РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕПОЛОГИХ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО НУЛЕВОЙ ГЛАВНОЙ КРИВИЗНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 16. № 1 (2024). С. 81-98.

УДК 517.958

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕПОЛОГИХ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО НУЛЕВОЙ ГЛАВНОЙ КРИВИЗНЫ

С.Н. ТИМЕРГАЛИЕВ

Аннотация. Изучается разрешимость краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка при заданных граничных условиях, описывающей состояние равновесия упругих непологих изотропных неоднородных оболочек с незакрепленными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко. В основе метода исследования лежат интегральные представления для обобщенных перемещений, содержащие произвольные функции, в том числе, произвольные голоморфные функции. Произвольные функции определяются таким образом, чтобы обобщенные перемещения удовлетворяли линейной системе уравнений и линейным граничным условиям, выделенным из исходной краевой задачи. Голоморфные функции ищутся в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями. Интегральные представления позволяют свести исходную краевую задачу к нелинейному операторному уравнению относительно обобщенных перемещений в соболевском пространстве. При исследовании разрешимости операторного уравнения наиболее существенным моментом является его обращение относительно линейной части. В результате исходная задача сводится к уравнению, разрешимость которого устанавливается с использованием принципа сжатых отображений.

Ключевые слова: непологая изотропная неоднородная оболочка типа Тимошенко нулевой главной кривизны, нелинейная краевая задача, дифференциальные уравнения с частными производными, обобщенное решение, голоморфная функция, операторное уравнение, теорема существования.

Mathematics Subject Classification: 35G30, 74G25

1. Введение

В настоящее время разрешимость нелинейных краевых задач равновесия упругих пологих оболочек достаточно полно изучена в рамках простейшей модели Кирхгофа-Лява (|1| |5| и цитированная литература). В то же время актуальной задачей является исследование подобных краевых задач в рамках более сложных моделей теории оболочек, не опирающихся на гипотезы Кирхгофа-Лява [1, с. 349]. На сегодняшний день имеется ряд работ [6]-[12], в которых в рамках сдвиговой модели С.П. Тимошенко исследована разрешимость нелинейных краевых задач для пологих оболочек. В основе исследований в [6]—[12] лежат интегральные представления для обобщенных перемещений, содержащие произвольные голоморфные функции, которые находятся таким образом, чтобы обобщенные перемещения удовлетворяли заданным граничным условиям. В настоящей статье метод работ [6]—[12] развивается на случай непологих неоднородных изотропных оболочек

s.n. tlmergaliev, solvability of nonlinear boundary value problems for non-sloping

Timoshenko-type isotropic shells of zero principal curvature.

© Тимергалиев С.Н. 2024.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда №23-21-00212.

Поступила 22 февраля 2023 г.

типа Тимошенко нулевой главной кривизны, отнесенных к евклидовой системе координат. Переход к непологим оболочкам существенно усложняет исследование краевой задачи,

2. Постановка задачи

В плоской односвязной ограниченной области П рассматривается система нелинейных дифференциальных уравнений вида

- Bj\T- В]ХТХ3 + W = 0, j = 1, 2, (Т + + + R3 = 0, (2.1)

М» - Tj3 + Lj = 0, j = 1, 2, при выполнении на границе Г области П условий

Tj1da2/ds - Tj2da1/ds = Р3(s), j = 1, 2,

Т 13da2/ds - Т23da1/ds + (Т 1xda2/ds - T2Xda1/ds)ux = P3(s), (2.2)

Mj1da2/ds - Mj2da1/ds = Nj(s), j = 1, 2. В (2.1), (2.2) и ниже используются следующие обозначения: = (j) = М* = М«(ч) = Df^-1,

1 = ('Y0,'Y1), lk = (7n,7ifc2,7ifc3,72fc2,72fc3,73fc3), к = 0,1;

ho/2

Dlmn = Diikn(a\a2)= J Bljkn(a1, a2, a3)(a3)mda3, m = 0/2, i,j,k,n =1,3;

-ho/2

В1111 = В2222 = E/(1 - u2), B1122 = uE/(1 - u2), (2.3)

В1212 = E/(2(1 + u)), B1313 = B2323 = EK2 / (2(1 + u));

Uj = W3ai + BnW1 + Bj2W2, j = 1, 2;

1% = Wjaj - BjjW3 + и2/2, j = 1, 2,

1\2 = W1»2 + W2al - 2B12W3 + Ш1Ш2, 4)3 = rfjai , j =1, 2,

7u = Ф1а2 + Ф2а1, 1% = Uj + , j = 1, = = 0, к = ^ 3

остальные В%:>kn равны нулю, а^ = а^ (s) (j = 1, 2) — уравнения кривой Г s — длина дуги Г; нижний индекс ах в (2,1)-(2,3) и далее означает дифференцирование по ах, А = 1, 2.

Система (2.1) совместно с граничными условиями (2.2) описывает состояние равновесия упругой непологой изотропной неоднородной оболочки с незакрепленными краями в рамках сдвиговой модели Тимошенко [13, с. 164-173], отнесенной к евклидовой системе координат. При этом: Т^ — усилия, М^ — моменты; (i,j = 1, 3, к = 0,1) — компоненты деформаций срединной поверхности S0 оболочки, отождествляемой с областью П; Wj (j = 1, 2) и w3 — соответственно тангенциальные и нормальное перемещения точек S0] фг (г = 1, 2) — углы поворота нормальных сечений S0] Bij (i,j = 1, 2) — составляющие тензора кривизны поверхности S0, Р^ (j = 1, Lk, Nk (к = 1, 2) — компоненты внешних сил, действующих па оболочку; ^-коэффициент Пуассона, Е — модуль Юнга, к2 — коэффициент сдвига, h0 = const — толщина оболочки; а\ а2 — декартовы координаты точек области П.

В (2.1)-(2.3) и в дальнейшем по повторяющимся латинским индексам ведется суммирование от 1 до 3, по повторяющимся греческим индексам — от 1 до 2.

Задача (1), (2). Требуется найти решение системы (2.1), удовлетворяющее граничным условиям (2.2).

Краевую задачу (1), (2) будем изучать в обобщенной постановке. Пусть выполнены следующие условия:

(a) В^кп(а1,а2,а3) е_(Жр(1)(П) П Ср(П)) х Ь^—Ъо/2,Ъо/2], г,з,к,п =

(b) Вх^(а1,а2) е С 1(П) X, ^ = 1, 2, при этом В11В22 — В22 = 0, В12 = 0 в П;

(c) компоненты внешних сил Я (] = 1, 3) и Ьк (к = 1, 2) принадлежат пространству ЬР(П), а компоненты Р^ (] = 1, 3), Мк (к = 1, 2) — пространству Ср(Г) и внешние силы самоуравновешены;

(с1) П — произвольная односвязная область с границей Г е Ср,. Здесь и далее везде: 2 < р < 4/(2 — 3), 0 < 3 < 1.

Определение 2.1. Назовем вектор обобщенных перемещений а = (ги1,'Ш2,'ш3,ф1,ф2)

(2)

W(2) (П), почти всюду удовлетворяет системе (2,1) и поточечно граничным условиям (2,2).

Здесь (П) (] = 1, 2) — пространства Соболева, В силу теорем вложения для Собо-

(2)

левскнх пространств Ш(2) (П) с р > 2 обобщенное решение а принадлежит пространству (П). Здесь и везде далее а = (р — 2)/р. Заметим, что при 2 < р < 4/(2 — 3) справедливо неравенство а < 3/2.

Соотношения для компонент деформаций в (2.3) для удобства в дальнейших исследованиях запишем в виде

1к 1г]

рк. . + рк.. + ук. 1 сгз 1 Аг^ ?

,

1, 3, к = 0,1,

(2.4)

где приняты обозначения:

^33

^12

- с]3

X.

V

, = + фз

WlOI2 + ■Ш2а1, е^12 = Ф1«2 + ф2«1

, 3=1, 2,

е %з = — B33W3,

4' = 0,

1, 2,

12

— 2Б^з,

BJ■1W1 + В321П2) х% = /2, 1,3 = 1, 2

Х%

^зз „к —

Х12

ш1ш2,

33

-з]3

33

0,

,

1,3, к = 0,1.

(2.5)

о

о

о

о

1

о

1

3. Построение интегральных представлений для обобщенных

перемещений Введем в рассмотрение две комплексные функции

V, =у3 (г) = Б)1-!^! + ) + £)т(ф1«1 + Ф2«2)

+ 1[В)2_12^2а1 —Wla2) + Б71212(ф2а1 —Ф1а2)], 3 = 1, 2, г = а1 + га2.

(3.1)

В системе (2.1) усилия Т^, моменты М^к и компоненты деформаций гу1пк заменим их выражениями из (2.3), (2.4). Прибавляя после этого к первому уравнению в (2.1) вто-

также на г, систему (2.1) при помощи функций Vj(г) из (3.1) представим в удобной для дальнейших исследований форме

V» + Ъ (а) = Ц(а) + Ц(а) — ^(г), з = 1, 2,

А131>з«1«1 + wз«2«2) + Ъ3(а) = f3(а) + f3(а) — (г), г е П,

где приняты следующие обозначения: Vjz = (vjai + ivja2 )/2, j = 1, 2,

hj(a) = (-1Г-1uX2a, + iDf+l2a, vxla—) - (j - i)D10313(e°sl3 + гe°s23)/2, U!j = Wj, P2j = фj,3 = 1, 2; h3(a) = D^w^x + (D1313^x)ax; fj(a) = (U-2 + ifc3j-i)/2, fi(a) = (¡X3j-2 + i¡X3j-i)/2, j = 1, 2, f c(a) = U(a), fx(a) = fX3(a), fcj(a) = -T» (ec) + B3xTX3(1),

fc3+3(o) = -Mjx(ec) + Tj3(ec), j = 1, 2, (3.3)

fc3(a) = -T$(ec) - Bx,TX»(e), fX3(a) = -T$(X) + B3xTx»(^, fX3+j(a) = -MjX(X), j = 1, 2, fx3(a) = -(Tx^)a> - Bx»TX»(X), F1 = (R1 + iR2)/2, F2 = (L1 + iL2)/2, F3 = R3;

e = es + e0 e s = (e s, e^, ec = (ec, e^), es = (esn, eS12, es13, e S22, eS23, es33), e s = (e s11, e s12, e s13, e s22, e s23, e s33) , k = 0, 1; X = (x11, X12, X22);

eecíji XSSj определены в (2.5).

X

компонент деформации 7, поэтому справедливо представление 7 = е + X. Аналогично, граничные условия (2.2) запишем в виде

Re[(-i yt'vs (t)] + 2(-1)jDl+?-2 u&3-ja^dax/ds

= pc3(s-1)+j(a)(t) + <Px3(s-1)+j(a)(t) - F3S+j(s), k,j = 1, 2, (3.4)

D1313[(W3№2 + ф2)da1/ds - (w:iai + ф1)da2/ds] = ^(a)® + <Px3(a)(t) - F6(s),

где

<fcj(a)(t) = Tj2(ec)da1/ds - Tj1(ec)da2/ds, <Pc3+j(a)(t) = Mj2(ec)da1/ds - Mj1(ec)da2/ds, pc3(a)(t) = T 13(ec)da2/ds - T23(ec)da1/ds;

Pxj(a)(t) = Tj2(X)da1/ds - Tj1(X)da2/ds, (3.5)

<fx3+j(a)(t) = Mj2(X)da1/ds - Mj1(X)da2/ds, j = 1, 2,

Vx3(a)(t) = [(T 11(1)ш1 +T 12(j)uj2]da2/ds - [T22(^2 + T12(^1]da1 /ds;

F3+j = -pj, j = 1, 2, F6(s) = P3(s), F6+S = -Ns, k=1, 2; T S M S

В основе исследования системы уравнений (3.2) при граничных условиях (3.4) лежат интегральные представления для обобщенных перемещений Wj (j = 1, фс (k = 1, 2). Для их вывода введем в рассмотрение уравнения

Vjz = Р3 (j = 1,2), D1313(w3aiai +W3a2a2)=р3, (3.6)

где р1 = р1 + iр2, р2 = р4 + ip$, р3 = р3 — произвольно фиксированные функции, принадлежащие пространству LP(Q).

Первые два уравнения в (3.6) представляют собой неоднородные уравнения Коши-Римана, Их общие решения даются формулами [14, с. 29]

Vj (z) = $j(z) + ТрЗ (z) Ф; р)(z),

Tр(z) = - 1JJ dCdV, j = 1, 2, ( = £ + iv, (3'7)

n

разрешимость нелинейных краевых задач

85

где Ф^ (г) — произвольные голоморфные функции, принадлежащие пространству Са (П), Известно [14, с, 39-41, 46], что Т — вполне непрерывный оператор в пространствах ЬР(П)

IО (

существуют обобщённые производные

и Ск(П), отображающий их в пространства Са (П) и Ск+1 (П) соответственно. Кроме того,

дТ? < 8Т/_Я 1 [[ КО

~ШГ = Л ~дГ = 81 = -п]] ^ (3'8)

п

где 5 — линейный ограниченный оператор в Ьр(П), р > 1 и СО(П),

Представления (3,7) в свою очередь при помощи функций v(¡) = + V0 = ф2 + гф\ запишем в виде неоднородных уравнений Коши-Римана

V^ = г(^^К] + ^ [V2]) = iТjv, з = 1, 2, V = ^1^2), (3.9)

общие решения которых имеют вид

v0(z) = Ф,(г) + гТТ^(г) = v0(ФJ; v)(z), 3 = 1, 2. (3.10)

В (3.9), (3.10) приняты обозначения:

d2j+\-2[v\] = 4?+л^Л + (-1)^+Лз, А =1, 2,

1 / П1111 7~)1212

I I , .si D /

l3k-2 ~

^f +

1 /П1212 П1111 \

(3.11)

¿с = D^11^111 - (^i111)2 , ¿1 = D10212D12212 - (D1212)2 ;

Ф j (z) G С, (П) — произвольные голоморфные функции. Третье уравнение в (3.6) представим в виде

w3zz = P3/4, р3 = Ps/D^313, = (w3«i - )/2,

откуда получим

W3(z) = ДеФ3(г) - Tp:i = W3^; p;i)(z), Тр3 = - J J P3«) ln

п

i - ?

d^d/7, (3.12)

где Ф3(г) € СО, (П) — произвольная голоморфная функция.

Соотношения (3.10), (3.12) представляют собой искомые интегральные представления для обобщённых перемещений. Для их частных производных первого и второго порядков при помощи формул (3.7)-(3.12) и (8.20) из [14, с. 58] получаем представления

^как = - (-1)к v0jz], Цка* = Пе[и0г + (-1)к v0z], к = п, з,к,п =1, 2;

\ ~ JZ\1 "Зка- * \ j z

v% = Ф;(z) + iSTjv(z), v% = xT3v, W'3aj = 2Re (i3-1W3Z) , j = 1, 2, W3* = Ф3(^)/2 + Tp3 (z)/4; a] = -Re{in[vkz-z + (-1)* (vL + v%rz)]},

^kn«i«2 = Re{in-l(vkzz - vkzz)}, W3ajaj = 2[w3^ + (-1)-1 Rew3ZZ], k, n,j = 1, 2, W3«i«2 = -21 mw3Z z; vkzz = Tk1 v + Sk1^0 ;po), vk^ = Tk2v + Sk2($C ), (3-13)

vk,zz = Ф^) + Svlrc(Z) - dr, k =1, 2, Ф0 = (Ф1, Ф2),р0 = (р1, p2),

W3zz = Ф/3/(^)/2 + SP3/4, W3zz = P3/4, Tikv = ¿[d2j+^-2,k vM + (-1)^d2j+n-2,k V^},

Sjk(ф0; p)) = + (-1)J+ít^2J+ít-2V^^], v,-1 = v3Z = ф;(^) + SPJ(Z),

vj,2 = = p3, d3m1 = G^., = ^Lz, j,k = 1, 2, m = 1, 4-

4. Решение задачи (1), (2)

Интегральные представления (3,10), (3,12) для обобщённых перемещений а = {^х, чп2, ыз, гф1, ф2) содержат произвольные голоморфные функции ^¿(г) (з = 1, 2), Фк(г) (к = 1, 3) и произвольные функции рР (г) {] = 1, 3). Их найдём так, чтобы обобщённые перемещения удовлетворяли системе (3,2) и граничным условиям (3,4), при этом правые части уравнений (3,2) и граничных условий (3,4) временно считаем известными, С этой целью соотношения (3,10), (3,12), (3,13) подставим в левые части системы (3,2) и граничных условий (3,4), В результате система уравнений (3,2) запишется в виде

Р(г) + {р){г) + Ь2(Ф)(г) = Ц(а){г) + ^(а){г) -Р{г), з = М, ге П, (4.1)

где через к31{р){х) и к32{Ф){г) обозначены те части выражения оператора У (а) в (3,3), которые содержат функции р = (р1, р2,рз) и Ф = (Фх, Ф2, Фъ Ф2, Фз) соответственно. Граничные условия (3,4) с учетом представлений

5(т;ф0)+вд = -а')2[й + №2®] + Кщ(Фа)®, Фо = (Фх,Ф2),

^{фоШ = 1 ^ЦЬЛ-^Ф>МЛт - {-1Г»

• I ^фЩ^ - 1 Ц ^-м- ^ Ф^ (42)

г п

(-1)^ [[ 4+^(0 - (Ру+цЛ)

1 П ((- V2

п

dv, 3 = 1, 2,

ф(т, t) = (r - t)/(r - t), ф(1, t) = (t)

Л 2

получаемых при помощи соотношений (3.7)—(3.9), формул (4,7), (4,9) из [14, с, 28] и формул Сохоцкого [15, с, 66], преобразуются к виду

(-1)ЧкХ(1) Не[гН'Фх(г)] - 2В12+2к-2(1)Пе^Ч'Ф'^)] - Ке\ъЧ'Кох(Фо)^)]

+ Нз(к-1)+3Р(г) = <Рсз(к-1)+зШ) + <рхз(к-1)+зШ) - Р3к+з(з), к,з = 1, 2, (4.3) О^^Не^^)] + Коз(Ф)(1) + Нзр(I) = рсз(а)(1) + рхз№) - Г6(з),

где приняты следующие обозначения:

H3(k-1)+3p(t) = Re[(-г)Н'Трк(t)] - 2D^X--2(t)Re{H(I + S)(TxTpa)+(t)}, k,j = 1, 2, H3p(t) = D10313(t)Re[ttl(Tf^3(t)/2 + TT2Tpa(t))], Kos($)(t) = D10313(t)Re[t'[^2(t) + iTT2^o(t)]};

dkj(t) = (-iy-1[2(-l)XD12+2k-2(t)d\x+J-2(t) + 3 -k - j], k,3 = \, 2,

(4.4)

I — тождественный оператор, операторы T, S, Tx и функции dk (t) определены в (3.7), (3.8), (3.9), (3.11) соответственно; &x(t) = &+(t), t E Г; символ &+(t) здесь и далее означает предел функции Фх(^) при z ^ t E Г изнутри области П.

Таким образом, для определения функций рр E LP(Q) (j = 1,3), Фк(z) E Са (П) ( k = 1, 2), tyj(z) E С1 (П) (j = 1, 3) получили систему уравнений (4.1), (4.3). Голоморфные

функции будем искать в виде интегралов типа Коши с действительными плотностями:

Фк(х) = 0(^2к= Фк(¡2к)(г), к = 1, 2, 0( / ,

2пгз г (г — г) г

где (¿) € С«(Г) (] = 1, 5) — произвольные действительные функции, г' = йт/йа, ¿а — элемент длины дуги кривой Г,

Для функций У (] = 1, 3) имеем представления:

Ф,( = г «-1)У-2)/20о(м2,-1)(г) + С2,_1 + г 02, = У ,(¡2,-1>(г) + С2,-1 + г С2,, } = 13, 0»(/)( *) = — ^ / ^ Iп (1 — £)Лг («)

2^ г 7 т' \ т /

г

где с^ (] = 1, 6) — произвольные действительные постоянные, под Iп(1 — г/т) понимается однозначная ветвь, обращающаяся в нуль при г = 0,

Используя формулы Сохоцкого [15, с, 66], находим Фк(¿) ( к = 1, 2), (7 = 1, 3),

Ь € Г, Подставляя их выражения, а также представления (4,6) в систему (4,1), (4,3), после несложных преобразований приходим к следующей системе уравнений относительно функций р € £Р(П) и л = (^1,^2,^3,^4,^5) € Са(Г) :

Р(г) + к\(р)(г) + Н2(л)(г) = /С(а)(г) + Р(а)(г) + £(г) — &(г), г€ П, 3 = 1,3,

Е

П=1

/Л

г

+ К,М ¿) + Я,р( *) (4.7)

(4.8)

= ^(а)(^) + ^(а)(^) + д™® — ^32 (¿), ¿€ Г, 3 = 1,5,

в которой приняты обозначения:

Хз(га-1)+,л^) = (—1)'" йпХ(1){Ке [гЧ'0(112х)Ш — гПе (г1-1)0(т' ¡2л)(*)}

+ 2Д12+12-2(^){Де[г^+4/0(л2Л-1)(^)] — г Де (г5' )0(т'л2л-1)(*) — Де[^ХлЫ(£)]},

п,з = 1, 2, ХзМ^) = ^оз(л)(^) — Дс1313(^)Де[¿'0Ы(^];

^(г) = ^1313( С4 + г С3)/2, = — с^!3 — С3Д£1а3,

<£(*) = Д01313СО(с4йа2/йв — с3йа1/йв), д1с(г) = = 0, 3 = 1, 2, 4, 5;

а3(к-1)+ 2л(*) = (—1)'4л(№(^)/2, &3(к-1)+, 2л (¿) = (—1)'"4л(*)Де(г'-1 )/(2тт),

а3(к-1)+, 2л-1 (¿) = —Д12+1к2-2(^)Де(г^-1), 63(^1)+,- 2л-1^) = (*)Де(^)/тт,

к,з,Х =1, 2, а35(*) = —Д1313(¿)/2;

остальные а^к, Ь^ равны нулю; здесь К32(р)(г) = К32(Ф(р))(г)1 К0.,(л0)(£) = К0:?-(Ф0(л0))(£), з = 1, 2 Ко3(л)(*) = Ко3(Ф(л))(*)2 Ф(л) = (Ф1 (¡¡2), Ф2Ы, У (¡¡1), Ф2Ы, Ф3(¡¡5)), ¡0 = (¡2, ¡4).

Лемма 4.1. Пусть выполнены условия (а), (Ъ), (с), (ё). Тогда:

1) к31(р) (3 = 1, 3) — линейные вполне непрерывные операторы, в Ьр(0,);

2) к32 (¡л) (3 = 1, 3) — линейные вполне непрерывные операторы, из (Г) У и € (0,1) в ЬР(П); _

3) Кз л (3 = 1, 5) — линейные вполне непрерывные операторы, из С (Г) У и € (0,1) в Су (Г) У7 <¡1/2;

4) Н^р = 1,5) — линейные вполне непрерывные операторы, из Ьр(П) в Са' (Г) У а' < а и ограниченные операторы, из Ьр(П) в Са(Г);

5) имеют место включения ¡{ (а)(г), (а)(г),Р£ (г), д£ (г) Е Ьр(П) (] = 1, 3); (а)(Ь), Фхз Ш) Е Са(Г), Р3+ (I), д!(1),азк (I), Ъзк (I) Е С? (Г), з,к = 1,5.

( )

собой ограниченный оператор из Са(Г) в Са(П), а его производная в'($) — ограниченный оператор из Са(Г) в Ьд(О,), 1 < д < 2/(1 — а). Кроме того, нетрудно показать, что в(/) — вполне непрерывный оператор из Са(Г) в Ьр(П) Ур > 1 и в Са' (П) У а' < а. Учитывая это, а также свойства операторов Т,Б, определенных в (3,7), (3,8), используя представления для производных первого порядка обобщенных перемещений в (3,13) и выражения для операторов Ь?(а) в (3,3), получаем, что первые два утверждения леммы справедливы.

Так как ф(т, I) Е Ср(Г) хСр(Г) [15, с. 28-32], й'кХ(1) Е С0(Г) $(г), Б1,313(г) Е С0(П), то принимая во внимание следствие 4,3 из [16, с, 124], легко убеждаемся в том, что первые два слагаемых правой части представления для оператора (р0) в (4,2) суть вполне непрерывные операторы из Си(Г) Уи Е (0,1) в Су (Г) У^ < ¡3. Также нетрудно показать, что третье и четвертое слагаемые этого представления в (4,2) суть вполне непрерывные операторы из Си(Г) Уи Е (0,1) в Су(Г) У^ < ¡. Тогда получаем, что К0£(р0) (] = 1, 2) — линейные вполне непрерывные операторы из С (Г) У и Е (0,1) в Су (Г) У^ < 3- Аналогично из представления оператора К03(р) в (4,4) следует, что К03(р) — линейный вполне непрерывный оператор из С (Г) в Ср (Г) для всех и Е (0,1).

Далее, первые два слагаемых в правой части формулы для оператора К3(п-1)+£р в (4,8) преобразуем к виду

(—У, , ^ I (-1) — 1 [ Р2Х(Т) г' — Ц Р2х(т)1т ( И \

2ж% .I г' т — Ь ж .1 т' \т — Ь )

Следовательно, с учетом включений т', йпХ Е Ср (Г) и равенства

1т[1 '/(г — 1)] = к*( г, 1)/\т — 1\1-13/2,

где к*(т, Ь) Е Ст(Г) х Ср/2(Г) [15, с, 31-32, 55-56], а также следствий 4,4, 4,5 из [16, с. 125] получаем, что первые два слагаемых в выражении для оператора К3[11-1)+]р в (4,8) определяют линейный вполне непрерывный оператор из С (Г) в Су (Г) для любых Е (0, 1) < ¡ /2.

жении для оператора К3(п-1)+£р в (4,8) обладают этим же свойством. Тогда из представлений операторов (] = 1,5) в (4,8) вытекает справедливость третьего утверждения леммы. Справедливость четвертого ее утверждения следует из представлений операторов Н3р (з = 1,5) в (4.4) с учетом свойств операторов Т,Б, интеграла типа Коши и соотношений

£(тхТро)+(г) = т(^-тхТро) (г) — У)2ТхТро(г) — [ ТхТро(]г)йт, \ = 1,2,

24 ' ' 2жг ] т — г

г

которые получаются с использованием формул (8,20) из [14, с, 58] и Сохоцкого, Справедливость пятого утверждения леммы непосредственно вытекает из формул (3,3), (3,5), (4,8), Лемма доказана, □

Исследуем разрешимость системы уравнений (4,7) в пространстве Ьр(П) х Са'(Г), а' < а. Заметим, что любое решение (р,р) Е Ьр(П) х Са'(Г) системы (4,7) в силу леммы 4,1 принадлежит пространству Ьр(П) х Са(Г). Используя выражения для а^к(I), Ь£к(1) из (4,8), вычисляем определитель

йег[А(г) — жгВ(г)] = Б^313б1(а 1 — а,а2)/(325,), ап = БЦ11 + ОЦ22, п = 0,1, 2,

где 50, определены в (3,11), а А = (а^к), В = (bjк) — квадратные матрицы пятого порядка. Итак, ¿е¿[А(£) — тгВ(£)] = 0 па Г и для индекса системы (4,7) получаем

¿е г(А — тВ)"

1

X

2т

а

¿е ¿(А + тВ)_

0

(здесь символ [ а г д ^]г означает приращение аргумента функции <р при обходе кр ивой Г один раз в положительном направлении). Следовательно, к системе (4,7) применима альтернатива Фредгольма, Пусть (р, ¡) € ЬР(О) х Са> (Г) — решение системы (4,7) при нулевой правой части. Этому решению по формулам (4,5), (4,6) с постоянными с^ = 0 (7 = 1, 6) соответствуют голоморфные функции Фк( г), Ф^(г), которые в свою очередь по формулам (3,10), (3,12) определяют функции Wj (7 = 1, 3) фк (к = 1, 2). Эти функции, как нетрудно видеть, удовлетворяют однородной системе линейных уравнений (3,2) ( ¡1 + — ^ = 0, 7 = 1, 3) и однородным линейным граничным условиям (3,4) ( (р^ + — ^327 = 0,7 = 1, 5). Действительную и мнимую части первого уравнения однородной системы (3,2) умножим соответственно на w1 и w2, второго уравнения — соответственно на ф1 и ф2, а третье уравнение — на w3, После этого проинтегрируем по области О и сложим получившиеся равенства, С учётом однородных граничных условий (3,4) получаем, что Wj (7 = 1, 3) фк ( к = 1, 2) удовлетворяют системе ^1а1 = 0 = 0 ^1а2 + ^2а1 = 0 w3Q,j + ф^ = 0,

= 1, 2,

w1 = — с0а2 + с1, w2 = с^а1 + с2, w3 = — с4а1 — с5а2 + с6, ф1 = с4, ф2 = с5, (4,9)

где ^ — произвольные действительные постоянные.

Так как Ф^(0) = 0 (7 = 1, 3) w3(0) = 0, то из (4.9) будем иметь: w1 = — с0а2 + с1, w2 = соа1 + с2, w3 = ф1 = ф2 = 0. Тогда (г) = 2гс0Д1-112, j = 1, 2 и из уравнений (3,6) следуют равенства

р(г) = 2гС0Д1-11|, 7 = 1, 2, р3(г) = 0, г € О. (4.10)

Используя формулы (3.7), (3.10), (3.12) и представление для в (3,13), находим Фк(г) ( к = 1, 2) Ф^ (г) (7 = 1, 3) и подставляя их в (4,5), получаем

¡х(1)/а — С0(Г)2 = ^-(¿), ¡2](1)/а — 2гсоД1-1^) = ^(г), 3 = 1, 2, ¡2,-1 (г)/И = Р2--1(1), 3 = 2, 3,

где — граничные значения функции Р~(г), голоморфной во внешности О и исче-

зающей на бесконечности. Следовательно, для функции Р-(г) во внешности области О приходим к задаче Римана-Гильберта с краевым условием Не [г¿'^-(£)] = 7 = 1, 5,

я

где /Г (¿) = С0Не(й'), (¿) = 2cоД32112(í)Нeí', ] = 1, 2, /а"^) = 0, 7 = 2, 3. Использу решение этой задачи [17, с, 253], для функций (¿) получаем представления

(I) = со^) + ¡0^1^), 3 = 1, 2, 4, (¿) = ¡0^1^), 3 = 3, 5, (4.11)

где ¡к(¿) — известные действительные функции, принадлежащие пространству Са(Г); с0, ¡о-,- — произвольные действительные постоянные.

Решения (4.10), (4.11) показывают, что однородная система уравнений (4.7) имеет шесть линейно независимых решений. Тогда союзная с ней система уравнений также будет иметь шесть линейно независимых решений. Для вывода союзной системы действительные и мнимые части левых частей уравнений в (4.1) умножим соответственно на действительные функции у1, ь2, у3, ь4, ь5 € Ьд(О), 1/р + 1/q = 1 и проинтегрируем по области О, а левые части уравнений в (4.3) умножим на действительные функции и1, и2, и3, и4, и5 € Са(Г),

Г.

ломорфные функции Ф j(z), Фк(г), Ф'к(г) их выражениями из (4.5), (4.6) с постоянными,

г

равными нулю, переставляя порядок интегрирования в полученных повторных интегралах, при помощи традиционных рассуждений после несложных, но достаточно громоздких преобразований приходим к искомой союзной системе уравнений

ю'(г) - Т3+,-ф) + 20(т'р^)(г) = 0, 3 = 1, 2, НеТ3ь (г) = 0, ге П,

Ке{г[Тз+ф) - 20-(т^)(*)]} = 0, з = 1, 2, Ее[Тд(у)(1) + 0-(г'Д1313//з)^)] = 0,

^{Т- 20-(т'П\+2-Ут (4.12)

+ (з - 1)[гТ0д(у)(1) - ТГ°(Д1313т'^)]} = 0, * е Г, 3 = 1, 2; V3 = ^-2 + ^ = Щ-2 + «^-1, 7 = 1, 2, V3 = ^3, т/ = Р3.

В уравнениях (4.12) приняты обозначения:

Т3V(г) = -2Тд(у)(г) + 2^1313(г)^(г) - 20(т'Д1313//3)(,г), Т3+.7 у(г) = 2Т ф+2л-2[5'л^ ](г) +Т с^+^Т^ ](г), V = (г» 1, Ш, Ш, ф, 5>(г) = 5[Я™-^]^) - ^2-2,- 20'(г^)+1л2-2^)(г), 3 = 1, 2, д(у)(г) = - ^313(ф2(.г)/4,

т7(^ = -Щ /(С)/п ( 1 - ^ )

п

ТГ0/(г) = -¿ / /(г)/п (1 - I) 0'(/)(г)

(4.13)

1 Г

г г

0-( /)(^) _ граничные значения функции 0( /)(г) при г ^ Ь е Г извне П; операторы Тf, 51, ^[/], 0(/) определены в (3.7), (3.8), (3.11), (4.5) соответственно.

Система (4.12), как отмечено выше, имеет шесть линейно независимых решений. Получим их явные выражения. Далее в (4.12) под V е Ьд (П), 1/р + 1/(1 =1, ре Са (Г) будем подразумевать некоторое её решение.

Т Т0 Т0 Т ( )

Т0f (г), Т°, /(г), которые голоморфны во внешности области П и обращаются в нуль на

( )( ).

Г

П

конечности. Такая задача, как известно, имеет только нулевое решение. Следовательно,

Г

Т3+]Ф) - 20(т'^)(г) = 0, 3 = 1, 2, Тд(ь)(г) + 0(г/^1313//3)(,г) = 0, ТВД^К*) - 20(г^1+12_2^Л)(^) + 0' - 1)[*Т°£(у)(г) - ТЗД313т^)(,г)] = 0, (4.14) 7 = 1, 2, ге П1 = С \ П,

С — комплексная плоскость.

Из первых трех равенств в (4.12) следует, что функции (3 = 1, 5) принадлежат пространству Ж(11)(П) П Са(П), 1 < q1 < 2/(1 - а). В них перейдем к пределу при г ^ Ь е Г

П, П

прибавим к первым трем соответственно. Принимая во внимание непрерывность функций вида Т/(г) при f е ЬР(П) па Си используя формулы Сохоцкого, получаем

у3(г) = -2р3(г), 3 = 1,2, шС0 = Р3^), ге Г. (4.15)

Продифференцируем первые два равенства в (4,12) по z, С учетом (3,8) получим равен-

ства

v^ = 2dj+2\-2[S\V](z) + d2+j[T3V](z), j = 1, 2, z E Q,

откуда, рассматривая их как систему относительно X = 2S\V, X2 = 2S2v + T3v и решая ее, будем иметь:

X = (D+-2 -D™-2)+(D™-2 + D™-2)vi 3 = 1, 2, ZE Q. (4.16)

Пусть дополнительно выполнены условия

D)212(j = 0,1, 2), D™13 E Wj¡2)(Q). (4.17)

Используя соотношения для функций T3v(z), SjV(z) (j = 1,2) в (4.13), находим X^ (j = 1,2), которые, как нетрудно видеть, принадлежат пространству Lqí (Q), 1 < q\ < 2/(1 — а). Теперь эти выражения Xj¿ (j = 1, 2) подставим в левые части соотношений, полученных дифференцированием по z равенств (4.16). Третье равенство в (4.12) дифференцируем по z и z. При помощи несложных преобразований полученных соотношений убеждаемся в том, что вектор-функция v = (vi, v2, 2v3, v4, v5) является решением системы линейных уравнений (3.2) при нулевой правой части.

Далее, от решения (v, v) союзной системы уравнений (4.12) потребуем, чтобы v(t) E С*(Г). Тогда, как нетрудно видеть, v(z) E C^(Q). Теперь в равенствах (4.16) переходим к пределу при z — t E Г изнутри области Q, при этом левую часть X+(t) заменим выражением, полученным с использованием представлений ( SjV)(z), T3v(z) в (4.13). Затем из них вычитаем соответственно равенства, которые получаются дифференцированием по

z —У t E Г извне Q. Далее, третьи равенства в (4.12) и (4.14) продифференцируем по z, в получившихся равенствах перейдем к пределу при z — t E Г соответственно изнутри и извне области Q и затем вычтем их друг из друга. При помощи полученных таким образом

Г

( S f )+(t) — (Sf )-(t) = —f (t) • (t')2, в'+(т'f )(t) — в'-(т'f )(t) = ft + h • (t')2, t E Г,

в которых операторы Sf, O'(f) определены в (3.8), (4.13), и считая t = 0 E Г, что не ограничивает общности наших рассуждений, после несложных преобразований приходим к тому, что функции V\, v2, 2v3, v4, v5 удовлетворяют также и однородным линейным граничным условиям в (3.4). Таким образом, вектор v = (vi, v2, 2v3, v4, v5) является решением однородной системы линейных уравнений в (3.2), удовлетворяющим однородным линейным граничным условиям в (3.4). Следовательно, в соответствии с (4.9) для компонент вектора v получим следующие представления:

v 1 = — соа2 + с i, V2 = соа1 + С2, v3 = (—с^а1 — с5а2 + с&)/2, v4 = С4, v5 = с5,

где Cj — произвольные действительные постоянные.

Функции fj (t) и Vk связаны друг с другом формулами (4.15). Следовательно, решение (v, v)T, v = (v 1, v2, v3, v4, v5), v = ( vi, v2, v3, v4, v5) союзной системы (4.12) можно представить в виде (v, v)T = co7i + с 172 + С273 + С474 + c5j5 + с&7&, гДе 7к = (iki, 1к2, ...,lkio) ( к = 1, 6) — линейно независимые решения системы (4.12). Тогда для разрешимости системы (4.7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

/[ {Re [(fc + fi + 9l — F 1)(z)(7ki — I7k2)(z) n

+(í¡ + fx + gl — F2)(z)(7k4 — г7k5)(z)] + (Л + f* + g3 — F3)(z)7^)} da1 da2

+ ^ (^ + ^ + 31+3 - Р= 0, к = 1, 6,

которые после несложных преобразований принимают вид

JI ДЧаЧа2 + J Р^ - JJ ВзХ[Тхз(7) + ТЛ"(7)ш^аМа2 = 0, 7 = 1, 2, п г п

[[( Д1«2 - Д2«1)^1^2 + [(Р1а2 - Р2«1

+ («1В2Л - «2В1л)[Тл^(7)Шм + Т^(^¿а1^2 = 0, п

//кд3 - Ь>^ + /(^ - ^)* + Ц С^Ь^М

п г п

Т^(7)ш^аЧа2 = 0, 7 = 1, 2,

(4.18)

jJ ^¿аЧа2 + у Р3^ + JJ Вл/1ТЛ^(гу)¿а1 ¿а2 = 0, п г п

где Я3, Р-7 (] = 1, 3) ^ (к = 1, 2) — компоненты внешних сил, 7 — произвольно фиксированный вектор деформации, — произвольно фиксированная функция.

При выполнении условий (4.18) общее решение системы (4.7) можно представить в виде

(Р ,1) = (Рс,!с)(а) + (Рх,!х)(а) + (р*,!*) + (рР ,1р ), (Рс,!с)(а) = (а), (Рх,!х)(а) = Щ fх(a), (Р*,!*) = Щс + (P,|), (Рр ,1р ) = -RF,

где

¡с (а) = (/с1,^^си..^ Vс5), /х(а) = (¡х, ¿Х f3,Vхl,...,Vх5), 9с = (g1c,..., 98),

Р = (Р1,...,^8); Я = (Яь..., Щ8);

Я/(7 = 1, 3) и ( к = 4,8) — линейные ограниченные операторы из ЬР(П) х Са (Г) в ЬР(П) и в Са(Г) соответственно; функции р = (р1,р2,р3), Д = (Д1,..., Д5) определены формулами (4.10), (4.11), а /¿?, V*, - формулами в (3.3), (3.5), (4.8).

Если выражение для вектор-функции |(£) из (4.19) подставить в соотношения (4.5), (4.6), то для голоморфной вектор-функции Ф(г) = (Фо, Ф), Фо = (Ф1, Ф2) Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) получим представление

Ф(г) = Фс(а)(г) + Фх(а)(г) + Ф*(г) + Фр(г), ге П, (4.20)

где

фc(а)(z) = ф(|lc(а))(z), фх(а)(z) = ф(|lх(а))(z), Фр (г) = Ф(|р )(z),

Ф*(г) = Ф(Ждс)(г) + Ф(г), Ф(г) = (соДо(г), соД (г), со7о(.г) + С1 + гС2, 0, 0), Д (г) = 2Ю(^1212)(,г), 3 = 0,1, 7о(^) = в(*ЭД;

функция 0( /)(г) определена в (4.5), с^ — произвольные действительные постоянные.

( )

(3.12). Тогда задача (1), (2) сведется к системе нелинейных уравнений относительно

вектор-функции а = (у1,у2,у3,ф1,ф2), которую представим в виде

2,

(4.21)

у0(г) = у%(а) + у]х(а) + у%(г) + у%(г), з = 1, 2,

у3(г) = у3с(а) + у3х(а) + у3*(г) + узр(г), г е П,

где у0с(а) = у?(Ф^с(а);у^(а)), ус(а) = (ухс,у2с), у^(а) = у3(Ф^(а); р3с(а)), з = 1, 2, у3с(а) = у3(Ф3с(а); р3(а)); остальные слагаемые в (4.21) определяются аналогично; операторы у2(Ф.,-; рр), у°) и у3(Ф3; р3) определены в (3.7), (3.10), (3.12) соответственно.

Отметим, что функции у®*(г), м3*(г) и у®р(г), у3р(г) зависят соответственно от произвольных постоянных и внешних сил, действующих на оболочку. При этом, как нетрудно заметить, для функций у0*(г) = у2* + г'Ши, у0*(г) = ф2* + гфи, у3*(х) имеют место представления (4.9).

(2)

Исследуем разрешимость системы (4.21) в пространстве

Лемма 4.2. Пусть выполнены условия (а), (Ъ), (с), (ё). Тогда

1) у0с(а) (] = 1, 2), у3с(а) — линейные вполне непрерывные операторы в ШР2\П);

2) у®х(а) (] = 1, 2), у3х(а) — нелинейные ограниченные операторы в ШР2\П), причем для любых а? = (у{,у2 ,ш'3,ф{,ф22) е Ш^22(П) (3 = 1, 2) справедливы оценки

Нх(а1) - уУ^Ц2'^ \\у3х(а1) - у3х(а2)\\№(2)(П) ^ с (Н^Ц2)^ + \\а2\\штт

, (4.22)

где ЦуЩ2 (2), = \\у1\\2 (2), ^ + \\у2\\2 (2), ^ + \\у3\\2 <2), 1 = 1, 2, с — известная положительная, постоянная, зависящая от физико-геометрических характеристик оболочки; 3)у0*(г),у0р (г) еШ(2)(П)^ = 1, 2.

Доказательство. Из представлений для (а), ^(а) в (3.3), <р^(а), <рХз(а) в (3-5) следует, что ¡Зс (а) и <£С](а) ~ линейные вполне непрерывные, а (а) и рхз(а) — нелинейные

ограниченные операторы из Ш<(22 (П) в Ьр(П) и в Са(Г) соответственно; для ¡х(а).; рх3(а) справедливы оценки вида (4.22), а для (а), (а) (3 = 1, 2) — оценки вида

[(а1) - %(a2)НLp(n), \\рХэ(а1) - ^(а2)\\Са(П ^ с (\\у1 \^со(п)

+ Нw2Нw(2)(n)) \\^ - ^^(пу 3 = ^ 2.

(4.23)

Тогда из (4.19) с учетом ограниченности операторов ^ получим, что р{(а) и ркс(а) — линейные вполне непрерывные, а р3х(а) и Ркх(а) ~ нелинейные ограниченные операторы из ШР2\П) в Ьр(П) и в Са(Г) соответственно и для р]х(а), Ркх(а) справедливы оценки (4.22). Следовательно, с учетом свойств интеграла типа Коши из (4.20) будем иметь,что:

Фкс(а)-, Ф^с(а) — линейные вполне непрерывные, Фкх(а) Ф']х(а) ~ нелинейные ограничен-

(2) —

ные операторы из Шр ^П) в Са(П), причем для нелинейных операторов Фкх(а), Ф^х(а) справедливы оценки (4.22).

Исследуем свойства операторов

Ф'кс(а) = в'(р2кс(а)), к=1, 2, Ф%(а) = г(^-1)(^-2)/2в'(р23-ю(а)), 3 = М, (4.24)

где оператор 0'( f) определен в (4.13).

Заметим, что функции рРс(а)(г), ркс(а)^), определенные в (4.19), являются решениями системы (4.7) с правой частью ¡¡I (а)(г) (3 = 1, 3^ рск (а)^) (к = 1,5). Поэтому вектор

¡c = (¡1c,..., ¡5c) можно представить в виде ¡c(a)(t) = A-\t)

Pc(a)(t) -B(t) i ¡MMdr-Kvc(a)(t) — Hpc(a)(t)

(4.25)

где A 1(t) G Cp(Г) — матрица, обратная матрице A(i), = (pc1,..., <pc5), K = (K1, ...,K5),

h =(Hi,...,H5),Pc = (p 1, pl p3).

Если выражение (4.25) для ¡c(a)(t) подставить в (4.24), после этого переставить порядок интегрирования в повторных интегралах и использовать указанные выше свойства интеграла типа Коши, операторов Т, S, соотношения (4.7), (49) из [14, с. 28-29] и лемму 4.1, после несложных, но достаточно громоздких преобразований получим, что операторы Ф'кс(а) ( к = 1, 2), ty"c(a) (j = 1, 3) суть линейные вполне непрерывные операторы из

Wp2)(H) в Lp(П). При помощи аналогичных рассуждений также будем иметь, что Ф'кх(а)

( к = 1, 2), ФоСДа) (j = 1, 3) — нелинейные ограниченные операторы из в Lp(Q) и

для них справедливы оценки (4.22). Теперь, если использовать соотношения (3.9), (3.10), (3.13) и оценки (4.23), то утверждение леммы становится очевидным. Лемма доказана. □

Систему (4.21) запишем в виде

а — L(a) — G (а) = а* + cÎf , (4.26)

где

Ь = (Ь1,...,ЬЪ), С = (Сг, ...,С5), а* = (г1*,12*,1з*,ф1*,ф2*), ар = (1 р ,12р ,1зр ,фг Р ,ф2Р ), V0* = 12* + %1У\*, V0* = ф2* + * ,

Ьз{п-1)+^а) = (а)], Сз^-^+Да) = -Re[i3v0nx(а))], п,з = 1, 2;

Ьз(а) = 1зс (а), Сз(а) = 1зх(а), гй^р = ],

ФзР = ], 7 = 1, 2, гузр = 1зр.

Отметим, что Ь(а) — линейный вполне непрерывный, С(а) — нелинейный ограниченный операторы в Шр2)(П), причем для С(а) имеет место оценка (4.22); ар € Шр2)(П) —

*

ми (4.9).

(2)

Уравнение а — Ь(а) = 0 имеет лишь нулевое решение в ШР )(П). Действительно, если (2)

а € ШР )(П) — ненулевое его решение, то, как нетрудно заметить, а является решением системы линейных уравнений равновесия, удовлетворяющим линейным однородным граничным условиям. Тогда, рассуждая как и в случае системы (4.7), приходим к тому, что а

— вц1з = 0, 3 = 1, 2, т1а2 + 12«1 — 2Вх21з = 0, ф» =0, з = 1, 2, фю* + ф2»1 = 0, (4.27)

+ ВуХ1\ + фу = 0, 3 = 1, 2.

Решаем систему (4.27). При помощи четвертого, пятого и шестого равенств для фх, ф2 получаем представления

фх = с0а2 + Сх, ф2 = — Со«1 + С2, (4.28)

где с0, сх, с2 — произвольные действительные постоянные.

В22 В11, В12.

этого первые два равенства сложим и из него вычтем третье равенство. В результате с

учетом условия (Ь) и соотношений

В11а2 = В12а1, В12а2 = В22а1, (4,29)

вытекающих из формул Петерсона-Кодацци [1, с. 19], получим равенство

( В22Ы1 - В12^У2)а1 + (Впт2 - В12тг)а2 = 0.

Тогда, как нетрудно видеть, существует функция и(а1,а2) € С2(П) такая, что справедливы соотношения

В- Впт2 = иа1, В22ТУ1 - В12'Ш2 = иа2. (4,30)

В (4,30) первое равенство умножим на В12, второе — на Вц и вычтем их друг из друга. Тогда относительно функции и (а1, а2) получим уравнение В12 иа1 - Вциа2 = 0, общее решение которого дается формулой [18, с, 15-16]

(а1,а2)

и(а1,а2) = Аг(х), х = х(а1,а2) = ^ Вп(Р1,Р2)СР1 + В^Р1, Р2)сСР2, (4.31)

(а0,а2)

где Л1 (х) — произвольная действительная функция, принадлежащая пространству С2, (а0, а.%) — произвольно фиксированная точка П.

В22, В12

из друга. Тогда получим

В22М3а1 - В121Уз,а2 = В12Ф2 - В22Ф1,

откуда для функции 1и3 с учетом соотношений (4,28), (4,29) будем иметь представление [18, с, 65-66]: "

т3(а1, а2) = Л2(у) + т3*(а1, а2),

(■а1,а2)

у = у(а1,а2) = I В12 (Р 1,Р2)сСР1 + В22(Р 1,Р 2)сСР2,

(а0,а'2)

/ш*(а1, а2) = с0а1 (а1 ,а2) + с1а2(а1,а2) + с2а3(а1,а2),

а1

Ма1, У) = - ![Р 1В12(Р1, у) + а2(Р1, у)В22(Р1, у)]/ЫР1, у)сСР1, (432)

а2(а1,а2) = а10 -а1, а^а1, у) = Ви(Р1, у)/^22(Р1, у)сСР1

а0

В\^(Р1, у) = ВХ^(Р 1,а2), Х,р = 1, 2, а)(а1, у) = а^(а1, а2), 3 = 1, 3,

где а2 = а2(а1, у) — решение уравнения у(а1,а2) = у относительно а2, которое существует в силу условия уа2 = В22 = 0 в П; с^ (з = 0,1, 2) — произвольные действительные постоянные,

С целью вывода представлений для из седьмого равенства в (4,27) и первого

равенства в (4,30) составим систему

Впт1 + В121У2 = -'Шза1 - ф1, В^1 - Вци)2 = иа1.

1

Ьх = В/(1 + В2), &2 =1/(1 + В2), В = Вц/В12 = В12/В2

г 1 г 2,

11 = Ьх [Л1(ж) — Л'2(у)] + г* (а1, а2), 12 = ЦЛ^ж) — Л'2(у)] — Л1(ж) + ^(а^а2), г* = — Вц(г\ау + ф1>/(В?1 + В?2), з = 1, 2, (4.33)

11/ В 2 = В 2/ В22,

ф1 1з*

включения г*, bj € С "(П), 7 = 1, 2.

1з

В2211а1 — Вц12а2 = 0. (4.34)

Седьмое равенство в (4.27) дифференцируем по переменной а2, а восьмое — по переменной а1 и вычтем их друг из друга. С учетом соотношений (4.28), (4.29) будем иметь:

В12(11«1 — 12»2 ) + В2212»1 — Вц11»2 = 2Со. (4.35)

11 12 1з

равенство системы (4.27). В результате с учетом соотношений жа1 = В11; жа2 = уа1 = В12, уа2 = В22, вытекающих го представлений функций ж(а1,а2) у(а1,а2) в (4.31), (4.32), получим систему вида

В11В12Л1 (ж) + Ьз[Л!(ж) — Л2(у)] = ¿1, мл; (ж) — л^)] =

1*«2 — «Л +ф1)/В + ф2 = 0, }

где приняты обозначения:

Ьз = В22&1а1 — ВПЬ2а2 , ^4 = В22&2«1 — ВЦ^»2 + Вм(Ь 1а1 — &2а2), ^

Д = ВиЦа2 — В221*»1, d2 = 2Со + Вц1*а2 — В221*»1 — В12(г*»1 — 1*»2),

функции г* (а1 ,а2) (7 = 1, 3) определены в (4.32), (4.33); Д, Ъ2+^ € С(П), 7 = 1, 2.

Предположим, что составляющие тензора кривизны срединной поверхности оболочки удовлетворяют условиям

ВВа2 — Ва1 = 0, Ва2 = 0, 1 + а1 Ва2 = 0, (а1, а2) € П, (4.38)

В

С учетом выражений функций г*, ф1; ф2 из (4.28), (4.32) третье равенство в (4.36) запишется в виде с2Ва2 — с0(1 + а1Ва2) = 0, откуда в силу условий в (4.38) следует с0 = с2 = 0. Тогда г* = г* = 0 ф2 = 0 щз = — ^а1, ф1 = с1, следовательно, из (4.37) будем иметь: ¿1 = ¿2 = 0. Заметим, что в силу первого условия в (4.38) выполняется Ь4 = 0 в П. Поэтому из второго уравнения в (4.36) получим Л1(ж) — Л'2(у) = 0, тогда из первого уравнения в (4.36) имеем Л^(ж) = 0, откуда Л1(ж) = сз = Л'2(у), где сз — произвольная действительная

г1 = 0 г2 = — з,

равенства в (4.27) следует гз = 0 в П. Следовательно, принимая во внимание предетавле-

гз Л2( ) — 1 а1 = 0, а1

используя формулу уа1 = В12, приходим к равенству сзВ12(а1, а2) — с1 = 0, откуда в силу условия (Ь) будем иметь с1 = сз = 0, т.е. = 07 = 1, 3, фк = 0, к = 1, 2 в П. Таким образом, уравнение а — Ь(а) = 0 имеет только нулевое решение в ШР(2)(П). Следовательно, существует обратный оператор (I — Ь)-1, ограниченный в ШР(2)(П), с помощью которого уравнение (4.26) сведется к эквивалентному уравнению

а — С*(а) = ар, (4.39)

где С*(а) = (I — Ь)-1С(а), ар = (I — Ь)-1ар.

Отметим, что вектор ас = (I — Ь)-1а* является решением однородной системы линейных уравнений равновесия, удовлетворяющим однородным линейным граничным условиям.

Поэтому в силу доказанного выше ас = 0, что и учтено нами при переходе к уравнению (4,39),

Также отметим, что вектор ар в (4,39) зависит только от внешних сил и ар = 0, если внешние силы отсутствуют.

Лемма 4.3. Пусть выполнены условия (а), (Ъ), (с), (ё). Тогда:

1) С*(а) — нелинейный ограниченный оператор в Шр22 (П), причем для любых а? = (1^1 ,132 ,ф[ ,ф2) (з = 1, 2) справедлива, оценка

1 > ш2> 3> г 1, т2)

\\С*(а1) - С*(а2)\\№(2){П) < с*(\\а1\\№(2){П) + \\а2\\№(2){П)

Ср^Дйу УУ р уьь^ УГ р

+ ^Х^П) + ^Чп) ^ -а2\жР2)(п), \\12\\1р2)(п) = И \\1р2)(п) + \\12Г^п) + К\\1р2)п), 3 = 1, 2,

где с* — известная, положительная постоянная, зависящая от физико-геометрических характеристик оболочки; 2) ар € ш(2)(П).

Справедливость леммы вытекает из леммы 4,2 с учетом указанных выше свойств операторов (I - Ь)-\ С.

Исследуем разрешимость уравнения (4,39) в пространстве шР22(П). Используя лемму 4,3, для любых а2 € Ш(22 (П) (] = 1, 2), принадлежащих шару \\а||Ш(2)(П) < т, получаем

\\С*(а 1) - С*(а2)\\№(2)(п) ^ д*\\а1 - а2\lV(>2)(n), д* = 2с*г(1 + г).

(1* < 1 \\аР\\^р2)(п) < (1 - Я*)г. (4.40)

Тогда к уравнению (4.39) можно применить принцип сжатых отображений [19, с. 146],

согласно которому уравнение (4.39) в шаре \\а||№(.2)(П) < г имеет единственное решение

(2) р

вида а = Е(ар) € Шр )(П), где Е — резольвента оператора С*.

Заметим, что если внешняя нагрузка отсутствует, то задача (1), (2) имеет только нулевое решение.

Вернемся к условиям разрешимости (4.18), в которых под а = (и1,12,13,ф1,ф2) € Шр22(П) будем подразумевать решение задачи (1), (2), а = 1, 2) определены в (4.3). Используя равенства (2.1) и (2.2), убеждаемся в том, что условия разрешимости (4.18) выполняются.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия (а), (Ъ), (с), (ё), (4.17), (4.38) и неравенства, (4.40). Тогда, задача, (1), (2) имеет единственное обобщённое решение а = (11,12,1з,ф1,ф2) € ШР2)(П), 2 <р< 4/(2 -Р) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И.И. Ворович. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука. 1989.

2. Н.Ф. Морозов. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ. 1978.

3. М.М. Карчевский. Исследование разрешимости нелинейной задачи о равновесии пологой незакрепленной оболочки // Уч. зап. Казан, ун-та. Серия Физико-матем. науки. 155:3 (2013), 105-110.

4. R.A. Kavumov. Postbuckling behavior of compressed bars with nonlinearly elastic supports // PNRPU Mechanics Bulletin. 3 (2022), 23-31.

5. C.H. Тимергалиев. Теоремы существования в нелинейной теории тонких упругих оболочек. Казань: Изд-во КГУ. 2011.

6. С.Н. Тимергалиев. К вопросу о существовании решений нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с частными производным,и теории пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Дифференц. уравнения. 51:3 (2015), 373-386.

7. С.Н. Тимергалиев, Л.С. Харасова. Исследование разрешимости одной краевой задачи для, системы нелинейных дифференциальных уравнений теории пологих оболочек типа Тимошенко // Дифференц. уравнения. 52:5 (2016), 651-664.

8. С.Н. Тимергалиев. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 4:5 (2017), 59-7.

9. С.Н. Тимергалиев. К проблеме разрешимости нелинейных задач, равновесия пологих оболочек типа Тимошенко // ПММ. 82:1 (2018), 98-113.

10. S.N. Timergaliev. Method of Integral Equations for Studying the Solvability of Boundary Value Problems for the System of Nonlinear Differential Equations of the Theory of Timoshenko Type Shallow Inhomogeneous Shells // Diff. Eq. 55:2 (2019), 243-259.

11. С.Н. Тимергалиев. К проблеме разрешимости нелинейных кра,евы,х задач, для, произвольных изотропных пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Изв. вузов. Математика. 4 (2021), 90-107.

12. С.Н. Тимергалиев. О разрешимости нелинейных краевых задач, для, системы дифференциальных уравнений равновесия пологих анизотропных оболочек типа Тимошенко с незакрепленными краями ¡I Дифференц. уравнения. 57:4 (2021), 507-525.

13. К.З. Галимов. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ. 1975.

14. И.Н. Векуа. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1988.

15. Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1962.

16. 3. Пресдорф. Некоторые классы, сингулярных уравнений. М.: Мир.1979.

17. Ф.Д. Гахов. Краевые задачи, 2-е изд. М.: Физматгиз. 1963.

18. В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производным,и первого порядка. М.: Физматлит. 2003.

19. М.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат. 1956.

Самат Низаметдинович Тимергалиев,

Казанский государственный архитектурно-строительный университет,

ул. Зеленая, д,1,

420043, г. Казань, Россия

E-mail: Samat_tim@mail.ru