Разработка математической модели системы оценивания полисостава газовых сред и алгоритма оценивания ее параметров по данным натурного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 006.91:62-403.2

В.В. Рыжаков1, М.В. Рыжаков2 1 Пензенская государственная технологическая академия 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)

Разработка математической модели системы оценивания полисостава газовых сред и алгоритма оценивания ее параметров по данным натурного

эксперимента

Разработана математическая модель многоканальной системы одновременного оценивания полисостава газовых сред, которая представляет систему взаимосвязанных функций преобразования отдельных каналов по всем компонентам газовой среды, учитывающая при этом линейную и нелинейную составляющие выходных данных. Предложенная модель позволяет учесть всю совокупность экспериментальных данных и повысить точность оценивания состава среды. Разработанный алгоритм определения параметров модели реализует итерационный процесс на основе использования введенных систем условных уравнений, что позволяет достигать требуемую точность вычислений при существенном упрощении соответствующих процедур.

Ключевые слова: математическая модель, газовые среды, компоненты, многоканальная система, функция преобразования, алгоритм, итерационный процесс, вычислительные процедуры.

Контроль наличия и количества различных примесей в атмосфере является весьма актуальной задачей, например, при экологическом мониторинге, при обнаружении утечек бытового газа или при управлении технологическими процессами на химических производствах. При выборе методов и средств оценивания состава газовых сред (концентрации компонентов сред) обращается внимание на достижение достаточной чувствительности, стабильности и в итоге — точности, что в значительной степени зависит от принятой модели средства оценивания состава газовых сред. Эта задача существенно усложняется при оценивании полисостава среды, то есть при одновременном оценивании концентрации ряда компонент, составляющих среду или присутствующих в атмосфере.

В известных работах [1, 2, 3] и др. для решения указанной задачи предлагается использовать сенсорные матрицы и сенсоры с температурным программированием. Во всех указанных работах предполагается использовать по одному каналу (датчику, сенсору, фильтру) для оценивания каждой компоненты. При этом характеристики каналов так или иначе линеаризируют. Такой подход — достаточно грубое приближение к решению поставленной задачи.

В действительности же каждый канал испытывает воздействие в той или иной степени всех компонентов газовой среды. Поэтому возникает задача разработки нового, более обобщенного метода оценивания компонентов на основе универсальной математической модели многоканальной системы, каждый канал которой имеет большую чувствительность к одной компоненте и менее чувствителен к другим, но влияние которых должно быть учтено на основе натурных экспериментов (градуирования системы). Это позволит повысить точность оценивания каждой компоненты и одновременно — получить интегральную оценку состава всей газовой среды.

Таким образом, основу предлагаемого метода составляют процедуры градуирования системы и ее математическая модель. Суть градуирования будет ясна в процессе синтеза математической модели. Поэтому уделим особое внимание модели.

Под математической моделью целесообразно понимать функцию преобразования всей системы (не отдельного канала), содержащую при этом линейную и нелинейную части типа:

у = уо + к ■ х + с ■ х9.

Степень нелинейности варьируется в широком диапазоне. В общем случае для практических приложений показатель нелинейности д > 0, д = 1.

Будем полагать, что суммарный состав газовой среды содержит п различных составляющих, каждая из которых различным образом воздействует на канал (датчик, фильтр, сенсор) системы (рис. 1).

Рис. 1. Схема системы определения состава газовой среды м

Рис. 2. 1 рафики процесса итерации параметра

кц. Индекс /ц обозначает момент начала колебания значения параметра относительно определенного уровня

Пусть имеем {#1 ,...,жп} — суммарный состав (полисостав) газовой среды, воздействующей на вход системы; у1 — выходной сигнал с первого канала, — выходной сигнал со второго канала, уп — выходной сигнал с п-го канала.

В связи с тем, что исследуемая среда воздействует на все каналы, то их функции преобразования можно записать вначале в упрощенном виде как систему линейных уравнений:

п

Уз = у0 + ^2 к*#Л є {1,2,•••,n},

*=1

(1)

У1 ,...,Уп Уо У0

у1 ,...,уп

где хз — неизвестные величины — элементы (составляющие) полисостава, которые следует измерить (определить);

выходные сигналы каналов; начальные выходные сигналы каналов;

кц,к12,...,к1п — чувствительности первого канала к х1,...,хп;

кп1 ,кп2,...,кп^',...,кпп — чувствительность п-го канала к х1 ,...,хп;

,^з — определяются в процессе индивидуальных градуировок всех (з) каналов по каждой Хз составляющей полисостава, з Е {1,2,...,п}.

Последнее пояснение раскрывает особенности градуирования системы.

Решение поставленной задачи в виде решения системы (1) — весьма тривиально: оно не учитывает нелинейные составляющие выходных сигналов. Поэтому систему (1) приведем к нелинейному виду.

Для этого функцию преобразования каждого з-го канала представим по компоненте х1 так:

У11 = У01 + кц #1 + С11 ж!11;

511.

(2)

Уп1 — УП1 + кп1 ж1 + Сп1 ж1 ,

9и1

где у?1 ,...,уП1 — начальные выходные сигналы каждого канала;

У11 ,...,уп1 — выходные сигналы 1,...,п каналов, обусловленные х1 -й составляющей; с11 — коэффициент при нелинейной составляющей первого канала, выраженной степенной функцией х^11;

#11 — показатель степени, соответствующий первому каналу для первой составляющей х1; сп1 ,#п1 — аналогичные коэффициент и показатель для п-го канала при х = х1.

Аналогичные функции преобразования можно записать для всех жг составляющих. Так, для жп получим

Для промежуточных систем вида (3) для жг, г € {1,...,п} будет использоваться символика

Для нахождения этих параметров необходимо выполнить натурный эксперимент — произвести градуировку системы по каждой составляющей газовой среды по определенной методике. Рассмотрим особенности методики градуирования системы.

Она будет состоять из п этапов, каждый из которых определяется тем, что подаются на вход системы отдельно Ж1,Ж2,...,жп составляющие и снимаются соответственно со всех каналов сигналы У1; у2;...; уп. Эти данные позволяют записать с учетом (3) частные функции преобразования для каждого канала по ж1(ж1 € {жп,ж12,...,ж1г,...,ж1т}):

где индекс і соответствует і-му значению Хі, заданному при градуировке (жі Є |ж11,ж12,...,ж1і,...,ж1т}), т — соответствует числу точек, взятых по шкале ж1.

При градуировке по другим компонентам Ж2,...,жп действия аналогичны. Так, при градуировке по жп(жп Є {жп1,жп2,...,жп*,...,жпт}) будем иметь аналогичные выражения частных функций преобразования в виде

можно определить параметры частных функций преобразования, если воспользоваться алгоритмом (аппаратом) решения систем условных уравнений, предложенным авторами.

Под алгоритмом в рассматриваемом случае будем понимать совокупность (последовательность) процедур, представленных лингвистически или аналитически: в виде математических выражений в соответствии с известными работами академика А.Н. Колмогорова, которая использовалась авторами в [4]. При разработке алгоритма воспользуемся математической моделью

(3)

у1г,...,упг.

Теперь, используя (2), (3), систему (1) запишем в уточненном виде так:

/

п

п

*=1

*=1

<

(4)

п

п

В системе (4) неизвестны следующие параметры: у0, которые определяются через неизвестные у0г,...,уПг, а также неизвестные к^; сн,...,кпг; с„г; дн,...,#™.

где

(5)

(6)

системы, рассмотренной авторами выше, и используем при этом системы условных уравнении, предложенные авторами.

Систему условных уравнений для частной функции преобразования (для первого канала) по Ж1 (первого уравнения системы (5)) представим в виде суперпозиции приближенного выражения функции преобразования и вариаций по всем параметрам:

Уш = у0 ю + кпо %и + С1ю(жн)й11° + а +

где производные имеют очевидные выражения:

' душ =

ду°1 1

дУш = Жл .. дк11 = Ж1г. душ _ ™Й11.

dy

11i

в +

dy

11i

dcn

7 +

dy

11i

5, Vi,

(7)

ЯС11

dyiii ____

dgii _

X

(8)

C11(ln x1i)x'

gll 1i •

С учетом модели функции преобразования канала и конкретных значений параметров (у°1 = у0ю, к11 = к110, с11 = с110, $п = $110), введенных в (7), можем записать:

а + Ж1гв + %и107 + Сц(1п Ж^Ж^1106 = АуШ0, V*,

АУШ0 _ УШ — y110 — k110x1i — C110xf10

(9)

аг , (10)

где г е {1,2,...,т} — индекс, задающий номер градуировочного значения на шкале градуировки. Крайний правый нижний индекс «0» означает начальное приближение.

Выражение (9) — линейная неоднородная система с неизвестными а„0,7,6. Ее решение — тривиальная задача, но пока для этого не найдены значения у°10, к110, с110 и $110.

Можно эвристически (приближенно) оценить $110: если графики градуировочных данных, допустим, вогнуты, то $110 > 1, и его можно принять равным любому числу больше 1, например, 1,5. Значения же у^, кц0, С110 оценим как решение следующей системы (линейной и неоднородной):

y010 + X1i&110 + (X1i)g110 С110 _ Уш ,

(11)

где i G {1; m/2; m}. Это соответствует методу выбранных точек. Система (11) конкретно представится так:

У010 + X11&110 + (Xu)g110С110 _ У111;

y010 + X1m/2k110 + (X1m/2)g110C110 _ Упт/2; (12)

У010 + X1mk110 + (X1m)g110C110 _ У11т

Далее необходимо найти оптимальные значения а,в,7,5, соответствующие всем данным натурного эксперимента (градуирования). Для решения этой задачи составим сумму квадратов:

S1 _ ^ Pi(a + Х1гв + xg1107 + cn0(lnx1i)x1n05 - Ayni0)s

(13)

i=1

где Рг — вероятность появления данных (ж 1г. уцг). Если данные равновероятны, то Рг = т, и ее можно из рассмотрения исключить. Последнее соответствует равномерному заданию ж^. При неравномерном шаге

Ж1 Ж0 Жт/2 Жт/2-1

Р1 _ _,.... Рт/2 ,...

xm x0

xm x0

Неизвестные параметры а,в,7,6 в сумме квадратов (13) должны быть выбраны так, чтобы £1 ^ шт.

Необходимое условие шт известно:

_ 0

да _ 0

тЦ _0

^ _о

которое представится в виде следующей системы:

m

x 110 Y + ciiolln xiilx-

^ Pi [a + xiie + xii10 7 + Ciio(ln xii)xii10 б] = ^ Pi Ay1^;

i=1 i=1 mm

^ Pi [a + xiie + xii10 y + ciio (ln xii)xii10 б] ■ xii = ^ PiAyiiioxi

xi

(15)

i=i i=i

m m

^ Pi [a + жнв + x?i10 y + ciio(ln xii)x1i10 ■ xf^10 = ^ Р^Ауи^110;

i=1 i=1

mm

^ Pi [a + жнв + xf 110 y + ciio(ln xii)xf110 5] ■ (ln xii)xgi10 = ^ Р>АуШо(1п xi)xf110.

4 i=i i=i

Путь решения системы известен, например, по правилу Крамера или Гаусса. Пусть получим решение в виде значений a = ai, в = въ Y = Yi, 5 = 5i. Тогда уточненные значения (первое уточнение) параметров функции преобразования первого датчика найдутся таким образом:

y0ii = y0io + ai;

kiii = kiio + ei; (16)

ciii = cuo + Yi; giii = giio + 5i.

Далее процесс итерации продолжается с учетом полученных уточнений (16). Для этого выражение (10) перепишем так:

g111 , i,

Ayiiii = yiii — У111 — kiiixii — Ciiix1 а (15) — в виде

mm

^ Pi [a + xiie + xii11 y + ciii(ln xii)xii11 б] = ^ Pi Ayiiii;

i=1 i=1

mm

^ Pi [a + xiie + xii11 y + ciii(ln xii)xii11 б] ■ xii = ^ PiAyiiiixii

i=1 i=1

mm

xi

(17)

^ Pi [a + xiie + xii11 y + ciii(ln xii)xii11 б] ■ xf^11 = ^ PiAyiiiixii11;

i=1 i=1

mm

^ Pi [a + xiie + xi111 y + ciii(ln xii)xi111 б] ■ (ln xii)xg111 = ^ Pi Ayiiii (ln xi)xiin.

i=1 i=1

Её решение составят числа a = a2, e = e2, Y = Y2, б = б2.

С учётом этого вторично уточним значения параметров функции преобразования. При этом получим

y 112 = yiii + a2; kii2 = kiii + e2; (18)

c112 = clll + Y2; gl12 = gill + б2.

Таким образом, определенная итерация продолжается до тех пор, пока не наступят колебания значений каждого параметра относительно определенных значений. Покажем это на графике, например, для k11 (рис. 2).

Далее определим средние уточненные значения параметров функции преобразования первого канала:

Г0 _ Уш + Ущі+і)

y0i = 111 211(t+1), (19)

где l — номер итерации.

Аналогично находятся fcii,cii,gii.

Далее изложенный процесс необходимо повторить для каждой оставшейся нерассмотренной компоненты x2,...,xn. После этого функция преобразования первого канала для совокупности всех компонент газовой среды может быть выражена с учетом частных функций преобразования по каждой компоненте в виде

yi = yii + yi2 + ... + yij + ... + yin =

= y° + (fciixi + fci2x2 + ... + fciixi + ... + fci„x„)+ (20)

+(ciixin + C^xf2 + ... + Ciixfj + ... + Ci„xn1n),

где y° = 9“ +802+-+y°<+-+y°-, j € {1,2,...,n}.

Повторяя изложенные процедуры для всех каналов, получим совокупность их моделей — функций преобразования. Так, для канала с номером f выражение (20) по структуре останется таким же, но с измененной символикой, учитывающей конкретный канал:

у/ = у/i + у/2 + ^.. + y/j +... + У/п =

= y° + (k/ixi + с/2x2 + ... + k/ixi + ... + / x„) +

+(с/ixf1 + с/2x2!/2 + ... + c/ixg/j + ... + c/„xn/n), где yo = ^.01+^2+--+»+••+?„

д У/ n .

Придавая произвольные значения f £ {1,2,...,n}, получим любую модель — функцию преобразования, соответствующую каналу с номером f.

Таким образом, нами изложена суть нового метода на основе разработанной математической модели многоканальной системы оценивания полисостава газовой среды, которая представляет собой систему взаимосвязанных функций преобразования отдельных каналов по всем компонентам газовой среды, включающих как линейные, так и нелинейные составляющие модели системы.

При этом функция преобразования каждого канала носит комплексный характер, так как учитывает воздействие на канал всей суперпозиции компонент газовой среды. Это выражает суть предложенного метода. Данный метод при разработке соответствующих алгоритмов обработки экспериментальных данных (данных градуирования — данных натурного эксперимента) позволяет повысить точность одновременного оценивания полисостава газовой среды.

Разработанный алгоритм оценивания параметров многоканальной системы оценивания полисостава газовой среды позволяет свести решение системы нелинейных уравнений к решению системы линейных неоднородных уравнений, что значительно облегчает решение поставленной задачи, а также учитывает все имеющиеся экспериментальные (натурные) данные градуирования и позволяет путем последовательных итераций определить указанные параметры с требуемой точностью. Перечисленные аспекты выражают достоинства разработанного алгоритма.

Литература

1. Althainz P., Goschnic J., Ehrmann S., Ache H.J. Multisensor microsystem for contaminants in air // Sensors and Actuators B. — 1996. — V. 33. — Р. 72-76.

2. Wong Lanwai, Takemori Toshikazu, Siegel M.W. Gas Identification System using Graded Temperature Sensor and Neural Net Interpretation // Carnegie Mellon University Technical Report CMU-RI-TR-20-89 — 1997. Интернет адрес: http://www.ri.cmu.edu/pub_files / pub 1/ wong_l_1989_ 1/ wong_l_1989_1. pdf

3. Muller R. Multisensor Signal Processing // Sensors a Comprehensive Survey, ed. W. Gopel,

C.N. Zemel — 2008. — V. 1. — P. 314-330.

4. Рыжаков В.В., Рыжаков М.В. Аналитические положения диагностирования объектов на основе нечеткой информации с использованием искусственных нейронов: монография. — М.: МФТИ, 2010. — 112 с.

Поступила в редакцию 10.05.2011.