для нее выполняются условия (6) и (7).

Пусть Л есть число из отрезка [0, 1]. Рассмотрим задачу: найти функцию у(х,*), являющуюся в цилиндре Q решением уравнения

тт

Уы — Лу — еЛу = Л^Д (х,*)[а (*) + ^ вкг(*)Уг(*)] + <?(х,*) (5£,л)

к=1 к=1

и такую, что для нее выполняются условия (6) и (7).

Покажем, что при фиксированном е и при принадлежности функции д(х,*) пространству (ф) краевая задача (5£)л), (6), (7) разрешима в пространстве V.

Согласно теореме о методе продолжения по параметру, задача (5£>л), (6), (7) будет разрешима в пространстве V, если она разрешима при Л = 0 и если для всевозможных ее решений из пространства V имеет место равномерная по Л € [0,1] априорная оценка в том же пространстве [6].

Разрешимость краевой задачи (5£;0), (6), (7) при фиксированном е и при принадлежности функции д(х,*) пространству Ь2(ф) известна [7-8]. Покажем, что для всевозможных решений краевой задачи (5£>л), (6), (7) из пространства V имеет место нужная априорная оценка.

Для краткости обозначим

т

^1 (х,*) = ^ Д(х,*)а(*), ^2(х,*,у) = ^ /к(х,*)

к=1

т

к=1

Х^в*г (і)^г (¿)

1=1

Ф(х, *, у) = ^1(х, *) + <^2(х, *, у). Рассмотрим равенство

(г>тт — — еДг>т)Дг>т¿ж^т = — Л / / ФДг>т¿ж^т — / / д(ж, ¿)Дг»т¿ж^т, (8)

о п

о п

оп

являющееся следствием уравнения (5£,л). Имеем

і і уу ^ттДг>т¿ж ¿т = — // V

о п о п

// ^тт (£ V* ^ж^т =

оп \г=^ / оп І=1

^т.тт^т.т ¿ж ¿т

дтЙ т )^ж^т = 2^ У ^*(ж,^ж — У д хі (ж)^ж;

о п І=1 п п

4 4

JJ ЛуЛут^х ^т = j! ^д“(Лу)2^х ^т = 2 У [Лу(х,*)]2^х — - У [Лм0(х)]2^х. 0 П 0 п п п

Получаем, что левая часть равенства (8) есть выражение

1

1

I ^.4(ж,^ж + 2 I [Д^(ж,^)]2^ж + Є jj (Д^т)2^ж^т —

оп

2

г=1

У д2 Хі (ж) ¿ж — ~У [Ддо(ж)]2^ж.

Далее, используя неравенство Юнга, оценим правую часть (8):

—Л / / ФДг>т ¿ж ¿т — / / дД^т ¿ж ¿т

оп

оп

<

і і і і < — JJ(Дг>т)2¿ж^т + 2^^ УУ Ф2^ж^т + 2 ff (Д^т)2^ж^т + 2^2 УУ ^¿т

о п о п о п о п

і і і

= бЧ (Дг»т )2^ж^т + 2^2 Ф2^ж^т + 2^2 ^¿т

оп

оп

оп

2

(здесь 8 — произвольное положительное число). Положим 8 = • Получим

неравенство

(Дг>т)2^ж^т <

п 1 / ^хіі(ж,^)^ж+1 у[Д^(ж,^)]2^ж+2 J

і=1 п п о п

і Т

< - І I Ф2 (ж,^)^ж^т + I I д^ж^т + 2 I [д1 Хі (ж)]2^ж +2 I [Дмо(ж)]2^ж.

є

оп

оп

п

(9)

Вследствие неравенства (а1 + • • • + ар)2 < р(а1 + • • • + ар) имеет место оценка

п

Ф2(ж, т)^ж ¿т < С1

оп

і

1 + ^ / ^2(ж(1),т)^т

1=1

с постоянной С1, определяющейся лишь функциями д(х, *), ^(¿) и /(х, *), к = 1,..., т, а также областью П.

Используя интегральные неравенства теорем вложения, справедливые для случая п < 4, а также второе основное неравенство для эллиптических операторов [9], продолжим последнее неравенство:

Ф2(ж, т)^ж ¿т < С1

оп

і

1+ таї тах ^2(ж,т)^т ] п

о

< С

1 + JJ [Дг>]2^ж^т

оп

(10)

где постоянная С2 определяется числами С1 и т, а также областью П.

Вернемся к неравенству (9) и оценим первое слагаемое его правой части с помощью (10). После несложных действий получим следующее неравенство:

/ ^(ж,^ж + [Д^(ж,^)]2^ж + є / / (ДIV)2^ж ¿т < С3

І=1

оп

1 + / / [Д^]2^ж^т

оп

постоянная С3 в котором определяется функциями д(х,*), п0(х), п1(х), ^(*), /(х, *), к = 1,... , т, областью П, а также числами т и е. Данное неравенство и лемма Гронуолла дают первую априорную оценку решений краевой задачи

(5е.л), (6), (7):

Е у 4,(х, ()<ь + у [Лу(х, *)]2& +е уу (Лут)'2* *■ < С4, (11)

г=1 П П 0 п

постоянная С4 в этой оценке определяется функциями д(х,*), п0(х), п1(х), ^(*), /к(х, *), к = 1,... , т, областью П, числами Т, т и е.

Оценка (11) и неравенство (10) дают очевидную вторую оценку

jJ утт¿х^т < С5. (12)

0 п

Оценки (11) и (12) дают искомую априорную оценку решений краевой задачи (5£)л), (6), (7) в пространстве V :

II у ||V < С0.

Поскольку по ходу доказательства использовалась лишь принадлежность функции д(х,*) пространству Ь2 (ф), доказанной оценки вполне достаточно для осуществления всей схемы метода продолжения по параметру. Следовательно, краевая задача (5£>л), (6), (7) при фиксированном е разрешима в пространстве V при всех Л, принадлежащих отрезку [0, 1], в частности, и при Л =1.

Далее получим равномерные по е оценки и обоснуем предельный переход при е ^ 0.

Вновь обратимся к равенству (8), но теперь рассмотрим это равенство при Л = 1. Левую часть преобразуем аналогично предыдущему, а правую преобразуем так:

4 4 4

JJ ФЛут¿х ¿т — JJ д(х, *)Лут¿х ¿т = JJ <^1т(х,т)Лу^х^т— 0 п 0 п 0 п

п 4

^1(х, *)Лу(х, ¿)^х + J ^1(х, 0)Лм0(х)^х + £// <^2х (х,т,у)уж,т¿х^т+ п п г=1 0 п

+ JJ дт(х, т)Лу ¿х^т д(х, *)Лу(х, *) ¿х + J д(х, 0)Лм0(х) ¿х.

0 п п п

Имеем

пт««

/ ^2х4 (х, т, у)уж,т¿х ¿т = ЕЕ// /кх(х, т)вкг(т)у(х(7),т)гхт(х,т)аЫт <

7=1 7=1 ^ ^

0 п 7=1 7=1 0 п

<

/кя4 (х, т )вк7 (т )у(х(7),т )ул. т (х,т )

¿х^т <

0п

4 4

< 1 // т ¿х^т + 2// (/кх (^ т ))2в2 7(т )у2(х(7),т )^х^т <

0 п 0 п

< 2// т ¿х^т + 2/[УГа* ^ у2(х,т)] I I (/к^ (x, т)^ вк7 (т)^х | ¿т <

0 п 0 п

< 2 £// ур. т¿х^т + - <р(т)[угаг таху2(х,т)]^т <

7=1

0п

1

< 2

£II Т^х^т + К1 I <^(т) | [Ду(х,т)]2^х^т.

7=1

0 п 0 п

Отсюда и из неравенства Юнга получаем, что правая часть (8) оценивается величиной

82 / [Ду(х,*)]2^х + / (Ду)2^х^т + К2 £// Т ¿х ¿т+

0п

7=1

0п

+К3 у <^(т)у [Ду(х,т)]2^х^т + К0 0п

с произвольным положительным числом 8, постоянными К2 и К3, определяющимися функциями /(х,*) и ^(*), к = 1,... , т, и числом К0, определяющимся функциями д(х, *), /(х, *), ^(*), к = 1,..., п, а также числом 8.

После данного преобразования становится очевидно, что при выполнении условий теоремы имеет место неравенство

ФДут¿х ¿т — / / д(х, *)Дут¿х ¿т

0п

0п

< 82 / [Ду(х,*)]2^х+

+N1

1^У(Ду)2^хйт+£ Л

0 п 7=1 0 п

Т¿х^т + таг тах у (х,т)^т

1 У п

0 п 0

число N определяется функциями $(х, *), /к(х,*), (*), к = 1,... , т,и0(х),и1(х),

областью П, а также числами т и 8. Вновь используя теоремы вложения и второе основное неравенство для эллиптических операторов [9], нетрудно показать, что имеет место неравенство

<

< 82 / [Ду(х, *)]2^х + N

1 + |/(Д«)2<*х*- + £ II

0 п 7=1 0 п

,Т ¿х^т

хг /

с постоянной Ж2, определяющейся функциями д(х, *), /к(х, *), (*), к = 1,... , т,

и0(х), и1(х), областью П, а также числами т и 8.

с

Из данного неравенства вытекает оценка

п 4

¿¿х + 2 У [Д у(х, т )]2^х + еJJ (Д УТ )2^х^т <

7=1 п п 0 п

4 4 4

< 82 J[Ду(х, *)]2^х^УУ(Ду)2^х^т +2 УУ у2.Т¿х^т+К3 JJ [Ду(х,т)]2^х^т+К0(8). п 0 п 0 п 0 п

Положим 8 = 2. Получим

2 У У2. 4(х,*)^х + - У [Д У(х,*)]2^х + еJJ (Д ут )2^т <

п п 0 п

4 4

< N3

(13)

1 + УУ (Д у)2^х^т + JJ У2. Т¿х^т

0 п 7=1 0 п

с постоянной ^, определяющейся функциями д(х, *), /к(х, *), ^(*), к = 1,... , т, и0(х), и1(х) с областью П, а также числом т.

Используя лемму Гронуолла, из (13) получаем априорные оценки

^^ у Ур. 4(х,*)^х + У [Д у(х,*)]2^х < N0,

7=1 п п

е JJ (Д ут)2^х^т + уJ [Д у(х,*)]2^х^т < N0 у ¿т < N0T = N3, (14)

0 п 0 п 0

постоянные N0 и N3 в которых определяются лишь функциями $(х,*), /(х,*),

^ (*), к = 1,... , т, и0(х), и1(х), областью П, а также числами т и Т.

Оценка (14) позволяет осуществить в семействе {у£(х,*)} решений краевой задачи (5е), (6), (7) стандартную процедуру выбора сходящейся последовательности и предельного перехода. Предельная функция будет принадлежать пространству >0 и будет представлять собой решение краевой задачи (5)-(7). Определим функцию и(х, *) : и(х,*) находим как решение задачи

Ди(х,*) = у(х,*) м(х,*)|^ = 0;

функция и(х, *) определяется однозначно. Уравнение для функции у(х,*) можно записать в виде

(т

У/(х,*)?к(*) + #(х,*) ) .

к=1

Положим

т

Цх,*) = пй(х,*) - Д п(х,*) - ^ /(х,*)фк(*) - д(х,*).

к=1

Получаем, что для функции эд(х,*) выполняются равенства

Ди> = 0, ад(х,*)|^ = 0.

Из этих равенств следует эд(х, *) = 0, т. е. функция п(х, *) является решением уравнения (1).

Покажем, что для функции п(х,*) выполняются начальные и граничные условия (2) и (3).

Положим <^(х) = п(х, 0) — п0(х). Имеем Д^(х) = 0 при х € П, <^(х) = 0 при х € Г. Следовательно, <^(х) = 0 при х € П и выполнение для функции п(х,*) первого начального условия (2) доказано. Аналогично доказывается выполнение для функции п(х, *) второго начального условия. Далее, поскольку эд(х,*) есть тождественно нулевая в Q функция, то при (х,*) € Б выполняется пц = 0. Отсюда и из равенств п(х, 0) = 0, п4(х, 0) = 0, справедливых при х € Г, следует выполнение функцией п(х, *) граничного условия (3).

Покажем теперь, что для функции п(х, *) выполняются условия переопределения (4).

В уравнении (1) с определенными выше функциями Ок (*) положим х = х(1),

I = 1,... , т. Получим

т

пй(х(г),*) - Д п(х(1),*) = ^ /(х(1),*)дк(*) + д(х(1),*).

к=1

Сопоставляя данные равенства с полученными в начале доказательства представлениями функций дк(*), получаем, что при * € (0,Т) выполняются равенства

[п(х(1), *) - ^(*)]й = 0.

Вместе с условиями согласования п0(х(1)) = ^г(*), п1(х(г) = ^ (0) эти равенства дают совпадение функций п(х(1),*) и (*) при * € (0,Т), I = 1,...,т. А это и означает, что для функции п(х,*) выполняются условия переопределения (4).

Окончательно получаем, что построенные функции п(х,*), д1(*),... , дт(Т) дают решение исходной обратной задачи. □

Рассмотрим случай п > 4 и при к € N определим пространства:

V! = Мх,*) : Цх,*) € Ь^(0,Т; Ж>2к+2(П) П Ж2к+1(П)), ^(х,*) €

^(0,Т; РУ2к+1(П)) П ¿2(0,Т; Ж|к+2(П)) Шй(х,*) € ^Ш, о

V = Щх,*) : Цх,*) € Ь^(0,Т; Ж22к+2(П) П Ж2к+1(П)), и>4(х,*) €

^(0,Т; Жк+1(П)), ^(х,*) € ¿2^)}.

Теорема 2. Пусть 4к < п < 4к + 4, к = 1, 2,..., выполнены условия д(х, *) € Ь2(0,Т; Ж|к+2(П)), д4(х,*) € ¿2 (0, Т; Ж|к+2(П)),

/г(х,Ь) € ¿2(0,Т; Ж22к+3(П)), /г*(х,Ь) € ¿2(0, т; Ж|к+2(П)),

«о(х) € Ж>2к+3(П) П Ж^+^П)), «1(ж) € Ж>2к+2(П) П Ж22к+1(П)),

фг(Ь) € С2к+3(0,Т) I = 1,... , т,

Д/(х, ¿)|^ = 0, Дгд(х, ¿)|^ = 0, г = 0,..., к + 1.

ёе1 (/(х(г),Ь)) = 0 УЬ € [0,Т],

«о (х(1)) = фг(0), и1(х(1)) = ф^ (0), I = 1,...,т.

Тогда существует функция и(х,Ь) из пространства V2 и функция ф(Ь),

I = 1,... ,т из пространства ¿2([0,Т]), которые являются решением уравнения (1) и удовлетворяют условиям (2)-(4).

Доказательство. Рассмотрим случай к = 1.

Применим к полученному ранее уравнению (*) оператор Д2:

т т

Д2(ий - Дм) = ^ Д2/(х,Ь)[а(¿) + ^А:г(Фг(Ь)] + Д2д(х,Ь). к=1 1=1

Положим

ш(х, Ь) = Д2и(х, Ь),

ш(х, 0) = Д2и0(х) = %0(х), ш4(х, 0) = м1(х) = Д2и1(х).

% (х, Ь) = Д2/ (х, Ь), %(х,Ь) = Д2 д(х, Ь).

Тогда получим новую задачу: найти функцию ш(х,Ь), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения

тт

ши - Дш = ^ %(х,Ь)[а(Ь) + ^ вкг(Ь)^г(Ь)] + %(х,Ь) к=1 к=1

ш(х, 0) = %0(х), Ш4(х, 0) = %1(х), х € П ш(х, ¿)|^ = 0.

Доказательство разрешимости данной задачи в пространстве V2 проводится так же, как доказательство разрешимости задачи (5)-(7). Случай к > 1 рассматривается аналогично.

□

Список литературы

1. Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Докл. РАН. — 2006. — Т. 409, № 6. — С. 740-743.

2. Кожанов, А. И. Обратная задача определения коэффициента поглощения в одномерном уравнении нелинейной диффузии / А. И. Кожанов // Мат. заметки Якут. гос. ун-та. — 2008. — Т. 15, вып. 2. — С. 31-47.

3. Самарский, А. А. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, В. И. Васильев // Мат. моделирование. — 1997. — Т. 9, № 5. — С. 119-127.

4. Калинина, Е. А. Численное исследование обратной задачи восстановления плотности источника двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии / Е. А. Калинина // Дальневост. мат. журн. — 2004. — Т. 5, № 1. — С. 89-99.

5. Алексеев, Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса / Г. В. Алексеев // Докл. РАН. — 2000. — Т. 375, № 3. — C. 315-319.

6. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. — М. : Наука, 1980.

7. Якубов, С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С. Я. Якубов. — Баку : Элм., 1985.

8. Kozhanov, A. I. Composite type equations and inverse problems / A. I. Kozhanov. — Utrecht : VSP, 1999.

9. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973.