Разрешимость нестационарной задачи теории фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ

Рассмотрена одна задача для класса неклассических уравнений математической теории волн. Отличительной особенностью этой задачи является зависимость от времени функциональных коэффициентов эллиптического оператора в правой части уравнения. Методом ее исследования является редукция к задаче Коши для нестационарного уравнения соболевского типа. Уравнения соболевского типа с зависящим от времени оператором в данной постановке рассматриваются впервые.

Введено в рассмотрение понятие относительно спектрально ограниченной оператор-функции. Условия, гарантирующие выполнение этого свойства задачи, позволяют также выделить подпространство начальных значений, для которых существует единственное решение задачи Коши. Это подпространство мы назвали обобщенным фазовым пространством решений для нестационарного уравнения соболевского типа. Решение такой задачи для уравнений соболевского типа, а также и в исходной постановке, получено с помощью рекурсивной формулы.

Ключевые слова: нестационарные уравнения, уравнения соболевского типа.

Введение

Пусть множество 3 — промежуток в К, содержащий нуль, и О С К” - ограниченная область с границей дО класса С. В цилиндре О х 3 рассмотрим задачу Коши-Дирихле

где вещественные функции ш^(х, Ь), удовлетворяющие условию ш^(х, Ь) = mji(x, Ь), а также параметр Л € М+ характеризуют свойства среды, однако в [1] было отмечено, что отрицательные значения параметра Л не противоречат физическому смыслу. Подобный вид имеют многие уравнения теории фильтрации [2-4]. У этих авторов изначально, вообще говоря, нестационарная задача заменяется на стационарную, то есть ш^-(х,Ь) = ш^(х). Целью же данной работы является найти решение задачи, приведенной выше, при условии зависимости коэффициентов от времени.

Для построения решения поставленной задачи исследуем сначала абстрактную задачу для нестационарного операторно-диференциального уравнения.

Пусть Я и 3" — банаховы пространства, операторы Ь, € £(Я; 3) (т.е. линейны и непре-

рывны) при каждом Ь € 3. Рассмотрим в банаховых пространствах линейные уравнения

М.А. Сагадеева

и(х, 0) = и0(х), х € О,

и(х, Ь) = 0, (х, Ь) € дО х 3

(1)

(2)

для уравнения

Ьи(Ь) = Мьи(Ь), Ьи(Ь) = М4и(Ь) + д(Ь)

(4)

(5)

с функцией д : 3 ^ 3, неразрешенные относительно производной по времени. Такие уравнения часто называют уравнениями соболевского типа ( см. [3, 5, 6]), которые в последнее время нашли применение в задачах измерения динамически искаженных сигналов [7, 8].

Если оператор Ь — непрерывно обратим, то уравнения (4), (5) сведутся к разрешенным относительно производной уравнениям вида

v(t) = Atv(t), v(t) = Atv(t) + h(t). (6)

Такие уравнения с ограниченнным оператором At, t Є J, и задача Коши для них, подробно рассмотрены в монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [9]. Среди работ, в которых исследовались уравнения такого вида с неограниченными операторными коэффициентами, отметим работы Т. Като [10], О.А. Ладыженской и М.И. Вишика [11], К. Иосиды [12], С.Г. Крейна [13], Д. Хенри [14].

Разрешимость одного класса уравнений соболевского типа (4), (5) с неограниченными операторными коэффициентами изучена в работе А. Фавини и А. Яги [15].

При рассмотрении вопросов разрешимости уравнений (4), (5) и задачи Коши

u(to) = uo (7)

для них при to Є J в предположении нетривиальности ядра оператора L, как и в работах [5, 6] для стационарных уравнений соболевского типа, будет использовано условие ограниченности L-спектра оператора Mt и, как следствие, возможность построения некоторых проекторов на пространствах U и F. В результате исходное уравнение будет редуцировано к системе двух уравнений на взаимно дополнительных подпространствах. Одно из этих уравнений примет вид (6) с ограниченными операторами At, поэтому в целом результаты настоящей работы можно считать обобщением соответствующих результатов [9] на случай необратимого оператора L.

1. Относительно спектрально ограниченная оператор-функция

Пусть Я и 3 — банаховы пространства, 3 — промежуток в М, операторы Ь € £(Я; 3), М4 € £(Я; 3) для всех Ь € 3.

Следуя терминологии, используемой в [5, 6], множества рь(М^ = {ц € С : (цЬ — М*)-1 € С($;Я)} и аь(М*) = С \ рь(М*) будем называть соответственно Ь-резольвентным множеством и Ь-спектром оператор-функции М*.

Очевидно, что если кег Ь П кег М* = {0} при некотором Ь € 3, то рь(М*) = 0.

Лемма 1. [5] Пусть операторы Ь € £(Я; 3), М* € £(Я; 3) для Ь € 3. Тогда Ь-резольвентное множество рь(М*) оператора М* открыто, а Ь-спектр аь(М*) оператора М* замкнут.

При Ь € 3 оператор-функции комплексного переменного (цЬ — М*)-1, К^(М*) = (цЬ — М*)-1Ь, Ь^(М*) = Ь(цЬ — М*)-1 с областью определения рь(М*) будем называть соответственно Ь-резольвентой, правой и левой Ь-резольвентами оператора М*.

В дальнейшем будут использоваться тождества, справедливые при фиксированном Ь € 3 и любых ц,Х € рь(М):

(Л - ß)(XL - Mt)-lL(ßL - Mt)-1 = (ßL - Mt)-1 - (XL - Mt)-1 L(ßL - Mt)-lMt = Mt(ßL - M)-lL.

Лемма 2. Пусть операторы Ь € £(Я; 3), М* € £(Я; 3) для Ь € 3. Тогда Ь-резольвента, правая и левая Ь-резольвенты оператора М* аналитичны по ц в рь(М*).

Определение 1. Оператор-функция Мг называется спектрально ограниченной относительно оператора Ь (или просто (Ь, а)-ограниченной), если

Заг € С(3; М+) УЬ € 3 тах{1л1 : л € аь(Мг)} < аг < +го.

Лемма 3. Пусть оператор-функция Мг € С(3; С(И; 30) (Ь, а)-ограничена. Тогда при л € Ег = {Л € С : |Л| > 2аг} оператор-функция (лЬ — Мг)-1 € С(3; С(3;И)).

Доказательство. Возьмем 5 > 0, чтобы при |т — Ь| <5 выполнялось аТ < 2аг. Тогда при таких т € 3 получим Ег С рь(Мг)Прь(МТ). В силу справедливости равенства (лЬ — МТ)(лЬ — Мг)-1 = I + (Мг — Мт)(лЬ — Мг)-1 при \\Мг — МтИдя;#) < \\(лЬ — Мг)-1\\-1^.и) получим

(лЬ — Мг)(лЬ — Мт) 1 ^ ((Мт — Мг)(лЬ — Мг) ^ ,

к=0

те

(лЬ — Мт) 1 — (лЬ — Мг) 1 = (лЬ — Мг) 1 ^ ' ((Мт — Мг)(лЬ — Мг) 1)

(9)

к=1

Следовательно, \\(лЬ — МТ) 1 — (лЬ — Мг) 1\£(#;я) ^ 0 при т ^ Ь. Причем этот предел

равномерен по л € 7 С Ег, где 7 - замкнутый контур. Действительно, возьмем \\МТ — Мг\\с{я$) < , где С = тах{\\(лЬ — Мг)-1||£(£;Я), л € 7}, тогда сразу для всех л € 7

\\(лЬ — Мт)-1 — (лЬ — Мг)-1\\с{т < 2—¿/С

< е.

□

Теорема 1. Пусть оператор-функция Мг € С(3; С(И; 3)) сильно дифференцируема по Ь € 3 и (Ь, а)-ограничена. Тогда оператор-функция (лЬ — Мг)-1 сильно дифференцируема по Ь € 3 при л € Ег = {Л € С : |Л| > 2аг}.

Доказательство. Возьмем л € Ег, / € 3, 5 > 0. Выберем т как в предыдущем доказательстве. Пусть иг = (лЬ — Мг)-1/, тогда получим, используя (9),

(лЬ - Мт)-1/ - {рь -Щ/ — (лЬ — М,)-1 Т(лЬ — М,)-1/

я

(лЬ — Мг)-1 ^Г—Г £ ((лЬ — Мг)-1(Мт — Мг))к 1 — (лЬ — Мг)-1/

я

, т ллЛ-1( мт — Мг ‘Мг мт — Мг

(лЬ — Мг) ( —I—I— иг----~тт~ иг +

((лЬ — Г) 1(Мт — Г)) иг

к=1

<

я

к

<\\(лЬ — Мг)

-1 \

Щ£Я)

Мт — Мг

-Щ —

‘Мг

(Ь

-иг

+

+

Мт - Мг

5^\\(лЬ — Мг) 1(мт — ^^¿(Я) \\(лЬ — Мг) 1/||я с(т к=1 ( ) )

Покажем, что это выражение при т ^ t стремится к нулю равномерно по у € 7 С Ег, где 7 - замкнутый контур. Действительно, так как контур компактен, последнее выражение достигает максимума при некотором уо € 7. В силу леммы 3 и принципа равномерной ограниченности его можно оценить сверху равномерно по у € 7 следующим выражением

(Мт — Мі (ІМі\ ^-^

\-^—т - -*) (»оЬ — Мі) /

\

+С ^ ||(»0Ь — Мі) 1 (Мт — Мі)|£(я) ||(»0Ь — Мі) 1/||я

к=1

которое стремится к нулю при т — і. Следовательно,

і нм

У/ Є з ^ {(»Ь — Мі)-1/) = (»Ь — Мі)-1-^(»Ь — Мі)-1/.

(10)

□

Пусть оператор-функция Мі (Ь, а)-ограничен, а контур 7і={» ЄС: \»\= 2аі}. Рассмотрим интегралы

рі = 2^/ кЇ(Мі)н»’ Яі = ьЇ(Мі)н»’

и и

которые существуют в силу леммы 2. В [5] показано, что при фиксированном і Є 3 операторы Рі : и —— и и Яі : З —— З являются проекторами.

Лемма 4. Пусть оператор-функция Мі Є С(3; С(&; З)) сильно дифференцируема по і Є 3 и (Ь, а)-ограничена. Тогда оператор-функции Рі Є С(3; С(и)) и Яі Є С(3; С($)) сильно дифференцируемы по і Є 3.

Доказательство. Возьмем 5 > 0 так, чтобы при \і — т\ <5 выполнялось ат < 2аі, получим

Рти — Ріп = К^(Мт)иІ,» — Е^(Мі)иІ,» = (К^(Мт)и — КІ^(Мі)и) І».

2п% ] И 2т ] И 2п%] И И

и

и

Из доказательства леммы 3 следует равномерная непрерывность Рг. Далее получим

Рт и — Рі-и 1

т — і

— ¿/ (»Ь — Мі)-1 НМ ПІ(Мі)иН»

и

<

и

* І

и

Е^(Мі)и — ЯЇ(МТ )и

(ІМі

тЬ

— (»Ь — Мі) 1—ц~ ^(Мі)и

\І»\,

и

откуда из (10) с учетом равномерной сходимости на разностного отношения к производной следует сильная дифференцируемость Рг и

Уи € и ^Р*и = 2Ь1- М*)-1 НМ

и

Сильная дифференцируемость Яі показывается аналогично.

□

і

т

Положим И? = кег Рг, 3? = кег ^¿; И* = тРг, 3* = для всех Ь € 3. Обозначим через

Ьг,к, М^ь сужение операторов Ь, Мг на И, к = 0,1.

Теорема 2. Пусть оператор-функция Мг € С(3; £(И; 3)) (Ь, а)-ограничена. Тогда

(1) имеет место действие операторов Ь^ : И ^ 3к, М^ : И ^ 3к ^ € 3, к = 0,1;

(л) существуют операторы М-?1 € £(3?;И0), £ € 3, причем,, если оператор-функция Мг : 3 ^ £(И; 3) сильно дифференцируема, то оператор-функция М—01(/ — ^) € £(3; И?) сильно дифференцируема по Ь € 3, а при условии сильной непрерывности оператор-функции Мг оператор-функция ^(М-?1^ — ^)) также является сильно непрерывной по Ь € 3; (ш) существуют операторы Ь-*1 € £(3*;И*), Ь € 3, причем оператор-функция Ь—€

С (3; £(3; И1).

Доказательство. Первое утверждение из (1) имеет место в силу соотношения ЬРг = ^¿Ь, которое вытекает из очевидного тождества ЬК^(Мг) = Ь^(М^)Ь. Второе утверждение справедливо в силу соотношения МгРгУ, = ЯгМгп, которое вытекает из тождества (8).

(и) Пусть /0 € 3?, тогда

М 2- / (Рь — м,)-1/0 ^ = - 21 / ^0 + / Ь^(М*)/> = —/?.

1 2ПІ J ¡1

74 74 74

Если и0 Є Ц°, то

/(1і - Мі)-1 аІти° = - 2Л^/т7и0 + 2ПІ / кЬЛМ^и°Л1 = -и

1 2пі 7 1

74 74 74

(Все равенства здесь получаются из (8) при Л = 0). Значит, оператор М.° равен сужению на 3° оператора

1 /V г л^л-1

ц

- 2-! (1Ь - Мі)-1 (11)

2пі ] 1

74

Найдем производную оператор-функции

м-°1(/ - д.) = - 2ПІ / (^ - м* )-1 (і - д.),

74

которая, если существует, имеет вид

"і I-2Д /(1і - М.)-1 ) (і - Ш + (-¿- /(^ - м.)-1 £) ^

74 / V 74 /

Сильная дифференцируемость проектора (/ - ф.) следует из леммы 4. Сильная дифференцируемость оператора (11) доказывается так же, как сильная дифференцируемость проекторов в лемме 4.

Покажем, что при условии сильной непрерывности оператор-функции М. сильно

непрерывен по і Є 3 интеграл

1 І / т ч і ¿М^, , ^. і ¿а

-2ПіУ ^ - М‘>"л ‘1і - М‘> Т

74

При |t — т| <5 обозначим ut,m = (7L — MT) /, тогда

-2ПІ [I(7L — Mt)-1 Ut’M^7 — /(7L — MtГ

\7t

Yt

< 2П

Yt

+2П

, r ,, ч -1 dMT

(^L .Mr) ^т (ut,M Ut,m )

Yt

U

[ /, г- „,-1 / ^ , ,т ч-і\ dMt ч—i /dMt dMT\

I ((^L — Mt) — (^L — Mt) ) dt Ut,M + (^L — MT) i ““dt------dr/ U*

dMT

dr T,M 7 J

/ dMt dMr

\ dt dr

|d7| <

И “

<

U

U

|d^|

H

+

< sup ||(^L — Mt) 1 — (7L — Mr) 1|L/F.U) sup

M^Yt ( . ) n^Yt

M^Yt

dMt

dt

■ut,.

+

F

+ sup II(7L — Mr) 1|L(F.U) sup ( M€Yt (F;U) M€Yt V

dMt dMT

+ sup y(^L — Mr) |L(F.U)

M^Yt ’

dt dr

dMT

+

dr

sup ||ut,M — Ut,m Уи < L(U;F) M€Yt

<

dMt

dt

"ut,Mo

sup ||(7L — Mt) 1 — (7L — MT) 1

F M€Yt

dMt dMT i

ut,Mo

+

+

dt dr

sup sup II (7L — Mr) (FU) +

F |t—t|<5M€Yt (F;U)

+ C sup sup У(7L — Mr) 1 L(F;(I) sup |Ut,M — Ut,m||U ^ 0

|t—t|<<SM€Yt Vl5’ ;M€Yt

при т ^ t. Здесь использованы лемма 3, компактность контура Yt и принцип равномерной ограниченности.

Сильная непрерывность оператор-функции (I — Qt) доказывается аналогично.

(iii) Согласно лемме 4 оператор Lf^ равен сужению на F1 оператора

-1

2ПІ У (^L — Mt) 1d7

Yt

Отсюда следует непрерывность в смысле операторной нормы в £(3) оператор-функции

Lt 1 Qt по t Є J.

□

Замечание 1. Нетрудно показать, что в предположении 3* = 31 оператор-функция * €

С (3; £(3*; Я*1 ))•

При условии (Ь, ^-ограниченности оператор-функции Мг в условиях теоремы 2 имеем операторы Яг = М4_01Ь*;о € £(Я0) и 5* = Ь^Мм € £(и|), используя которые можно разложить Ь-резольвенту оператора Мг в кольце |^| > а* в ряд Лорана

(^ - м*)-1 = £ /якм4~о1 (I - я*) + ^ ^-к£к-%-1д4.

fc=Q

fc=1

M

Определение 2. Бесконечно удаленную точку назовем устранимой особой точкой, полюсом порядка р € N или существенно особой точкой Ь-резольвенты оператор-функции Мг, £ € 3, если соответственно € 3 Я* = О; 3£° € 3 ЯР0 = О, Я^+1 = О; Я^ ф О Уд € N.

Определение 3. (Ь, ^-ограниченную оператор-функцию М* будем называть:

(1) (Ь, 0)-ограниченной, если бесконечность является устранимой особой точкой Ь-резольвенты оператор-функции Мг;

(и) (Ь,р)-ограниченной, если бесконечность является полюсом порядка р € N Ь-резольвенты оператор-функции Мг;

(Ш) (Ь, ж)-ограниченной, если бесконечность является существенно особой точкой Ь-резольвенты оператор-функции М*.

Теорема 3. Пусть оператор-функция М* € £(Я; 3) (Ь, 0)-ограничена. Тогда кег Ь = Я0, 1тЬ = 3* для всех £ € 3.

Доказательство см. в [5].

В дальнейшем будем обозначать кегЬ = кегР* = Я0, кегЯ* = 3°; 1тР* = Я*, 1тЬ =

1тЯ* = 31; через Ь° обзначим сужение оператора Ь на Я°, Ьг,* - сужение оператора Ь на Я*; М*^, к = 0,1, есть сужение операторов М* на Я° и Я соответственно, £ € 3.

2. Существование решений

Решением уравнения (4) будем называть вектор-функцию и € С1 (3; Я), удовлетворяющую этому уравнению на 3.

Определение 4. Семейство множеств {Р* С Я : £ € 3} назовем обобщенным фазовым пространством уравнения (4), если

(1) для любого решения и(£) уравнения (4) для любого £ € 3 выполняется и(£) € Р*;

(и) для любого и° € Р*0, существует единственное решение задачи (7), (4).

Теорема 4. Пусть £ € 3, оператор-функция М* € С(3; £(Я; 3)) (Ь, 0)-ограничена. Тогда обобщенным фазовым пространством уравнения (4) является семейство множеств

{Ь-1[31]: £ € 3}.

Доказательство. Построим решение уравнения (4). Подействуем на уравнение проектором (I — Я*) и получим

(I — Я*)Ьи(£) = (I — Я*)М*и(£) для всех £ € 3, поскольку кег(1 — Я*) = 1тЬ, то

0 = М*(1 — Р)и(£) = М4,°и°(*), и в силу обратимости оператора Мг>° (см. теорему 2) имеем

и° (£) = (I — Рг)и(£) = 0.

Теперь сделаем замену Ьи(£) = /(£) € 31 для всех £ € 3 в уравнении (4). Представим и(£) в виде и(£) = и°(£) + Рги(£), тогда

/ (£) = Ьи(£) = Ьи°(£) + ЬР4и(£) = 0 + ЬР4и(£) = Ь4дР4и(£).

Так как в силу теоремы 2 оператор Ь*д непрерывно обратим и Р*и(£) = Ь-1/(£), то, следовательно, уравнение (4) на подпространстве 31 примет вид

Ьи(£) = Ь^£) = /(£) = М*и(£) = М* и°(£) + М* Р* и(£) = 0 + М*Ь—1/(£).

Получили уравнение

/ (£)= М4Ь-1/(£), (12)

с оператор-функцией Т* = М^дЬ-1 € С(3; £(31)) (см. замечание 1). Решение задачи Коши /(£°) = /о € 31 для уравнения (12) согласно [9, с.138-153] имеет вид /(£) = р(£)/°, где оператор р(£) € £(31) при £, £° € 3 задается следующим образом

те t tn t2

P(t) = ^F1 + J Ttl dt1 + ^ J J ' J Ttn Ttn-1 • • • Ttl dt1 • • • dtn

to n 2 to to to

Решение уравнения (4) имеет вид u(t) = Lt ^(t/o, и каждому Uq Є {Lt ^[F1] : t Є J}

и называется оператором Коши уравнения (12).

t,1 Q Q t,1

соответствует /о = Luq Є F1, для которого решение единственно. Следовательно, семейство {L~11[F1] : t Є J} является обобщенным фазовым пространством. □

3. Неоднородное уравнение

Дальнейшие рассуждения проведем в предположении (L, 0)-ограниченности оператор-функции Mt Є C (U; F).

Определение 5. Оператор U(t,r) = —1(r)LT,1PT назовем эволюционным (разре-

шающим) оператором уравнения (4).

Лемма 5. Эволюционный оператор U(t,r) обладает следующими фундаментальными свойствами:

(i) U(t,t) = Pt;

(ii) U(t, s)U(s,r) = U(t,r);

(iii) U(t,r)

UT

U (т, t)

U1

-1

(V) ||и(¿,т)У£(Я) < кехр^/ (т < ¿)-

Доказательство очевидным обазом следует из вида эволюционного оператора.

Теорема 5. Пусть оператор-функция М* Є С(5; £(Я; F)) сильно дифференцируема по í Є (Ь, 0)-ограничена и вектор-функция д Є С 1(5, F). Тогда для любого начального значения

и0 Є^*о = |иЄЯ:(/ — Р*0)и = — Міо10(/ — )д(іо)|

существует единственное решение и Є С1 (5, Я) задачи (7) для уравнения (5), причем

u(t) = U(t, to)uo + J U(t, r)Lr,1Qtg(r)dr — Mt Q1(/ — Qt)g(t). (13)

to

Доказательство. Подействуем проектором (/ — Qt) на уравнение (5), получим

(1 — Qt)Lu(t) = (1 — Qt)Mtu(t) + (1 — Qt)g(t) L(1 — pt)u(t) = Mt(1 — pt)u(t) + (1 —

-1 t,o

0 = (1 — Pt)u(t) + Mt,Q1(1 — Qt)g(t).

t

t

Как и прежде, обозначим и0 (¿) = (I — Р*)и(і), тогда

и°(^) = —М*,о1(1 — Я*)д(^)-

Вновь сделаем замену £и(£) = /(¿) Є F1 для всех і Є 5 и получим

(Ьи(і)) = /(і) = М4и(і) + д(і) = М4и0(і) + М4Р4и(г) + д(і) =

= М*(—М*01 (1 — Я*)д(^)) + М*р*и(^) + д(£) = —(1 — Я*)д(^) + М*р*и(^) + д(і) =

= М* Р* и(і) + Я*д(і) = М^“/(і) + Я*д(і).

Таким образом, уравнение (5) мы можем представить в виде системы двух уравнений

/ (і) = т/(і) + ^д(^ (14)

0 = и0(і) + М*701(/ — ф*)д(£) (15)

на подпространствах F1 и Я0 соответственно. Решение задачи Коши /(¿0) = /0 Є F1 для уравнения (14) согласно [9, с.138-153] имеет вид

*

/ (¿) = Р(і)^“ 1 (¿0) /0 + У Р(і)^“1 (т)дгд(т)^т.

*0

Из приведенных выше рассуждений следуют равенства Р*и(і) = Ь-”/(¿) и /0 = Ь*0дР*0и0, а, следовательно,

*

Р*и(і) = Ь-д1^)^- 1 (¿0)Ь*0,1 Р*0и0 Ь4дР(£)Р_ 1(г)РТ1^гд(т)^г.

*0

Функция и0(і) = —Мі_01(/ — ^і)д(і) является непрерывно дифференцируемой в силу теоремы

2 (іі) и разрешает уравнение (15). Следовательно, (13) является решением задачи (7), (5). □

4. Решения нестационарной задачи теории фильтрации

о

Редуцируем задачу (1)—(3) к задаче (7), (5), для этого возьмем пространства Я =Н 1(^),

F = Н-1(0) и обозначим через А0 оператор Лапласа А, действующий из Я в F. Пусть

функция д Є С 1(5; F), (А& : к Є М} - собственные значения оператора А0, занумерованные

по невозрастанию с учетом их кратности, (^(—) : к Є М} - множество соответствующих

собственных функций. Будем предполагать, что А Є а(А0). Обозначим собственные вектора,

соответствующие А, через ^г(ж), I = 1,г, где г - кратность А в спектре а(А0).

п д ( д \

Зададим операторы Ь = А — А, М* = —— ( ш^(—,і) —— ) Є £(Я; F), і Є 5.

І,і=1 ——’ '

Лемма 6. Пусть функции ш^(—, ¿) Є С 1(5; Ьте(П)), тогда оператор-функция М* : 5 ^

о

£(Н1 (О); Н -1(^)) непрерывно дифференцируема по операторной норме.

Доказательство. Через (эд,^) обозначим действие функционала -ш Є Н - 1(О) на вектор

о

V ЄН1 (О). Введем обозначения ¿М*0 = М* — М*0, ¿ш^ = ш^(—,і) — ш^(—,і0), = (¿ш^}Пп^=1, ||$М*0 У - норма матрицы.

^ ^ д (ъ ди\

Имеем оМІ0 и = У, О— I оШ? —---- , поэтому

. . дхі V дХ7 /

г,?=1 ^

/ - \

(¿MtoU, Vy

t,j=1 п

'~ du dv , ¿m," ——dx dxj dxi

У ^¿Mto Vu, Vvj dx

<

¿MtoVu, Vv) dx < C ess sup ||£Mto У ||u|

жЄП

Ях(п) Ях(п)

Получили, что ||<5Mtou||H-1(п) < Cess sup ||<5Mto ||||u|| о , а значит, при mj Є C:(J; L^(Q))

жєп Я1 (п)

и |і — ¿о| < О верно следующее неравенство ||ъМ*0 У ¿М*о

Поскольку

¿t

< С ess sup

L(H 1(П);Н-1(П))

жЄП

¿(Я1 (П);Н-1(П))

¿mMto

< C ess sup ||£Mto || < e.

жЄП

¿t

следующее

dMt

to

dt

о < C ess sup

L(H 1(П);Я-1 (П)) хЄП

dM

to

dt

где

то при І — ¿0 = ^ 0 получим

дМІ0 Г дш.

dt

dt

(x,to)

□

i"=1

Теорема 6. Пусть матричная функция М* =

£ m„ (*,.) ^

і-і=іП

дуг d^fc dxj дхі

dx

при всех

fc,1=1

і Є 5 такова, что ёе1 М* = 0. Тогда для любого і Є 3 оператор-функция М* (Ь, 0)-ограничена.

Доказательство. Пусть А Є ст(До), тогда любой ненулевой вектор у из ядра оператора Ь

Г

можно представить в виде у = агу^. Возьмем вектор Ь = (аі,..., аг) Є Мг, тогда

1=1

/” д / д r \ r

S дХ7 mij (x,t) дХ"^ a1 У1(х) ^ ak(x)dx п i"=1 7 V " 1=1 ) fc=1

= - £ a. £ ak £ / (x,t) <дй ^

1=1 fc=1 7,"=1 j

дх" дх7

dx = (Mtb, b)Rr — 0 (16)

для всех ненулевых векторов Ь Є Кг в силу условий теоремы. Поскольку оператор Ь самосопряжен в Ь2(П), то образ ітЬ ортогонален ядру кегЬ в смысле Ь2(П). Поэтому из (16) следует, что М*у Є ітЬ. Следовательно, оператор Ь не имеет М*-присоединенных векторов. Поскольку оператор Ь фредгольмов, из теоремы 4.6.1 [6] следует требуемое. □

В силу леммы 6 и теоремы 6 справедлива теорема 5 о разрешимости задачи (1) - (3).

В заключение хочу выразить благодарность Г.А. Свиридюку за постановку задачи и интерес, проявленный к данной работе, а также В.Е. Федорову за полезные советы и констуктивную критику полученных результатов.

Литература

1. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязко-упругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия ВУЗ. Математика. - 1988. - № 1. - С. 74-79.

п

п

о

о

r

2. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и мех. - 1960.

- Т. 24, № 5. - С. 58-73.

3. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. - Новосибирск: Науч. кн., 1998. - 438 с.

4. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

5. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.

6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrech; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003. - 216 c.

7. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова // Обозр. прикл. и пром. математики. -2009. -Т. 16, № 4. - С. 732-733.

8. Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов / А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та, сер. «Мат. моделирование и программированием - 2010. - № 16, вып. 5. - С. 88-92.

9. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. - М.: Наука, 1970. - 536 с.

10. Kato, T. Integration of the Equation of Evolution in a Banach Space / T. Kato // J. Math. Soc. of Japan. - 1953. - V. 5. - P. 208-234.

11. Ладыженская, О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравнений / О.А. Ладыженская, М.И. Вишик / Успехи мат. наук.

- 1956. - Т. 11, № 6. - С. 41-97.

12. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. - М.: Мир, 1967. - 624 c.

13. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967. - 464 c.

14. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.

- М.: Мир, 1985.- 376 c.

15. Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. - N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc, 1999. - 236 c.

Минзиля Алмасовна Сагадеева, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Информационно-измерительная техника>, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

MSC 35Q35, 35F99

The Solvability of Nonstationary Problem of Filtering Theory

M.A. Sagadeyeva, South Ural State University (Chelyabinsk, Russian Federation)

We discuss one problem for class unclassical equations mathematical wave theory. A distinctive feature of this problem is the time dependence of the functional coefficients of an elliptic operator on the right side of the equation. The method of investigation this theory is reduction to problem Cauchy for nonstationary equation of Sobolev type. The Sobolev type equations with time-dependent operator in this formulation are considered for the first time.

We introduced definition of relatively spectrally bounded operator-functions. The conditions that guarantee the fulfillment of this task properties allow to allocate the subspace of initial values for which there is only one solution to the Cauchy problem. This subspace we are named the generalized phase space solutions for the nonstationary equations of Sobolev type. The solution of this problem for a Sobolev type equations, as well as in the original formulation, is obtained by recursive formula.

Keywords: nonstationary equation, Sobolev type equation.

References

1. Sviridyuk G.A. A Model for the Dynamics of an Incompressible Viscoelastic Fluid // Soviet Mathematics - Izvestiya VUZ. Matematika. 1988, vol. 32, no. 1, pp. 94-100.

2. Barenblatt G.I., Zheltov Yu.P., Kochina I.N. Ob osnovnykh predstavleniyakh teorii fil’tratsii v treshchinovatykh sredah [About the Basic Representations of the Theory of a Filtration in Fractures Environments]. Appl. Math. and Mech. 1960, vol. 24, no. 5, pp. 58-73.

3. Demidenko G.V., Uspenskiy S.V. Uravneniya i sistemy, ne razreshennye otnositel’no starshey proizvodnoy [The Equations and the Systems which Have Been not Resolved Concerning the Senior Derivative]. Novosibirsk, Science book, 1998. 438 p.

4. Dzektser Ye.S. Obobshchenie uravneniya dvizheniya gruntovykh vod so svobodnoy poverkhnost’yu [Generalization of the Equation of Movement of Ground Waters with a Free Surface]. Dokl. Akad. Nauk USSR, 1972, vol. 202, no. 5, pp. 1031-1033.

5. Sviridyuk G.A. K obwej teorii polugrupp operatorov [On the General Theory of Operator Semigroups]. Russian Mathematical Surveys, 1994, vol. 49, no. 4, pp. 45-74.

6. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, VSP, 2003. 216 p.

7. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A., Zaharova E.V. Dinamicheskiye izmereniya kak zadacha optimal’nogo izmereniya [Dinamic Measure as a Optimal Control Problem]. Obozrenie prikladnoy i promyshlennoy matematiki - Review of Industrial and Applied Mathematics, 2009, vol. 16, no. 4, pp. 732-733.

8. Shestakov A.L., Sviridyuk G.A. Novyy podkhod k izmereniyu dinamicheski iskazhennykh signalov [Are new approach to measuring dynamically distorted signals]. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie

i programmirovanie> - Bulletin of South Ural State University. Seria «Mathematical Modelling, Programming & Computer Softwares, 2010, no. 16(192), issue 5, pp. 88-92.

9. Dalecki Yu.L., Krejn M.G. Ustojchivost’ reshenij differencial’nyh uravnenij v banahovom prostranstve [Stability of Decisions of the Differential Equations in Banach Space]. Moscow, Scince, 1970. 536 p.

10. Kato T. Integration of the Equation of Evolution in a Banach Space. J. Math. Soc. of Japan, 1953, vol. 5, pp. 208-234.

11. Ladyzhenskaja O.A., Vishik M.I. Kraevye zadachi dlja uravnenij v chastnyh proizvodnyh

i nekotoryh klassov operatornyh uravnenij [Edge Problems for the Equations in Private Derivative and Some Classes of the Operational Equations] Uspekhi Math. Nauk, 1956, vol. 11, no. 6, pp. 41-97.

12. Yosida К. Functional analysis. Berlin: Springer, 1980. 511 p.

13. Krejn S.G. Lineynye differentsial’nye uravneniya v banakhovom prostranstve [Linear Differential Equations in Banach Spaces]. Moscow, Scince, 1967. 464 p.

14. Henry D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations Berlin, Springer, 1993. 376 p.

15. Favini A., Yagi A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces. N.Y., Basel, Hong Kong, Marcel Dekker, Inc, 1999. 236 p.

Поступила в редакцию 13 января 2012 г.