Разработка моделей нелинейных электротехнических объектов в виде степенных рекуррентных нейронных сетей Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313

И. А. Орловский, А. А. Синявский

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ВИДЕ СТЕПЕННЫХ РЕКУРРЕНТНЫХ НЕЙРОННЫХ

СЕТЕЙ

Для создания моделей нелинейных объектов предложены степенные рекуррентные нейронные сети (СРНС). Разработана методика расчета этих сетей. Проведена проверка способности СРНС отображать модели нелинейных электротехнических объектов.

Большинство электротехнических объектов являются нелинейными с изменяющимися в процессе работы параметрами. Качественное управление нелинейными объектами даже при известных значениях их параметров является сложной и не до конца решенной задачей.

В настоящее время развиваются идеи настройки регуляторов в системах управления электротехническими объектами с использованием генетических алгоритмов и градиентных алгоритмов обучения (при реализации регуляторов на искусственных нейронных сетях (НС). Поиск параметров регуляторов в таких системах требует многократного запуска объекта и, как правило, выполняется не на реальном объекте, а на его модели. Отсюда возникает задача получения достаточно точных моделей объекта в процессе его работы.

Модели объектов могут находиться с использованием классических методов, например: методом наименьших квадратов, методом наблюдателей состояния (идеи фильтрации Калмана), а также развиваемыми в последнее время методами с использованием искусственных НС. Вероятностные методы не обеспечивают точности и быстродействия при изменении параметров объекта. Для применения метода наименьших квадратов необходимо описание объекта идентификации алгебраическими уравнениями. Применение расширенного фильтра Калмана требует предварительной настройки и дает строгое решение только для линейных объектов. Нейросетевые модели обладают свойством аппроксимировать любую функцию, имеют алгоритмы обучения, но требуют времени для выполнения обучения. Снизить время обучения можно, выполнив их предварительный расчет.

В научной литературе вопросы получения моделей электротехнических объектов с помощью НС рассматриваются достаточно часто, например [1-6]. В работе [5] для получения модели асинхронного двигателя

© Орловский И. А., Синявский А. А., 2007

и оценки электромагнитного момента, амплитуды и фазы магнитного потока используется НС прямого распространения с двадцатью нейронами в скрытом слое и нелинейными активационными функциями (гиперболический тангенс). Данная сеть обеспечивает удовлетворительную точность только для обучающего набора данных. При изменении входных наборов способность сети отображать объект отсутствует.

В работе [6] адаптивные регуляторы системы управления настраиваются на модели электропривода постоянного тока гребного винта подводного аппарата, выполненной в виде адаптивных дискретных фильтров (представленных в виде «матриц состояний»). Параметры матриц определяются решением матричных уравнений методом наименьших квадратов.

В статьях [2, 3] показана возможность получения с высокой точностью линейной модели объекта с помощью рекуррентных нейронных сетей (РНС) на примере тиристорного электропривода постоянного тока. В [2] при получении модели двигателя постоянного тока с помощью РНС Джордана предлагается выполнять линеаризацию объекта на малых интервалах времени. Отмечается, что в этом случае модель на РНС является нелинейной глобально, но может рассматриваться линейной локально. При локальной линеаризации принимается, что на коротком интервале времени (десятки -сотни тактов счета) внутренние параметры объекта являются неизменными. Обучение РНС (нахождение матриц, описывающих объект в пространстве состояний) выполняется на наборах данных измеренных на коротких интервалах.

Модель линейного объекта с помощью РНС можно получить аналитически, выполнив расчет сети [3], если известны параметры объекта, либо по результатам измерений всего вектора состояний в процессе работы объекта в течение необходимого числа тактов счета. Если параметры объекта неизвестны или нет необходимого количества измерений, то определение весовых коэффициентов РНС может выполняться с помощью алгоритмов обучения (градиентного [1] или генетического [4]).

При реализации модели нелинейного объекта в виде адаптивного дискретного фильтра [6], либо РНС с линейной функцией активации [1-4] точность отображения объекта не высока. Расчет моделей НС с нелинейными функциями активации в литературе отсутствует, а обучение таких сетей требует больших затрат времени и не всегда позволяет получить заданную точность модели [1]. Кроме того, как правило, отсутствует возможность получения параметров объекта (идентификации) по значениям весовых коэффициентов этих моделей.

Нелинейный объект описывается нелинейными разностными уравнениями. На коротком интервале времени нелинейности разностных уравнений с высокой точностью могут быть представлены в виде степенного ряда, тогда значения переменных состояния объекта определяются суммой взвешенных значений степеней входных сигналов и взвешенных значений степеней переменных состояния объекта на предыдущем такте счета. Такое представление модели объекта можно выполнить с помощью РНС, которую для краткости будем называть степенной РНС (СРНС). По весовым коэффициентам (коэффициентам при степенях переменных) такой СРНС возможна идентификация внутренних параметров объекта. Если нелинейность объекта представляет степенную зависимость, то СРНС описывает такой объект во всем его диапазоне работы.

Целью статьи является разработка методики расчета весовых коэффициентов СРНС, позволяющей с высокой точностью отображать модель нелинейного объекта, а также разработка программы расчета СРНС и проверка полученных аналитических результатов методом математического моделирования на примерах получения моделей нелинейных электротехнических объектов.

Статья построена следующим образом. В разделе 1 рассмотрена аппроксимация нелинейных матриц объекта степенными зависимостями любого порядка от вектора состояния и входных сигналов. Для объекта с такими матрицами получены выражения расчета весовых коэффициентов СРНС, представляющей модель этого объекта. В разделе 2 даны общие выражения для расчета весовых коэффициентов СРНС, моделирующих нелинейный объект, по результатам измерений объекта. В разделе 3 рассмотрены два примера расчета моделей, выполненных на СРНС, нелинейных электротехнических объектов; а именно, нелинейной электрической цепи и тиристорного привода постоянного тока с двигателем последовательного возбуждения.

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ И ОБЩИХ УРАВНЕНИЙ РАСЧЕТА ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ СРНС

Представим модель объекта в виде системы уравнений, записанной в матричном виде в форме пространства состояний [1]

х = Ах + Ви,

(1)

где х - вектор состояния объекта, х = [х^ х2, ..., хц] ;

и - вектор входных сигналов, и = [и^, и2,..., ик]Т; А -матрица коэффициентов размера ц х ц; В - матрица коэффициентов размера ц х к. Начальными условиями является вектор начальных состояний объекта

х( 0) = [ х1( 0), х2( 0),..., хц( 0 )]Т.

Для нелинейного объекта матрицы А и В являются нелинейными. Нелинейность матриц А и В может быть аппроксимирована в виде степенных зависимостей от вектора состояния и вектора входных сигналов соответственно. Задачей раздела является получение аналитических выражений для расчета весовых коэффициентов СРНС, представляющей модель нелинейного объекта, из матриц объекта, аппроксимированных в виде степенных зависимостей. В начале рассмотрим линейный объект, когда матрицы А и В неизменны, то есть дА/= 0, г = (1, ..., ц) и дВ/duj = 0, / = = (1,., к).

Если в дискретной модели объекта представить производную вектора состояния в виде

х п ( хп

1п - 1

)/Т,

(2)

где Т - такт счета, хп и хп - 1 - значения вектора состояния на п и п - 1 такте счета, то систему уравнений (1) можно записать следующим образом [3]:

хп = (АТ + Е)хп -. + ВТи

(3)

где Е - единичная матрица размера ц х ц.

Обозначим коэффициенты уравнения следующим образом:

Ш°с = АТ + Е, Ш1п = ВТ, (4)

тогда уравнение (3) примет вид

хп = ^"°хп -1 + Ж1Пип. (5)

Уравнение (5) представляет собой описание РНС,

где Ш"с, Ш1п матрицы весовых коэффициентов сигналов обратной связи и входных сигналов соответственно, вычисляемые по уравнениям (4). Если матрицы А

п

и B не известны, то их расчет можно выполнить из необходимого числа уравнений (3) полученных в разные моменты времени, например смещенных во времени на один такт счета [3].

В случае нелинейного объекта его линеаризация, т. е. допущение, что на расчетном интервале времени параметры объекта практически неизменны, возможна при незначительном изменении этих параметров. Однако при изменении параметров на десятки и сотни процентов ошибка линейной модели становится значительной. Снизить эту ошибку можно, используя более сложную структуру РНС, в которой принимаются линейные изменения матрицы А от вектора состояния объекта и матрицы B - от входного вектора (ЗА/dxi = = const, i = (1, ..., q) и dB/duj = const, j = (1, ..., k)). Расчет параметров такой РНС выполняется следующим образом.

Введем обозначение диагональной матрицы состояния X размера q x q, и диагональной матрицы U входных сигналов размера k x k

(6)

"x1 0. . 0 u1 0. . 0

X= 0 x2 . 0 , U = 0 u2 . . 0

0 0 . ■xq 0 0 . • uk

При линейной зависимости от вектора состояния х и вектора входных сигналов и соответственно, матрицы А и В представляются следующими уравнениями:

А = A1X + А0, B = BU + B0.

(7)

где А1 и А0 матрицы коэффициентов размера ц х ц, В1 и В0 матрицы коэффициентов размера ц х к. В этом случае уравнение (1) примет вид

хх = (А1Х + А0)х + (В1и + В0)и. (8)

Значения весовых коэффициентов РНС также изменяются линейно относительно поступающих на них сигналов и выражения (4) примут вид

Разностное дифференциальное уравнение объекта (5) при подстановке выражения (10) принимает следующий вид:

хп = <ХХп - 1хп - 1 +

+ <схп-1 + + <4. (12)

В частном случае для скалярного объекта (ц = 1) и скалярного входного сигнала (к = 1) матрицы А и В вырождаются до вида

А = aix + й-о, B = biu + bo

(13)

Тогда весовые коэффициенты единственного нейрона определяются выражениями

W°c = a1T, Wc = a0T + 1, W\n = b1T, w0n = b0T

и разностное уравнение принимает вид

(14)

2 2 xn = a1Txn - 1 + (a0T + 1)xn - 1 + b1Tun + b0Tun. (15)

Вернемся к рассмотрению многомерной системы. Более точная аппроксимация нелинейной функции (а следовательно, и модели нелинейного объекта) может быть выполнена с использованием полинома вто-22

рого порядка, при этом д А/dxi = const, i = (1, ..., q) 22

и д B/duj = const, j = (1,..., k). В этом случае матрицы объекта описываются выражениями

А = А2Х2 + А1Х + А0, B = B2U2 + B1 U + B0. (16) Уравнение (3) примет следующий вид:

xn = (а2хп - 1 + а1хп - 1 + А0)xn - 1 + + (B2U2 + B1Un + B0 ) un.

(17)

Значения весовых коэффициентов РНС, согласно (4), определяются уравнениями

W°c = A1XT + А^ + E, Win = B1UT + B0T. (9) Уравнения (9) удобно представить в виде

w°c = W0°cX + wOc, win = W\nU + w0n, (10)

W0c = A2TX2n -1 + А1 TXn -1 + AoT + E, Win = B{TU2n + B{TUn + B0T.

(18)

Эту зависимость, аналогично (10), можно представить в виде

тогда весовые коэффициенты РНС определяются выражениями

W°c = A1T, Wc = A0T + E, w\n = b1t , w0n = B0T. (11)

w°c = W2cX2n -1 + w\cXn -1 + wOc,

Win = Wl2U2n + w\n Un + w0n, (19)

тогда весовые коэффициенты РНС определяются выражениями

W = A2T, WO = A1T, W°Q = A0T + E, w2" = B2T, W\n = B1T, w0n = B0T. (20)

Аналогично, при использовании полинома m-го порядка для матрицы A и полинома r-го порядка для матрицы B объекта (dmA / dxm = const, i = (1,..., q) и dmB/dum = const, j = (1, ..., k)), выражения матриц A и B имеют вид

A + AmXm + Am- 1 B = BrUr + Br- 1Ur-1 + ... + B1U + B0. (21)

Тогда разностное уравнение процесса примет вид

xn = (AmXn- 1 + Am- 1Xn- 1 + . + A1 Xn- 1 + A0 )xn- 1 +

+ (BrUrn + Br-Ur-1 + ... + Bxun + Bo) un. (22)

Значения весовых коэффициентов PHC, аналогично (4), определяются уравнениями

Xm 1 + ... + A1X + A0,

W = A TX ,

A

m -1

TXm_1 + ... + A0T + E

Tr- 1

W'" = BrTU'n + Br- 1TU„ + ... + BxTUn + B0 T

>. (23)

Если представить уравнение (23) в виде Woc = W°cxm 1 + w°c ,XB -1 + +

m n-1 m-1 n-1

+ W0°cXn -1 + w°0c,

Win = WinUr + Win ,U' 1 + + WinU + Wi",

r n r-1 n ^ n 0 '

r- 1

(24)

тогда весовые коэффициенты PHC определяются выражениями

Wmm = Amт, Wmm-1=Am-t. к=A^т,

W0c = A0T + E; Wrn = BrT, win 1 = Br- 1T, ... W\n = B1T,

(25)

W0 = B0T.

В общем виде СРНС, построенная с использованием рассмотренных выше полиномов, представлена на рис. 1. Блоки Б1 и Б2 (рис. 1) формируют необходимое количество выходов, значения которых равны степеням входных сигналов, блоки г выполняют задержку сигнала на один такт счета Т.

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ СРНС ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИЗМЕРЕНИЙ

В предложенной методике для определения коэффициентов СРНС должны быть известны векторы состояний объекта и входных сигналов. Запишем уравнение (22) в виде системы разностных дифференциальных уравнений с использованием зависимостей (23) и (24) следующим образом:

= ( «-! + <- Х--1 + ... + Ш"СКп-1 + ! +

+ (Ш1гп игп + Шггп 1игп-1 + ... + Ш\п ип + Ш0п)ип .(26)

Неизвестными в данной системе являются матрица Ш"С = [Ш"тс, 1, ..., Ш"с, Ш"с] размера 1 х (т + 1), каждый элемент которой является матрицей размера ц х ц и матрица Ш1п = [Ш1", Ш1" ^ ..., Ш1", Ш™] размера 1 х (г + 1), каждый элемент которой является матрицей размера ц х к. Общее количество неизвестных составляет

N = (m + 1) q + (r + 1) qk.

(27)

Рисунок 1 - Общая структурная схема СРНС

Для вычисления коэффициентов СРНС число измерений объекта (число уравнений) должно быть не меньше числа неизвестных N. Следовательно, минимальное количество тактов счета Nт при вычислении

xn =

производной по формуле (2) должно быть на единицу больше числа неизвестных, т.е.

NT = (m + 1) q + (r + 1 )qk + 1.

(28)

размерность (ц х 1), элементы, определяемые через и,

имеют размерность (к х 1)

тогда систему (29) можно представить в виде

xm = (W ■ xM u)T,

(32)

Пусть имеется М + 1 (М > N) последовательных измерений входного вектора и вектора состояния объекта. Это позволяет составить следующую систему уравнений:

ттT2cvm тт ,2c vm - 1

xn = WmXn - 1xn - 1 + Wm - 1Xn - 1 xn - 1 + - +

+ WX - 1xn - 1 + Wcxn - 1 + Wi U>n + + Kn-1 Un-1 un + - + w1n Unun + w04;

xn - 1 = W°mX'm- 2xn - 2 + Wm- 1Xm-2xn - 2 + - +

+ KXn - 2xn - 2 + W2cxn - 2 + « - 1 un - 1 + + K- 1Un- 1un - 1 + - + - 1 un - 1 + W0nun - 1l

= W/2cym + woc y-m -1

Cn - M + 1 WmXn - Mxn - M + Wm - 1Xn - Mxn - M~

+ - + W°CXn - Mxn - M + W2°xn - M-

Tr - 1

+ Wr Un - M + 1 un - M + 1 + Wr - 1Un - M + 1un - M + 1 + + - + W1nUn - m + 1un - M + 1 + W0nun - M + 1.

(29)

Обозначим значения вектора в левой части системы (29) в течение М тактов в виде матрицы ХМ, размерностью (М х 1), каждый элемент которой имеет размерность (ц х 1) тогда матрица Хм имеет вид

XM =

n-1

n - M + 1

(30)

где матрица весовых коэффициентов W размера (1 x (m + k + 2)) имеет вид

w = [ w2mc, W2cc1,-, w2c, W2c, w\n, wi-1,., w;n, w0n.

(33)

Элементы матрицы W, имеющие индекс «ос» представляют собой матрицы размера q x q, элементы с индексом «in» представляют собой матрицы размера q x k. Матрица W на расчетном интервале времени принимается неизменной.

Если число уравнений равно числу искомых коэффициентов (M = N), то матрица весовых коэффициентов СРНС определяется через обратную матрицу xM u уравнением

T -1

W = (Xm)t ■ XM u.

(34)

В реальных условиях возможны ситуации, когда изменения вектора состояния объекта за время Т не превышает точности измерения датчиков. В этом случае отсутствует обратная матрица хМ и. Из-за неточности измерений датчиков (если даже обратная матрица существует) расчет последовательно на каждом такте счета матрицы весовых коэффициентов < приводит к существенному изменению значений ее составляющих, которые вычислены на последовательных тактах счета. Для устранения этих недостатков число измерений необходимо взять больше минимального (например, в нес-колько раз), тогда определение матрицы < выполняется нахождением минимального среднеквадратичного отклонения для всех уравнений с помощью псевдообратной матрицы Хм и [7] по выражению

Обозначим через Хм и, согласно уравнению (29), матрицу степеней сигналов состояния объекта и степеней входных сигналов системы размера ((т + к + 2 )х х М), элементы которой, определяемые через и, имеют

t + W = (Хм)Т ■ X

M, u'

(35)

Обеспечение точной работы модели в первые моменты времени моделирования достигается заданием вектора

x

n

X

M, u

Ym ym-1 v

Xn-1xn-1 Xn - 1 xn - 1 — Xn-1xn-1

n-1

Unun

m

Xx

ym -1 Xx

n -2xn-2 Xn - 2 xn -2 — Xn-2xn-2 xn-2 Un - 1un - 1 Un - 1 un - 1

jf -1 Un un

ттГ - 1

Uu

Xm Xm-1 x jf jf -1

Xn-Mxn-M Xn-Mxn-M — Xn-Mxn-Mxn-M Un-M+1un-M +1 Un-M+ 1un-M+1

Unun un

Un-1un- 1 un- 1

Un-M+ 1un-M+1 un-M+1

, (31)

T

начальных состояний СРНС х0 = [х0^ х02, ..., х0д] размера (д х 1), значения которого устанавливаются во временных задержках обратных связей СРНС. Расчет этого вектора выполняется по следующей зависимости:

• -1 -1 г = КЬ Б-ЕЬ 1 г.

(37)

х0 = х(0)- Ш ■ и0,

(36)

где и0 = [иг(0)и(0),иг 1(0)и(0), ..., и(0)и(0), и(0)]Т -матрица входных сигналов в первом такте моделирования, составленная из степенных значений элементов вектора входных сигналов в этом же такте размера ((г + 1 )х 1), каждый элемент которой является матрицей размера (к х 1). В общем случае векторы х0 и х(0) не равны друг другу, так как выходной вектор СРНС в начальный момент времени формируется в виде суммы взвешенных сигналов с временных задержек и входных.

3 ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСЧЕТА МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ВИДЕ СРНС

Реализация СРНС в стандартных средствах математического моделирования не предусмотрена, в связи с чем была разработана программа, позволяющая выполнять расчет весовых коэффициентов СРНС с любого места измеряемой последовательности сигналов на заданном числе тактов счета с любым количеством степеней входных сигналов и сигналов обратных связей. Программа также позволяет выполнять моделирование динамики рассчитанных СРНС для примеров 1 и 2.

Пример 1. Пусть объект имеет источник питания с ЭДС Б, усилитель с нелинейным коэффициентом усиления К = К(Б), нагрузку, состоящую из последовательного соединения индуктивности Ь и нелинейного активного сопротивления Е = Е( г). Ток в такой схеме определяется из уравнения:

В этом случае, согласно выражению (1), матрицы коэффициентов А и В определяются уравнениями

А = -ЕЬ 1, В = КЬ 1.

(38)

СРНС, представляющая модель такого объекта, имеет один нейрон (д = 1) и один входной сигнал (к = 1). Для проверки приведенных выше выражений расчета весовых коэффициентов СРНС рассмотрим случаи, когда нелинейность коэффициента усиления К представляет различные степенные зависимости от э.д.с. источника питания (К = к0, К = ^Б + к0, К = = к2Б2 + к^Б + к0) и нелинейность сопротивления Е представляет степенные зависимости от протекающего через него тока (Е = Е0, Е = Е^ + Е0, Е = Е2? + + Е^ + Е0), где к0, к1, к2, Е1, Е2 - постоянные коэффициенты, Е0 - значение активного сопротивления при токе, равном нулю.

Для расчета моделей рассматриваемого объекта в виде СРНС при различных видах нелинейностей необходимо составить расчетные матрицы Хм и Хм и (уравнения (30)-(31)). Количество строк в этих матрицах определяется числом тактов счета, на которых выполняются измерения. Минимальное количество тактов счета, определяемое по формуле (28), для семи вариантов объекта представлено в таблице 1.

Моделирование выполнялось при следующих значениях параметров объекта: Б = 2 + 28т5 Е0 = 1 Ом; Е1 = 0,5 Ом/А; Е2 = 0,02 Ом/А2; к0 = 1; к1 = 0,3; к2 = = 0,05; такт счета Т = 0,005 с. Расчет коэффициентов СРНС (матрица Ш, уравнение (33)) выполнялся по уравнению (35) на различном количестве тактов счета с использованием псевдообратной матрицы Хм и . Структура СРНС (порядок степенных зависимостей) выбиралась в точном соответствии с порядком степенных

Таблица 1

№ варианта Уравнения коэффициента усиления К Уравнения активного сопротивления Е Минимальное число тактов счета

1 К = к0 Е = Е0 3

2 К = к0 Е = Е1г + Е0 4

3 К = к1Б + к0 Е = Е1г + Е0 5

4 К = к0 Е = е2 г2 + Е1г + Е0 5

5 К = к1Б + к0 е = е2 г2 + Е1г + е0 6

6 К = к2 Б2 + к1Б + к0 е = е2 г2 + Е1г + е0 7

7 К = к2 Б2 + к1Б + к0 Е = Е1г + Е0 6

зависимостей объекта. Результаты расчета весовых коэффициентов на 400 тактах счета для рассматриваемых семи вариантов и максимальная относительная ошибка моделей приведены в таблице 2. Незаполненные ячейки таблицы свидетельствуют об отсутствии связи в СРНС. Максимальная относительная ошибка определялась как максимальное значение отношения мгновенной абсолютной ошибки тока Аг (разность мгновенных значений токов в объекте и в модели на СРНС) к мгновенному значению тока в объекте на всем интервале времени моделирования.

Переходные процессы токов в объекте и ошибки моделей на СРНС для вариантов 1, 3 и 6 приведены на рис. 2. На рис. 2, а, рис. 2, в, рис. 2, д показаны изме-

Таблица 2

нения токов г в объекте для вариантов 1, 3, 6 соответственно. На рис. 2, б, рис. 2, г, рис. 2, е приведены изменения ошибок тока Аг моделей на СРНС для вариантов 1, 3, 6 соответственно.

Результаты показали высокую точность рассчитанных моделей СРНС. Максимальная относительная ошибка для всех вариантов, согласно таблице 2, не превышала 0,66 %, что подтверждает правильность приведенных выше аналитических выражений для расчета коэффициентов СРНС.

Пример 2. Разработаем модели в виде СРНС и оценим их точность для тиристорного привода постоянного тока последовательного возбуждения при непрерывном токе якоря с различными нелинейностями, отлич-

№ вар. Значения весовых коэффициентов СРНС Максим. относ. ошибка моделей на СРНС (%)

<0с <2п ш\п <0п

1 0,995 0,00500 0,66

2 -0,00135 0,995 0,00502 0,46

3 -0,00140 0,995 0,00259 0,00473 0,26

4 -0,000559 -0,000553 0,994 0,00503 0,42

5 -0,000289 -0,00120 0,995 0,00260 0,00472 0,18

6 -0,000271 -0,00128 0,995 0,000117 0,00252 0,00479 0,16

7 -0,00140 0,995 0,000108 0,00256 0,00475 0,25

< 2 о

I

0.02

5 0

<1

-0.02 4

<

2 0

0.01

<

<" 0

-0.01

4

2 0

0.01 0

-0.01

0 0.5 1.5 2 (а) 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1.5 2 (б) 2.5 3 3.5 4

4—^^—

0 0.5 1.5 2 (в) 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1.5 2 (г) 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1.5 2 (Д) 2.5 3 3.5 4

0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(, с

(, с

I, с

Рисунок 2 - Переходные процессы в нелинейном объекте и ошибки в моделях, выполненных в виде СРНС для примера 1

ными от степенных. Двигатель постоянного тока последовательного возбуждения описывается следующей системой уравнений [8]:

Б, = Ь,+ Б + Ег, Б = сФ(г)ю ,

= м-мс, м = сФ( г) г,

(39)

где Б, - ЭДС тиристорного преобразователя, г - ток двигателя, ю - угловая частота вращения вала (скорость) двигателя, м - электромагнитный момент двигателя, мс - статический момент сопротивления, Ь, Е - эквивалентные индуктивность и активное сопротивление электропривода, с - конструктивный параметр двигателя, Ф(г) - текущее значение магнитного потока, зависящее от тока двигателя, ] - момент инерции двигателя, Б - ЭДС двигателя.

Если в системе импульсно-фазового управления ти-ристорного преобразователя используется опорное линейное напряжение, то напряжение на выходе преобразователя для непрерывного тока определяется из уравнения [8]:

Б, = Б</0С(08 ( иу / иутах),

(40)

где Б, 0 - максимальное значение ЭДС на выходе преобразователя, определяемое его схемой и входным напряжением, иу - управляющее напряжение на входе преобразователя, и^тах- максимальное значение линейного (пилообразного) опорного напряжения. Коэффициент передачи тиристорного преобразователя является нелинейной зависимостью от иу и определяется выражением

к ==Б, кп

и

У

?,0 со ^ ( и У / и У т-лх)

и,, .

(41)

Активное сопротивление якорной цепи изменяется в зависимости от температуры. Упрощенно принята зависимость этого сопротивления от модуля тока двигателя Е = Е( г).

Зависимость магнитного потока от тока Ф(г) задается кривой намагничивания. Для рассматриваемого двигателя кривая намагничивания, в относительных единицах, задана таблицей 3 [9].

Таблица 3

г, (о.е.) 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Ф, (о.е.) 0,65 0,8 0,91 1 1,08

Рассмотрим рабочий механизм, для которого момент инерции зависит от частоты вращения ] = Дю) и описывается следующим выражением:

/ =

]2, если ю > Ю2, кую, если Ю1 <ю <Ю2, ] 1, если ю < <»1.

(42)

На первом этапе для упрощения модели привода примем постоянную времени преобразователя и момент нагрузки привода мс равными нулю. Такое упрощение позволяет исследовать возможности получения модели нелинейного объекта в виде СРНС. Значения параметров в выражениях (39)-(42) принимались следующими: Ь = 0,334 Гн, Еном = 0,476 Ом, сФном = 0,67 Вс, /ном = 0,144 кг-м2, ку = 0,0125 с (кг-м2)-1, Б,0 = 300 В,

и

утах

10 В.

СРНС, формирующие модели привода, имели три рекуррентных нейрона (д = 3) и один входной сигнал (к = 1). Модель привода выполнялась на СРНС третьей (т = 2, г = 2), шестой (т = 5, г = 5), и десятой (т = 9, г = 9), степеней. Число искомых весовых коэффициентов для таких СРНС, согласно формуле (27), составляет 36, 72 и 120 соответственно. Для обеспечения устойчивости степенных РНС по экспериментальным данным установлена необходимость обеспечения значений входных и выходных сигналов в интервале от -1 до 1. Для этого определяются максимальные значения входных и выходных сигналов объекта на расчетном интервале времени, которые в дальнейшем используются как нормировочные коэффициенты. Сеть рассчитывается и работает на нормированных данных. Модель объекта представляется рассчитанной СРНС с входными и выходными нормировочными коэффициентами. Результаты расчета весовых коэффициентов СРНС третьей степени приведены в таблице 4.

Таблица 4

Значения весовых коэффициентов СРНС

степень ш'2п

1 0.23273 0.002091 0.002982

2 -0.50198 -0.00323 -0.00695

3 0.27659 0.001152 0.004114

ш°2с ш2с

1 0.99105 0.008089 -0.00013

2 -0.00231 6.82Е-05 0.000198

3 -0.00157 -1.32Е-05 -1.44Е-05

1 -0.04763 0.99844 -0.00029

2 0.010515 0.000792 0.001772

3 -0.00866 4.51Е-05 -0.00029

1 0.039461 -0.00012 0.99917

2 -0.12566 -0.00072 0.000573

3 0.069677 0.000464 -0.00014

Результаты моделирования СРНС и абсолютные ошибки полученных моделей приведены на рис. 3-6.

На рисунке 3 отображены графики скорости, тока двигателя и ЭДС преобразователя на интервале 0-2 с. На рис. 4-6 отображены ошибки СРНС по отношению к объекту в интервале расчетных данных (0-2 с) со степенями переменных СРНС 3, 6 и 10 соответственно.

Относительные ошибки моделей для СРНС различных степеней приведены в таблице 5. Управляющим воздействием на преобразователь иу являлось пилообразное напряжение с амплитудой 2п В и периодом

0,2 секунды. Такое задающее напряжение объединяет плавно нарастающее изменение сигнала и скачкообразное. Расчет СРНС выполнялся на всем наборе данных.

СРНС, согласно таблице 5, позволяют получить достаточно точную модель тиристорного привода постоянного тока последовательного возбуждения при непрерывном токе якоря с различными нелинейностя-ми, которая может быть использована для поиска оптимальных параметров регуляторов в системах управления этими объектами.

Таблица 5

Степень СРНС Максим. относит. ошибка Бй , % Максим. относит. ошибка г , % Максим. относит. ошибка Ю, %

3 24 13 5,3

6 5,6 2,2 0,90

10 0,00022 0,16 0,54

(в) ' " -Ч с

Рисунок 3 - Переходные процессы в нелинейном объекте

Рисунок 4 - Графики ошибок СРНС с т = 2 и г = 2

Рисунок 5 - Графики ошибок СРНС с т = 5 и г = 5

Рисунок 6 - Графики ошибок СРНС с т = 9 и г = 9

ВЫВОДЫ

1. Приведенные в табл. 2 результаты подтверждают правильность предложенной методики расчета значений весовых коэффициентов CРНC, представляющих модели нелинейного объекта со степенными зависимостями матриц объекта. Относительная ошибка моделей не превышала Q,66 %.

2. При получении моделей на CРНC сложного объекта с произвольными нелинейностями (на примере тиристорного привода с двигателем постоянного тока последовательного возбуждения) установлено, что CРНC на рассматриваемых интервалах времени позволяют получить достаточно точную модель произвольного нелинейного объекта.

Авторы выражают благодарность профессору Запорожского национального технического университета Потапенко Е. М. за ценные рекомендации, во многом способствующие появлению статьи, а также полезные замечания при ее подготовке.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Хайкин С. Нейронные сети: полный курс, 2-е издание: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2006. -1104 с.

2. Baruch I. S., Palacios I., Flores J. M., Garrido R. An adaptive neural control system of a DC motor drive // 15th Triennial World Congress of the International Federation of Automatic Control, Barcelona, Spain, 2002, Session Slot: T-Th-M04, Area Code: 3a.

3. Орловский И. А. Модель электропривода постоянного тока на рекуррентных нейронных сетях // Радюелек-трошка, ¡нформатика, управлшня. - 2006. - № 1. -С. 151-159.

4. Орловский И. А., Бут Ю. C. Поиск генетическими алгоритмами весовых коэффициентов в моделях тирис-торного электропривода на рекуррентных нейронных сетях // Искусственный интеллект. - 2006. - № 3. -С. 314-326.

5. P. Marino, M. Milano, F. Vasca. Linear Quadratic State Feedback and Robust Neural Network. Estimator for Field-Oriented-Controlled Induction Motors // IEEE Transactions on Industrial Electronics. - 1999. - Vol. 46, No. 1, February. - Pp. 150-161.

6. Палис Ф., Филаретов В. Ф., Цепковский Ю. А, Юхимец А. А. Синтез прогнозирующих систем с нейрофаззи сетями для управления нелинейными динамическими объектами с переменными параметрами. Електромашинобу-дування та електрообладнання. - Кив: Техшка. -2006. - Вип. 66. - С. 357-360.

7. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. - 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 522 с.

8. Перельмутер В. М., Сидоренко В. А. Системы управления тиристорными электроприводами постоянного тока. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 304 с.

9. Булгар В. В. Теор1я електроприводу: зб1рник задач / ОНПУ. - Одеса: Пол1граф, 2006. - 408 с.

Надшшла 19.01.07

Для отримання моделей нелтшних oô'eKmie запропо-noeani степет рекурентт нейронт Mepeœi (СРНМ). Розроблена методика розрахунку таких мереж. Проееде-на nepeeipкa здiбнoсmeй СРНМ eiдoбpaжamи мoдeлi не-лтшних електротехтчних oб'eкmie.

Degree recurrent neural networks (DRNN) for reception of nonlinear objects models are offered. Methodic of calculation of these networks are received. Checks of ability DRNN are executed to reflect models of nonlinear electro technical objects.

УДК в81.514.в+в81.513.в

А. А. Худяев

ВЛИЯНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ТОЧНОСТЬ ИТЕРАЦИОННОЙ ДВУХКАНАЛЬНОЙ ВОСПРОИЗВОДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ

ВОЗМУЩЕНИЯХ

Рассмотрено влияние неслучайной составляющей полезного сигнала на точность итерационной двухканаль-ной воспроизводящей системы с эталонной настройкой каналов управления при случайных возмущениях. Графически определен закон самонастройки полосы пропускания второго, компенсирующего, канала на максимально возможную точность работы системы при изменении характеристик входных возмущающих воздействий.

© Худяев А. А., 2QQ7

ВВЕДЕНИЕ

Повышение динамической точности воспроизводящих САУ с типовой настройкой контуров управления, работающих при случайных и неслучайных возмущениях, является одной из центральных задач разработки современных унифицированных автоматизированных электромеханических систем. Значительный эффект при этом может быть достигнут за счет введения