Разработка многоразрядных датчиков стандартных случайных чисел для моделирования фрактальных очередей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004 7(075)

В Н. Задорожный, V.N. Zadoroihnyi., [email protected] К.В. Снуриц ын,, K.V. Smit ?> куп, ksmimicyri@mml. ru Омский государственный технический университет, г. Омск:. Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia

РАЗРАБОТКА МНОГОРАЗРЯДНЫХ ДАТЧИКОВ СТАНДАРТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ОЧЕРЕДЕЙ

DEVELOPMENT OF MULTI-BIT GENERATORS OF STANDARD RANDOM NUMBER FOR FRACTAL QUEUE

Предлагаются многоразрядные датчжи стандартных случайных чисел для решения проблемы реализации распределении с тяжелыми хвостами.

Offered multi-bit random number of standard sensors to solve the implementation problems with heavy tails.

Ключевые слова: распределения с тяжелыми хвостами, датчики случайных чисел, фрактальная очередь.

Keywords: heavy-tailed distribution, random number generators, fractal queue.

165

Введение

Фрактальная природа трафика в сетях с коммутацией пакетов сообщений [1] требует создания новых методов анализа и проектирования сетей связи. Фрактальный график описывается новыми формализмами - «самоподобнымн» случайными процессами, долговременными зависимостями и распределениями с тяжелыми хвостами (РТХ) Особое внимание уделяется анализу очереден сообщений, поскольку при фрактальном трафике затраты на их буферизацию резко возрастают. В качестве одного из базовых формализмов при расчете и моделировании очередей используются фрактальные системы массового обслуживания (ФСМО) [2], определяемые следующими положениями [3]. На вход ФСМО поступает рекуррентный поток заявок. Интервалы тих поступления описываются функцией распределения (ф р ) A(t) Время Xj обслуживания описывается ф.р. ffîf) Хотя бы одна из ф.р. A(t). B(t) имеет бесконечную дисперсию и асимптотически степенной хвост (т.е. задает фрактальную случайную величину (с.в.) [4]). Для хранения поступающих заявок имеется буфер размером ?н<оо. 'Заявка, поступившая. когда все каналы и все места в буфере заняты, теряется (получает отказ).

1. Задачи исследования фрактальных очередей

Одной из основных задач исследования ФСМО является определение вероятности Р отказа при заданном размере буфера m (прямая постановка задачи) или определение наименьшего m, обеспечивающего заданную малую вероятность Р отказа (обратная постановка). При m = оо интерес представляет определение стационарной средней длины очереди L.

Типичные представители ФСМО - это системы М|Ра|я;н; Ра|М|я|т и Pa|Pa|n m (в обозначениях Кендалла), где Ра - распределение Парето (РП), имеющее ф.р.:

F(0 = l-t£70", t>K> ii> 0, а > 0; (1)

далее обозначаемую в виде РаСК; а). Конечное математическое ожидание (м.о.) аК/(а - 1) РП имеет при а > 1, бесконечную дисперсию - при а < 2. Наиболее актуальными моделями являются такие ФСМО. у которых ф.р. A(t) и/шш B(t) есть РП с параметром 1 < а < 2. Чем меньше а, тем «тяжелее» хвост РП. Изменяя при фиксированном а масштабный параметр К, можно получать любое требуемое м.о.

2. Проблема корректной реализации FTX

Основным методом исследования ФСМО является имитационное моделирование (ИМ). Одной из первоочередных проблем моделирования ФСМО является проблема корректной реализации РТХ (в частности. РП) в ИМ.

Формула для генерации с.в. х е Ра(£; и), получаемая обращением ф.р. (1)3 имеет вид

■г = А'(1 - z) 1 " или х - Kl 1 а, где г - базовая с.в. (БСВ), равномерно распределенная в промежутке от 0 до 1 (часто называемая стандартным случайным числом). Программные датчики БСВ реализуют ее дискретную версию z с множеством равновероятных значений {О, Sj 2s, 1-е, 1} (возможно, без нуля и/ипи единицы), образующим решетку7 с шагом е. В GPSS датчик Umformt 1,0.1) реализует дискретную с.в. (д.с.в.) zc шагом s = 10" . В других программах шаг s составляет около 10~15. При реализации PIX шаг 10-li (и, тем более, Ю-6) часто оказывается слишком большим и приводит к значительным отличиям свойств реализуемой д.с.в. х = Kz-1 "от свойств непрерывной с.в. (н.с.в.) х е Ра (JT; а). Поэтому при ИМ ФСМО имеет смысл говорить о реализации дискретного РП Pa(JC: а; в). В табл. 1 характеристики д.с.в. х сравниваются при различных е с соответствующими характеристика™ н.с.в. х. приведенными в колонках «s —> 0» [3]. Из таблицы видно, что чем тяжелее хвост РП. тем сильнее отличается м.о. реализуемой д.с.в. Л" е Ра(1, а: е) от м.о. н.с.в. х е Ра(К, а). Аналогичные особенности имеют место и при реализации в ИМ других РТХ.

В разных задачах отличие дискретного РП от непрерывного проявляется по-разному. Например; в ФСМО М|Ра|1ос при х е Ра(ЛГ; а), 1 <а<2 стационарная средняя длина L(р)

очереди заявок бесконечна при любом коэффициенте загрузки р > 0:

А,2х<2> _р2(1 + С2)

т=

2(1-р) 2(1-р)

— со

(2) 2 т.к. второй момент х ' времени х и, соответственно, его коэффициент вариации Сх бесконечны. Если эту ФСМО исследовать методом ИМ, то - поскольку вместо н е.в. х е Ра(ЛГ; а) реализуется д.с.в. х - например, при с = ИГ13 , а = 2 получится приближение к иному результату:

г/ , р2(1-с|) р2(1 + 2.792) 439р2

£(р)=—---, 0<О<1 (3)

2(1-р) 2(1 - р) 1-р

(см. табл. 1), принципиально отличающемуся от истинного Цр) = оо; 0 < р < 1

Таблица 1

Сравнение числовых характеристик д.с.в. X е Ра(1; а: е) и н.с.е. х е Ра(1: и)

М атемагпческве ожндашш д.с.в. г Коэффициенты влрплшш

1С* ю-" Ж15 е -> 0 1<Г* ю-" 10~lf £ —> 0

1,01 13.415 24,612 29.662 101 2652 3.9-10"1 9.8 10- X

1Д 8.0297 10,154 10,549 11 48.3 1,1Т®4 18 10" X

1,5 2,9755 2,999$ 3,0000 3 6,27 63,2 200,0 X

is 2,1089 2,1111 2,1111 2,1111 1,96 3,68 4,07 X

2 1.9985 1.9999985 2 2 1,61 2,40 2,79 X

3. Разработка многоразрядного датчика БСВ

Из табл. 1 видно, что для реализации РП с приемлемой точностью требуется использовать датчик БСВ с большим числом разрядов, причем в общем случае это число разрядов желательно 'задавать перед выполнением ИМ в зависимости от «тяжести» хвоста фрактальной ф.р. Такой многоразрядный датчик разрабатывается нами на основе датчика «вихрь Мерсенна». Разрабатывается также соответствующая «длинная» арифметика.

Реализованный в настоящее время датчик позволяет генерировать значения БСВ с точностью от 25 до 100 десятичных разрядов. В настоящее время датчик подвергается интенсивному тестированию. В обычных процедурах тестирования длины периода, равномерности распределения и независимости генерируемых чисел необходимости не возникает, поскольку лежащий в основе датчик «Вихрь Мерсенна» уже прошел глубокое тестирование этих свойств. В табл. 2 приведены результаты специальных испытаний датчика на долговременную независимость. Соответствующий тест разработан в [5] и, например, генераторы стандартных случайных чисел языка GPSS его не прошли: у них долговременная зависимость начинает проявляться сразу после немногим более 100 млн. обращений к датчикам. Ресурс случайности, обеспечивающий 100 млн. качественных случайных чисел, исчерпывается на современных персональных компьютерах средней мощности за пару минут. Тест состоит в проверке того, насколько в модели СМО М|М|1 (при М(т) = 1, М(х) = 0.9) с ростом длины прогона отклоняется оценка w среднего времени ожидания от точного значения 8,1. В табл. 2 все отклонения находятся в пределах допустимого.

В настоящее время этот тест продляется до миллиардов проходящих через СМО заявок. Разработанный датчик (вернее, преобразование выдаваемых им чисел в многоразрядную экспоненциальную или паретовскую с.в.) пока «работает» медленно и тестирование на миллиардах обращений к нему занимает много времени.

1Ö7

Таблица 2

Результаты моделирования: системы М/МЛ с использованием разработанного датчика

Показатель Длина прогона [среднее число заявок)

50 тыс. 200 тыс. 1 млн. 10 млн. 100 млн.

Оценка среднего времени ожидания 6,888 8,747 3,064 8,0522 8,092

Фактическая погрешность оценки 1,212 0,647 0,036_[ 0,047S 1 OjOU

Допустимая погрешность («три сигмы») 1,8 0,3 0,404 0,127 0,040

Выполняются проверки точности реализации хвостов распределений с.в., в том числе -путем ИМ ФСМО, для которых известны соответствующие точные решения. Например, в табл. 3 приводятся результаты ИМ системы Ра|М|1 (при т с Ра(1; 1,1), M(.v) = 5,5), полученные на GPSS и - дтя сравнения - с использованием разработанного датчика. Точное значение коэффициента загрузки ФСМО равно ОД средней длины очереди - 69,1 [3].

Таблица 5

Результаты моделирования системы Ра/МЛ с использованием разработанного датчика

Показатель Длина прогона [среднее число заявок)

50 тыс. 200 тыс. 500 тыс. 1 млн. 10 млн.

Оценка средней длины очереди 59.99 125.63 S 5.77 68,01 61,53

То же на GPSS 81,89 <55,60 54,67 80,57 95,11

Оценка коэффициента загрузки 0,677 0,671 0,525 0,563 0,455

То же на GPSS 0,768 0,562 0,633 0,630 0,681

*Рабата выполнена при поддержке грантов РФФИ 12-07-00149, РФФИ 14-01-31551

мол-а.

Библиографический список

1. Stallings. William. Интернет и телекоммуникации [Электронный ресурс] ! W. Stallmgs. - Режим доступа : littp : //'ту. online, iu/it/pness/cwm/19 97/worid Jitm (Дата обращения: 13.03.2010).

2. Задорожный. В. H. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Омский наличный вестник. - 2010. - № 2 (90). - С. 182-187.

3. Задорожный, В. Н. Проблемы и техника моделирования фрактальных очередей /

B. Н. Задорожный, О. И. Кутузов И Имитационное моделирование. Теория и практика (ИМ-МОД-2013) : материалы 6 -й Всерос. конф. - М. : Академия наук РТ. - 2013. - Т. 1. -

C. 143-148.

4. Мандельброг, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - М. : Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

5. Задорожный, В. Н. К дискуссии о качестве датчиков случайных чисел / В. Н. Задорожный Н Имитационное моделирование. Теория и практика (ИММОД-2009) : материалы 3-й Всерос. конф. - СПб., 2009. - Т. 1. - С. 128-134.

16S