Разработка вероятностной кинематической модели мелющих тел в помольной камере вибрационной мельницы Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

-------------------------------------- © Ю.В. Дмитрак, К.А. Шишканов,

2010

УДК 622.7

Ю.В. Дмитрак, К.А. Шишканов

РАЗРАБОТКА ВЕРОЯТНОСТНОЙ КИНЕМА ТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕЛЮЩИХ ТЕЛ В ПОМОЛЬНОЙ КАМЕРЕ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ

Проведен статистический анализ по определению степени влияния закона распределения начальной скорости шаров на закон распределения рабочей скорости шара в мелющей загрузке вибрационной мельницы. Построены гистограммы распределения рабочей скорости шара и графики функции распределения случайной величины этой скорости. В результате проведенного статистического анализа установлено, что закон распределения рабочей скорости шара не зависит от закона распределения начальной скорости шаров и является нормальным.

Ключевые слова: мелющая загрузка, помольная камера, вибрационная мельница, гистограммы распределения, нормальный закон распределения случайной величины.

ТЪ процессе движения помольной камеры вибрационной мельницы шары, находящиеся у ее поверхности, получают начальные импульсы, которые передаются вглубь шаровой загрузки. При этом величины начальных скоростей носят случайный характер. Начальные скорости шаров зависят от многих факторов, таких как взаимное расположение шара и камеры в момент включения двигателя привода, коэффициента заполнения шарами помольной камеры, диаметра шаров, жесткости и числа упругих элементов рамы и т.д. Весь процесс движения шаровой загрузки можно разбить на три этапа. Первый-этап разгона, на котором мельница выходит на рабочий режим, второй-этап устойчивого движения и третий-этап торможения и остановки привода. Первый и третий этапы являются краткосрочными. В силу того, что мельница практически мгновенно выходит на рабочий режим (время разгона 2— 4 секунды) и также быстро останавливается, эти этапы не вызывают практического интереса. Гораздо важнее знать кинематические параметры второго этапа, на котором происходит измельчение материала. Особенностью работы вибрационных мельниц является высокий (порядка 0,8—0,9) коэффициент заполнения шарами помольной камеры, что накладывает ограничения на перемещения шаров в помольной камере. Практически все пространство внутри камеры занято шарами и материалом. Таким образом, шары совершают апериодические движения с большой частотой (и = 100-150c_1) около определенного положения, которое несущественно меняет свои координаты за период колебаний камеры (г = 0,2 - 0,6 c). Такой процесс можно считать квазистационарным. Для повышения точности расчетов в предлагаемой математической модели начальная скорость шаров задается случайной величиной, распределенной по различным законам. Из опыта эксплуатации вибрационных мельниц из-

вестно, что начальные скорости у0 лежат в диапазонах значений от 1 до 10 м / с [1]-

8 10

8 10

4

8 12 16

б

в

г

д

Рис. 1. Законы распределения случайной величины начальной скорости У0 шаров:

а - нормальный; б - логнормальный; в -показательный; г - Лапласа; д - равномерный

пени влияния закона распределения начальной скорости шаров на закон расп ления скорости шара V с номером N в загрузке зададим распределение случа величины ^следующими законами:

1. Закон нормального распределения:

/ (V,) =

-(уо - а)

О

4їж

(1)

где а = М (у0) = 5,5 - математическое ожидание, = 1,5 - среднее квадратичное

отклонение (рис. 1, а);

2. Закон логнормального распределения:

/ (у,)=

-(1п V, -1п а) 2 о 2

О

(2)

где а = М (у>) = 5,5, = 1,5(рис. 1, б);

3. Показательный закон распределения:

/ (Уо) = Ле~*Уо,

где Х = 1/ а = 1/5,5 = 0,19 (рис. 1, в);

4. Распределение Лапласа (рис. 1, г):

(3)

/ (vo)=2Ле

-Му -5.5І

(4)

Равномерный закон распределения

1

е

1

е

f (v0) =-

(5)

а - р ’

где а и р границы интервала возможных значений V, ;

^(уо) = 1о"—9 = 9 (РиС' 1 Э)' (6)

Для каждого вида распределения построены гистограммы распределения скорости V шара с номером N, определен закон распределения V и произведено сравнение результатов статистического анализа. В качестве примера рассмотрим случай, когда начальная скорость шаров V,, распределена по нормальному закону. Используя датчик случайных чисел, генерирующий величину V, по данному закону, получили совокупность значений скорости V шара с номером N. Данные значения сведены в табл. 1.

Вычислим выборочное математическое ожидание и выборочное среднее квадратичное отклонение методом произведений. Для этого воспользуемся следующей формулой:

Таблица 1

Номер интервала, i Граница интервала Частота, n

V v,+1

1 10 14 5

2 14 18 8

3 18 22 11

4 22 26 27

5 26 30 24

6 30 34 12

7 34 38 7

8 38 42 6

Z v

(7)

n

где v¡ - величина середины интервала.

- 12 • 5 +16 • 8 + 20 • 6 + 24-11 + 28 • 27 + 32 • 24 + 36-12 + 40 • 7

v =-------------------------------------------------------------+ = 26,16 .

100

Исправленная выборочная дисперсия

52 =-

п -

1 Е (V*)2 ■

1 .=1

(8)

52 = — (122 ■ 5 +162 ■ 8 + 202 ■И + 242 ■ 27 + 282 ■ 24 + 322 42 + 362 ■ 7 + 402 ■ 6)-26,162 = 99

= 47,93

Исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение

а

(9)

Построим гистограмму распределения скорости V шара с номером N и график функции распределения случайной величины V (рис. 2).

Найдем интервалы и гм, по которым будем определять значения функции Лапласа. Для этого составим табл. 2, при этом левый конец первого интервала примем равным -да, а правый конец последнего интервала примем равным +да.

Найдем теоретические вероятности р и теоретические частоты

п1 = п ■ р = 100 ■ р . Такие параметры должна была бы иметь статистическая совокупность, распределенная по нормальному закону. Для этого составим табл. 3.

Таблица 2

Номер интервала, . Границы интервала V. - V ^ - Границы интервала для функции Лапласа

V ^+1 V - V V - V

а +1 а

1 10 14 - -12,16 -да -1,76

2 14 18 -12,16 -8,16 -1,76 -1,18

3 18 22 -8,16 -4,16 -1,18 -0,6

4 22 26 -4,16 -0,16 -0,6 -0,02

5 26 30 -0,16 3,86 -0,02 0,56

6 30 34 3,86 7,86 0,56 1,14

7 34 38 7,86 11,86 1,14 1,71

8 38 42 11,86 - 1,71 -

1

2

Таблица 3

Номер интервала. Границы интервала для функции Лапласа Ф( 2) Ф( 2.+1) Р =Ф(2.+1) --Ф( О п,

г

1 -да -1,76 -0,5 -0,4608 0,0392 3,92

2 -1,76 -1,18 -0,4608 -0,381 0,0798 7,98

3 -1,18 -0,6 -0,381 -0,2257 0,1555 15,55

4 -0,6 -0,02 -0,2257 -0,008 0,2177 21,77

5 -0,02 0,56 -0,008 0,2123 0,2203 22,03

6 0,56 1,14 0,2123 0,3729 0,1606 16,06

7 1,14 1,71 0,3729 0,4564 0,0835 8,35

8 1,71 - 0,4564 0,5 0,0436 4,36

Таблица 4

1 п. 1 п. 1 п. - п. 1 1 (п - п)2 (n¡ - п.)2 п. 1

1 5 3,92 1,08 1,1664 0,298

2 8 7,98 0,02 0,0004 0,00005

3 11 15,55 4,5 20,25 1,306

4 27 21,77 5,23 27,35 1,256

5 24 22,03 1,97 3,88 0,176

6 12 16,06 4,06 16,48 1,026

7 7 8,35 1,35 1,82 0,218

8 6 4,36 1,64 2,69 0,617

Е 100 100 *2* = 4,898

Рис. 2. Гистограмма и закон распределения случайной величины скорости шара V при условии нормального закона распределения начальной скорости шаров Vо .

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий X Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона:

Ё (n - ni )2

xU = --------;----- (10)

n

Для этого составим таблицу 4.

По таблице приложения 5 [5] по заданному уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы k = S - 3 = 8 - 3 = 5, где S - число интервалов, находим хКр = 11,1. Хнавл < хКР Значит, параметры выборки не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения скорости шара с номером N. Принимаем данный закон распределения для дальнейших вычислений.

В результате проведенного статистического анализа установлено, что закон распределения скорости v шара с номером N не зависит от закона распределения начальной скорости шаров v0 и является нормальным. Для расчетов принимаем нормальный закон распределения начальной скорости шаров v0, т.к. при данном законе параметр х2абл имеет наименьшее значение, что указывает на большую правомерность задания этого закона распределения в датчике случайных чисел.

------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Биленко Л.Ф. Метод определения пара- mental verifications. International Journal of

метров уравнения кинетики измельчения в Mineral Processing, 40 (1994) 171-186. Elsevier

промышленной мельнице. - Обогащение руд, Science B.V., Amsterdam.

1990. - № 4. - с. 3-5. 5. Вентцель А.Д. Курс теории случайных

2. Бобков С.П. Имитационное моделирова- процессов. - М.: Наука, 1976. - 520 с. ВШЭ ние ударного разрушения частиц. - Интенсивная механическая технология сыпучих материалов. Иваново, 1990. - с. 27-33.

3. Остапенко П.Е. Основы компьютерной оценки обогатимости минерального сырья. -Изв. вузов. Горный журнал, 1997. - № 3. - с. 32-35.

4. Mishra B.K., Rajamani Raj K.«Simulation of charge motion in ball mills». Part 1: Experi-

— Коротко об авторах ------------------------------

Дмитрак Ю.В. - профессор, доктор технических наук, Шишканов - аспирант,

Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, [email protected]

ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИИ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор

Название работы

Специальность

Ученая степень

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КУРГАНСКИЙ Обоснование и разработка методов

Михаил расчета и повышения надежности строительных конструкций коллек- 25.00.22 к.т.н.

Николаевич торов с учетом динамических нагрузок