CC BY
40
© Г.Г. Каркашадзе, С.М. Никитин, Д.С. Буянова, 2014
УЛК 622.02, 539.421
Г.Г. Каркашадзе, С.М. Никитин, Д.С. Буянова
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ УДЕЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИИ РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ*
С использованием в качестве основания поверочных экспериментальных данных и с учетом физических ограничений теории трещинной механики разрушения приводится обоснование разработки обобщенной методики экспериментального определения трещиностойкости и удельной поверхностной энергии разрушения твердых тел с композиционной структурой, применимой также и для горных пород и руд. В качестве основной особенности рассматриваются возможности управления ростом трещины с использованием специальных механизмов бокового сжатия образцов в окрестности концов прорастающей трещины. Возможность реализации методики показывается на основе предложенных испытательных устройств. Ключевые слова: трещина, разрушение, удельная энергия, моделирование.
¥ Целесообразность использова-
Ж.Д ния оценок параметров трещиностойкости горных пород и руд при совершенствовании технологий освоения месторождений полезных ископаемых привела к необходимости пересмотра методики определения удельной поверхностной энергии твердых тел с гетерогенной поликомпозитной структурой.
Уже в самом начале, на этапе становления линейной механики разрушения, начиная с работ A.A. Гриффитса, опиравшегося на аналогию поверхности разрушения в стекле поверхности жидких субстанций, было обращено внимание на противоречие, возникающее в связи с определением понятия удельной поверхностной энергии разрушения твердых тел применительно к гетерогенным неоднородным материалам. И в первую очередь, ранние корректировки теории разрушения коснулись пластичных сред.
При попытках экспериментального исследования сложноструктурных
твердых тел также оказалось, что в отличие от стекла, разрушение которого контролируется ростом магистральных трещин по геодезическим направлениям и определяется геометрической формой изделий или образцов, разрушение как естественных, так и искусственных композитов происходит в условиях эволюции дефектной структуры, уже заложенной в процессах формирования и развития геологических тел или изготовления материала. Изменение представлений предъявило новые требования и экспериментальным методам.
Основными из них являются обеспечение возможности использования взаимосвязи результатов технологии компьютерного моделирования методом конечных элементов физических процессов разрушения на базе фундаментальных уравнений математической физики и использование достоверных экспериментальных характеристик объекта, т.е. процесса разрушения и распространения трещин.
* Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ, проект 10-08-00331.
Предварительный анализ показывает, что известные методы определения характеристик трешиностойко-сти (вязкости разрушения) и удельной поверхностной энергии разрушения твердых тел в условиях статического нагружения предусматривают использование образцов с начальным разрезом, играюшим роль концентратора напряжений в устье стартуюшей тре-шины. Испытуемый образец представляет призму квадратного поперечного сечения для испытания на изгиб силой Р, приложенной в середине пролета. Такая методика реализована по ГОСТ 29167-91 «Методы определения характеристик трешиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении». Силовые и энергетические характеристики трешиностойко-сти, включая критический коэффициент интенсивности напряжений (Кс, МПахм0,5), энергетические - в терминах удельных энергозатрат (в, Дж/м2) и джей-интеграла (У, Дж/м2), определяют расчетным путем по принятым зависимостям. В расчетные зависимости входят нагрузка, действуюшая на образец в процессе испытания (Н), перемешения образца (м), перемеше-ния в области упругих деформаций образца (м), перемешения, соответ-ствуюшие необратимым деформациям образца (м), перемешения, соот-ветствуюшие локальным деформациям образца в зоне магистральной трешины (м). В расчетах учитывают геометрические параметры: размеры образцов (м), длину начального надреза (м), текушие значения длины магистральной трешины при поэтапном равновесном нагружении (м). Ёиней-ные размеры образцов измеряют с погрешностью не выше 1 мм, их пе-ремешения - 0,01 мм, а усилия, дей-ствуюшие на образец, - не более 1% измеряемого максимального усилия. В зависимостях, связываюших силовые и энергетические характеристи-
ки, входят модуль упругости (МПа), модуль полной деформации (МПа), прочность на осевое растяжение (МПа), прочность на растяжение при изгибе (МПа) и другие.
Для определения характеристик трешиностойкости образцов используют специальные испытательные машины со следяшей системой и бы-стродействуюшей обратной связью, или испытательные машины, облада-юшие высокой жесткостью, не менее чем в два раза превышаюшей начальную жесткость образца. Скорость на-гружения образцов устанавливают по скорости перемешения нагружаю-шей плиты пресса в пределах 0,02 -0,2 мм/с, причем время испытаний должно составлять не менее 1 мин.
При выводе расчетных зависимостей используют теоретические решения задач сопротивления материалов и механики разрушения. Несмотря на мошный расчетный потенциал, известная методика имеет сушественный недостаток - в расчетные зависимости вязкости разрушения и удельной поверхностной энергии и входят множество физических и геометрических параметров, определению каждого из которых сопутствует своя погрешность измерений. Вторым не менее важным фактором, не поддаюшимся достоверному учету, является природная и технологическая вариация физических свойств образцов, особенно, таких свойств как модуль деформации, а также прочность при растяжении и изгибе. Таким образом, можно утверждать, что известная Методика принципиально не способна дать точные значения характеристик вязкости разрушения и удельных энергозатрат.
Большой практический интерес представляет и собственно смысловое определение удельной поверхностной энергии твердого тела. По сушеству все частицы в поверхност-
ном слое обладают большим запасом потенциальной энергии, чем внутренние частицы, и на поверхности твердого тела сосредоточивается избыток энергии по сравнению с энергией тех объемных частиц, которые образовали поверхностный слой. Этот избыток энергии поверхностного слоя, отнесенный к единице площади, называют удельной поверхностной энергией или просто поверхностной энергией. Известно, что удельная поверхностная энергия [1] может быть получена в экспериментах при достаточной жесткости испытательной машины, из анализа плошади полной диаграммы деформации на прямом и обратном ходе, включая нисходяшую ветвь. При этом известно, что расчетная и экспериментальная удельная поверхностная энергия различаются почти на порядок. Ряд исследователей связывают это явление с образованием дополнительных микро разрушений вблизи устья развиваюшейся трешины. Влияют также микропластические деформации, преврашение части энергии в тепловую, особенно при быстром неустойчивом движении. Поэтому величина эффективной энергии всегда выше истиной поверхностной энергии материала. Однако в технических задачах разрушения твердых тел или повышения их прочности исследователей больше интересует именно экспериментально определенная поверхностная энергия, поскольку именно она характеризует реальный процесс распространения трешины применительно к конкретному технологическому процессу. В идеальном случае необходимо иметь значения этой величины без погрешностей, которые сопровождают расчетные зависимости, и на базе простых лабораторных средств испытаний.
Анализ известных способов определения трешиностойкости, рекомендованных ГОСТ 25.506-85 для искус-
ственных наиболее близких горным породам материалов, типа бетонов, при равновесных и неравновесных механических испытаниях, включаю-шие испытания образцов с начальным надрезом и его выполненная проверка позволили усмотреть трудности в управлении скоростью роста треши-ны. Кроме того, для ряда горных пород, в силу их структурно-текстурных отличий, оказалось недопустимо ограничение по геометрии образца, требуюшее начальных надрезов шириной не более 2,0 мм и выбора размеров образца только в зависимости от размера зерна [3]. При определении силовых - в терминах коэффициентов интенсивности напряжений (К), энергетических - в терминах удельных энергозатрат (в) и джей-интегралов У), характеристик трешиностойкости Кс оказывается возможным определение только их предельных значений, что недостаточно для полного описания свойств композитных материалов и горных пород со сложной структурой.
Обшим недостатком всех этих методик является либо их узкая специализация по материалу, позволяюшему рассматривать его в виде однородной среды, либо невозможность проведения повторного и последуюшего на-гружения вследствие разрушения образцов на пределе прочности.
Комплекс сравнительных экспериментов на основе стандартов по определению трешиностойкости по ГОСТ 25.506-85 выполнялся с использованием сервогидравлической испытательной системы ¡пэ^оп 8801, по методике Пермского национального исследовательского политехнического университета [1], ¡пэ^оп 300ЭХ и отечественных машин с механическим и гидравлическим приводом (метрологические параметры в соответствии с ГОСТ 7855-84). Испытания проводились на образцах горных пород, изготовленных в форме компактов и
тических значений J-интеграла JC или J1C, которые определяются на основе зависимости «нагрузка-смешение» или «нагрузка-прогиб», выполняется анализ режимов роста трешины путем сравнения фрактуры разрушения в кончике трешины и в зоне долома [2]. Параметры роста трешин регистрируются с помошью электронного датчика COD фирмы Instron.
Выполненные предварительные эксперименты на компакте, изготовленном из мрамора, выявили методические сложности, связанные с трудностью прогнозирования направления роста и места заложения активной трешины, рис. 1.
После приложения нагрузки со скоростью растяжения 0,5 мм/мин разрушение началось в месте крепления образца, причем рост трешины сопровождался отрицательными деформациями, которые были связаны с влиянием перемешений захватов пресса, рис. 2.
При сравнительном определении удельной поверхностной энергии разрушения твердых тел с использованием высокоточного пресса Instron 300DX в условиях медленного нагружения призм в трехточечной установке было отмечено, что трешинное разрушение фиксируется скачкообразной формы аномалией на деформационной кри-
0.6 0.5
2 04 ^ о-з
та
I 0.1 0.0
-0.1
Рис. 2. Диаграмма разрушения компакта в захватах пресса [1]
Рис. 1. Компактный образец мрамора с датчиком перемещений и раскрытия трешины и форма его разрушения.
плоских прямоугольных призм разных размеров с краевой трещиной для испытаний на трехточечный изгиб.
В качестве объектов исследований были выбраны горные породы различных петрографических разностей, включавшие гранит, серпентинит, мрамор, известняк, доломит и травертин.
При испытаниях учитывалось, что известные в металлургии методики определения трещиностойкости металлов и сплавов предполагают использование компактных образцов с выточкой или надрезом и их испытание сначала в режиме циклического нагружения, для инициирования трещины предразрушения с регистрацией кинетической диаграммы усталостного разрушения (КДУР), а затем определение предельных значений при доламывании в режиме статического нагружения [1].
При этом, для определения критических коэффициентов интенсивности напряжений Кс, Кс, К^ и кри-
Рис. 3. Нагрузочно-деформационная характеристика мрамора в схеме трехточечного изгиба на прессе 1пв&оп ЗОООХ
вой, причем трещина начинает проявляться, как в низких, так и в высоких энергетических диапазонах, рис. 3.
Определение всех параметров разрушения, таких как трешиностойкость, удельная поверхностная энергия, податливость и т.п. применительно к испытаниям горных пород и композитов прямо указало на потребность учета ряда особенностей не свойственных однородным материалам и в частности на неправомерность использования пересчетов одного показателя через другой. Используемый в существующей практике такой подход вносит весомую погрешность в результаты из-за наличия в расчетных формулах дополнительных характеристик материала со своей вариацией значений.
Кроме того, выбор формы и размер неоднородных образцов здесь оказывается тесно связанным с проявлениями масштабных эффектов. В горных породах трудно создать искусственную трещину, а особенно идентифицировать ее проявление в напряженно-деформированном состоянии на фоне неустойчивости в свойствах структурно нарушенного
материала. Еще более неопред ел ен-ным становится вопрос оценки ее длины, требующий параллельных выводов относительно механизмов локализации реакции материала на внешнее воздействие. Возникает необходимость создания специальных средств, позволяющих контролировать скорость роста трещины и состояние материала в окрестности ее вершины и вновь образующейся поверхности берегов. Особые требования предъявляются к точности регистрации диаграмм напряженно-деформированного состояния, в свою очередь опирающейся на разработку специальных алгоритмов расчета параметров.
Все это привело к необходимости разработки удовлетворяющей вышеизложенным требованиям специализированной комплексной методики оценки основных параметров разрушения, в основу которой заложена основная определяющая поведение материала (горной породы или композита) характеристика - удельная поверхностная энергия разрушения.
Методика определения удельной поверхностной энергии разрушения
деформация Ь, м
Рис. 4. Полная диаграмма деформирования образца при определении удельной поверхностной энергии разрушения
твердых тел МГГУ, реализуемая на образцах, имеющих наиболее широкое распространение в горной практике, типа кернов буровых скважин или призм с размером не более 50х50х100 мм предполагает определение трещиностойкости с использованием схемы трехточечного изгиба в режиме прямого и обратного хода нагружения образца, причем образец изгибают в специальной матрице с известными деформационными и прочностными характеристиками, фиксируют полную нагрузочно-деформаци-онную диаграмму состояния горной породы, а параметры трещиностой-кости и полную энергию разрушения определяют исходя из соотношения величины приращения энергии при росте трещины с величиной затрат энергии деформирования матрицы.
Методика реализуется с помощью предлагаемого устройства, включающего образец, помещаемый в матрицу, выполненную в виде полого составного цилиндра с продольным разрезом, установленного на шарнирно подвижную и шарнирно неподвижную опоры, с возможностью вертикального нагру-жения в испытательной машине путем сжатия через распределительную траверсу, выполненную либо в виде однопролетной балки, либо в виде точечного индентора, устанавливаемого
непосредственно на поверхности образца через специальное отверстие в матрице.
В процессе испытания фиксируется деформационную характеристику при прямом и обратном ходе нагрузки. При этом на прямом ходе под действием силовой нагрузки образец в матрице изгибают между опорами и при критической величине растягивающих напряжений, возникающих в вершине стартовой трещины, происходит ее рост в пространстве ниже серединной поверхности. Далее, на обратном ходе силовую нагрузку уменьшают до нуля, и упругие полуцилиндры возвращаются в исходное положение.
На рис. 4 показана диаграмма деформирования образца на прямом ходе 21 (кривая ОАВ) и обратном ходе 22 (кривая ВСО). Площадь гистерезиса между указанными кривыми характеризует работу А (Дж) на образование новой поверхности разрушения величиной 5 (м2). Удельную поверхностную энергию разрушения твердого тела находят в виде отношения - У = А/Б, Дж/м2.
Величину новой поверхности разрушения Б определяют измерением длины распространения трещины методом фрактографического анализа с использованием оптического микроскопа.
Конструкция устройства разрабатывалась с учетом результатов предварительного компьютерного моделирования процесса роста трещины в образце размерами 200х40х40 мм в диапазоне от 10 мм (стартовая трещина) до 32 мм (пророщенная трещина). Анализ распределения нормальных напряжений ах вдоль линии распространения трещины показал, что в вершине стартовой трещины действуют растягивающие напряжения, знак которых сохраняется до середины образца. Выше серединной поверхности напряжения сжимающие. Очевидно,
стартовая трещина будет расти при достаточных растягивающих напряжениях в вершине трещины и остановится только в том, случае, если на ее пути возникнут сжимающие напряжения. Такая ситуация возможна, если в горизонтальном направлении сжимающие усилия обеспечиваются деформациями полуцилиндров, что, собственно, реализовано в данном устройстве. Так как установлено, что нормальные напряжения а являются сжимающими на всем пути распространения трещины, то условий для ветвления трещины нет. Касательные напряжения вдоль направления распространения трещины также равны нулю, что свидетельствует о разрыве связей исключительно под действием растягивающих нормальных напряжений ах (трещина первого типа).
Макет устройства для определения трещиностойкости и энергии разрушения горных пород, представленный на рис. 5, испытывался в условиях жесткого нагружения на винтовом прессе, снабженном для контроля усилия на-гружения динамометром ДОСМ-3-5 системы Токарева, позволяющим ре-
Рис. 5. Устройство для определения удельной энергии разрушения горных пород с использованием образцов в виде керна буровых скважин
Рис. 6. Диаграмма деформирования цилиндрического образца с трещиной
гистрировать перемещения нижней траверсы устройства при ступенчатом прижатии верхней пластины винтом, эталонированным в соответствии с жесткостью рамы пресса.
В типовом эксперименте использован керн, длиной 80,66 мм, диаметром 41,87 мм, глубина стартовой трещины в середине образца 11,0 мм. На рис. 6 представлены результаты испытаний образца в режиме прямого и обратного хода. Фиксируется широкая площадь гистерезиса, что свидетельствует об энергетических затратах на рост трещины и необратимых деформациях нагрузочного устройства.
Обработка данных экспериментов показала, что деформации полуцилиндров многократно превышают ожидаемые значения удельной поверхностной энергии разрушения. Это приводит к необходимости их исключения из расчетов путем выделения аномальных участков роста трещин на деформационных кривых.
Тем не менее, положительным результатом их использования в данной серии экспериментов является то, что реализован механизм измерения деформаций на прямом и обратном ходе при испытаниях образцов различной прочности. Фактически, как
Рис. 7. Керн с трещиной после циклического нагружения в матрице, рис. 5
и планировалось, реализован управляемый рост трещины, что позволяет фиксировать параметры ее распространения. На рис. 7 показан результат эксперимента с трещиной, не прошедшей через весь образец (остановленная трещина).
Если на рис. 4 представлена плавная диаграмма деформирования, то в аналогичных экспериментах достаточно часто наблюдается диаграмма деформирования со скачками деформационной кривой, рис. 8. Такое поведение, вероятно, связано с различными этапами роста трещины. Первый этап связан с явлением предшествующему разрушению, которое
зафиксировано на начальной стадии деформации прогиба Этот процесс сопровождается актами акустической эмиссии в слуховом частотном диапазоне. Происходят изменение радиуса закругления вершины трещины и пластические деформации. При дальнейшем росте нагрузки возможен очередной акт перестройки и разрыва связей в вершине трещины. Вертикальный участок на стадии нарастания нагрузки в диаграмме деформирования следует объяснить остановкой роста трещины переходом и стадию накопления потенциальной энергии деформаций перед очередным этапом постепенного роста.
Выполненные эксперименты позволяют отметить, что предлагаемая методика и устройства для ее реализации обеспечивают необходимые измерения удельной поверхностной энергии на небольших образцах и не требуют мощного испытательного оборудования. При практическом использовании она реализуема в устройствах, исключающих неуправляемый рост стартовой трещины. Малые габариты устройств сокращают диссипацию энергии и позволяют производить измерения удельной
Рис. 8. Диаграмма циклического деформирования образца с растущей трещиной в известняке (ряд1,1о = 2.5 мм) и травертине (ряд2,1о = 12,5 мм)
поверхностной энергии разрушения твердых тел на стандартных образцах с высокой точностью в лабораторных условиях.
При интерпретации результатов измерений необходимо однако учитывать следующее.
Рост трещины в горных породах, особенно управляемый, подчиняется при статическом циклическом нагру-жении двум процессам - разрушению при росте трещины и упрочнению при ее закрытии. Поэтому потери циклического деформирования обязательно должны быть связаны с диссипацией в обоих процессах, а также могут накладываться на потери в нагрузочном устройстве. Аномалии на деформационных диаграммах могут быть связаны как с ростом трещины, при этом
они должны иметь форму пиков или скачков с острым фронтом, падающая часть которых должна отражать линейный упругий характер разрушения, так и подчиняться общим закономерностям объемного деформирования, при котором происходит смена режима напряженного состояния и происходит аномальная активизация деформаций по типу структурной сверхпластичности, то есть, переход в стадию катакла-за. При этом энергетический диапазон роста трещины должен включать, как собственно рост, вплоть до предела прочности при сжатии, т.е. до перехода к объемному разрушению, так и предразрушение до предела прочности при растяжении. И тот и другой процесс должен оцениваться с учетом принципа локализации.
1. Вильдеман В.Э., Бабушкин A.B., Ильиных. Методика испытаний на трещиностой-кость. // Центр экспериментальной механики. Пермский национальный исследовательский университет. Пермь 2011. 10 с.
2. Якушина Е.М. Кинетика стабильного роста усталостной трещины в порошковых материалах. // Перспективные материалы, М.
3. ГОСТ СССР № 29167-91 Бетоны. Методы определения характеристик трещи-ностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. ГОСТ СССР № 10180-90 Бетоны. Методы определения прочности по контрольным образцам.
5. Осипенко Н.М. Методы определения трещиностойкости горных пород при сжатии и разрыве. Препринт СФТГП ИФЗ АН СССР, Москва, 1976.
6. Каркашалзе Г.Г.,Ларионов П.В. Моделирование роста трещины под действием циклической нагрузки. // ГИАБ. № 7. М., 2011. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_
Каркашалзе Г.Г. - доктор технических наук, профессор, karkash@msmu.ru, Никитин С.М. - горный инженер-геофизик, научный сотрудник, archont@mail.ru, Буянова Д.С. - горный инженер-физик, ассистент, dbuyanova@inbox.ru, Московский государственный горный университет.
UDC 622.02, 539.421
DEVELOPMENT OF THE METHOD OF EXPERIMENTAL DEFINITION OF SPECIFIC SUPERFICIAL ENERGY OF SOLIDS DESTRUCTION
Karkashadze G.G., Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: karkash@msmu.ru, Nikitin S.M., Mining Engineer-geophysicist, Researcher, e-mail: archont@mail.ru, Buyanova D.S., Mining Engineer-geophysicist, Assistant, e-mail: dbuyanova@inbox.ru, Moscow State Mining University, Department Physics of Rocks and Processes.
On the basis of destruction mechanics a methodology of experimental evaluation of crack-resistance and specific surface energy of destruction of solids with compositional structure for rocks and ores is being devised.
The crack growth is managed by using specific mechanisms of lateral compression of samples nearby the ends of intergrowing crack. The possibilities of the method are shown on the basis of the experimental data.
Key words: crack, destruction, specific energy, modelling.
REFERENCES
1. Vil'deman V.Je., Babushkin A.V., Il'inyh. Centr jeksperimental'noj mehaniki (Crack strength test procedure. Center for Experimental Mechanics, Perm National Research University), Perm, Perm state University, 2011, 10 p.
2. Jakushina E.M., Perspektivnyematerialy, Kinetika stabil'nogo rosta ustalostnoj treshhiny v poroshkovyh materialah (Perspective materials, Stable growth kinetics of fatigue cracks in powder materials), Moscow.
3. Betony. Metody opredelenija harakteristik treshhinostojkosti (vjazkosti razrushenija) pri staticheskom nagruzhenii, GOST SSSR № 29167-91 (Concrete. Assessment methods for characteristics of crack strength (fracture toughness) under static loading).
4. Betony. Metody opredelenija prochnosti po kontrol'nym obrazcam, GOST SSSR № 10180-90 (Concrete. Strength estimation with the use of control specimens).
5. Osipenko N.M. Metody opredelenija treshhinostojkosti gornyh porod pri szhatii i razryve (Assessment of crack strength of rocks under compression and tension), Moscow, SFTGP IFZ AN SSSR, 1976.
6. Karkashadze G.G., Larionov P.V. Gornyj informacionno-analiticheskij bjulleten', 2011, no 7.
ГОРНАЯ КНИГА
Геометрическое доказательство великой теоремы Ферма и генерирование простых чисел на кривых Ферма
Горбунов В.А. Год: 2013 Страниц: 48
ISBN: 978-5-98672-359-4 UDK: 511
Представлено прямое доказательство ВТФ, в основе которого лежит преобразованное уравнение Ферма Sn = un + vn =1, где u = x/z; v = y/z. Утверждение теоремы Ферма для преобразованного уравнения гласит: «Кривые Ферма Sn = 1, n > 3, не содержат рацио-нальных точек». Ключевую роль в доказательстве ВТФ играет единичная окружность S2 = 1, так как координаты всех точек кривых Ферма, лежащих на одном луче X, выражаются через координаты точки единичной окружности, лежащей на том же луче. На лучах X0, проходящих через рациональные точки единичной окружности S2 = 1, в квадратах, построенных на радиус-векторах точек кривых Ферма, теорема Пифагора выполняется целочисленно (по ячейкам) с иррациональным шагом разбиения. Только в точке единичной окружности теорема Пифагора выполняется целочисленно по ячейкам с рациональным шагом разбиения.
