Разработка программного средства для численного моделирования теплового режима грунтов в условиях криолитозоны

Степанов Сергей Павлович; Сирдитов Иван Константинович; Васильева Мария Васильевна; Вабищевич Петр Николаевич; Васильев Василий Иванович

Krasnoiarskogo kraia // Sibirskii ekologicheskii zhurnal. - № 1. - 1996. - S. 9-18.

50. Kashkarov Evgeniy, Peter Baranov, Oleg Pomortsev, and Igor Ishchenko. Global Warming and the Northern Expansion of the Big Cats of Asia // Cat News, No 48, Spring, 2008. - r. 24-27.

51. Geptner V. G., Sludskii A. A. Mlekopitaiushchie Sovetskogo Soiuza. - T. 2. - Ch. 2. - M.: Vysshaia shkola, 1972. - 551 s.

52. Kashkarov Evgeniy. Discoveries in Northern Part of the Snow Leopard Range // Snow Leopard Network Blog, May 18th, 2012 http://www.snowleopardnetwork.org/blog/?p=516 (14.06.2015)

53. Sivolobov R. V. Irkuiem i beringiiskaia snezhnaia koshka // zhurnal RITM. - 2014 (8). - 30-53.

54. Rekord temperatury v Zabaikal'e http://chita.bezformata.ru/listnews/zafiksirovana-rekordno-nizkaya-temperatura/2720275/ (20.04.2013)

55. Baranov P. V. Mlekopitaiushchie Iuzhnogo Zabaikal'ia. - Novokuznetsk: KuzGPA, 2004. - 248 s.

56. Orlova L. A., Kuz'min Ia. V., Volkova V. S., Zol'nikov I. D. Mamont (Mammuthus primigenius Blum.) i drevnii chelovek v Sibiri: sopriazhennyi analiz arealov populiatsii na osnove radiouglerodnykh dannykh. - Problemy rekonstruktsii klimata i prirodnoi sredy golotsena i pleistotsena Sibiri, vyp. 2. -Novosibirsk: Institut arkheologii i etnografii SO RAN, 2000. - S. 383-410.

57. Grafik izmeneniia urovnia Kaspiia http://archive.unu.edu/unupress/unupbooks/uu18ce/uu18ce0b.gif (14.06.2015)

58. Berg L. S. Uroven' Kaspiiskogo moria i usloviia plavaniia v Arktike // Izvestiia Vsesoiuznogo geograficheskogo obshchestva. - T. 75. - Vyp. 4. - 1943. - S. 16-21.

59. Atlas snezhno-ledovykh resursov mira. - T. II. Kn. 2. - M.: Izd-vo Instituta geografii RAN, 1977. - 270 s.

^■Hir^ir

УДК 519.63

С. П. Степанов, И. К. Сирдитов, М. В. Васильева, П. Н. Вабищевич, В. И. Васильев

РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО СРЕДСТВА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОВОГО РЕЖИМА ГРУНТОВ В УСЛОВИЯХ КРИОЛИТОЗОНЫ

Рассматриваются математическая модель, вычислительный алгоритм и прикладное программное обеспечение для расчета процессов тепломассопереноса в многолетнемерзлых грунтах с учетом их геологического строения. Разрабатываемое программное обеспечение позволяет строить геометрическую модель, генерировать неструктурированные расчетные сетки, задавать необходимые входные параметры, проводить расчет нестационарного распределения тепла в грунтах с учетом фазового перехода с использованием метода конечных элементов и визуализировать полученные результаты.

Ключевые слова: тепломассоперенос, слоистый грунт, многолетнемерзлый грунт, железнодорожное полотно, математическая модель, фазовый переход, задача Стефана, метод конечных элементов, численное моделирование, прикладное программное обеспечение.

S. P Stepanov, I. K. Sirditov, M. V. Vasilyeva, P N. Vabishchevich, V. I. Vasilyev

Software Tools Development for Numerical Simulation of Thermal Regime of Soil in Permafrost

The paper considers the mathematical model, computational algorithm and application software for the calculation of heat and mass transfer processes in permafrost soils with regard to their geological structure. Developed software allows to build a geometric model, generate unstructured grids, set necessary input parameters and carry out the calculation of non-stationary heat distribution in the soil with accounting the phase transition using the finite element method, and visualizing of obtained results.

Keywords: heat and mass transfer, stratified soil, permafrost soil, railway bed, mathematical model, phase transition, Stefan problem, finite element method, numerical simulation, application software.

СТЕПАНОВ Сергей Павлович - аспирант Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: cepe2a@inbox.ru

STEPANOV Sergey Pavlovich - Postgraduate Student in the Insitute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University after M. K. Ammosov.

E-mail: cepe2a@inbox.ru

СИРДИТОВ Иван Константинович - ст. преп. кафедры информационных технологий Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: sirditov@gmail.com

SIRDITOV Ivan Konstantinovich - Senior Lecturer of Department of Information Technologies in the Insitute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University after M. K. Ammosov.

E-mail: sirditov@gmail.com

ВАСИЛЬЕВА Мария Васильевна - к. ф.-м. н., доцент-исследователь научно-исследовательской кафедры вычислительные технологии Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com

VASILYEVA Mariia Vasilyevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor and Researcher of the Research Department of Computational Technologies in the Insitute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University after M. K. Ammosov.

E-mail: vasilyevadotmdotv@gmail.com

ВАБИЩЕВИЧ Петр Николаевич - д. ф.-м. н., проф., зав. лабораторией Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН.

E-mail: vabishchevich@gmail.com

VABISHCHEVICH Petr Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory in Nuclear Safety Institute RAS.

E-mail: vabishchevich@gmail.com

ВАСИЛЬЕВ Василий Иванович - д. ф.-м. н., проф., зав. научно-исследовательской кафедрой вычислительные технологии Института математики и информатики СВФУ им. М. К. Аммосова.

E-mail: vasvasil@mail.ru

VASILYEV Vasily Ivanovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Research Department of Computational Technologies in the Insitute of Mathematics and Information Science, North-Eastern Federal University after M. K. Ammosov.

E-mail: vasvasil@mail.ru

Введение

В настоящее время исследование прикладных проблем проводится на основе широкого применения вычислительных средств посредством использования математических моделей и современных вычислительных алгоритмов [1-11].

Прогнозирование теплового режима многолетнемерзлых грунтов невозможно без применения математического моделирования. В настоящее время достаточно сложно найти программное обеспечение для моделирования температурного режима грунтов с учетом фазовых переходов, позволяющего учитывать реальную геометрию моделируемого объекта и климатические факторы. Программы для расчета мерзлых оснований с учетом фазовых переходов используют в основном метод конечных разностей, который накладывает определенные ограничения на геометрию расчетной области и не позволяет учитывать в полной мере все геометрические особенности моделируемых объектов. Также для моделирования общих задач широко используются проприетарные конечно-элементные пакеты, которые являются универсальными и подходят для решения задач механики деформируемого твердого тела, жидкости и газа, теплопередачи и теплообмена, акустики и т. д. Но нужно заметить, что лицензии на такие многопрофильные программные комплексы стоят крайне дорого [12-14].

Разработку программного обеспечения необходимо проводить с учетом современного уровня развития методов численного анализа и с использованием открытых хорошо проработанных программных единиц для решения отдельных базовых проблем. Функциональное наполнение современных программных комплексов прикладного математического моделирования должно отражать достигнутый уровень развития теории и практики вычислительных алгоритмов и программного обеспечения самих вычислительных комплексов. Эта цель достигается компонентно-ориентированным программированием, которое базируется на использовании хорошо проработанных, оттестированных программных библиотек для решения базовых математических задач.

В данной работе рассматриваются математические модели для численного решения задач теплопереноса в грунтах в условиях криолитозоны. Для моделирования теплового режима грунтов используется уравнение теплопроводности с учетом фазовых переходов поровой влаги вода - лед [1-11]. При построении математических моделей учитываются основные климатические факторы: амплитуда температуры воздуха, составляющие радиа-ционно-теплового баланса, мощность и плотность снежного покрова [15-16].

Вычислительные алгоритмы строятся на основе метода конечных элементов, что позволяет наиболее полно учитывать геометрию и строение моделируемых объектов [18-20]. Для аппроксимации по времени строится стандартная чисто неявная разностная схема с линеаризацией предыдущего временного слоя [1, 17]. Численная реализация базируется на качественных компонентах свободных библиотек численного анализа.

Построенные математические модели и вычислительные алгоритмы реализованы в виде прикладного программного обеспечения. Разработка прикладного программного обеспечения проводится с использованием свободно-распространяемых программных компонент для построения геометрии, генерации сетки, визуализации данных [21-23]. С использованием разрабатываемого программного обеспечения проводится математическое моделирование теплового режима под основанием железнодорожного полотна и под основаниями зданий и/или сооружений.

Статья состоит из 4 пунктов. В первом пункте приводится математическая модель, описывающая процессы теплопереноса в грунтах с учетом фазового перехода, а также рассмотрена аппроксимация полученного уравнения с использованием метода конечных элементов. Во втором пункте рассматриваются разрабатываемое программное обеспечение, его основные модули и применямые технологии. Примеры численного моделирования с использованием программного обеспечения приводятся в третьем и четвертом пунктах на примерах теплового режима железнодорожного полотна и оснований зданий и сооружений в условиях криолитозоны с учетом климатических факторов.

Математическая модель и аппроксимация

Приведем математическую модель, описывающую процессы передачи тепла в мерзлых и талых грунтах. Модель учитывает наличие фазовых переходов поровой влаги в грунте при

некоторой заданной температуре фазового перехода т* в области О = О иО+ :

П+ (0 = {х | х еП, Т(х,^ > Т, О = {х | х еО, Т(х, t) < Т.

Здесь О+ - область, занятая жидкой фазой, где температура превышает температуру фазового перехода и О- - область, занятая твердой фазой, фазовый переход просходит на границе раздела фаз [1-11].

Тепловые процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями, поглощением и выделением скрытой теплоты, описываются классической моделью Стефана

(а(ф) + р+Lф,) — -div(Я(ф)grad Т) = 0,

дt

(1)

где Ь - удельная теплота фазового перехода, т - пористость, р+, с+, к+ и р-, ск- - плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность талой и мерзлой зоны соответственно. Для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения:

а(ф)=р-с-+ф(р+с+-р-с-), Цф)=А-+ф(А+-А-), с~р~=(1-т)с р +тср, Лг=(1-т)Л, +тк,

' 4 ' ¡с' $с I' V 4 ' ¡с I'

с+р+=(1-т)с р +тс р , к+=(1-т)к +тк ,

ф =

0Т < Т

1 Т > Т .

Индексы ^с, м, I обозначают соответственно каркас (скелет) пористой среды, воду и лед. На практике фазовые превращения происходят в малом интервале температур [т*-Д, т*+Д]. В качестве функции ф можно взять фД [27-29]:

'0,

Фа =

Т - Т + а

2А

0, 1

2Д' 0,

Т < Т -А, Т' - А < Т < Т' +А,

Т > Т' +А. Т < Т' - Д

Т * - Д < Т < Т * + Д

Т > Т * + Д

Таким образом, получим следующее нелинейное параболическое уравнение для температуры в области О:

(а(фА) + р,Ьф\) ^ - Шу(Я(фд ^ Т) = 0. дt

Полученное уравнение (2) дополняется начальным условием [15, 16]:

Т(х,0) = т0(х), х еП,

и граничными условиями

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где Q - суммарная коротковолновая радиация, А - альбедо, а - коэффициент конвективного

, дт Q(l - А) +1 -а(Т - та1г) г

-к— =-, х е Г1

дп aR +1

кдТ п г

-к— = П, х е Г2,

дп

Т = Т0, х еГз,

1

теплообмена, I- длинноволновое излучение, Та.г - температура наружного воздуха, Я - термическое сопротивление наземного покрова (зимой - снега).

Уравнение (2) с соответствующими граничными и начальными условиями аппроксимируется с использованием метода конечных элементов и стандартной чисто неявной аппроксимацией по времени [7-8, 17-20]. Для линеаризации уравнения воспользуемся простейшей линеаризацией, когда коэффициенты зависят от значения функции предыдущего временного слоя.

Запишем вариационную постановку задачи для каждого временного слоя: найти

Т е Н1В, Н1В = {Т е Н1 : Т(х) = Т0 для х=Г3} такую, что

а(Г+1, V) = L(v), У е &0,

где

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а(Тп+1, V) = - [ (С ф) + тр^ф п )Тп+\ск + [ (ЦфпА ^^ Тп+1, grad у^х +

+ Г —Тп+ aR +1

Ну) =1Г (СхФ:) + шрМЧ)Гу<Ъ +1" в(1 -А)+ + + аТvds. (7)

т :т1 aR +1

Для численного решения задачи необходимо перейти от непрерывной вариационной задачи к дискретной. Для этого введем конечномерные пространства е Н1В, Ук е Н0, и определим в них следующую задачу: найти Тк е Vh такую, что

а(Т+\ у) = L(v), Уу еГк,

,1 1 п+1 (• п+1

а(Тп++, у) = -Г (с(Т, А)" + тр^х(Т)" )Т„ vdx + Г (Я(Т, А)" grad Т„ ,gradv) ск +

+ Г ——— Т. vds. М aR +1 "

L(v) = - Г (с(Т, А)" + тр^х(Т)" )Т^<Ь + Г 6(1 - А) +1 vds (8)

-г-1^ Г- г/Т? -1-1

В качестве базисных функций будем использовать линейные базисные функции.

Прикладное программное обеспечение расчета задач тепломассопереноса в слоистых грунтах

Рассмотрим основные компоненты разрабатываемого прикладного программного обеспечения (ППО). ППО включает в себя несколько основных модулей для проведения численного моделирования физических процессов:

• построение геометрии;

• генерация сетки;

• численное решение задачи;

• визуализация полученных результатов.

В качестве основных компонент использовались хорошо проработанные, оттестированные и открытые компоненты разработки программного обеспечения: библиотека сосздания графического интерфейса Qt [24], библиотека конечно-элементного моделирования FEniCS [22], программа для генерации простейших областей и построения сеток gmsh [21] и популярная библиотека визуализации научных данных УТК [23].

При проведении математического моделирования в начале необходимо создать проект, в рамках которого будет происходить сохранение основных этапов работы (рис. 1). В созданном проекте необходимо сперва построить геометрию моделируемого объекта посредством создания геологических слоев и затем сгенерировать треугольную сетку. Для проведения расчета теплопереноса в грунте необходимо задать теплофизические параметры грунтов (слоев), определить граничные и начальные условия, задать расчетное время и определить шаг по времени. После проведения расчетов температурных полей программа позволяет визуализировать полученные результаты и посмотреть динамику температуры в грунте.

Рис. 1. Окно проекта

Основные этапы работы с ППО рассмотрим на примерах численного моделирования теплового режима железнодорожного полотна и оснований зданий и сооружений. Работа программного обеспечения на примере железной дороги Приведем пример, демонстрирующий функциональность и возможность прикладного программного обеспечения. Первый пример - железнодорожное полотно, состоящее из нескольких слоев грунта: песка, суглинка и щебнистого грунта. На верхней границе исследуемой области задается граничное условие третьего рода (5), которое учитывает сезонные колебания температуры воздуха, высоту снежного покрова и радиационный баланс подстилающей поверхности. На нижней границе задается граничное условие первого рода (6).

Для построения геомерии моделируемого объекта в ППО содержится вкладка Геометрия. Если проект уже имеет ранее нарисованную геометрию, то её можно загрузить из имеющегося файла (рис. 2). При работе с ППО можно добавлять и удалять линии, редактировать расположение точек вручную при необходимости. Каждый слой грунта определяется цветом. Теплофизические параметры слоя грунта редактируются в окне для задания коэффициентов (рис. 3).

Построение геометрии использует систему послойного рисования. Слой образуется из

. . С*ф*ч*>к Jortyvik I Лржчн Г Гиылфвш I ЬМ Tiil~r | П» ч лл

Рис. 2. Окно построения геометрии

Рис. 3. Окно параметров геометрической области

двух линий, верхней и нижней, нумерация линий идет сверху вниз. При этом для создания замкнутой области первая точка верхней линии соединяется с первой точкой нижней линии и последние точки соединяются таким же образом, т. е. один слой образуется из верхней и нижней линии, при этом коэффициенты и цвет для этого слоя задаются верхней линией. Так как для нулевой линии нельзя построить слой, окно коэффициентов для него также недоступно (рис. 4). Отметим, что случай самопересекающихся слоев не был рассмотрен.

Построенная геометрия отобразится в правом окне (рис. 3). В окне визуализации присут -ствует возможность масштабирования рисунка. После визуализации необходимо сохранить построенную геометрию. После сохранения можно перейти во вкладку Сетка (рис. 5).

Для численного решения математической модели необходимо сгенерировать расчетную сетку в физической области. Разрабатываемое ППО позволяет также сгущать при необходимости сгенерированную расчетную сетки. При визуализации полученной расчетной сетки можно выбрать один из параметров отображения: сетку, поверхность и показ области по точкам.

Для численного моделирования физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, перейдем в вкладку Задача (рис. 6). Для проведения расчетов необходимо определить входные параметры модели, такие как высота снега, температура воздуха, изменить начальную температуру грунта, определить шаг по времени, начальное время и конечное время моделирования. Отметим, что лимати-ческие факторы вводятся в виде таблицы по месяцам.

После того как программа решит задачу, появится возможность провизуализировать

2

Рис. 4. Схема построения слоев

Рис. 5. Окно отображения расчетной сетки

('^ИЧТИ | | Гц |иу С«|М| )|ЦН| П|"1Ш-

«■амл-^ти-де ф у. л

1 ркч1 г »Р | К

1 ЦШ6 -« ЫТ ■ю # 1

з или м вч 3 с--» «01V -К Р.!.9 где @ ез □ а в

т«Л|Р « п ■ Гччпа* И ИЩИ 1ик* 1 1 м

1

Г| ■ | ■ 1 | ■Зй-Л

Гфницч КП

»ЦпО*—Зв (

Рис. 6. Визуализация результатов моделирования процесса распространения тепла в грунте под насыпью железной дороги

полученные температурные поля. При работе с визуализацией имеется возможность просмотра динамики результатов в виде анимации или по конкретным временным слоям. Также имеется возможность просмотра изолиний температур (рис. 7). Для удобства ППО позволяет задать максимум и минимум температуры, а также количество используемых цветов.

Пример работы ПО для моделирования оснований зданий или сооружений

Рассмотрим пример численного моделирования задачи теплового воздействия здания или сооружения на грунт.

Этапы проведения расчетов аналогичны рассмотренной ранее задаче. Во первых, необходимо построить геометрическую область моделируемого объекта посредством задания слоев. После этого необходимо сгенерировать расчетную сетку (рис. 8). При генерации сетки можно выполнить сгущение сетки (рис. 9). Следует отметить, что при увеличении узлов расчетной сетки увеличивается время расчета задачи, поскольку увеличивается размерность матрицы системы линейных уравнений, получаемой при аппроксимации задачи.

Затем задаются необходимые входные параметры задачи, теплофизические и климатические параметры, граничные и начальные условия, расчетное время, шаг по времени.

Сдрячл- Лрмстн Гшшры (гт*ш Ьцы-ц

Чгчл» —* V* К» ИЛЧ I 1И1 #ЙЧ '

-414. | Т» К

■ «Г№4 * * ыт « м* _ ■» 0 0 □ 9 3

] 011

4 «№Ч -1» 0 * .Ъ-ч к}*

1 -а 17 ■ид ли ■■1 "">14 'И-ЧМ и-г-чы 1 1Ь*г 135

Лда-в!»« 'К. ■

' * -в*

-з

Рис. 7. Визуализация результатов моделирования процесса распространения тепла в грунте под насыпью железной дороги с использованием изолиний

Рис. 8. Расчетная сетка

После проводится расчет температурных полей в рассмотренной области. Результаты моделирования процесса распространения тепла в грунте под зданием или сооружением представлены на рис. 10-11.

Отметим, что также при необходимости полученные результаты можно визуализировать с использованием стронних программ для визуализации данных, например, Paraview.

Заключение

Разработанное прикладное программное обеспечение позволяет проводить численное моделирование процессов теплопереноса в грунтах с учетом наличия многолетнемерзлых грунтов и климатических факторов. Использование метода конечных элементов позволяет наиболее полно учитывать геометрию и строение моделируемых объектов. Интерактивный графический интерфейс среды позволяет строить геометрическую область моделируемого объекта с учетом геологических слоев и насыпей, генерировать расчетные сетки, задавать параметры задачи и визуализировать полученные результаты. Работа с ППО продемонстрирована на примере численного моделирования задач теплопереноса в грунтах под насыпью железной дороги и под основаниями зданий и сооружений в условиях криолитозоны. В дальнейшем планируется совершенствовать модуль построения геометрии, добавить возможность учета сезонно охлаждающих устройств, а также использовать его для других инженерно-строительных задач, требующих расчета температурных полей.

Рис. 10. Визуализация результатов моделирования процесса распространения тепла в грунте под зданием

Рис. 11. Визуализация результатов моделирования процесса распространения тепла в грунте под зданием с использованием изолиний

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 13-01-00719, 15-3120856) и НОФМУ РС (Я) (2014-01-0017).

Л и т е р а т у р а

1. Вабищевич П. Н., Самарский А. А. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториалл УРСС, 2003.

2. Павлов А. В., Мельников П. И. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. - Наука. Сиб. отд-ние, 1980.

3. Цытович Н. А., Сумгин М. И. Основания механики мерзлых грунтов. - М.: Изд-во Академии наук СССР, 1937.

4. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. - М.: Наука, 1996.

5. Васильев В. И., Попов В. В. Численное решение задачи промерзания грунта // Математическое моделирование. - 2008. - Т. 20, № 7. - C. 119-128.

6. Сидняев Н. И., Федотов А. В., Крылов Д. А. Математическое моделирование распределения температурных полей // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25. № 7. - C. 3-27.

7. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И., Васильева М. В., Степанов С. П. Математическое моделирование теплового режима железнодорожного полотна в условиях криолитозоны // Вестник СВФУ. - 2013. - Т. 10, № 5. - C. 5-11.

8. Gomov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V., Vasilyev V I Mathematical Modeling of Heat transfer problems in the Permafrost / AIP Conference Proceedings, 2014. - V. 1629. - P. 424-431.

9. Цыпкин Г. Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. - М.: Наука. Физматлит, 2009.

10. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Павлова Н. В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 9. - С. 111-125.

11. Pavlova N. V., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M V Mathematical modeling of thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems / 9th International conference on Large-Scale Scientific Computations, LSSC 2013; Sozopol, Bulgaria. 3 June 2013. Lecture Notes in Computer Science. Volume 8353 LNCS, 2014, - P. 636-643.

12. Fine civil engineering software. (http://www.finesoftware.eu)

13. PLAXIS - essential software for geotechnical professionals. (http://www.plaxis.nl)

14. Geo-soft (http://www.geo-soft.ru)

15. Павлов А. В., Перльштейн Г. З., Типенко Г. С. Актуальные аспекты моделирования и прогноза термического состояния криолитозоны в условиях меняющегося климата // Криосфера Земли. - Академ. изд-во «Гео», 2010. - Т. 14, № 1. - C. 3-12.

16. Павлов А. В., Мельников П. И. Теплофизика ландшафтов. - Наука. Сиб. отд-ние, 1979.

17. Самарский А. А. Теория разностных схем. - Наука. Глав. ред. физико-математической лит-ры, 1989.

18. Васильева М. В., Павлова Н. В. Конечно-элементная реализация задачи замораживания фильтрующих грунтов // Математические заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20, № 1. - С. 202-212.

19. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986.

20. Anders Logg, Kent-Andre Mardal, Garth N. Wells Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method. The FEniCS Book. 2011.

21. Software GMSH. (http://geuz.org/gmsh/)

22. Software FEniCS. (http://fenicsproject.org/)

23. Software package PARAVIEW. (http://www.paraview.org/)

24. Software QT. (http://www.qt.io/developers/)

25. Материалы Международной научно-практической конференции по инженерному мерзлотоведению, посвященной ХХ-летию создания ООО НПО «Фундаментстройаркос». - Тюмень: Сити-Пресс, 2011.

26. Andersland O. B., Ladanyi B. An introduction to frozen ground engineering. Chapman & Hall, 1994.

27. Harris J. S. Ground Freezing in Practice. Thomas Telford Limited, 1995.

28. Alexiades V., Solomon A. D Mathematical modeling of melting and freezing processes. Hemisphere Publishing Corporation, 1993.

29. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N., Iliev O. P., Churbanov A. G. Numerical simulation of convection/

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

diffusion phase change problems - a review // Int. Journal of Heat and Mass Transfer. - 1993. - Vol. 36.

- No. 17. - P. 4095-4106.

R e f e r e n c e s

1. Vabishchevich P. N., Samarskii A. A. Vychislitel'naia teploperedacha. - M.: Editoriall URSS, 2003.

2. Pavlov A. V., Mel'nikov P. I. Raschet i regulirovanie merzlotnogo rezhima pochvy. - Nauka. Sib. otd-nie, 1980.

3. Tsytovich N. A., Sumgin M. I Osnovaniia mekhaniki merzlykh gruntov. - M.: Izd-vo Akademii nauk SSSR, 1937.

4. Vasil'ev V I., Maksimov A. M., Petrov E. E., Tsypkin G. G. Teplomassoperenos v promerzaiushchikh i protaivaiushchikh gruntakh. - M.: Nauka, 1996.

5. Vasil'ev V I., Popov V. V Chislennoe reshenie zadachi promerzaniia grunta // Matematicheskoe modelirovanie. - 2008. - T. 20, № 7. - C. 119-128.

6. Sidniaev N. I., Fedotov A. V., Krylov D. A. Matematicheskoe modelirovanie raspredeleniia temperaturnykh polei // Matematicheskoe modelirovanie. - 2013. - T. 25. № 7. - C. 3-27.

7. Vabishchevich P. N., Varlamov S. P., Vasil'ev V I., Vasil'eva M V., Stepanov S. P. Matematicheskoe modelirovanie teplovogo rezhima zheleznodorozhnogo polotna v usloviiakh kriolitozony // Vestnik SVFU.

- 2013. - T. 10, № 5. - C. 5-11.

8. Gornov V. F., Stepanov S. P., Vasilyeva M. V., Vasilyev V I Mathematical Modeling of Heat transfer problems in the Permafrost / AIP Conference Proceedings, 2014. - V. 1629. - P. 424-431.

9. Tsypkin G. G. Techeniia s fazovymi perekhodami v poristykh sredakh. - M.: Nauka. Fizmatlit, 2009.

10. Vabishchevich P. N., Vasil'eva M V., Pavlova N. V Chislennoe modelirovanie termostabilizatsii fil'truiushchikh gruntov // Matematicheskoe modelirovanie. - 2014. - T. 26, № 9. - S. 111-125.

11. Pavlova N. V., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M V Mathematical modeling of thermal stabilization of vertical wells on high performance computing systems / 9th International conference on Large-Scale Scientific Computations, LSSC 2013; Sozopol, Bulgaria. 3 June 2013. Lecture Notes in Computer Science. Volume 8353 LNCS, 2014, - P. 636-643.

12. Fine civil engineering software. (http://www.finesoftware.eu)

13. PLAXIS - essential software for geotechnical professionals. (http://www.plaxis.nl)

14. Geo-soft (http://www.geo-soft.ru)

15. Pavlov A. V., Perl'shtein G. Z., Tipenko G. S. Aktual'nye aspekty modelirovaniia i prognoza termicheskogo sostoianiia kriolitozony v usloviiakh meniaiushchegosia klimata // Kriosfera Zemli. - Akadem. izd-vo «Geo», 2010. - T. 14, № 1. - C. 3-12.

16. Pavlov A. V., Mel'nikov P. I. Teplofizika landshaftov. - Nauka. Sib. otd-nie, 1979.

17. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem. - Nauka. Glav. red. fiziko-matematicheskoi lit-ry, 1989.

18. Vasil'eva M V., Pavlova N. V Konechno-elementnaia realizatsiia zadachi zamorazhivaniia fil'truiushchikh gruntov // Matematicheskie zametki IaGU. - 2013. - T. 20, № 1. - S. 202-212.

19. Zenkevich O., Morgan K. Konechnye elementy i approksimatsiia: Per. s angl. - M.: Mir, 1986.