CC BY
58
УДК 51.001.57
Р.В. Данилов, Г.В. Абрамов
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СЕТИ, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ КОНКУРИРУЮЩИЙ ДОСТУП К СРЕДЕ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ
Предложена математическая модель сети реального времени, использующей конкурирующий доступ к среде передачи данных. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование времени доставки информации с учетом образования очередей в коммутирующих устройствах. Осуществлена проверка адекватности модели с использованием критериев Фишера и Стьюдента.
Сети, информационные системы, Ethernet, закон распределения, время обслуживания заявки, графа состояний, буфер коммутатора, вероятность обслуживания заявки
R.V. Danilov, G.V. Abramov
MATHEMATICAL MODELING OF THE NETWORK,
USE OF COMPETING MEDIA ACCESS DATA
A mathematical model of real-time network using a competing access medium. A theoretical and experimental study of the time of delivery of information, based on the formation of queues in switching devices. Performed the validation of the model, using the criteria of Fisher and Student.
Networks, information systems, Ethernet, the distribution law, a holding time of the request, a state graph, the switch buffer, probability of service of the request
Сетевая информационная инфраструктура промышленных предприятий, объединяющая технологическое оборудование, производственные участки, цеха до недавнего времени строилась в основном на базе закрытых фирменных протоколов, которые внедрялись их разработчиком исходя из соображений решения определенного класса задач. В результате в широкую инженерную практику сегодня внедрено несколько десятков сетевых протоколов реального времени, специально ориентированных на построение систем промышленной автоматизации. Сети на основе стандарта Ethernet до недавнего времени применялись в основном на верхних уровнях систем автоматизации. Однако в процессе решения задач комплексной автоматизации все чаще возникают вопросы интеграции MES, ERP/EAM систем с системами АСУТП, использования в них информации, получаемой с нижних уровней управления технологическими процессами.
Построение информационной сетевой части подобных комплексных систем на базе единой технологии Ethernet значительно упрощает структуру сети, улучшает ее стоимостные параметры, уменьшает количество циклов преобразования информации, что имеет прямым следствием увеличение надежности и быстродействия информационной системы в целом. До недавнего времени в качестве недостатков технологии Ethernet назывались некоторые технические особенности, критически важные в сетях промышленного назначения, - высокая стоимость именно на уровне устройств и отсутствие гарантированного времени доставки сооб-
щения от источника к получателю. Однако технология ЕШегпеІ непрерывно развивается, и сегодня аргументы о дороговизне и недетерминированности этой технологии построения сетей не соответствуют действительности. Решения на базе ЕШегпеІ используются для создания защищенных сетей: промышленных предприятий, энергетических компаний, тепловых пунктов, распределенных систем 1Р_наблюдения, систем контроля трафика и т.п. В таких сетях одной из основных задач является гарантировать время доставки пакетов, обеспечивающих работу сети в реальном масштабе времени. Одной из основных причин, не позволяющих гарантировать время доставки, является образование очередей в коммутирующих устройствах. Для решения данной задачи необходимо моделировать систему работы с очередями. Рассмотрим следующую сеть.
Получат ели пакет об Отправители пакетов -
Рис. 1. Схема рассматриваемой сети
Примем следующие допущения: имеется ^-источников заявок; в каждом источнике заявки формируются с интенсивностью Л ; коммутатор имеет буфер на N заявок; обработка заявок осуществляется с интенсивностью ц; когда очередь достигает уровня N, то вновь сформированная заявка остается в источнике до тех пор, пока не появиться возможность отправить ее в буфер коммутатора; при этом последующая заявка в данном источнике не формируется. Если в рассматриваемой системе имеется несколько источников со сформированными заявками, то освобождающееся место в буфере коммутатора они занимают на конкретной основе с одинаковой вероятностью.
При этих допущениях для определения закон распределения времени обслуживания заявки от источников, сформируем вектор, характеризующий состояние системы: (j, і), где 7 - количество пакетов в очереди коммутатора, j = 0, N ; і - количество источников, имеющих пакеты, і = 0, п.
Таким образом, граф состояний системы примет вид:
Рис. 2. Граф состояний системы
На рис. 2 представлен граф марковского процесса гибели и размножения с непрерывным временем. Составим для него систему уравнений Колмогорова:
Р0,0 (ї) = -пЛРо,0 (і) + ЦРі,0 (і);
Р1,0 (і) = _(пЛ + ц)р1,0 (і) + пЛР0,0 (і) + Цр2,0 (і);
Р],0 (і) = -(пЛ + ц)Р} о (і) + пЛр_1,0 (і) + ^+1,0 (і);
р,1 (і) = -((п _ 1)Л + ц)р,1 (і) + пЛр,0 (і) + Цр,2 (і); ^У2(і) = _((п _ 2)Л + Ц)рУ 2 (і) + (п _ 1)ЛрУ1(і) + ЦрУ3(і);
(1)
р і (і) = _((п _ і)Л + Ц)р і (і) + (п _ і + 1)ЛР І_1 (і) + Цр 2 (і);
р,п (і) = цЛр,п (і) + Лрп_1 (і).
Рассмотрим стационарные вероятности состояний системы, т.е. когда Р'■ {(г) = 0 (т.е. левые части уравнений равны 0). Тогда получим
Р
1
0,0
1 _ р
N+1
1 _ Р
+
(п -1)!
(2)
п_1
А
Х~'п_1 1 , п і пЛ
где А = Т^тХ-) ,Р = —.
0 і! р р
Искомый закон распределения времени обслуживания заявки можно представить следующим образом:
/(і) = /1,0 (і) + /2,0 (ї) + .... + їм,0(і) + їм,1(і) + ,2 (ї) + .... + /N,п (і), (3)
где /. 0 (і) _ закон распределения времени обслуживания заявки, при условии, что в момент
прихода в систему она заняла Ї -ю очередь в буфере; /N,І (і) _ закон распределения времени
обслуживания заявки, при условии, что в момент прихода в систему (І _ 1) источников имеют заявки, и буфер полн.
Таким образом, /.,0(і) и /Ь1 ■ (і) _ это условные законы. Закон распределения /.,0(і), можно представить следующим образом:
/7,0 (і) = Р _1,0-~7 (і), (4)
10 _ вероятность, что в момент прихода заявки в систему находилась (Ї _ 1) заявок,
где Р_
таким образом, пришедшая заявка заняла Ї -ое место в очереди коммутатора. / ■ (і) _ закон распределения времени обслуживания заявки, расположенной на } -м месте в буфере. Так как закон обслуживания коммутатора имеет экспоненциальный характер, то для /. (і) можно
записать
Ц(Ці)
.....і )/ _1
^(і) = (І _ 1)!
,_ці
(5)
т.е. обслуживание будет происходить по закону Эрланга } -го порядка.
Для определения законов распределения ■ (г) поступим следующим образом. Выде-
лим из п источников один и определим для него время обслуживания заявки. Для этого введем следующий вектор: (N, I, к), где N - означает, что буфер занят (N = N); I - количество
п
источников имеющих заявки, кроме выделенного, і = 1, (и -1); к - наличие или отсутствие заявки в выделенном устройстве, к = 0 или к = 1.
Рассмотрев часть графа, представленного на рис.2, начиная с (N,0) = (N,0,0), можно построить новый граф с учетом введения нового вектора состояния, и для этого графа составить уравнения Колмогорова. Если воспользоваться следующим равенством
^ і = ^ і-10 + P^v і 0, то получим уравнения, совпадающие с соответствующими уравнениями
системы (1). Так как все источники в рассматриваемой системе одинаковы, то для стационарных вероятностей имеем:
PN,-1,1 = LPNі , (6)
И
Р = П - і Р (7)
1 N,і,0 1Nі , (7)
И
PN,0,0 = PN,0 . (8)
Закон распределения fN ■ (ґ) можно записать следующим образом:
fNі (^) = PN,і-1,0 ■ ~,і (^), (9)
где PN і-1 0 - вероятность того, что в момент поступления от выделенного устройства в системе уже (і -1) устройств имеют заявки; fN і (ґ) - закон распределения времени обслуживания заявки пришедшей і -й в систему, когда буфер был занят. Для нахождения данного закона построим новый граф, где состояния (N,0,0),(N,1,0).......^, и -1,0) будут поглощающими (конце-
выми) состояниями. Составив систему уравнений Колмогорова и решив их относительно соответствующих начальных условий, получим, что закон распределения в этом случаем примет вид:
^,і (ґ) = ^,0,1 (ґ) + 1 ^,1,1 (ґ) +.+ 1 ^,и-1,1 (ґ) , (10)
2 и
Данный закон распределения характеризует время ожидания заявки от момента поступления в систему, до момента попадания в буфер коммутатора на N -е место. Таким образом, закон распределения, определяющий время от момента попадания заявки в систему до ее выхода, будет определяться композицией двух законов:
о=Г 7« (»)(Мм(1 -Т))"1 с -Г{"п ‘т (11)
(N -1)!
Определив вероятности Pj_10 и PN - 0, участвующие в выражения (4) и (11) получим искомый закон распределения:
їм!- 'ТТ-Т-1 е"")+ІИ- ■!«■£ 7и О 7„«-*)*], (12)
где Pj-10 - это вероятность, того, что в очереди, имеется (Т -1) заявка, и не один источник не формирует заявок; N - размер очереди коммутатора; PN і - вероятность того, что буфер
заполнен и і источников в системе формируют заявки; 7Ni(ґ) - закон распределения, характеризующий время ожидания заявки от момента поступления в систему, до момента попадания в буфер коммутатора на N -е место; fN (ґ - т) - закон Эрланга N -го порядка.
Для анализа и проверки адекватности модели нами проведена серия экспериментов по определению времени доставки пакетов. Например, рис. 3 изображены гистограммы, построенные по экспериментальным данным и закон распределения, полученный из разработанной модели.
f(ґ) = -Р
Ог.ООхЮ'3 «.ООхЮ-3 10.00 х 10‘3 Ы.ООх 10‘3 18,00 х 10'3
а
б
Рис. 3. Закон распределения времени доставки пакетов при общей нагрузки: а - 14,4 Мб/с; б - 20,8 Мб/с
При исследовании результатов моделирования определено, что два важных параметра производительности, задержка доставки пакетов и пропускная способность канала, являются функциями трех независимых переменных: среднего размера пакетов, полной поступающей нагрузки канала и размера буферов для каждой станции. Пропускная способность канала монотонно увеличивается и является кусочно-линейной функцией нагрузки канала и среднего размера пакета.
Проверка адекватности модели проводилась с использованием статистических критериев Фишера и Стьюдента. Полученную модель можно использовать для расчета времени доставки пакетов в сети ЕШете1: при загруженности канала примерно до 50% от максимальной при малой вероятности возникновения коллизий. Этот диапазон важен для наиболее эффективного использования канала в информационно-управляющих системах, где наиболее важным параметром является не пропускная способность канала, а время, за которое данные будут переданные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятности и ее инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособ. для вузов. М.: Высш. шк., 2000. 383 с.
Данилов Роман Владимирович -
аспирант кафедры «Информационные технологии моделирования и управления», Воронежского государственного университет инженерных технологий, программист компании «Золотой Овен»
Абрамов Геннадий Владимирович,
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой кафедры «Информационные технологии моделирования и управления» Воронежского государственного университет инженерных технологий
Статья поступила в редакцию 25.01.12, принята к опубликованию 12.03.12
