Разрешающая способность двух источников при каротажных измерениях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Научный вестник НГТУ. - 2008. - № 2(31)

СООБЩЕНИЯ

УДК 551.5.001.57

Разрешающая способность двух источников при каротажных измерениях*

А.В. ВОЛКОВА

Изучена разрешающая способность двух источников поля индукционного типа: тороидальной катушки и токовой петли. Рассматривается вычислительная схема конечно-элементного моделирования гармонических электромагнитных полей, возбуждаемых источниками в горизонтально слоистых и цилиндрически слоистых осесимметричных средах. На примере решения ряда модельных задач показано, что разрешающая способность для тороидального источника тока может быть значительно больше, чем для источника типа токовой петли.

Ключевые слова: измерения, разрешающая способность двух источников, тороидальная катушка, вычислительная схема конечноэлементного моделирования.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе на основе математического моделирования осесимметричных гармонических электромагнитных полей будет проанализирована разрешающая способность и чувствительность двух источников индукционного типа: тороидальной катушки [1] и токовой петли. Под разрешающей способностью при этом мы будем понимать уровень влияния некоторой неоднородности удельного сопротивления на регистрируемые в приемниках сигналы.

Будут представлены математические модели, которые описывают электромагнитные поля, возбуждаемые гармоническим током в тороидальной катушке и круговой петле. Для расчетов электромагнитных полей будет использован метод конечных элементов (МКЭ). Сравнительная оценка разрешающей способности двух указанных выше источников будет выполнена для двух типов задач: с вертикальной и с горизонтальной границами между средами, имеющими различные удельные сопротивления.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим математические модели, описывающие электромагнитные поля, возбуждаемые в осесимметричных средах источниками в виде тороидальной токовой катушки и токовой петли. На рис. 1 представлены схемы приемно-генераторных установок с источниками и приемниками в виде двух тороидальных катушек и двух петель. На рис. 2 показана схема протекания тока в тороидальной катушке.

Рассмотрим математическую модель, описывающую электромагнитное поле от тороидального источника в осесимметричной среде.

Цилиндрическую расчетную область О ограничим вертикальной границей Л{, определяемой соотношением г = г0 ( г0 - малое число), удаленной вертикаль-

* Статья получена 3 марта 2008 г.

ной границей ^ , описываемой соотношением г = Я (Я - достаточно большое число) и двумя удаленными горизонтальными границами А3 и А4 , определяемыми соотношениями 7 = 21 и 7 = 22 . Возможный вид расчетной области изображен на рис. 3.

Для осесимметричной среды вектор напряженности Н магнитного поля в цилиндрической системе координат от тороидального источника тока имеет только одну ненулевую компоненту Нф = Нф (г, 2, t) [2].

а б

Рис. 1. Схема приемно-генераторной установки с источниками и приемниками в виде двух тороидальных катушек (а) и двух петель (б)

Рис. 2. Тороидальная катушка

Рис. 3. Расчетная область Представим напряженность магнитного поля в следующем виде:

яф = я; + я;, (1)

где Я; — это поле в среде с ст = 0, удовлетворяющее уравнению

rot я; = J^, (2)

J ст — сторонний ток (т. е. ток в источнике). Тогда Я; удовлетворяет уравнению

rot Я; = стЕ. (3)

Если тороидальная катушка находится в осесимметричной среде, то линии напряженности магнитного поля представляют собой концентрические окружности. При этом если проводимость среды равна нулю, то напряженность магнитного поит^

ля Н;, порождаемого токами в тороидальной катушке, отлична от нуля только внутри катушки (и ток в катушке циркулирует вокруг силовых линий напряженно-

Г0

;

'Ф

сти магнитного поля). Действительно, учитывая, что Я® не зависит от координаты ф , по теореме Стокса из (2) получаем, что поле Я,0 вне катушки равно нулю, а

внутри источника [2]

я; = no-, 4

2%r

где 10 = /0 (t) — гармонический ток в проводе обмотки, п — количество витков обмотки.

Таким образом, с учетом представления (1) из системы уравнений Максвелла получаем уравнение

гО

1 .„.Л + я; а(1 ^ ая; ая; ; 1+ „ „2я ;

-div| -gradя; | + — ;=-ц—;, (5)

. ст J стг2 r or I ст J at ot

которое в осесимметричной проводящей среде описывает электромагнитное поле, вызванное тороидальной катушкой с током. Еще раз обратим внимание на то, что в

уравнении (5) Яф не равно нулю только внутри тороидального источника, где оно

определяется соотношением (4).

Учитывая то, что изучаемое поле возбуждается гармоническим током, напряло

женность Н, представим в виде

Нф (г, 2, t) = Нф"5 (г, 2) ) + Н0'С (г, 2)СО8(ю0 , (6)

где ш = 2л V , V — частота тока в генераторной катушке. Аналогично Нф будем искать в виде

Н* (Г, 7, г) = Нф (Г, 7) 8ш(шг) + Нф (Г, 7)С08(ю/)

(7)

Таким образом, электромагнитный процесс, вызванный гармоническим током в тороидальной катушке, в осесимметричной среде полностью описывается следующей краевой задачей:

1 * 1 Нф Нф д(1/ст)

дг

-цнфю = цюнф'с ;

-Шу| -^Нф 1 + -2-

ст

Н ф

Нф д(-ст)

0,5

дг2

дг

+ цН ф ю = -цюHф,'

(8)

Н ф

= Нф I = Нф I = Нф I = Нф I = Нф I = Нф I = Нф

= 0.

Для решения этой задачи была построена вариационная постановка и выполнена конечно-элементная аппроксимация с использованием билинейных базисных функций на прямоугольниках. Соответствующие формулы для вычисления компонент матрицы и вектора правой части конечно-элементной системы уравнений приведены в [2]. Система конечно-элементных уравнений решалась с использованием локально-оптимальной схемы [3].

По найденным из решения задачи (8) значениям Нф и Нф можно вычислить

все требуемые характеристики поля, возбуждаемого тороидальным источником. В частности, нам потребуются значения ЭДС, фазы и амплитуды в индукционном приемнике:

=цюН ф,

8 л = ^8? +е2

8с = -ЦюНф

Ф = аг^

^ 8 ^

(9) (10)

где 8*, 8С — синусовая и косинусовая компоненты ЭДС соответственно, 8 — амплитуда ЭДС, Ф - фаза ЭДС.

Перейдем к рассмотрению математической модели, которая описывает осе-симметричное электромагнитное поле, вызванное гармоническим током в петле. Это поле описывается единственной ненулевой (в цилиндрической системе координат) компонентой Аф вектор-потенциала А = (0, А^, 0) , которая удовлетворяет следующему уравнению:

1 1 дАф

--^+^2 Аф+СТ^Г = ^ ,

Цо

(11)

ЦоГ

где А - оператор Лапласа.

Учитывая гармонический характер источника, решение уравнения (11) будем искать в виде

Аф (г, 7, г) = Аф (г, 7) (а г) + Аф (г, 7) 008 (а г)

(12)

г

2

3

4

2

3

4

^ с у

Тогда вместо уравнения (11) получаем систему уравнений:

И+Л А£ -ст®А£=^,

М0 ЦоГ

0 (13)

11 —И+—2 а£+стИ = J£.

М'О Мог

На всех границах расчетной области для А£ и А£ могут быть заданы однородные краевые условия первого рода.

По найденным из решения задачи (13) значениям А£ и А£ можно вычислить значения ЭДС в приемной петле по формулам:

в, = 2™Д£Д„, ес = -2^4^, (14)

где А£ и А£ - значения потенциалов А£ и А£ в точке с координатами г = Яп ,

7 = Хп ( Яп - радиус приемной петли, Хп - её г-координата). Значения амплитуды

еА и фазы Ф, наводимой в приемной петле ЭДС, определяются соотношением (10).

2. СРАВНЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ИСТОЧНИКОВ

Разрешающую способность двух источников будем оценивать следующим образом. По найденным значениям потенциала А, и напряженности Н, вычислим

значения фазы ЭДС в соответствующем индукционном приемнике для нормального (т. е. для вмещающей среды) и суммарного (с объектами) поля согласно формулам (9), (10) и (14). По полученным результатам можно оценить степень проявления объекта, а значит, определить разрешающую способность исследуемого источника. Анализируя полученные результаты для тороидального и петлевого источников тока, сравним их разрешающую способность.

Сначала рассмотрим влияние вертикальной границы раздела сред на разрешающую способность рассматриваемых нами двух источников. Геоэлектрическая модель изображена на рис. 4, а. Модель описывает скважину радиусом 0.1 м с буровым раствором, удельное электрическое сопротивление которого р = 1 Ом-м, и вмещающую среду с сопротивлением р = 5 Ом-м, в которую помещен осесиммет-ричный объект в виде полого цилиндра. Внутренний радиус г^ осесимметрично-го объекта меняется от 0.2 м до 1 м, внешний радиус равен 10 м, удельное электрическое сопротивление - роб = 2 Ом-м. Разнос между приемником и источником равен 0.2 м.

Чтобы получить аномальное поле, необходимо значения поля Н,, рассчитанные для вмещающей среды со скважиной, но без объекта, вычесть из значений поля, рассчитанных для среды, содержащей описанный выше объект.

Будем полагать, что генераторная тороидальная катушка с внутренним радиусом Г = 0.05 м и внешним радиусом Г2 = 0.06 (см. рис. 2) содержит 1000 витков,

2

которые намотаны на тор с площадью поперечного сечения 0.0001 м . Радиус од-новитковой генераторной петли для источника типа токовой петли возьмем равным 0.05 м, что соответствует внутреннему радиусу тороидальной катушки. Ток

Скважина г

с каротажным зондом ¡^ Рек = 1 Ом-м

'и

0,1 м

рСр = 5 Ом-м

Роб = 2 Ом-м, коб = 100 м

от 0,2 м до 1 м

10 м

Скважина с каротажным зондом

^ рск = 1 Ом-м

0,1 м < >-

а б

Рис. 4. Геоэлектрические осесимметричные модели:

а - с вертикальной границей и б - со слоем

и

1 м

г

Г

в проводе для обоих видов источников примем равным 1 А, его частоту будем изменять в диапазоне от 1 до 4000 кГц.

На рис. 5 для двух источников приведены графики значений нормальной и аномальной фаз ЭДС в зависимости от частоты тока в приемнике и при различных удалениях ближней вертикальной границы объекта ( г^ ). Как видно из приведенных на этом рисунке графиков, для тороидальных источника и приемника аномальные значения фазы ЭДС значительно выше, чем для петлевых источника и приемника. Так, на частоте 1000 кГц при г^ > 0.3 м аномальные значения фазы для тороидальных источника и приемника на порядок выше, чем для петлевых.

Таким образом, при необходимости отслеживания вертикальных границ раздела сред тороидальные источники могут быть намного эффективнее петлевых.

Теперь рассмотрим возможности тороидального и петлевого источников при отслеживании горизонтального (точнее - перпендикулярного скважине) слоя. Геоэлектрическая модель среды изображена на рис. 4, б. Она описывает следующую среду: скважину радиусом 0.1 м с буровым раствором, удельное электрическое сопротивление которого р = 1 Ом-м, и вмещающую среду с сопротивлением р = 5 Ом-м, содержащую слой с удельным сопротивлением р = 2 Ом-м. Слой имеет толщину 1м, его границы - координаты г1 = —9 м, г 2 = —8 м. Разнос между приемником и источником равен 0.2 м.

Параметры генераторной токовой петли и тороидальной катушки те же самые, что и в предыдущем примере.

На рис. 6 для двух источников приведены графики зависимости значений аномальной и нормальной фаз ЭДС относительно положения зонда в скважине (по значению /-координаты генератора) для трех частот: 750, 875 и 1000 кГц.

Из рисунка видно, что кривые, отражающие аномалию для рассматриваемых типов источников, различаются, в целом, незначительно. Однако стоит все же заметить, что для петлевого источника аномалия несколько выше, чем для тороидального. Например, для частоты 750 кГц в максимуме проявления слоя разница между значениями аномальной фазы, полученной для петлевого и тороидального

источников, составляет примерно 40 % в абсолютных значениях и 25 % в относительных (т. е. деленных на фазу нормального поля).

X- тор> & - петля

Рис. 5. Графики нормальной и аномальной фазы ЭДС в зависимости от частоты тока в источнике для модели с вертикальной границей раздела сред:

а - нормальная фаза; б - аномальная фаза, г^ = 0.2 м; в - аномальная фаза, г^ = 0.3 м; г - аномальная фаза, г1п|п = 0.4 м; д - аномальная фаза, г1п|п = 0.5 м; е - аномальная фаза, г1п|п = 1 м

д

е

п т г 1 Т г 1

- _ н _ + _ |_ _ 1 1 "и зг- ■ -ь- - -I -А -I - +- - I- 1 Т 1 1 1 к—1

- - - 1 1 ^—-- 1 1 1 1 1 1 1 1 ,1,1,1, 1 £ 1 1 1 1 Т 1 1 1 1 Т 1 1 1 1 [ 1 1 1 ,1,1,1,1

0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 градус

б

0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 градус

0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 градус

^.- аномальная фаза $.- нормальная фаза

Рис. 6. Графики аномальной и нормальной фаз ЭДС для модели со слоем в зависимости от

положения зонда в скважине:

а - частота 750 кГц, тор; б - частота 750 кГц, петля; в - частота 875 кГц, тор; г - частота 875 кГц, петля; д - частота 1000 кГц, тор; е - частота 1000 кГц, петля

Таким образом, приведенные результаты свидетельствуют о том, что при отслеживании слоя разрешающая способность тороидального источника несколько ниже разрешающей способности петлевого.

в

г

д

е

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сравнительный анализ приведенных результатов расчета осесимметричных электромагнитных полей для тороидального и петлевого источников тока показал, что разрешающая способность тороидального источника тока намного выше при

определении положения вертикальной (т. е. параллельной скважине) границы раздела сред. Если же необходимо отследить границы перпендикулярного скважине проводящего слоя, то некоторое преимущество имеет петлевой источник.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Могилатов В.Г., Борисов Г.А. Возбуждение слоистых геоэлектрических сред гармоническим током // Сиб. журн. индустр. математики. - 2003. - Т. 6. - № 2(14). - С. 107-125.

[2] Персова М.Г., Зинченко А.В. Математическая модель и конечноэлементная аппроксимация осесимметричного электромагнитного поля, возбуждаемого тороидальным током // Сб. науч. тр. НГТУ. -2005. - №3(41) - С. 33-38.

[3] Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементом для решения скалярных и векторных задач: учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007.

Волкова Алла Владимировна, аспирантка кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований -конечно-элементное моделирование электромагнитных полей. Имеет 5 публикаций.

Volkova A.V.

The resolution oof two sources in logging measurements

In the given article resolutions of two induction sources (toroidal coil and current loop) are analyzed. The finite element computational scheme for modeling harmonious electromagnetic fields induced by these sources in horizontally layered and cylindrical layered axisymmetric media is considered. On the base of model problems it is shown that the resolution of toroidal source can exceed the resolution of current loop significantly.

Key words: measurements, resolutions of two induction sources, toroidal coil, the finite element computational scheme