CC BY
55
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода пограничного слоя
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода
пограничного слоя
Бондарев А.Е.
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН
Ъопй@кеЫу8к. ги
Нестеренко Е.А.
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
nesterenko_ea@bk. ги
Аннотация. В работе рассматривается обобщение разработанного ранее приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления трения на удлиненных телах вращения в вязком потоке на случай учета явления перехода пограничного слоя от ламинарного режима течения к турбулентному. Приближенный подход основан на экспериментальных результатах для течения на пластине и методе эффективной длины. Методика используется для оценки коэффициента сопротивления трения и характерных толщин пограничного слоя в задачах обтекания осесимметричных тел вязким потоком. Описанный подход может быть использован для отладки моделей и вычислительных кодов в случае отсутствия экспериментальных данных.
Ключевые слова: вязкие течения, ламинарный и турбулентный режимы, переход пограничного слоя.
1 Введение
В задачах численного моделирования обтекания тел потоком вязкого газа особое значение приобретает проблема верификации численных результатов. Это связано в общем и целом с тем, что моделирование вязких течений с использованием уравнений Навье-Стокса приводит к добавлению схемной вязкости к моделируемой физической вязкости исследуемой задачи. Исследователь должен иметь четкое представление о том, какая вязкость в итоге определяет численное решение: моделируемая физическая или добавляемая схемная, являющаяся свойством той или иной применяемой разностной схемы. Если для случая ламинарных течений возможно сравнение с известными решениями для пограничного слоя [Краснов и др., 1976; Бондарев и др., 1993; Шлихтинг, 1974], то для турбулентных течений задача верификации становится еще более важной, так как применение той или иной модели турбулентности полностью определяет турбулентную вязкость задачи. Турбулентная вязкость на
порядки превышает ламинарную и оказывает существенное влияние на итоговые аэродинамические характеристики тела в потоке газа.
Выбор модели турбулентности во многом определяет численное решение. Моделей существует большое количество, и при выборе конкретной модели и ее применения необходимо проведение верификационных процедур. Особенную важность это приобретает при использовании моделей турбулентности, объединяющих в себе свойства модели пристеночного типа и модели слоя смешения.
Наилучшей процедурой верификации является сравнение с натурным физическим экспериментом. Однако проведение подобного сравнения не всегда возможно ввиду отсутствия экспериментальной базы для конкретной исследуемой задачи. Для подобных случаев была разработана приближенная полуэмпирическая методика оценки коэффициента сопротивления трения тела в потоке и характерных толщин пограничного слоя. Под характерными толщинами пограничного слоя имеется в виду, как сама толщина пограничного слоя, так и характерные интегральные толщины: толщина вытеснения и толщина потери импульса.
Приближенная полуэмпирическая методика основана на экспериментальных работах [Козлов, 1963; Козлов, 1965; Козлов, 1971] и теоретических работах [Avduevskiy et al., 1960; Авдуевский, 1962]. В работах Козлова описан и обобщен ряд экспериментальных исследований течения в турбулентном пограничном слое на плоской пластине. В этих экспериментах с помощью плавающего датчика проводились одновременные измерения напряжения поверхностного трения и тепловых потоков в турбулентном пограничном слое для различных значений чисел Маха и Рейнольдса и температурного фактора. В результате этих исследований стало возможным обобщение экспериментальных результатов для сопротивления трения и характерных толщин пограничного слоя в виде степенных зависимостей.
B.C. Авдуевский в своих работах [Avduevskiy et al., 1960; Авдуевский, 1962] ввел понятие эффективной длины. Эффективная длина - это длина плоской пластины, на которой при внешнем течении с такими же параметрами, как и в рассматриваемой точке обтекаемого тела, нарастает такой же пограничный слой с аналогичными свойствами. Введение этого понятия позволило применить степенные зависимости JI.B. Козлова к телам вращения с криволинейной образующей.
Этот подход был модифицирован и широко применялся в начале 1990-х годов для оценки параметров пограничного слоя при моделировании вязкого обтекания тел вращения в практических расчетах. Следует заметить, что в те годы расчеты с использованием полной системы уравнений Навье-Стокса и введением модели турбулентности были не столь распространены как сейчас. Методика использовалась для организации расчетов следующим образом. Моделирование обтекания
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления
трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода пограничного слоя_
тела проводилось невязким потоком с использованием системы уравнений Эйлера. Полученное распределение газодинамических функций на поверхности обтекаемого тела использовалось для оценки коэффициента сопротивления трения по приближенной методике. Далее формировался суммарный коэффициент сопротивления тела. Проводимые таким образом расчеты позволяли достигать погрешности при сравнении с натурным экспериментом не превышающей 3%.
В настоящее время описываемый приближенный подход к оценке сопротивления трения может оказаться также весьма полезным. Так, например, при расчетах обтекания тела вращения вязким потоком на основе использования полной системы уравнений Навье-Стокса для моделирования турбулентных режимов течения перед исследователем встает задача выбора модели турбулентности. А после выбора модели возникает следующая задача - надо провести «тонкую настройку» выбранной модели к исследуемому классу задач. При отсутствии экспериментальных данных приближенная методика, позволяющая по газодинамическим параметрам на границе пограничного слоя, получать оценочное значение коэффициента сопротивления трения, становится эффективным средством верификации. Разработка данного подхода и его программная реализация подробно описана в работе [Bondarev & Nesterenko, 2014], где также приведены результаты расчетов и сравнение с данными работы [Колина и др., 1979].
Однако в рамках данного подхода пограничный слой на теле изначально предполагался либо целиком ламинарным, либо целиком турбулентным. Поскольку в реальных задачах, как правило, наблюдается явление перехода пограничного слоя от ламинарного режима течения к турбулентному, в настоящей работе рассматривается обобщение подхода на случай учета явления перехода пограничного слоя.
2 Описание приближенной методики
Приведем ниже общее описание приближенного подхода согласно [Bondarev & Nesterenko, 2014].
Рассмотрим обтекание осесимметричного тела вязким потоком сжимаемого газа под нулевым углом атаки (Рис.1).
Суммарный коэффициент трения можно представить следующим образом [Бондарев и др., 1993]:
W f* iwdS cos a jJ CfdS cos a 2 2
Здесь poo и Moo - плотность и скорость в набегающем потоке соответственно; S - характерная площадь (площадь миделя тела или площадь боковой поверхности); W- суммарная сила трения; С/- местный
коэффициент трения; а - угол между осью ОХ и касательной к поверхности рассматриваемого тела.
Рис. 8. Обтекание осесимметричного тела
Задача ставится как нахождение в каждой точке осесимметричного тела местного коэффициента трения и дальнейшего нахождения суммарного коэффициента трения путем интегрирования местного коэффициента по всей поверхности тела.
Будем считать пограничный слой на теле турбулентным. Для плоской пластины, помещенной в вязкий поток, обладающий аналогичными свойствами, экспериментальные исследования Козлова [Краснов и др., 1976; Бондарев и др., 1993; Шлихтинг, 1974] и других авторов позволяют находить местный коэффициент трения с помощью общей аппроксимирующей зависимости:
/ т-1 Л"0-55 £> = ¿>0 (1 + Т — ШЦ ,
где г да 0,88 ; у = С^/С^ - соотношение удельных теплоемкостей;
= — - местное число Маха на теле, и а^, - значение скорости
щ?
потока и скорости звука на внешней границе пограничного слоя, соответственно.
Значение Су0 может быть вычислено с помощью целого ряда эмпирических зависимостей, приводимых в работах [Краснов и др., 1976; Бондарев и др., 1993; Шлихтинг, 1974; Авдуевский, 1962; АусЬеувЫу е! а1., 1960]. Например, следующим образом [Бондарев и др., 1993]:
•С/с =(21§(Ке,;)-0.65)-23; Сущ = 0.085 % = 0.059 Ке^-*2.
Последняя зависимость дает наиболее приемлемые результаты в рассматриваемом диапазоне чисел Маха, что подтверждено многочисленными расчетами. Она получила наибольшее распространение при использовании в диапазоне значений числа Рейнольдса от 106 до 108. Здесь число Кел. = рш:/|1 - это местное число Рейнольдса, вычисляемое
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления
трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода пограничного слоя_
по длине пластины jc в каждой точке пластины; jх - коэффициент динамической вязкости.
Также, согласно [Бондарев и др., 1993], при малых скоростях и отсутствии теплового потока в стенку может быть применен следующий подход. Для наиболее интересного с точки зрения моделирования турбулентных течений диапазона чисел Рейнольдса от 105 до Ю10 можно применять различные простые формулы для определения местного коэффициента трения Су0 в зависимости от местного числа Рейнольдса:
10s < Re,; < 106; Cfü = 0.042 R%~aiS;
106 < Re^ < 107; Cfü = 0.0322 Re,:~°'1É;
107 < Re^ < 10a; Cfo = 0.023 R%~C14;
10s < Re^j, < 109; Cf Q = 0.016 Re:,."c'i2;
1Э9 < Re,; < 1010; Cfc = 0.011 Re^10.
Применение данного подхода в ряде случаев весьма полезно и позволяет получать более точный результат оценки.
Для того, чтобы применить эти зависимости для нахождения местного коэффициента трения на осесимметричном теле с криволинейной образующей, следует использовать метод эффективной длины, разработанный B.C. Авдуевским [Avduevskiy et al., 1960; Авдуевский, 1962], который вкратце можно представить следующим образом.
Рассмотрим применение метода эффективной длины применительно к осесимметричному телу в некоторой точке с декартовой координатой х* и радиусом R (Рис.2). Здесь /* - длина дуги образующей от начал тела до рассматриваемой точки.
Рис. 2. Применение метода эффективной длины
Считаем, что в точке (х* Я) на теле сформировался тепловой пограничный слой толщиной. Эффективной длиной хэ<р называют длину плоской пластины, на которой при внешнем течении с такими же параметрами как в рассматриваемой точке тела нарастает такой же пограничный слой как и на длине /* рассматриваемого тела. Для осесимметричного случая хЭф будет длиной некоего цилиндра с радиусом равным радиусу Я.
Согласно [Авдуевский, 1962; Avduevskiy et al., 1960] для турбулентного случая эффективную длину в точке тела можно определить
с помощью соотношения
_ /0г р
" р*
Здесь pw - значение плотности на внешней границе пограничного слоя. Теперь можно использовать вышеприведенные формулы для вычисления местного коэффициента трения, если во входящее в них число Рейнольдса вместо длины пластины х подставить вычисленную эффективную длину хэф, вычисляя таким образом эффективное число Рейнольдса
® эф —-■
Здесь \iw - значение коэффициента вязкости на теле, которое вычисляется, например, с помощью формулы Сазерленда или ее упрощенного представления:
^ = /3w\C7
и® uW
где |Lioo? Too - коэффициент динамической вязкости и температура, соответственно, в набегающем потоке.
Для ламинарного случая процедура оценки проводится по аналогичной схеме с изменением ряда соотношений:
Y— 1
Cf = CfQ [l + G.72r —^— МЩ ; Cf0 = 0.646 Rex~0 5.
Кроме оценки коэффициента сопротивления трения на теле в рамках приближенного полуэмпирического подхода, представленного выше, можно определять в каждой конкретно взятой точке на образующей тела характерные параметры пограничного слоя, такие как толщина пограничного слоя 5 и интегральные толщины пограничного слоя: толщина вытеснения 5* и толщина потери импульса 5**.
Толщина вытеснения 5* является мерой уменьшения расхода через сечение вследствие уменьшения скорости потока в пограничном слое. Толщина потери импульса 5** характеризует уменьшение импульса в сечении за счет торможения потока в пограничном слое.
Схема вычисления характерных толщин пограничного слоя в точке на теле для случая турбулентного пограничного слоя выглядит следующим образом: для каждой точки тела вычисляется эффективная длина хэф. Далее по расчетным значениям определяется эффективное число Рейнольдса Re3$. Далее определяются следующие величины для несжимаемого случая:
= 0.37Ке^ф 02Хэф; = 0J25
s**H = ода? lSh.
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода пограничного слоя_
После их определения вычисляются характерные толщины для турбулентного сжимаемого пограничного слоя с помощью следующих соотношений [Краснов и др., 1976; Бондарев и др., 1993; Шлихтинг, 1974]:
/ т-1 л0"34
беж = 3Н|1 + йЛг1— М,/ ] ;
/ у-1 2\03*
8 = б' н (1 + 0.72г ;
/ т-1 л^66
5**сж = 3 'н [1 + 0.72т ^-мн,2] .
Для случая ламинарного течения используется аналогичный подход с заменой соответствующих соотношений. Для ламинарного пограничного слоя величины для несжимаемого случая 8Н, 8Н*, 8Н** определяются с помощью соотношений
;6Н = 4.64 Кез;;"1:'5х3с?: 6*ы = 0,376 5ДСД; 6"\: = 0.14 5НСЖ.
Набор характерных толщин для ламинарного пограничного слоя в сжимаемом потоке газа может быть вычислен с помощью следующих соотношений:
/ т-1
6си = 6н[1 + 0.72г^-Миг2Л
-1
2
ОШБ
= (1 + 0.72г^-М,.,2 (
/-1
6"« = н I 1 + 0.72г— М№
3 Практическая реализация
Представленная в предыдущем разделе методика бьша реализована в виде двух самостоятельных программных модулей на С и Рог1тап90. Верификация программных модулей проводилась на данных расчета невязкого обтекания осесимметричного тела и сравнивалась с известными результатами работы [Колина и др., 1979], полученными с помощью численного решения уравнений Прандтля для двух чисел Маха.
Разработанные программные модули применялись для оценки и отладки реализации модели турбулентности в двумерном программном комплексе, предназначенном для моделирования плоских течений и обтекания осесимметричных тел. Примеры практической реализации приближенного полуэмпирического подхода приведены в работе [Вопёагеу & №з1егепко, 2014] на примере оценки толщины пограничного слоя на пластине для турбулентного случая и на примере оценки коэффициента сопротивления трения при сверхзвуковом турбулентном обтекании тела вращения. Входные параметры для реализации приближенной методики
оценки коэффициента сопротивления трения и характерных толщин пограничного слоя брались с внешней границы пограничного слоя. Результаты оценок были использованы в дальнейшем для отладки организации расчета и настройки параметров модели турбулентности.
Следует заметить, что описанный подход в настоящей реализации обладает рядом существенных ограничений. Так по своей сути он не предполагает возможности отрыва пограничного слоя. Следовательно, течения с отрывом выпадают из рассмотрения. Далее, описанный подход не учитывает возможности перехода пограничного слоя из ламинарного режима в турбулентный. Описанный подход реализован лишь для тел в потоке под нулевым углом атаки. Тем не менее, для достаточно большого количества задач он позволяет получать оценки, которые могут служить определенными ориентирами для отладки моделей и методов расчета при отсутствии натурных экспериментов и точных решений.
Следующим шагом дальнейшего обобщения и развития приближенного полуэмпирического подхода стала реализация учета явления перехода от ламинарного режима течения к турбулентному. В практических задачах при обтекании тела на переднем участке образуется ламинарный пограничный слой, за которым следует область перехода пограничного слоя. За областью перехода лежит область развитого турбулентного течения. В приближенных практических расчетах принимается, что область перехода имеет бесконечно малый размер, т.е. является точкой. Координата точки перехода Lt вдоль образующей тела определяется по критическому числу Рейнольдса, при котором происходит переход. Критическое число Рейнольдса Re* задается как внешний параметр задачи. На участке до точки перехода применяются соотношения для ламинарного пограничного слоя. Однако для расчета за точкой перехода нельзя непосредственно применить приведенные ранее зависимости для турбулентного пограничного слоя, так как этот слой начинается не с нулевой толщины, а с некоторого конечного значения. Однако эти зависимости вполне можно использовать, если входящее в них расстояние вдоль образующей отсчитывать от условного начала турбулентного пограничного слоя. Для определения этого начала существует несколько схем расчета. Например, принимается, что расстояние Lx, равное длине условной пластины с турбулентным пограничным слоем должно быть таким, что толщина турбулентного пограничного слоя 8t в точке перехода равна толщине ламинарного пограничного слоя Slam на длине Lt. Отсюда получаем соотношение
6lam(Lt) = 6 t (Lx).
Из полученного соотношения, рассчитав с помощью вышеприведенных зависимостей 8iam(Lt), мы можем определить величину
Разработка приближенного полуэмпирического подхода к оценке сопротивления трения на телах вращения в вязком потоке с учетом перехода пограничного слоя_
Иной способ определения величины Ьх исходит из предположения, что в точке перехода одинаковы не толщины пограничного слоя, а толщины потери импульса
Определив величину Ьх, можно вычислить распределение местного коэффициента сопротивления трения по телу, и, следовательно, путем интегрирования определить коэффициент сопротивления трения для тела в целом.
Данный подход был применен к задаче сверхзвукового обтекания конуса при числе Маха М = 3. Угол полураствора конуса равнялся 20 градусам, высота конуса равнялась 5. В качестве газодинамических параметров на теле использовались известные результаты работы [Бабенко и др., 1964]. Сначала был проведены два расчета в предположении, что пограничный слой на теле является целиком ламинарным или турбулентным. Затем были проведены расчеты при варьировании критического числа Рейнольдса Яе* от 104 до 5-106 в предположении, что Ъхш^Ы) = Ь\(Ьх). Результаты расчетов представлены в таблице 1.
Таблица 4. Результаты расчета сверхзвукового обтекания
Значение С(
Турбулентный слой 0.001387
Ламинарный слой 0.006727
Яе* = 104 0.006727
Яе* = 105 0.006727
Яе* = 106 0.006118
Яе* =5-106 0.00181
Анализ результатов расчетов показывает, что результаты при Яе* < 106 незначительно отличаются от результатов для полностью турбулентного пограничного слоя. Видно по результатам, что ламинарный слой занимает незначительный участок поверхности тела. При Яе* > 106 поверхность, занятая ламинарным слоем, существенно увеличивается, что приводит в итоге к значительному снижению коэффициента сопротивления трения.
4 Заключение
Рассмотрена практическая реализация приближенного полуэмпирического подхода оценки коэффициента сопротивления трения и характерных толщин пограничного слоя при обтекании осесимметричных тел вязким потоком газа с учетом перехода пограничного слоя на поверхности тела из ламинарного режима течения в турбулентный режим. Данный подход позволяет получать оценочные величины, которые могут быть полезны в задачах верификации моделей и численных методов. При отсутствии экспериментальных данных для
конкретных практических задач данный подход может использоваться для отладки и настройки численных методов, организации расчетов, используемых моделей турбулентности.
Список литературы
[Авдуевский, 1962] Авдуевский B.C. Метод расчета пространственного турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1962. №4. С.3-13.
[Бабенко и др., 1964] Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М., Наука, 1964.
[Бондарев и др., 1993] Бондарев Е.Н и др. Аэрогидромеханика М.: Машиностроение, 1993. 608 с.
[Козлов, 1963] Козлов JI.B. Экспериментальное исследование поверхностного трения на плоской пластине в сверхзвуковом потоке при наличии теплообмена // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. №2. С. 11-20.
[Козлов, 1965] Козлов JI.B. Экспериментальное определение закона теплообмена для турбулентного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке // Исследование теплообмена в потоках жидкости и газа. М.: Машиностроение. 1965. С. 91-109.
[Козлов и др., 1971] Козлов JI.B. и др. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. М.: Машиностроение, 1971. 380 с.
[Колина и др., 1979] Колина Н.П., Пятнова А.И., Солодкин Е.Е. Материалы для расчета характеристик турбулентного пограничного слоя на линии растекания при коническом внешнем течении // Труды ЦАГИ. 1979. Вып. 2003.
[Краснов и др., 1976] Краснов Н.Ф. Аэродинамика. М.: «Высшая школа», 1976.
[Шлихтинг, 1974] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука. 1974. 711 с.
[Avduevskiy et al., 1960] Avduevskiy V.S. et al. Ed. by prof. V.K. Koshkin. Method of calculating the three-dimensional turbulent boundary layer in a compressible gas. M.: Oborongiz, 1960.
[Bondarev & Nesterenko, 2014] Bondarev A.E., Nesterenko E.A. Approximate method for estimation of friction forces for axisymmetric bodies in viscous flows // "Mathematica Montisnigri", Vol. XXXI, 2014, p. 54-63.
