РАЗРАБОТКА МЕТОДА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА СРЕДЫ С ПРЕПЯТСТВИЯМИ НА ОСНОВЕ КРИВЫХ БЕЗЬЕ С ГОДОГРАФОМ ПИФАГОРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разработка метода оптимизации траектории облета среды с препятствиями на основе кривых Безье с годографом Пифагора

К.Ю. Ганъшин, Д.Л. Винокурский, О.С. Мезенцева, Ф.В. Самойлов Северо-Кавказский федеральный университет, Ставрополь

Аннотация: В статье описывается способ оптимизации процесса оптимизации траектории, путем замены рёбер траектории, на пространственные кривые Безье с годографом Пифагора.

Ключевые слова: алгоритмы генерации траекторий, методы построения формации групп БПЛА, математические модели БПЛА, многоагентные системы, кривые Безье, годограф Пифагора.

Актуальность задачи оптимизации траектории облета среды с

препятствиями

На сегодняшний день стремительное развитие получают летательные робототехнические системы по типу малогабаритных мультироторных летательных аппаратов, которые способны не только перемещаться в воздушном пространстве, но и удерживать свою позицию в нём. Данные роботы используются во многих сферах: транспортировка объектов, обеспечение охранного периметра, службы спасения, проведение видеосъёмок, сканирование местности с целью получения трёхмерной её модели, картографирование земных поверхностей, применение в развлекательных шоу.

Анализ существующих подходов решения задачи траекторного управления группой автономных БПЛА показал, что использование современных автономных БПЛА в практике работы, например, службы спасения, требует высокой утилизации вычислительных ресурсов для картирования местности, построения траектории движения в различных областях (лес, горный рельеф), координирования группы и удержания формации группы автономных БПЛА. Для решения всех этих задач приходится увеличивать количество дорогого оборудования на каждом дроне, что приводит к их удорожанию, увеличению массы, потери

управляемости и раскоординации группы. Отсюда автономный БПЛА теряет возможность двигаться по заданной траектории, значительно увеличивается относительное отклонение от заданной траектории. Поэтому задача разработки математических методов построения гладких проходимых траекторий БПЛА с высокой масштабируемостью на группу является актуальной.

Определение пространственной кривой Безье пятого порядка с

годографом Пифагора

Дадим определение термина годограф. Годограф - геометрический набор параметрической кривой, описываемый первой её параметрической кривой. Для пространственной кривой годограф

будет представлен как г ' ( £) = {х' ( £) ,у' ( О ,2 ( } , где х,у,ге1. Если представить кривую п-ой степени параметризированными полиномами, то она примет следующий вид:

Годограф подобной параметризованной кривой будет представлен в виде кривой п-1-й степени, при этом для каждого t длина годографа [1] может быть выражена следующим образом:

Если ввести длину кривой s, измеряемой вдоль г ( , начиная от некой точки, то можно определить годограф как параметрическую скорость кривой:

(1)

(2)

о-( 0 =

4 J <хе

(3)

откуда уже можно выразить непосредственно длину кривой:

(4)

и

Сама же кривая будет обладать свойствами годографа Пифагора в том случае, если её компоненты и магнитуда будут являться элементами пифагоровой тройки. Представление подобной кривой в области вещественных чисел легко представить на плоскости [2]:

(5)

х'( 0 = и 2( 0-тр2( 0 (6)

(7)

Для построения пространственной кривой со свойствами годографа Пифагора, наиболее удобным решением будет переход в кватернионное пространство [3]. Так, годограф Пифагора в форме кватернионного полинома примет следующий вид:

г'(О = еД(0£еД*(0 = [и2Ю + - р2(0 - ч2Ш + 2 [и (О ч (О + р (О V (О У + 2 [р (О ч (О - и (О р (О ] к (8)

где

с (О = и (О + р (О I + V (ОУ + Ч (О к (9)

С * (<0 = и (£) — р (<0 I — р (£)_/ — ч (О к - сопряжённый к С (£) кватернион. Из данных выражений выведем комплексные многочлены годографа Пифагора:

а (О = и (О + ¿р (О , Р (О = Ч (О + ¿р (О (10)

и запишем параметрическую скорость:

о-(0 = 1 а (О I 2 + 1 Р (О I 2 (11)

при этом о (0 = 1 С ( О I 2 = | г ' (О I .

Согласно [4], пространственные кривые пятой степени (квинтики) выражаются через комплексные квадратичные многочлены в форме Бернштейна следующим образом:

а(0 = а0( 1 - О2 + «12(1 - «ОС + Р (0 = Ро( 1-0 2 + Ро.2( 1-0 С + Р2<Т 2. ( )

и

Как утверждается в [5], благодаря методам на основе интерполяции Эрмита возможно построение кривой Безье со свойствами годографа Пифагора по нескольким параметрам [6], а именно: задание начальной и конечной точек кривой , задание значения касательных при данных точках и

задание общей длины кривой 5. Так, определим кватернионный многочлен следующим образом:

л (О = л 0 ( 1 - о 2 + с/гх2 ( 1 - о с + с/г 2 (13)

Л (О = а (О + ^ (О (14)

Задание мнимого элемента / кватерниона представлено в следующей форме:

ехр (у ¿) = с о 5/ + 5 1 пу ¿, (15)

где у - любое вещественное число. Интерполяция касательных при начальной и конечной точках позволяет выразить коэффициенты и , выражаемые как

Л 0 = а0 + /?0 (16)

(17)

следующим образом:

(18)

Л 2 = и [су ехр ( фу ¿) + Яу /с] ехр 2 ¿) (19)

где - свободные коэффициенты, - коэффициент, обеспечивающий

1 1

задание кривой с указанной её длиной, с; = с о 5 - 0^, су = с о 5 — ; 5 =

1 1

5 1 п-0 ¿,Яу = 5 1 п-0у; 0 ¿,0у - полярные углы касательных ¿¿Ду соответственно, - азимутальные углы касательных .

Далее, определим вектор через который будет произведено определение значения Л 1:

й = 1 2 0 Др - 1 5 и 2( ^ + ¿у) + 5 (Л 01Л 2 + Л 2 ¿Ло) (20)

Л1 = -^(Ло+Л2)+^^ехр(^10 (21)

где 1 ! - свободный параметр. Далее, пространственная кривая Безье может быть выражена в форме Бернштейна следующим образом:

где р I - контрольные точки [7]. Если принять контрольную точку р о = р¿, а , то все контрольные точки легко определимы через следующие выражения:

Теперь возможно описание процесса оптимизации траектории. Предлагаемый способ оптимизации заключается в замене рёбер траектории, образованной алгоритмом ККГ*, на пространственные кривые Безье с годографом Пифагора так, что каждая пара вершин, ранее образовывавшая ребро, станет конечными контрольными точками кривой [8 - 10]. Благодаря тому, что кривая задаётся с помощью касательных при точках, становится возможным производить сглаживание углов двух отдельно взятых рёбер таким образом, что БПЛА получает возможность обходить их с заранее заданной скоростью без существенного замедления и повышенных энергозатрат.

Процесс оптимизации сгенерированной траектории производится за счёт итеративной выборки трёх точек, начиная со стартовой точки. По каждым трём точкам осуществляется генерация кривой Безье с годографом Пифагора: точки проецируются на определяемую ими плоскость, осуществляется поиск дуги, на которой лежат заданные точки, после чего

(22)

Рг ~ Ро +

Р2 = Рг + ^о Ио^ + сЛ^сЛа)

Рз = Рг + ^ + + <А21<А*0)

Ра = Рз + ^о + <^2^1)

р5 = р4 + -<Л21с/?2

(23)

и

вычисляется длина дуги, используемая в качестве параметра при задании кривой.

Добавление точек интерполяции сегмента пути в итоговую траекторию

^^ начало ^^

1

Разбиение пространства

1

Целевая точка p_f

Поиск пути РРТ*

I :=0 .. N1; ¡+=2;

Выбор трёх точек [р_1, р_1+1, р_¡+2]

Определение длины дуги I. окружности, образованной точками [р_1, р_1+1, р_1+2]

Генерация пространственной кривой Безье с годографом Пифагора

1

Вывод точек траектории

1 Г

^^ конец ^^

Рис. 1. - Блок-схема разработанного алгоритма построения оптимальных

траекторий

Каждая отдельная кривая представлена набором промежуточных точек, попадающих в новое множество. По итогу, образованное множество точек может быть использовано для плавного перемещения агента к целевой точке [11].

Результаты вычислительных экспериментов

М Инженерный вестник Дона, №7 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n7y2023/8557

Оценка погрешности отклонения от траектории производилась по каждому отдельному агенту в группе БПЛА. На рис. 2 красная линия представляет сгенерированную траекторию, которую должен проходить БПЛА. Синяя линия представляет фактическую траекторию, пройденную отдельным БПЛА.

Рис. 2 - Сгенерированная и пройденная траектории при проведении

испытания

Расчёт погрешности отклонения пройденной БПЛА траектории от сгенерированной при проведении испытания производился по формуле 24:

\\\Рси™е(£)\\2-\\Риау(£)\\2\

'Ьга)

№ =

(24)

\\Pcurve (С) II2

где С £ [О,..., Т\ - дискретные значения времени, рсигуе(С) £ М3, риау(С) £ М3 - точка сгенерированной траектории и фактической пройденной траектории в момент времени С соответственно. Для повышения точности оценки ошибки проведено 1000 симуляционных испытаний. Сведение множества параметризированных значений ошибки к единому производится по формуле среднеквадратичного отклонения:

5 (0 = ! ((25)

где - число симуляционных испытаний, - точка

параметризированной ошибки 1-го симуляционного испытания в момент времени 1:, ё ( - среднее арифметическое значение параметризированной ошибки всех испытаний в момент времени 1

При вычислении ошибки по формуле (24), получим график, представленный на рис. 3. Как видно из графика, начальные шаги слежения обладают высокой ошибкой, что обусловлено началом поиска оптимальных решений и большой начальной дистанцией БПЛА от стартовой точки траектории. Уже через несколько шагов ошибка сходится к минимальному показателю, находящемуся в пределах 6.5-7%.

Ошибка отклонения агента от траектории

- - Ошибка %

V-_

Рис. 3 - Наблюдаемая среднеквадратичная ошибка слежения траектории на основании 1000 симуляционных испытаний

Разработанный метод оптимизации траекторий движения БПЛА на основе пространственных кривых Безье 5-го порядка с годографом Пифагора, позволяет получать гладкие проходимые траектории [12].

Выполнено масштабирование метода оптимизации траекторий движения БПЛА на основе пространственных кривых Безье 5-го порядка с годографом Пифагора для кооперативного параллельного перемещения группы автономных БПЛА за счёт простой параметризации кривых Безье с годографом Пифагора. Метод позволяет устранить возникновение неустойчивых состояний и отклонений от заданной траектории отдельных автономных БПЛА, обусловленных резкими изменениями в узловых точках линейно-кусочных траекторий.

Заключение

В данной статье описан способ оптимизации процесса оптимизации траектории используя пространственные кривые Безье с годографом Пифагора так, что каждая пара вершин, ранее образовывавшая ребро, станет конечными контрольными точками кривой. Поскольку кривая задаётся с помощью касательных при точках, становится возможным производить сглаживание углов двух отдельно взятых рёбер таким образом, что БПЛА получает возможность обходить их с заранее заданной скоростью без существенного замедления и повышенных энергозатрат.

Литература (References)

1. Meng J., Pawar V., Kay S., Li A. UAV path planning system based on 3D informed RRT* for dynamic obstacle avoidance, 2018// IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO). IEEE, pp. 1653 - 1658.

2. Moon H.P., Farouki R.T., Choi H.I. Construction and shape analysis of PH quintic Hermite interpolants, 2001// Comput. Aided Geom. Des. Vol. 18, № 2. pp. 93-115.

3. Farouki R.T. Existence of Pythagorean-hodograph quintic interpolants to spatial G1 Hermite data with prescribed arc lengths, 2019 // J. Symb. Comput. Vol. 95. pp. 202-216.

4. Farouki R.T. Pythagorean-hodograph curves: Algebra and geometry inseparable, 2007, Berlin, Germany: Springer. pp. 523-542.

5. Farouki R.T. Pythagorean hodograph curves in practical use, 1992// Geometry Processing for Design and Manufacturing. Society for Industrial and Applied Mathematics. pp. 3-33.

6. Hyunchul Shim D., Kim H.J., Sastry S. Control system design for rotorcraft-based unmanned aerial vehicles using time-domain system identification, 2002 // Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications. Conference Proceedings (Cat. No.00CH37162). IEEE. pp.808 -813.

7. Chinedu Amata Amadi W.S. Design and implementation of Model Predictive Control on Pixhawk Flight Controller, 2018, Stellenbosch University. pp.70 -112.

8. Sa I., Kamel M. S., Khanna R., Popovic M., Nieto J. I., Siegwart R. Dynamic System Identification, and Control for a cost effective open-source VTOL MAV, 2017. pp 605 - 620.

9. Sarim M., Nemati A., Kumar M., Cohen K. Extended Kalman Filter based quadrotor state estimation based on asynchronous multisensor data, 2015// ASME Dynamic Systems and Control Conference. American Society of Mechanical Engineers. pp. 1 - 10.

10. Tsay T.-S. Guidance and Control Laws for Quadrotor UAV, 2014 // WSEAS. Vol. 9. pp. 606-613.

11.Bansal S., Akametalu A., Jiang F., Laine F., Tomlin C. J. Learning quadrotor dynamics using neural network for flight control, 2016. arxiv.org/pdf/1610.05863.pdf.

12.Garcia G.A., Kimet A. R. B., Jackson E., Keshmiri S. S., Shukla D. Modeling and flight control of a commercial nano quadrotor, 2017 // International Conference on Unmanned Aircraft Systems (ICUAS). IEEE. pp. 524 - 532.