CC BY
8СПЕКТРАЛЬНИЙ П1ДХ1Д ДО РОЗРОБКИ СИСТЕМИ НАВЧАЛЬНИХ ЗАДАЧ З ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ НА ОСНОВ1 ПРЕДМЕТНО1 МОДЕЛ1 СТУДЕНТА
О.Г. Евсеева, канд. фiз.-мат. наук, доцент, Донецький нащональний техмчний умверситет,
м. Донецьк, УКРА1НА
Надано технологт розробки задач з вищог математики на основг семантичног, опера-цтно'г I процедурног компоненти предметног модел1 студента. Сформульовано поняття спектра знань I спектра вмть задач1. Шдх1д, що описано, дозволяв створювати систему задач, що спрямоваш на формування вм1нь, необшдних для засвоення певног теми.
Ключов1 слова: навчальна д1яльн1сть, система задач з вищог математики, предметна модель студента, спектр знань задач1, спектр вм1нь задач1.
Центральним поняттям при оргатзаци i функщонувант системи освгги е поняття навчального процесу. Навчальний процес у вищш школi з точки зору дiяльнiсного навчання являе собою сукупнють двох взаемопов'язаних, але самостшних дiяль-ностей: дшльносп викладача i дiяльностi студента. Дшльнють викладача називають навчанням, а дшльшсть студента - навчаль-ною дшльшстю.
Пiд навчальною дiяльнiстю розумiють спещально органiзовану дiяльнiсть людей, результатом яко'1 е формування способу дiй. Стосовно до вищо'1 школи це означае, що студент пщ час навчання повинен за-сво'гти способи дш, на використаннi яких засновуеться його майбутня професiйна дiяльнiсть. У дiяльностi викладача можна
видiлити три аспекти: проектування на-вчально'1 дiяльностi, й органiзацiя i забез-печення, управлшня навчальною дiяльнiс-тю [2].
Функщональне структурування навча-льно'1 дiяльностi передбачае наявнють п'я-ти функцiональних частин: змютовно'1, мо-тивацшно'1', орiентувальноi, виконавчо'1 i контрольно-коректувально'1 (рис. 1) [2]. Змютовна частина визначае предмет дшльносп (те, на що дiяльнiсть спрямована), i ведуча роль тут належить викладачевi. Роль студента у визначенш змiсту навчання пасивна, хоча, звичайно, вiн може привносит в нього сво'1' особисп елементи. Однак йому вiдводиться найактившша роль в засвоеннi цього змюту.
Рис. 1. Схема функцiонального структурування навчально'1' дiяльностi
<10Т)
Будь-яка даяльшсгь здшснюегься шляхом розв'язування задач, причому щ задачi повиннi бути специфiчними для даяльносп даного виду. У виробничш, науково-дослiднiй дiялъносгi 11 прямими продуктами е резульгаги розв'язування задач, саме для отримання цих результата й оргатзо-вуегъся даяльшсгь.
Таким чином, цiлям дiялъностi вщповь дае факт розв'язування. Тут не важливо, як розв'язувалася задача, важливо, що виник-ло в процес 11 розв'язання. У навчалънiй же дшльносп важливим е не результат, отри-маний в процесi розв'язування задач^ а сам процес розв'язання, його процедура, бо це е процедура формування способу дш. А фор-мування способу дiй i е юнцевою метою навчання. Це центральний момент навчан-ня - навчити розв'язувати задачi. Вiрна ж вщповщь на задачу свiдчитъ про високу iмовiрнiстъ того, що споаб дiй сформовано.
У навчалънiй даяльносп розв'язують навчалънi задачi. Поняття «навчальна задача» розглядалося як вченими психологами, так i педагогами. Найбiлъш продуктивною е точка зору Ю.1.Машбиця, згiдно з якою навчальна задача - це будь-яка задача, що пред'являеться тим, кого навчають, якщо вона спрямована на досягнення навчальних цшей - засвоення визначеного способу дш [6].
Кожну задачу можна характеризувати 11 структурою - певним набором елеменпв i зв'язкiв мгж ними. Умова задачi - це сукуп-нiсгъ розрiзнених i роз'еднаних дискретних елеменпв, якими е об'екти, уявлення, поняття предметно! обласп. Умови можуть задаватися як явно, так i неявно, i елемен-тами умови можуть також бути пщсумки розумово'1 дiялъностi. Рiзнi автори видшя-ють рiзнi елементи структури задачi: характеристики даних, характеристики завдання; предметну область, тобто клас об'екпв (предметпв), про якi йде мова в задачi; вiдно-сини, що зв'язують об'екти предметно1 обла-сп; оператори, тобто сукупнiстъ тих дш (операцiй), якi треба зробити над умовами задачi, щоб виконати 11 вимоги тощо [3, 7, 8].
Метою дано1 роботи е методика розро-бки системи задач з вищо'1 математики на
основi предметно'1 моделi студента [0, 2]. У найширшому значеннi пiд моделлю студента розумють знання про нього, яю викори-стовуються для оргашзаци процесу навчання. Знання про те, яким ми хочемо ба-чити студента в резулътатi навчання, тобто вимоги до його юнцевого стану як за окре-мими предметами, так i як до фамвця в щ-лому, називають нормативною моделлю. Нормативна модель щодо фамвця в цiлому отримала назву моделi спецiалiста, щодо окремого навчального предмета - предметно! моделi [2]. В роботi [4] описано п'ятикомпонентну предметну модель студента з вищо1 математики, що складаеться з семантично'1, процедурно1, операцшно1, те-матично'1 i функцюнально1 компонент.
З точки зору iнженерii знань розрiзня-ють знання декларативш i процедурнi [1]. Першi являють собою твердження, або де-клараци, про об'екти предмегно1 обласп, 1х власгивосп i вiдносини мiж ними. Загаль-ноприйнята точка зору тут полягае у тому, що декларативнi знання - це факти з предметно'1 обласп, або фактичш знання. Процедуры ж знання - це правила перегворен-ня об'екпв предмегно1 обласп.
Для розв'язування задач необхщт як процедурнi, так i декларативнi знання. Де-кларативнi знання визначають об'екти i процеси, що беруть участь в умовi задач^ 1х властивостi i закономiрностi, взаемоди i взаемовiдносини. Вони пояснюють сут-нiстъ справи, що покладена в основу навча-льно1 задачi, i в сукупносп визначають за-гальну компоненту орiенгувалъноi частини дiялъносгi з розв'язування ще1 задачi, скла-даючи орiенгувальну основу дiялъносгi. Таким чином, на основi декларативних знань здшснюеться загальне орiентування. У резулътатi виникае розумшня, якi знання необхiдно викорисговувати при розв'язаннi задачi. Крiм того, декларативш знання можуть забезпечувати орiентування на вико-нання, хоча i меншою мiрою, нiж загальне орiентування.
Процедурнi знання дають вщповщь на запигання «Як оперувати декларативними знаннями?». Вони визначають характер i порядок перегворення об'екпв предмегно1
(Ж)
обласп, явно i неявно заданих умовами за-дачi, визначають практичнi д11 з переробки декларативних знань, з оперування ними. Процедурнi знання лежать в основi орiен-тування на виконавчу частину дiяльностi з розв'язуванням задачi i само'' виконавчо'' частини ( рис. 2).
Головне призначення задач полягае в тому, що вони е засобом формування спо-
собу дш. Ди на практищ реалiзовуються за допомогою вмшь, формування яких е цшя-ми навчання, а формування вмiнь вщбува-еться в процесi розв'язування задач. 1нша роль задач полягае в тому, що вони е засо-бом контролю сформованостi вмшь у сту-дентiв. Таким чином, задачi в навчаннi вщь грають двояку роль — вони е засобом навчання i засобом контролю.
Контрольно-
—1 - коректувальна час- 4—
тина
Рис. 2. Iлюстрацiя ролi знань в дiяльностi
ВмiнIíя, яю мають бути сформован в процес вивчення якого-небудь предмета, визначае операцшна компонента предметно'' моделi студента. Ц вмiння становлять частину змюту навчання (iнша частина -це знання, що забезпечують освоення цих вмiнь). Звiдси витiкае, що до навчальних задач пред'являеться жорстка вимога: склад системи задач, що розв'язуються з курсу, повинен забезпечити формування всiх вмiнь, що входять в операцшну компоненту предметно'' моделi студента. За допомогою одте'' задачi формуеться одне або декшька вмiнь. Розв'язування ж задачi забезпечуеться ранiше сформованими вмiннями i знаннями, за допомогою яких здiйснюеться орiентувальна (загальне орь ентування i орiентування на виконання) i
виконавчi частини дiяльностi (рис. 3).
Якщо говорити про систему задач, то й спектр вмiнь складае сукупнють спектрiв вмiнь всiх задач ще" системи. I зрозумiло, що при визначенш складу системи задач з курсу, необидно задачi пiдбирати не просто за тематичною ознакою. У загальнш по-становцi, спектр вмшь уах задач системи повинен покривати операцшну компоненту предметно'' моделi студента з курсу, шши-ми словами, в сукупному спектрi вмшь системи задач повинш бути присутш всi вмiн-ня операцшно'' компоненти предметно'' мо-делi студента. У цьому випадку говорять, що спектр вмшь системи задач повний.
OpiernyBaHra на виконання
Виконавча частина
Контрольна частина
Рис. 3. Схема формування вмшь
Вказаш обсгавини е теоретичним об-грунтуванням для пщбору задач, що скла-дають систему з певно1 дисциплiни. Зрозу-мшо, що немае сенсу включати в цю систему задачу що мають однаковi спектри вмшь. I тшьки порiвнялъний спектральний аналз велико1 кiлъкосгi задач може дозво-лити отримати такий 1х набiр, спектр вмiнъ якого буде повний або близький до нього. При цьому цшком iмовiрнi сигуаци, коли виявиться неможливим iз наявних задач отримати спектр вмшь досгатньо1 повноти. У цьому випадку доведегься розробляти необхiднi задачi самостiйно.
Паралельно можна говорити про спектр знань задачi як про знання, якi треба засто-сувати, щоб вирiшити цю задачу. Ц знання забезпечують виконання загального орiен-тування, орiентування на виконання i вико-навчо1 часгини дiялъностi з розв'язування задачi. Велика частина цих знань мiститъся в семантичному конспекгi з вщповщно1 дисципшни [2, 5]. Вiн мае велик потенцш-нi можливосгi як зааб оргатзаци орiенгу-вально1 основи даяльносп, особливо при
розв'язанш задач. Адже в конспекп в явному виглядi зiбранi знання, як1 е засобом виконання орiентування.
Спектр знань задачi задаеться семанти-чною и процедурною компонентами пред-метно1 моделi студента, а спектр вмiнъ -операцшною компонентою (рис. 4).
Наприклад, розглянемо таку задачу: «Знайги всi вектори, що е перпендикуляр-ними двом векторам а = (3;2; — 1) i
Ь = (2;— 2;4) , модулi яких дорiвнюютъ 3», яка може бути розв'язана у два способи.
Алгоритм розв'язування задачi за першим способом полягае у такому:
1. Ввести невiдомi координати вектора, що вщшукуеться.
2. Знайги скалярш добутки невiдомого вектора на вiдомi вектори.
3. Розв'язати систему двох лшшних рiв-нянь з трьома невщомими. Виразити двi невiдомi координати через третю - вiлъну координату.
4. Знайги модуль невщомого вектора. Записати рiвнiсгь модуля невiдомого век-
(Г04)
тора заданому числу. 6. Знайти координати векторiв, що вщ-
5. Розв'язати рiвняння, що отримане. шукувались.
Знайти значення вшьно! координати.
Рис. 4. Спектри вмшь i знань задачi
Алгоритм розв'язування задачi за другим способом полягае у такому:
1. Ввести невiдомi координати вектора, що вщшукуеться.
2. Знайти векторний добуток вщомих векторiв.
3. Записати умови колшеарносп нев> домого вектора i вектора, що е векгорним добутком вщомих векгорiв.
4. Виразити координати вектора через коефiцiент пропорцiйносгi в умовi колшеар-ностi.
5. Знайти модуль невщомого вектора. Записати рiвнiстъ модуля невщомого вектора вщомому числу.
6. Розв'язати рiвняння, що отримане. Знайти значення коефщента пропорцiйносгi.
7. Знайти координати векгорiв, що вщ-шукувались.
Спектр знань задачi складаеться з таких знань:
1. Декларативш знання:
• визначення понять: вектор, координати вектора, скалярний добуток векгорiв, векторний добуток векгорiв, модуль вектора, колшеарнють векторiв, перпендикуляр-нiстъ векгорiв.
• ознаки: колiнеарностi векгорiв, перпендикулярности векторiв.
2. Процедурнi знання:
• алгоритм знаходження модуля вектора;
• алгоритм знаходження векторного добутку двох векторiв;
• алгоритм знаходження скалярного добутку двох векгорiв;
• алгоритм знаходження вектора, що е колшеарним наданому;
• алгоритм розв'язання невизначено1 сисгеми рiвнянъ методом Гауса;
• алгоритм обчислення визначника 3-го порядку.
Спектр вмшь задачi складаеться з таких вмшь:
1. Вмшня з векгорно1 алгебри:
• за наданими координатами двох век-тсрв знаходити: скалярний добуток векго-рiв, векторний добуток векторiв;
• за наданими координатами вектора знаходити модуль вектора;
• знаходити вектор, що е колшеарним наданому;
2. Вмшня з лшшно1 алгебри:
• розв'язувати невизначену систему ль ншних рiвнянъ методом Гауса;
• обчислювати визначник 3-го порядку.
3. Вмiння з елементарно1 математики:
• вилучати квадратний корiнъ з числа;
©
a
2 2 2 /a,, + ay + az
• BunynaTH KopiHb KBagpaTHHM 3 HeBigo-mo1 Be.HHHHH;
• 3HaxogHTH HeBigoMy BenuHHHy 3a 11 MogyneM.
flna po3B'a3aHHa 3agaH HeoGxigHi TaKi BHC^OB^TOBaHHH ceMaHTHHHoro KOHcneKTy:
1.9. Mogy.eM BeKTopa Ha3HBaeTbca goB-^HHa Bigpi3Ka, ^o 3agae BeKTop.
1.10. Mogynb BeKTopa a y cHMBoniHHo-
My Burnagi no3HanaeTbca a .
4.18. Mogynb BeKTopa gopiBHroe KopeHro KBagpaTHoMy 3 cyMH KBagpaTiB Moro Koopgu-HaT.
4.19. Mogynb BeKTopa a = (ax; ay; az) oGHHcnroeTbca 3a ^opMy.oro:
.
6.1. CKanapHHM goGyrooM gBox BeKTopiB Ha3HBaeTbca hhc.o, aKe gopiBHroe goGyTKy MogyjiiB цнx BeKTopiB Ha KociiHyc KyTa mdk HHMH.
6.2. CKanapHuM goGyToK BeKTopiB a i b
no3HanaeTbca a ■ b .
6.3. CKanapHuM goGyToK gBox BeKTopiB, 3agaHux KoopguHaTaMH, gopiBHroe cyMi go-GyTKiB ogHoHMeHHHx KoopgHHaT цнx BeKTopiB.
6.4. CKanapHuM goGyToK BeKTopiB a = (ax;ay;az) i b = C^;^;^ oGhhc-nroeTbca 3a ^opMy.oro:
a ■b = ax ■ bx + ay ■ by + az ■ bz.
6.9. ^K^o BeKTop a = (ax; ay; az) e nepneHgHKynapHHM BeKTopy
b = (bx; by; bz), to cKanapHuM goGyToK цнx
BeKTopiB gopiBHroe Hy.ro: a ■ b = 0.
6.10. ^K^o BeKTop a = (ax; ay; az) e nepneHgHKynapHHM BeKTopy b = (bx; by; bz ), To BHKoHyeTbca yMoBa:
0 .
7.1. BeKTopHHM goGyTKoM gBox BeKTopiB Ha3HBaeTbca BeKTop, Mogynb aKoro gopiBHroe goGyTKy MogyniB цнx BeKTopiB Ha cuHyc KyTa ml® hhmh, i HanpaB.eHHM nepneHguKynapHo nno^HHi, b aKiM 3HaxogaTbca gaHi BeKTopu,
x' y' zj ax ■ bx + ay ■ by + az ■ bz
CKnagaronH 3 hhmh npaBy TpiMKy BeKTopiB.
7.2. BeKTopHHM goGyToK BeKTopiB
a i b no3Hana€Tbca a x b.
7.3. BeKTopHHM goGyToK gBox BeKTopiB a = (ax; ay; az) i b = (bx; by; bz) e BeKTop, KoopgHHaTH aKoro oGnucnroroTbca 3a ^opMy.oro:
i j k
a x b = xa y~a za
h y-b z-b
9.1. ^K^o BeKTop a = (ax; ay; az) e Ko.iHeapHHM BeKTopy b = (bx;by;bz), to bh-
a.
a.
a„
KoHyeTbca yMoBa:
b_ h b_ "
9.5. ^K^o BeKTop a = (ax; ay; az) e nep-
neHguKynapHHM BeKTopy b = (bx; by; bz ), to CKanapHHM goGyToK цнx BeKTopiB gopiBHroe Hy.ro: a ■ b = 0.
9.6. ^K^o BeKTop a = (ax; ay; az) e nep-
neHguKynapHHM BeKTopy b = (bx; by; bz ), to BHKoHyeTbca yMoBa:
aX ■ bx + ay ■ by + aZ ■ bz = 0 .
3aganHHK, ^o MicTHTb CHCTeMy 3agan, po3poG.eHy 3a onucaHoro TexHo.oriero, Mae TaKy CTpyKTypy. nic.a yMoBH b Ko^HiM 3aga-ni BKa3yroTbca geaKi nuc.a. ^ HoMepu bh-c.oB.roBaHb 3 ceMaHTHHHoro KoHcneKTy, ^o
BH3HanaroTb 3HaHHa, 3a gonoMororo aKHx no-BHHHa po3B'a3yBaTuca цa 3agana. ^K^o b^h-th TepMiHo.oriro Teopil gia.bHocTi, to ^ bh-c.oB.roBaHHa b cyKynHocTi craagaroTb cxeMy opieHTyBa.bHo'1 ochobh gia.bHocTi. CymeBo, ^o b цiM cxeMi He npocTo BKa3aHi 3HaHHa, noTpiGHi gna po3B'a3yBaHHa 3agani, a.e Ta-ko« no3HaneHi 1x 3B'a3KH 3 mrnuMH 3HaHHa-mh, 3 aKHx bohh BHTiKaroTb, aKHMH bohh bh-3HanaroTbca. ^k noKa3ana npaKTHKa, цboro BuaBnaeTbca gocTaTHbo, ^oG aKTHBi3yBaTH gyMKy ochobhoi Macu cTygeHTiB i HanpaBHTH i1 y noTpiGHe pycno.
3HaneHHa TaKoro nigxogy nonarae He TinbKH b ToMy, ^o cTygeHTH BHaTbca
(To6>
розв'язувати задачi з конкрегно1 теми. Не-хай навггь не вiддаючи собi звiту в цьому, студенти усвщомлювали ведучу роль орiен-тування, i у них формуегься рацiоналъний спосiб дiй, вони засвоювали науковий пщ-хiд до розв'язування задач, а значить, i до здiйснення дiялъностi.
1. АтановГ.О. Знання як зааб навчання. -К., Кондор, 2008.
2. Атанов Г.О. Теорiя дiяльнiсного навчання.
- К., Кондор, 2007.
3. Балл Г А О психологическом содержании понятия «задача» //Вопросы психологии. - 1970.
- № 6. - С. 21-22.
4. Евсеева Е.Г. Деятельностное обучение математике в высшей школе. Дидактика математики: проблема i дотдження //МИжнародний
збiрник наукових праць. -Вип.25. - Донецьк: ТЕ-АН, 2006. - С. 197-205.
5. ЕвсееваЕ.Г. Семантический конспект по линейной алгебре. Дидактика математики: Проблемы i дослiдження //Мжнародний збрник наукових праць. - Вип. 24. - Донецьк: ТЕАН, 2005. -С. 103-111
6. Машбиц Е.И. Психологические основы управления учебной деятельностью. - К. : Вища школа, 1987.
7. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике: теорiя, методика, технология. - Донецк: Изд-во ДонНУ, 2004. - 439с.
8. Столяренко Л.Д. Педагогическая психология. Серия „Учебники и учебные пособия". - 2-е изд., перераб. и доп. - Ростов н/Д.: Феникс, 2003.
Резюме. Евсеева Е.Г. РАЗРАБОТКА УЧЕБНЫХ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ НА ОСНОВЕ ПРЕДМЕТНОЙ МОДЕЛИ СТУДЕНТА. В статье приведена технология разработки задач по высшей математике на основе семантической, операционной и процедурной компонент предметной модели студента. Сформулированы понятия спектра знаний и спектра умений задачи. Описанный подход, позволяет создавать систему задач, которые направлены на формирование умений, необходимых для усвоения определённой темы.
Ключевые слова: учебная деятельность, система задач по высшей математике, предметная модель студента, спектр знаний задачи, спектр умений задачи.
Summary. Yevseyeva E. CONSTRUCTION OF STUDYING PROBLEMS IN HIGH MATHEMATICS ON THE BASE OF THE STUDENT SUBJECT MODEL. In this article the technology of construction problems in high mathematics on base of semantic, operational and procedural components of the student subject model is given. The notions of the knowledge spectrum and the skills spectrum of the problem are formulated. Such the approach gives us the opportunity to compound the system of problems are to be solved by a student for mastering definite theme.
Key words: learning activities, the system of problems in high mathematics, the student subject model, of the knowledge spectrum of the problem, the skills spectrum of the problem.
Стаття представлена професором О.1.Скафою.
Надшшла до редакцп 28.10.2009р.
