CC BY
6
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 66.096.5
Андрей Васильевич Митрофанов
ФГБОУ ВО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики, Россия, Иваново, телефон (4932) 26-97-45; e-mail: [email protected]
Сергей Владимирович Василевич
Белорусская государственная академия авиации, кандидат технических наук, заведующий научно-исследовательской лаборатории, Республика Беларусь, Минск, е-mail: [email protected]
Михаил Владимирович Малько
Института энергетики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Республика Беларусь, Минск, e-mail: [email protected]
Лев Николаевич Овчинников
ФГБОУ ВО «Ивановский государственный химико-технологический университет», доктор технических наук, профессор кафедры процессов и аппаратов химической технологии, Россия, Иваново, e-mail:[email protected]
Наталия Сергеевна Шпейнова
ФГБОУ ВО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», аспирант кафедры прикладной математики, Россия, Иваново, телефон (4932) 26-97-45, e-mail: [email protected]
Разработка математической модели псевдоожижения частиц при наличии внутренних источников теплоты
Авторское резюме
Состояние вопроса. В химико-энергетических процессах широко распространены аппараты для тепловой обработки сыпучих сред за счет подвода высокотемпературного теплоносителя от внешнего источника. При использовании техники псевдоожижения в таком случае тепловой агент также выполняет функцию ожижающей среды. Альтернативной и предпочтительной в ряде случаев технологией может служить резистивный нагрев частиц непосредственно в псевдоожиженном слое. Однако для эффективной организации подобных процессов необходимы надежные модели для прогнозирования структуры самого слоя, так как она в значительной мере определяет его проводимость, а соответственно, и интенсивность нагрева. Псевдоожиженный слой является неоднородной гетерогенной системой, поэтому для его адекватного описания необходимы математические модели, предполагающие его пространственную дискретизацию. В связи с этим разработка таких моделей является актуальной задачей.
Материалы и методы. В качестве математической основы моделирования структуры сыпучей среды в состоянии псевдоожижения используется математический аппарат теории цепей Маркова. Пара-
© Митрофанов А.В., Василевич С.В., Малько М.В., Овчинников Л.Н., Шпейнова Н.С., 2022 Вестник ИГЭУ, 2022, вып. 6, с. 49-57.
метрическая идентификация модели выполнена с привлечением известных из литературы зависимостей. Переходные матрицы поставлены в соответствие физическим параметрам массопотоков, что делает предлагаемую модель нелинейной. Электротермический процесс в слое описывается на качественном уровне с использованием предположения об обратной пропорциональности интенсивности нагрева представительного объема слоя объемной концентрации частиц в нем. Лимитирующим нагрев фактором, определяющим асимптотическую температуру в слое, является процесс тепломассообмена газ-частицы.
Результаты. Численно исследованы вопросы влияния структуры и расширения псевдоожиженного слоя на интенсивность нагрева его фаз при наличии внутренних источников теплоты, интенсивность которых находится в обратной зависимости с концентрацией твердой фазы. Оценен вклад различных параметров модели в формирование теплового режима в установке. Показано, что для адекватного описания процессов в аппарате необходим его анализ как объекта с распределенными пространственными параметрами.
Выводы. Методология теории цепей Маркова является приемлемым инструментом для описания структуры таких систем частиц, как псевдоожиженный слой. Полученные результаты численных экспериментов находятся в хорошем качественном соответствии с теорией псевдоожиженного слоя и могут рассматриваться как достоверная научная основа для расчета систем резистивного нагрева сред в кипящем слое.
Ключевые слова: псевдоожиженный слой, резистивный нагрев, теория цепей Маркова, вектор состояния, переходная матрица, скорость витания частицы
Andrey Vasilyevich Mitrofanov
Ivanovo State Power Engineering University, Doctor of Engineering Sciences (Post-Doctoral Degree), Professor of Applied Mathematics Department, Russia, Ivanovo, telephone (4932) 26-97-45, e-mail: [email protected]
Sergej Vladimirovich Vasilevich
Belarusian State Academy of Aviation, Candidate of Engineering Sciences (PhD), Head of Research Laboratory, Belarus, Minsk, e-mail: [email protected]
Mikhail Vladimirovich Malko
Institute of Power Engineering of the National Academy of Sciences of Belarus, Candidate of Physical and Mathematical Sciences (PhD), Leading Researcher, Belarus, Minsk, e-mail: [email protected]
Lev Nikolayevich Ovchinnikov
Ivanovo State University of Chemistry and Technology, Doctor of Engineering Sciences (Post-Doctoral Degree),
Professor of Processes and Apparatuses of Chemical Technology Department, Russia, Ivanovo, e-mail: ovchinnikov_l40@ mail.ru
Natalia Sergeevna Shpeynova
Ivanovo State Power Engineering University, Postgraduate Student of Applied Mathematics Department, Russia, Ivanovo, telephone (4932) 26-97-45, e-mail: [email protected]
Development of mathematical model of fluidization of particles in presence of internal heat sources
Abstract
Background. Devices for heat treatment of bulk media due to the supply of high-temperature agent from an external source are widely used. In this case using the fluidization technique, the thermal agent also performs the function of a fluidizing medium. The ohmic heating of particles directly in the fluidized bed can be considered as an alternative and preferred technology in some cases. However, to organize such processes effectively we need reliable models to predict the structure of the fluidized bed itself, since it largely determines the conductivity, and, hence, the intensity of heating. The fluidized bed is an inhomogeneous heterogeneous system, therefore, mathematical models assuming its spatial discretization are necessary for its adequate description. Thus, the development of such models is an urgent task.
Materials and methods. The mathematical apparatus of the Markov chain theory is used as a mathematical basis to model the structure of a bulk medium in a fluidized bed. Parametric identification of the model is performed using the dependencies known from the literature. The transition matrices have been aligned with the physical parameters of the mass flows, which makes the proposed model nonlinear. The electrothermal process in the fluidized bed is described at a qualitative level with an assumption that the heating intensity of the representative volume of the bed is inversely proportional to the volume concentration of
particles in it. The gas-particle heat and mass transfer process is a limiting factor that determine the asymptotic temperature in the bed.
Results. The authors have studied numerically the influence of the structure and expansion of the fluidized bed on the heating intensity of its phases in case we have internal heat sources, the intensity of which is inversely related to the concentration of the solid phase. The influence of various parameters of the model on the formation of the thermal regime in the apparatus is estimated. It is shown that for an appropriate description of processes in the apparatus, its analysis as an object with distributed spatial parameters is necessary. Conclusions. The paper shows that the methodology of the Markov chain approach is an acceptable tool to describe the structure of such particle systems as a fluidized bed. The obtained results of numerical experiments are in good qualitative agreement with the fluidized bed theory. They can be considered as a reliable scientific basis to calculate the system of ohmic heating of media in a fluidized bed.
Key words: fluidized bed, ohmic heating, Markov chain theory, state vector, transition matrix, particle settling velocity
DOI: 10.17588/2072-2672.2022.6.049-057
Введение. Широкое распространение в химико-энергетических процессах получили аппараты для высокотемпературной обработки сыпучих сред с подведением теплоносителя, получаемого с использованием внешнего нагрева [1]. Однако в ряде случаев более предпочтительным вариантом подведения теплоты является рези-стивный нагрев сыпучего материала непосредственно в кипящем или плотном слое [2, 3]. Электротермический кипящий слой обеспечивает температурный режим в установке в диапазоне температур от 1000 до 3000 оС [3]. Актуальность внедрения псевдоожиженных систем с резистивным разогревом частиц [3-6] обусловлена тем, что сжигание топлива и подвод теплоты с внешним агентом для достижения необходимого температурного режима в зоне целевого процесса в слое часто невозможен или экономически нецелесообразен.
Вместе с тем теория резистивного нагрева сыпучей среды в подобных установках в значительной мере находится в стадии становления и сбора априорной информации об элементарных процессах. Так, известно, что величина удельного электрического сопротивления ансамбля частиц при переходе от плотного слоя к псевдоожиженному возрастает в 4-7 раз и в дальнейшем увеличивается с ростом по-розности слоя [4, 7]. С ростом температуры и величины силы тока электросопротивление снижается в результате формирования контактных цепочек между частицами, при этом разрыв цепочек и повторное их образование приводит к значительному тепловыделению в местах контактного взаимодействия частиц [4]. Таким образом, применение техники электротермического ки-
пящего слоя во многом ограничивается недостаточной изученностью процессов ре-зистивного нагрева сыпучей среды и отсутствием математических инструментов для надежного описания структуры слоя, что делает актуальной разработку научных основ моделирования этого процесса.
При этом описание полей скоростей частиц и их концентраций в кипящем слое может быть выполнено с использованием различных математических техник и модельных подходов, классификация которых может быть осуществлена на основе анализа выбора степени декомпозиции слоя [8-10].
Одним из распространенных подходов может быть представление слоя как единого целого с идеальным смещением свойств во всем рассматриваемом объеме. Для гетерогенных сред, априори являющихся пространственно неоднородными, такое допущение является крайне грубым, что в какой-то степени может быть компенсировано введением различных опытных поправочных коэффициентов. В итоге получаемые результаты оказываются пригодными для конкретной конструкции или режима работы аппаратуры, но не могут быть обобщены на класс даже однотипных объектов или процессов [10-12].
Другой крайностью при декомпозиции рассматриваемого процесса является его представление набором всех индивидуальных элементов (частиц). Такую степень декомпозиции получают, например, при использовании метода дискретных элементов или метода вычислительной гидродинамики, а также их сочетаний [11, 12]. Использование такой предельной с физической точки зрения степени дискретизации
процесса позволяет обеспечить высокую информативность, однако для количественных прогнозов требуются исчерпывающие знания о значениях материальных констант процесса, что фактически недостижимо в условиях инженерной практики.
Таким образом, для решаемой в настоящем исследовании задачи достаточно острой проблемой является выбор степени дискретизации пространства аппарата. Сочетание вычислительных и физических ограничений в данном случае говорит о том, что необходим некоторый компромиссный (мезоскопический) масштаб моделирования [11, 12]. При этом обмен свойствами между введенными в рассмотрение представительными объемами может описываться с использованием различных подходов: с применением математического аппарата теории цепей Маркова [8-10, 15-16], дискретных аналогов уравнения Больцмана [13], теории клеточных автоматов [14] и др.
Материалы и методы. Разработка математической модели электротермического кипящего слоя выполнена на основе математического аппарата теории счетных цепей Маркова с дискретным временем [8-10]. Расчетная схема процесса соответствует той, что использовалась в работах [8-10] и представлена на рис. 1. Пространство аппарата, занятое слоем, рассматривается как набор из нескольких цепей, каждая из которых составлена из счетного числа п представительных объемов (ячеек). Каждая цепь описывает эволюцию соответствующего экстенсивного свойства (в данном случае их четыре: масса газа, масса частиц, теплосодержание газа и теплосодержание частиц). Вдоль каждой цепи вводятся вероятностные переходы соответствующих экстенсивных свойств.
Задача решается в одномерной постановке. Каждая ячейка характеризуется малым, но конечным размером Ах. Состояние слоя охарактеризовано наборами параметров, организованных в векторы состояния S. Эволюция всех векторов состояния слоя фиксируется в дискретные моменты времени ¡к = (к - 1) Аt, где Аt - промежуток времени между соседними состояниями системы (шаг по времени); к - номер временного шага.
Вероятности всех возможных миграций аддитивных свойств слоя вдоль цепи ячеек организуются в вектор, который, та-
ким образом, содержит вероятности для полной группы событий, относящихся к рассматриваемой ячейке. Элементы этого стохастического вектора, относящиеся к /-й ячейке цепи, записываются в /-й столбец матрицы переходных вероятностей, которая является основным оператором модели и отвечает за эволюцию системы [8-10].
Рис. 1. Модельное представление процесса псевдоожижения в аппарате периодического принципа действия
С использованием матриц переходных вероятностей продольное перемещение твердой и газовой фаз описывается рекуррентными матричными равенствами [8-10]:
8К+1 _ п ^ I.
p Pp ^ ;
Sk+1 .о
g ^ ^ +
(1) (2)
где Sp и Sg - векторы-столбцы содержания частиц и газовой фазы; Ppk и Pgk - матрицы переходных вероятностей для соответствующих фаз; Sgf - вектор поступления ожижа-ющей среды (при подаче агента снизу под газораспределительную решетку он имеет единственный ненулевой элемент в первой ячейке, равный объему газа, подаваемого в нее за один временной интервал А^.
В предложенной модели для описания движения газовой фазы предусматриваются только вероятности продвижения вперед (идеальное вытеснение), поэтому переходная матрица формируется по тому
же принципу, что был использован при разработке подобных моделей [8-10] и в настоящем исследовании подробно не описывается.
Принципы моделирования движения зерен твердой фазы основаны на рассмотрении вероятностных характеристик процесса и в конечном счете рассчитываются как доли материала, которые за время наблюдения Дt покидают или не покидают ячейку. В рассмотрение введены вероятности (расчетные построения иллюстрирует рис. 1) переходов в соседнюю ячейку вниз (ре), вверх (ри) и остаться в наблюдаемой ячейке р).
Для /-й ячейки вероятности миграций твердой фазы, составляющие матрицу переходных вероятностей Pp, связаны с характеристиками процесса следующими зависимостями [8, 17]:
Рз/ = 1 - Ри/ - Ре; (3)
Реп = е, при № - V*) > 0; (4)
Ра = V/ + е при (№/ - Vsi) < 0; (5)
Ри/ = V + е при (№/ - Vsi) > 0; (6)
Ри/ = е при №/- Vs/) < 0, (7)
где е - симметричная компонента вероятности миграций из /-й ячейки (диффузионная вероятность), вводимая для учета влияния случайных факторов, обусловленных столкновениями частиц, и связанная с коэффициентом макродиффузии й через соотношение [8-10]
е = DAt/Ax2; (8)
V/ - конвективная (несимметричная) компонента вероятности миграции частиц из /-й ячейки, определяемая параметрами процесса как
V/ = № - Vs/\■At/Ax, (9)
где VSi - скорость витания частицы, которая численно равна скорости движения несущей среды в /-й ячейке, при которой частица пребывает в состоянии равновесия.
Математическое моделирование распределения частиц по высоте кипящего слоя было реализовано на апробированном ранее «конвективно-диффузионном» подходе к формированию структуры матрицы переходных вероятностей Pp. Матрица имеет традиционную компоновку: является трехдиагональной; каждый ее столбец формируется как стохастический вектор, содержащий исчерпывающий набор веро-
ятностей миграций частиц из наблюдаемой ячейки [8-10].
Физические параметры процесса связаны с этими вероятностями с помощью методов, описываемых ниже.
Несимметричные (конвективные) вероятности считаются зависящими от скорости скольжения частицы относительно потока несущей среды № - Vs). Таким образом, для идентификации этих вероятностей необходимо оценить скорость движения несущей среды в условиях ее фильтрации через слой частиц, а также скорость витания V;! для этих условий.
В свою очередь, скорость Vs связана с весом Р частицы как [8-10]
V2
Р = СсГР Рд^Г , (10)
где Се - коэффициент сопротивления частицы; ^ - площадь наибольшего поперечного сечения частицы, перпендикулярного вектору скорости; рд - плотность несущей среды.
Коэффициент сопротивления частиц можно оценить по эмпирическому соотношению [18]
С = (2,25 ■ Ре0'31+0,36 ■ Ре0'06 )°'45, (11)
где Ре - число Рейнольдса, рассчитанное с использованием в качестве характерного размера диаметра частицы и скорости фильтрации потока через газовзвесь.
С использованием модельных допущений, принятых в [17], локальная (для выбранной ячейки) скорость фильтрации потока через газовзвесь может быть рассчитана как
w = ■
Wn
1 -%\ С
8 • C
2/3
(12)
где С и Cmax - соответствующее текущему моменту и начальное значения объемной концентрация частиц в ячейке (индекс не приводится).
Диффузионные (симметричные) вероятности миграций частиц d связаны с коэффициентом макродиффузии частиц слоя (соотношение (8)), который, являясь эмпирическим параметром, может быть оценен по соотношению [19]
D = 0,051(w/Win)(w-win)1,471, (13)
где win - скорость начала псевдоожижения.
Очевидно, зависимости (3)-(9) можно рассматривать как соотношения, выражаю-
щие для данной задачи закон сохранения массы фаз во времени. При этом соотношения (10)-(13) дают возможность выполнить идентификацию необходимых параметров (материальных констант). Описание тепловых процессов, очевидно, должно базироваться на использовании зависимостей (1)-(13), которые необходимо дополнить балансовыми соотношениями для описания изменения теплового состояния системы.
Таким образом, кинетика изменения теплового состояния слоя может быть описана рекуррентными матричными равенствами [8]:
Qpk+1 = Ppk(Qpk + а.*^.*(Тдк - Tpk)Аt + qekАt);
(14)
Qgk+1 = Pgk(Qgk - а.*^.*^ - Tpk) ^ + Qgf),
(15)
где Q - векторы содержания теплоты в ячейках; T - вектор температур; а - вектор коэффици-ентов межфазного теплообмена; Fk - вектор поверхностей обмена по ячейкам, который зависит от концентрации материала в них; qe - вектор объемных источников теплоты от резистивного нагрева материала; через оператор «.*» обозначена операция поэлементного умножения векторов.
Векторы Q и T связаны соотношением Q = T.*c.*p.* Sp,
где c и р - векторы теплоемкостей и плотностей сыпучего материала.
Интенсивность резистивного нагрева для модельной ситуации рассматривается условно, исходя из общих соображений, что тепловыделение обратно пропорционально относительной концентрации частиц: хк = Эр./ Б1р (символ "./" означает поэлементное выполнение операции деления векторов). Таким образом, полагается, что тепловыделение в /-й ячейке может быть оценено как
9ог,{х е R : 0 < х < 1},
(16)
Ыик = а • Реь,
(17)
Чв,/
1-хк
дк; = 0,{х е R : х < 0и х > 1},
где д0 - некоторый постоянный параметр модели, определяющий тепловыделение при бесконечно малой концентрации частиц.
Для проведения численных экспериментов была принята некоторая условная зависимость для определяемого критерия межфазного теплообмена в виде
где а и Ь - параметры модели, принимаемые постоянными для конкретного численного эксперимента (далее а = 0,1 и Ь = 0,5).
Результаты. На рис. 2-7 представлены некоторые результаты численных экспериментов с предложенной моделью. На рис. 2, 4 и 6 показаны начальные (представленные вектором S1) и конечные (соответствующие моменту окончания численного эксперимента и представленные вектором SN) распределения концентрации твердой фазы. Численный эксперимент останавливался по истечении N рекуррентных переходов, число которых обеспечивало наступление теплового и гидромеханического установившегося состояния системы.
С, кг/м
400
Рис. 2. Расчетные распределения объемной концентрации твердой фазы по высоте аппарата при й = 0 м2/с и W0 = 5 м/с: 1 - плотный слой
1 N
(Б ); N - псевдоожиженный слой (Б )
На рис. 2, 3 представлены результаты численных экспериментов при й = 0 м2/с и W0 = 5 м/с. При таком режиме, так как асимптотическое распределение частиц формируется из условия w¡ = /¡¡, обеспечивается равномерное распределение твердой фазы во всех занятых материалом ячейках, кроме верхней ячейки слоя (рис. 2). Для заполнения верхней ячейки слоя частицами в количестве, обеспечивающем выполнение условия Wi = //, в аппарате в общем случае может оказаться недостаточное количество материала, поэтому концентрация в верхней ячейке может быть ниже, а w¡ < /8/.
Достаточно высокая концентрация обеспечивает высокую проводимость в слое и низкую интенсивность его разогрева (рис. 3).
Рис. 3. Расчетные значения температур фаз на выходе из слоя (в последней ячейке с материалом) при й = 0 м2/с и W0 = 5 м/с: 1 - температура газа; 2 - температура частиц
На рис. 4, 5 представлены результаты численных экспериментов при й = 0 м2/с и И/0 = 6 м/с.
С, кг/м3
Рис. 4. Расчетные распределения объемной концентрации твердой фазы по высоте аппарата при й = 0 м2/с и W0 = 6 м/с: 1 - плотный слой
1 N
^ ); N - псевдоожиженный слой ^ )
Рис. 5. Расчетные значения температур фаз на выходе из слоя (в последней ячейке с материалом) при й = 0 м2/с и W0 = 6 м/с: 1 - температура газа; 2 - температура частиц
При таком режиме обеспечивается равномерное распределение твердой фазы по высоте аппарата, но при этом расширение слоя выше, чем в предыдущем опыте (рис. 2, 3), проводимость слоя снижается и тепловыделение возрастает (рис. 5).
На рис. 6, 7 представлены результаты численных экспериментов при й = 1 м2/с и W0 = 5 м/с. При таком режиме обеспечивается неравномерное распределение твердой фазы по высоте аппарата и интенсифицируется миграция частиц в аксиальном направлении, проводимость слоя снижается и тепловыделение возрастает (рис. 7).
Рис. 6. Расчетные распределения объемной концентрации твердой фазы по высоте аппарата при й = 1 м2/с и W0 = 6 м/с: 1 - плотный слой
1 N
^ ); N - псевдоожиженный слой ^ )
Рис. 7. Расчетные значения температур фаз на выходе из слоя (в последней ячейке с материалом) при й = 1 м2/с и W0 = 6 м/с: 1 - температура газа; 2 - температура частиц
Выводы. Численные эксперименты с математической моделью формирования псевдоожиженного слоя дисперсной среды при наличии внутренних локальных источ-
ников теплоты, интенсивность которых находится в обратной зависимости от концентрации твердой фазы, выполненные для изучения характера нагрева фаз слоя, показали значительное влияние профилей концентраций и расширения псевдоожи-женного слоя на интенсивность тепловыделения. Полученные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с теорией псевдоожиженного слоя и могут рассматриваться в качестве достоверной научной основы для расчета систем рези-стивного нагрева сред в кипящем слое.
Список литературы
1. Расчеты аппаратов кипящего слоя: справочник / под ред. И.П. Мухленова, Б.С. Са-жина, В.Ф. Фролова. - Л.: Химия, 1986. - 352 с.
2. Experimental fluid dynamics of particles in a dielectric barrier discharge plasma-enhanced spouted bed / B. Zhang, N. Kobayashi, Y. Itaya, et al. // Advanced Powder Technology. - 2021. -Vol. 32. - P. 832-840.
3. Разработка экспериментального стенда электротермического кипящего слоя для исследования высокотемпературных процессов в газовых потоках / С.В. Василевич, В.Н. Степа-ненко, В.И. Мартынюк и др. // Авиационный вестник. - 2020. - № 2. - С. 12-15.
4. Бородуля В.А. Высокотемпературные процессы в электротермическом кипящем слое. -Минск: Наука и техника, 1973. - 173 с.
5. Семейко К.В., Ильенко Б.К., Сидоренко Н.А. Применение техники электротермического кипящего слоя для осуществления высокотемпературных технологических процессов // Энерготехнологии и ресурсосбережение. -2019. - № 1. - С. 35-44.
6. Fedorov S.S., Gubinskii M.V., Foris S.N. Mathematical simulation of the Structural Properties of packed and fluidized beds // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - 2016. -No. 89(3). - P. 627-635.
7. Local conductivity of a fluidized bed consisting of conducting particles /A.I. Malinovskii, O.S. Rabinovich, V.A. Borodulya, et al. // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -2012. - Vol. 85, No. 2. - P. 251-258.
8. A Markov chain model to describe fluidi-zation of particles with time-varying properties / A.V. Mitrofanov, V.E. Mizonov, K. Tannous, L.N. Ovchinnikov // Particulate Science and Technology. - 2018. - Vol. 36, No. 2. - P. 244-253.
9. Theoretical Study of Particulate Flows Formation in Circulating Fluidized Bed / V. Mizonov, A. Mitrofanov, A. Camelo, L. Ovchinnikov // Recent Innovations in Chemical Engineering. -2018. - No. 11 (1). - P. 20-28.
10. Митрофанов А.В., Мизонов В.Е., Tannous K. Математическая модель эволюции состояния псевдоожиженного слоя при влаго-переносе // Известия высших учебных заведений. Сер.: Химия и химическая технология. -2015. - Т. 58, вып. 4. - С. 75-78.
11. Dai Q., Chen C., Qi H. Influence of me-so-scale structures on drag in gas-solid fluidized beds // Powder Technology. - 2016. - Vol. 288. -P. 87-95.
12. Multiscale modeling of gas-fluidized beds / M.A. van der Hoef, M. Ye, M. van Sint Annaland, et al. // Advances in chemical engineering. -2006. - Vol. 31. - P. 65-149.
13. Zhukov V.P., Belyakov A.N. Simulation of combined heterogeneous processes based on discrete models of the Boltzmann equation // Theor. Found. Chem. Eng. - 2017. - Vol. 51. -Р. 88-93.
14. Bobkov S.P. Simulation of basic transfer processes using cellular automata // Russian Journal of Chemistry and Chemical Technology. -2009. - Vol. 3, No. 52. - Р. 109-114.
15. Dehling H.G., Hoffmann A.C., Stuut H.W. Stochastic models for transport in a fluidized bed // SIAM J. Appl. Math. - 1999. - Vol. 60. -P.337-358.
16. Огурцов В.А., Федосов С.В., Мизонов В.Е. Моделирование кинетики виброгрохочения на основе теории цепей Маркова // Строительные материалы. - 2008. - № 5. - С. 33-35.
17. Разработка вероятностно-статистической модели расширения и аксиальной структуры псевдоожиженного слоя частиц антрацита / А.В. Митрофанов, В.Е. Мизонов, А.Н. Беляков, Н.С. Шпейнова // Вестник ИГЭУ. - 2020. -Вып. 6. - С. 68-76.
18. Khan A.R., Richardson J.F. The Resistance to Motion of a Solid Sphere in a Fluid // Chem. Eng. Commun. - 1987. - Vol. 62. - Р. 135-150.
19. Esin A., Altun M. Correlation of axial mixing of solids in fluidized beds by a dispersion coefficient // Powder technology. - 1984. - Vol. 39. -P.241-244.
References
1. Mukhlenova, I.P., Sazhina, B.S., Frolo-va, V.F. Raschety apparatov kipyashchego sloya [Calculation of fluidized bed reactors]. Leningrad: Khimiya, 1986. 352 p.
2. Zhang, B., Kobayashi, N., Itaya, Y., Ono, K., Suami, A., Nakagawa, T. Experimental fluid dynamics of particles in a dielectric barrier discharge plasma-enhanced spouted bed. Advanced Powder Technology, 2021, vol. 32, pp. 832-840.
3. Vasilevich, S.V., Stepanenko, V.N., Martynyuk, V.I., Sen'ko, S.F., Shaporova, E.A. Razrabotka eksperimental'nogo stenda el-ektrotermicheskogo kipyashchego sloya dlya is-sledovaniya vysokotemperaturnykh protsessov v
gazovykh potokakh [Development of an experimental stand of an electrothermal fluidized bed for the study of high-temperature processes in gas flows]. Aviatsionnyy vestnik, 2020, no. 2, pp. 12-15.
4. Borodulya, V.A. Vysokotemperaturnye protsessy v elektrotermicheskom kipyashchem sloe [High-temperature processes in an electrothermal fluidized bed]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1973. 173 p.
5. Semeyko, K.V., Il'enko, B.K., Sidoren-ko, N.A. Primenenie tekhniki elektrotermicheskogo kipyashchego sloya dlya osushchestvleniya vyso-kotemperaturnykh tekhnologicheskikh protsessov [Application of electrothermal fluidized bed technology for the implementation of high-temperature technological processes]. Energotekhnologii i resursosberezhenie, 2019, no. 1, pp. 35-44.
6. Fedorov, S.S., Gubinskii, M.V., Foris, S.N. Mathematical simulation of the Structural Properties of packed and fluidized beds. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2016, no. 89(3), pp. 627-635.
7. Malinovskii, A.I., Rabinovich, O.S., Borodulya, V.A. Local conductivity of a fluidized bed consisting of conducting particles. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2012, vol. 85, no. 2, pp. 251-258.
8. Mitrofanov, A.V., Mizonov, V.E., Tannous, K., Ovchinnikov, L.N. A Markov chain model to describe fluidization of particles with time-varying properties. Particulate Science and Technology, 2018, vol. 36, no. 2, pp. 244-253.
9. Mizonov, V., Mitrofanov, A., Camelo, A., Ovchinnikov, L. Theoretical Study of Particulate Flows Formation in Circulating Fluidized Bed. Recent Innovations in Chemical Engineering, 2018, no. 11(1), pp. 20-28.
10. Mitrofanov, A.V., Mizonov, V.E., Tan-nous, K. Matematicheskaya model' evolyutsii sos-toyaniya psevdoozhizhennogo sloya pri vlagoperenose [Mathematical model of state evolu-
tion of fluidized bed during moisture transfer]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Seriya Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya, 2015, vol. 58, issue 4, pp. 75-78.
11. Dai, Q., Chen, C., Qi, H. Influence of meso-scale structures on drag in gas-solid fluidized beds. Powder Technology, 2016, vol. 288, pp. 87-95.
12. Hoef, M.A., Annaland, M.S., Andrews, A.T., Ye, M., Sundaresan, S., Kuipers, J.A.M. Multiscale modeling of gas-fluidized beds. Advances in chemical engineering, 2006, vol. 31, pp. 65-149.
13. Zhukov, V.P., Belyakov, A.N. Simulation of combined heterogeneous processes based on discrete models of the Boltzmann equation. Theor. Found. Chem. Eng., 2017, vol. 51, pp. 88-93.
14. Bobkov, S.P. Simulation of basic transfer processes using cellular automata. Russian Journal of Chemistry and Chemical Technology, 2009, vol. 3, no. 52, pp. 109-114.
15. Dehling, H.G., Hoffmann, A.C., Stuut, H.W. Stochastic models for transport in a fluidized bed. SIAM J. Appl. Math, 1999, vol. 60, pp. 337-358.
16. Ogurtsov, V.A., Fedosov, S.V., Mizonov, V.E. Modelirovanie kinetiki vibrogrokhocheniya na osnove teorii tsepey Markova [Modelling of vibration screening kinetics based on Markov chain theory]. Stroitel'nye materialy, 2008, no. 5, pp. 33-35.
17. Mitrofanov, A.V., Mizonov, V.E., Belyakov, A.N., Shpeynova, N.S. Razrabotka veroyat-nostno-statisticheskoy modeli rasshireniya i ak-sial'noy struktury psevdoozhizhennogo sloya chas-tits antratsita [Development of the stochastic model of particulate coal fluidized bed expansion and axial structure]. Vestnik IGEU, 2020, issue 6, pp. 68-76.
18. Khan, A.R., Richardson, J.F. The Resistance to Motion of a Solid Sphere in a Fluid. Chem. Eng. Commun., 1987, vol. 62, pp. 135-150.
19. Esin, A., Altun, M. Correlation of axial mixing of solids in fluidized beds by a dispersion coefficient. Powder technology, 1984, vol. 39, pp. 241-244.
