CC BY
39
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА О РЕАЛИЗАЦИИ ИТ-СТРАТЕГИИ
УДК 339.13
Елена Владимировна Бегутова,
аспирантка кафедры Управления знаниями и Прикладной информатики в менеджменте, Московский Государственный Университет Экономики Статистики и Информатики, Тел.: 8916-739-59-38, Эл. почта: beautovaelena@mail.ru
При проектировании системы нечеткого логического вывода возникает необходимость выбора функции принадлежности для входных и выходных показателей. Предлагается не выбирать функции, которые предложены в теории нечетких множеств, а разработать свою функцию принадлежности с адаптивным видом и параметрами, которая более точно интерпретирует значения показателей системы нечеткого логического вывода. Рассматривается методика выбора и построения трапециевидной функции принадлежности и подбирается регулярная и сингулярная аппроксимирующие функции.
Ключевые слова: функция принадлежности, система нечеткого логического вывода, сингулярная аппроксимирующая функция, регулярная аппроксимирующая функция, теория нечетких множеств.
Elena V. Begutova,
Post-graduate student, the Department
of Knowledge Management and Applied
Informatics in Management,
Moscow state university of economics,
statistics and informatics (MESI),
Tel.: 8916-739-59-38,
E-mail: begutovaelena@mail.ru
DEVELOPMENT OF THE METHODS OF PRODUCING MEMBERSHIP FUNCTION FOR FUZZY INFERENCE SYSTEM OF IMPLEMENTATION OF IT-STRATEGIES
To design fuzzy inference system it is necessary to choose the membership functions of the input and output indicators. It is not proposed to select the features that are offered in the theory of fuzzy sets, but develop own membership function with adaptive parameters and view that more accurately interpret the values of fuzzy inference system. The technique of choice and build a trapezoidal membership function is considered. The regular and singular approximation functions are selected.
Keywords: membership function, fuzzy inference system, singular approximation function, regular approximation function, fuzzy sets theory.
1. Введение
При построении системы нечеткого логического вывода одной из важных задач является правильный выбор функции принадлежности для интерпретации входного показателя как нечеткого значения. Существует набор функций принадлежности, которые можно использовать, однако эти функции могут не точно интерпретировать принадлежность значение показателя к тому или иному терм-множеству. В связи с этим предлагается построить свою функцию принадлежности для показателей.
2. Методика построения функции принадлежности
На начальном этапе построения системы нечеткого логического вывода необходимо определить:
1 Границы для построения функции принадлежности.
2 Вид функции принадлежности.
3 Количество термов.
Итак, предлагается для входящих показателей системы нечеткого логического вывода в качестве функции принадлежности взять трапециевидную функцию принадлежности и разработать свою форму данной функции.
Параметры границ построения функции принадлежности d1,d2,d3,d4,d5,d 6474849410411412 интерпретируются следующим образом: 4144] 4346] 4548] 47410] 49412] - носитель нечеткого множества - пессимистическая оценка значений переменной, 4243] 4445] 4647] 4849] 410411]- ядро нечеткого множества - оптимистическая оценка значений переменной.
Аналитическая запись трапециевидной функции имеет вид:
о, х < d
х - d1
d 2 - d1
1, d 2 < х < d3 dл — х
, d1 < х < d 2
d 4 — d 3
1, d4 < х < d5 dc — х
, d3 < х < d4
d 6 — d5
, d5 < х < d6
ßx(х,d1,d2d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,d12) = < 1,d6 < х < d7
d8 — х i i -, d 7 < х < d 8
d 8 — dy
1, d8 < х < d9
d10 — х j j , d 9 < х < d10
d10 d 9
1, d10 < х < d11 х — dЛ
d12 — d11 0, х > dn
, d11 < х < d12
(1)
Рассмотрим пример на одном из показателей системы нечеткого логического вывода о реализации ИТ-стратегии «Расходы на ИТ», для данного показателя рассмотрим лингвистическую переменную с пятью терм-множествами: «Очень низкий», «Низкий», «Средний», «Высокий», «Очень высокий».
Для получения информации о границах перехода терм-множеств сформируем экспертную группу общей численностью п=12 человек.
Перед экспертами ставится задача указать возможную границу изменения рассматриваемого показателя (Расходы на ИТ) для каждого терм-множества. В
соответствии с этим, мнение каждого к - ого эксперта при оценке показателя «Расходы на ИТ» представляется в виде нечеткого трапециевидного числа:
Ц; d^]0 <М[-1>А](х) <1 ~ х) =1
[dз; 6](х) <1
К; ^]%4/5](х) =1
[d5; <%5А]( х) <1
К; ^]%6/7](х)=1
[d7; ^о]° <^ д0]( х) <1
№; х)=1
Ц; dl2]0 д2]( х) <1
Но; ^Нм^х)=1 Результаты опроса экспертов приведены в таблице 1. Согласованность мнений экспертов можно определить с помощью коэффициента вариабельности:
Ak (d1, d2 d, d5, d6, dy, dg, dg, djQ, d^, d^)_
Z xk- Z
k
'v k =1 ;*(n -1)
n
k=1
(3)
Мнения экспертов считаются согласованными, если v меньше 0,2, в противном случае, для получения согласованных оценок, необходимо провести новый тур экспертного опроса. В нашем случае значение коэффициента вариабельности составило 0,0018, что свидетельствует о достаточно высокой согласованности мнений экспертов.[1]
Следует отметить, что трапециевидная функция принадлежности строится в предположении о равномерном распределении мнений экспертов и в условиях дефицита экспертных суждений. В остальных случаях целесообразно строить нелинейную функцию принадлежности и на ее основе уточнять результаты оценки. В связи с этим, будем рассматривать две задачи:
1) уточнение границ для построения функции принад-
d9 d10 d11 d12 '
(2)
лежности d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8
2) построение нелинейных функций принадлежности на этих границах.
Рассмотрим следующий подход к определению границ изменения уровней показателей и построения функции принадлежности.
Формируется экспертная группа общей численностью n человек, перед которыми ставится задача указать возможную границу изменения значения анализируемого параметра x в каждом уровне. Предполагается согласованность экспертной группы. Тогда, например, для построения левого ребра функции принадлежности 2] (x):
1) по результатам высказываний экспертов на промежутке [ xmin; xmax ] строим интервальный ряд частот kt,относительных частот pt, плотности относительных частот f и «гистограмму»;
2) в каком-либо классе подбираем и методом наименьших квадратов оцениваем функцию <р( x,a1,a2,...an), сглаживающую «гистограмму»:
ч2 min (4)
Z(f* -V(x*,a1,a2,-an))2
где а1,а1,...ап - параметры оцениваемой функции, х* - представитель разряда.
3) Из уравнения, характеризующего практическую достоверность высказываний экспертов
m+Д
J*
m -А
x,a1,a2,...,an )dx = у,
(5)
где у - число, близкое к единице, а т - средневзвешенное высказывание экспертов, находим А .
4) Строим левое ребро функции принадлежности, полагая й, = т-А
d2 = m + А
>"[d1,d 2]
Л
(x) = jV(
x,ä1,ä2,...,ä n )dt
(6)
Проводя аналогичные рассуждения относительно границ изменения следующего уровня показателя находим й3, й4 и строим правостороннее ребро функции принадлеж-
ности
M[d 3,d 4] ( x)
^4
^[(d23,d4](x) = jV(x,A,A,...,Ä )dt (7)
Таблица 1. Результаты опроса экспертов лингвистической переменной «Расходы на ИТ, тыс. руб.»
2
*
n
k
k=1
V
k
Номер эксперта Границы уровней лингвистической переменной «Расходы на ИТ, руб.»
Очень низкий Низкий Средний Высокий Очень высокий
а b b с с d d e e f
1 2 3 4 5 6 7 6 7 6 7
1 489512 543770 543770 593514 593514 656125 656125 809036 809036 939071
2 350000 562721 562721 601289 601289 655981 655981 789625 789625 1100000
3 501268 580917 580917 589216 589216 670879 670879 809036 809036 1200000
4 502785 539076 539076 580917 580917 604827 604827 789625 789625 939071
5 489512 562721 562721 589216 589216 656125 656125 912643 912643 1200000
6 501268 580917 580917 589216 589216 670879 670879 809036 809036 1200000
7 502785 539076 539076 580917 580917 604827 604827 789625 789625 939071
8 350000 562721 562721 601289 601289 655981 655981 789625 789625 1100000
9 516622 589216 589216 624783 624783 695406 695406 789625 789625 939071
10 502785 539076 539076 580917 580917 604827 604827 789625 789625 939071
11 489512 562721 562721 589216 589216 656125 656125 912643 912643 1200000
12 501268 580917 580917 589216 589216 670879 670879 809036 809036 1200000
Поскольку возможна ситуация, когда уравнение не имеет решение при у близких к 1. В связи с этим предлагается уточнить процедуру оценивания функции (р1 на втором этапе как решение задачи на условный экстремум:
п
X(^ х*,а1,а2,..-ап))2->тш
¿=1
^^>(х,а1,а2,...,ап )Сх = 1
(8)
(9)
определению.
Решая задачу находим неизвестные параметры функций. Задавшись уровнем надежности у= 0,95, находим Д :
в+А
|Б2 ■ | х-¡3\р сх = у
(12)
р-А
в случае сингулярной аппроксимирующей функции и
Значение функции принадлежности в точке показывает степень принадлежности этой точки нечеткому множеству. Таким образом, в случае неполноты исходной информации или нечеткости ее представления можно воспользоваться предложенной методикой для построения функций принадлежности, позволяющей на ее основе распознать значения показателей системы нечеткого логического вывода.[2] 3. Разработка функции принадлежности Применим описанный подход для разработки функции принадлежности показателя «Расходы на ИТ, тыс. руб.». Для этого определим границы построения функции принадлежности. Рассмотрим оценку экспертов распределения диапазонов значений показателя в таблице 1.
В нашем случае диапазонами границ будут являться интервалы:
- [516622; 539076] для очень низкого уровня;
- [589216; 580917] для низкого уровня;
- [624783; 604827] для среднего уровня;
- [695406; 789625] для высокого уровня;
- [912643; 939071] для очень высокого уровня. Аналогично трапецеидальной функции принадлежности
на этих интервалах функция принадлежности будет принимать значение, равное 1. Оставшиеся интервалы формируют зону неуверенности эксперта в принятой классификации уровней показателей. Осуществим интервальное разбиение этих областей на отрезки и построим «гистограммы» для границ перехода уровней «очень низкий-низкий», «низкий-средний», «средний-высокий» и «высокий- очень высокий».
На основании вида «гистограмм» для аппроксимации плотности относительных частот мнений экспертов выберем:
а) сингулярную
р(х,В,р) = В2*| х-/\р (10)
где Ь, /, р- неизвестные коэффициенты, подлежащие определению, -1 < р < 0
б) или регулярную аппроксимирующую функцию
р( х, Л, а, р) = Л2* еа х-р)2 (11)
где Л, а, р - неизвестные коэффициенты, подлежащие
/3+А
Р
Р-А
2 е-аг(х-р)2
СХ = у
(13)
в случае регулярной аппроксимирующей функции. Интервал [р - Д; р + Д] является границей перехода фактора из одного состояния в другое. Подобные расчеты необходимо провести для границ перехода уровней показателя «очень низкий-низкий», «низкий-средний», «средний-высокий», «высокий-очень высокий». Результаты расчетов в случае сингулярной аппроксимирующей функции представлены в таблице 2.
Функция принадлежности показателя «Расходы на ИТ, тысяч руб.» для очень низкого, низкого, среднего, высокого и очень высокого уровня имеет следующий вид (14-18): 1, х е (0;53,224)
| 0,5692 ■ | и - 55.6541-0,901 Си,х е [53,224;58,922] (14)
Мх) =
0, х е (59,922;ю) 0,х е (0;53,224)
| 0,5692 ■¡и - 55.6 5 41-0,901 Си, х е [53,224;58,922]
53,224
1,х е (58,922;58,146)
62,306
(15)
1 »■
0,5692■ | и - 55.6541
Си, х е [58,146;62,306]
Мз(х)=
0, х е (62,306; ю) 0,х е (0;58,146)
| 0,6242 ■ | и - 60,7261-1 Си, х е [58,146;62,306]
58,146
1,х е (62,306;68,589)
68,589
2
(16)
| 0,3992 ■ | и - 64,489 I-0,408 Си,х е [62,306;68,589]
х
0,х е (68,589;ю)
Таблица 2. Результаты расчетов параметров функций принадлежности и границ перехода уровня показателя в
случае сингулярной аппроксимирующей функции
Границы перехода уровней показателя Оценки параметров Границы перехода уровней
В Р Р Д х . Ш1П х тах р-Д р + Д
1 2 3 4 5 6 7 8 9
«очень низкий-низкий» 0,569 55,654 0,901 2,43 53,908 58,922 53,224 58,084
«низкий-средний» 0,624 60,726 1 2,58 58,092 62,478 58,146 62,306
«средний-высокий» 0,399 64,489 0,408 4,1 60,483 69,541 60,389 68,589
«высокий-очень высокий» 0,398 79,355 0,723 2,3 78,963 91,264 79,055 81,655
x)=
0,x е (0;62,306)
x
J 0,3992 ■ | u - 64,489 | -0'408 du, x е [62,306;68,589]
2 I с л л on 1-0,408
0,399
62,306
1, x е (68,589;79,055)
(17)
81,655
М5( X)--
0,3982 ■I u - 79,355 | -0,723 du, x е [79,055;81,655]
0,x е (81,655;œ) 0, x е (0;79,055)
x
J 0,3982■ | u -79,355 |-0,723 du,x е [79,055;81,655] (18)
79,055
1, х е (81,655; ю)
Средняя ошибка аппроксимаций уровней переходов оказалась наибольшей в случае регулярной аппроксимирующей функции, в связи с этим в дальнейшем рекомендуется принятие решений с использованием сингулярной аппроксимирующей функции.[3]
4. Заключение
Итак, для показателя «Расходы на ИТ» была построена регулярная аппроксимирующая функция принадлежности. По такому же алгоритму строятся функции принадлежности
для остальных показателей, для каждого показателя функция будет иметь свои адаптивные параметры. Таким образом применяя предложенную методику можно построить функцию принадлежности с адаптивными параметрами, которая позволит получить точный результат интерпретации значения показателей, который влияет на точность результирующего интегрального показателя, выдаваемый системой нечеткого логического вывода.
Литература
1. Ярушкина Н .Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. - М.: Финансы и статистика, 2004.
2. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л.
Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие
системы.М.: Горячая линия -Телеком, 2006.
3. Круглов В.В., Усков А.А. Два подхода к самоорганизации базы правил системы логического вывода // Информационные технологии.- 2006.- №2.- с. 14-18
References
1. Yarushkina N.G. Basic theory of fuzzy and hybrid systems- M.: Finance and Statistics, 2004
2.Rutkovskaya D., Pilinsky M., Rutkowski L. Neural networks, genetic algorithms and fuzzy sistems.M.: Telecom, 2006.
3. Kruglov VV, Uskov AA Two approaches to self-rule base inference systems // Information Technology. - 2006.- №2.- p. 14-18
