Разработка математической модели перемагничивания протяженных цилиндрических ферромагнитных изделий короткими катушками Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Библиографический список

1. ANSYS CFX tutorials. ANSYS Inc, 2009. 2. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопереда-

ча. 4-е изд. М.: Энергоиздат, 1981. 415 с.

УДК 621.3.01-621.3.09-621.3.013

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕМАГНИЧИВАНИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ИЗДЕЛИЙ КОРОТКИМИ КАТУШКАМИ

В.Д.Сартаков1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Решается электродинамическая задача расчета ЭДС проходного электромагнитного датчика. При решении задачи учтены нелинейная характеристика ферромагнитного материала и неоднородность поля, создаваемого короткой катушкой. Получены аналитические выражения для расчета напряженности поля и первой гармоники ЭДС в измерительной катушке. Ил.2. Библиогр.9 назв.

Ключевые слова: математическая модель; напряженность поля; ЭДС; магнитная проницаемость.

DEVELOPMENT OF THE MATHEMATICAL MODEL OF REVERSAL MAGNETIZATION OF EXTENDED CYLINDRICAL FERROMAGNETIC PRODUCTS BY SHORT COILS V.D. Sartakov

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Ikutsk, 664074.

The author solves an electrodynamic problem of emf calculating of a connecting electromagnetic sensor. In solving the problem he considers the nonlinear characteristic of ferromagnetic material and the heterogeneity of the field produced by a short coil. The analytical expressions for the calculation of field strength and the first harmonic of emf in the measuring coil are obtained. 2 figures. 9 sources.

Key words: mathematical model; field strength; emf; magnetic permeability.

При применении электромагнитных методов неразрушающего контроля необходимо теоретическое исследование процессов, происходящих при воздействии на испытуемые материалы и изделия электромагнитного поля с целью получения наивыгоднейших условий для контроля, определения влияния электромагнитных параметров и геометрических размеров изделий на выходной сигнал датчика контроля. Математическое описание этих процессов опирается на теорию электромагнитного поля. Учёт нелинейного характера намагничивания создаёт большие возможности для повышения чувствительности контроля, проведения многопараметрового контроля и решения других важных проблем электромагнитных методов контроля. В связи с этим имеет смысл решить ряд идеализированных задач с заданными источниками первичного поля в магнитонелинейной среде. В данной работе сделана попытка решения в общем виде задачи перемагничивания протяженного ферромагнитного цилиндра короткой катушкой с учётом нелинейных свойств материала. При разработке математической модели возникли математические трудности, которые привели к необходимости ограничения условий задачи, упрощению физической сущности процессов и, следовательно, к приближенности решения задачи. Одним из ограничений, применяемых в работе, является описание процессов перемагничивания ферромагнитных изделий по петле гистерезиса, характерной лишь для слабых полей. Выразить в аналитической форме уравнение петли перемагничивания в общем виде, отражающее поведение ферромагнетика при слабых, средних и сильных полях, пока не удаётся [1]. При решении поставленной задачи для описания петли гистерезиса используется двучлен по степеням Н:

- • — —3 m

_ _ B=Ма H+b H , (1)

где B и H - векторы индукции и напряженности поля; .'. и /' - постоянные, не зависящие от напряженности

Ма О

комплексные коэффициенты. Это отличает решаемую задачу от подобных задач при расчетах электромагнитного поля проходных датчиков с короткими катушками.

Для решения задачи короткая катушка заменена эквивалентным круговым витком с током, а ферромагнит-

1Сартаков Валерий Дмитриевич, кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры электропривода и электрического транспорта, тел.: (3952) 410160.

Sartakov Valery, Candidate of technical sciences, Associate Professor, Professor of the Department of Electric Drive and Electric Transport, tel. (3952) 410160.

ный цилиндр считается изотропным. Исходными уравнениями задачи о поле кругового витка с ферромагнитным цилиндром являются уравнения Максвелла:

rotH = a • E + S

rotE = ——; _ 8t

divB = 0,

(2)

(3)

(4)

где Е - вектор электрической напряженности поля; Н - вектор напряженности магнитного поля; В - вектор

магнитной индукции; а - электропроводность ферромагнитного материала; * - временная переменная; 8СТ -плотность сторонних токов.

Источником сторонних токов является виток радиусом «а», соосно расположенный относительно ферромагнитного цилиндра радиусом Р. По витку протекает синусоидальный ток, комплексная амплитуда которого равна

1т = /и • в-''®'*. При разработке математической модели используется цилиндрическая система координат г, << и г с единичными векторами: радиальным 1г, касательным 1(2 и осевым 1к (рис. 1). На рис.1 видно, что осевой вектор 1к совпадает с осью ферромагнитного цилиндра, вектор направлен по касательной к боковой по-

верхности цилиндра, а радиальный единичный вектор направлен по радиусу цилиндра.

Рис. 1. Цилиндрическая система координат

Ограничив сечение провода витка бесконечно малой величиной, можно записать выражение для плотности тока через произведение дельта-функций от координат [2]:

SCT = Im • S( z) • S(r—a),

где S(z) - дельта-функция по координате z; S(r-a) - дельта-функция по координате r.

Анализ выражения для плотности сторонних токов показывает, что SCT равна нулю во всех точках пространства, кроме z = 0 и r = a [3]. Взяв ротор от уравнения (2), получим

(5)

-СТ

rotrotH = a • rotE + rotS .

(6)

- - 8B 8H Заменим в уравнении (5) rotE выражением rotE =--= --, получим

8t 8t

— 8H —ст

rotrotH = -a^d- ——h rotS

8t

(7)

8 B

где /ий =^= - дифференциальная магнитная проницаемость.

д Н

Для применяемого аппроксимирующего выражения петли гистерезиса [4] получим

=Ма + 3' ЬН2 =Ма + А'Н2.

Преобразуя (7), получим волновое уравнение

(8)

- 2--дН —СТ

grad(<ИУИ)-V Н =-а-А---Vго/ё .

д/

(9)

Известно, что для случая равномерного поля независимо от того, линейна или нелинейна зависимость индукции от напряженности поля, &уН = 0. При намагничивании ферромагнитных цилиндров двухмерным полем без

учёта нелинейных свойств материала <™И также равна нулю. Это следует из равенства нулю дивергенции вектора магнитной индукции.

В данном случае, вследствие непостоянства намагниченности по длине цилиндра, вблизи от намагничивающего витка образуются магнитные заряды, уменьшающие действительную напряженность поля под витком и увеличивающие поле вдали от витка [5]. Следовательно, наличие зарядов намагниченности не позволяет приравнять дивергенцию намагниченности I нулю: ^ 0 . Для определения ёгуН преобразуем уравнение (4):

&уБ = &У(а0 -И + 3) = а -<1\Н + = 0. (10)

Отсюда следует, что

&уН = —— - . А)

(11)

Так как ^ 0, то и дивергенция напряженности поля в данном случае при наличии собственного поля цилиндра не равна нулю. Это обстоятельство является одной из особенностей решаемой задачи. Запишем волновое уравнение (9) в цилиндрической системе координат, учитывая, что в случае осевой симметрии напряженность магнитного поля Н будет иметь лишь две составляющие: Н = Нг -1г + И2-к.

Составляющие напряженности магнитного поля Нг = (г, г) и И2 = {2(г, г) являются функциями г и z, но не зависят вследствие осевой симметрии от третьей координаты Q выбранной цилиндрической системы координат:

Г1 д ( дИг. д 2Иг 1 [---(г--) V--L--

г дг дг дг2 г2 г

- Иг ] - 1г - [

1 д2(г-Нг) д2Иг 1 д(г - Иг)

дг2

- +

дг - дг г2

дг

]-1г +

1 д , дИ,ч д2И,

.1 д 2(г-Иг) д2И

+ -

]-к =

+ [---(г--'-) +-к - [--- .

г дг дг дг г дг-дг дг

дИ - дИ- 1 д(г - 8СТ) - 1 д(г - 8СТ )7

= а-А--- - 1г + а-А----к +-----Мг------'-к. (12)

д/ д/ г дг г дг

Приравнивая члены уравнения (12) при одинаковых единичных векторах в правой и левой частях уравнения, получим систему двух уравнений в частных производных:

.1 д . дН_ д 2Н_ 1 1 д2 (г -И г) д2Иг 1 д(г-Иг)л

--Нг] - [- '

[---(г-г-) + -

г дг дг дг

г

г

дг2

дг - дг г

дг

-] =

дН 1 д(г - 5СТ)

= а-Аа--L +------;

д/ г дг

Г1 д ( дИ 1 д2(г-И )_ дИг 1 д(г-ёСТ)

[-- — (г-—^)----^-Т^] = а-А<

(13)

(14)

г дг дг г дг- дг д г дг

После преобразования системы уравнений (13) и (14) и приведения подобных членов получим систему нелинейных дифференциальных уравнений для напряженности магнитного поля Нг и И2 от координат г и г :

д2Иг д2Иг

дг дг - дг

= =а-А<--

дН дё

СТ

1 д, дИ 1 д . дИ„ ---(г---)----(г

= а-А<-

дЛ дг дНг 1 д(г - ёСТ)

(15)

(16)

г дг дг г дг дг д/ г дг

Анализ системы уравнений (15) и (16) показывает, что это система нелинейных уравнений, так как

А= Аа + А -Н2. Поэтому необходимо искать пути линеаризации такой системы уравнений.

Для векторного потенциала А было получено аналогичное по структуре уравнение.

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений (15) и (16) в виде гармонического ряда.

г

N

Н = 2 Нгп-

п=1

N

Н =2 Нп

п=1

у ' • п • с • *

' • п • с • *

(17)

(18)

где ( - круговая частота намагничивающего тока.

При этом будем считать, что гармоники напряженности с порядком больше N настолько малы, что практически ими можно пренебречь. Ограничимся N=9. Подставив выражения (17) и (18) в уравнения (15) и (16) и приравнивая члены уравнений с одинаковыми степенями при « е » в правой и левой частях уравнений, получим системы уравнений для напряженностей магнитного поля первой и высших гармоник соответственно.

I гармоника

д2 Н„ д2 НА . дёст

■ == 7 •М'Я'^а^Л +-

дг 2

дг' дг

дг

3 гармоника

д2 Н

г3

дг2

1 д ( дН^. 1 д

---(г--—)----(г

г дг дг г дг дг

1 д дН 1 д дН 1 д(г' ¿ст) ---(г--)----(г--) = 1 • (а • и 'Н----.

у. у у. \ у-чУ.^ га 21

г дг дг г дг дг г дг

д2Н

——гз = = 3'('аиа-Нгз + 1а' Лс+Н3Л + ' а Ас Н2Л' Нп; дг' дг

1 д дН

(19)

(20)

(21)

г 3

) = ]'3' ( ' а ' и а ' Н г3 . + ' 'а' А'(' Нп' Н21 +

+ '•а•А '('Н

5 гармоника

д 2 Н д 2Н

-Н5г5 = ''5'с '*'иН +1'5'а'Л '(•Н2 'Нгз +

дг дг• дг

+ ]• 3' а' А (' Н2Л • Нгз + 2' а' А' Нл • Нл' Нг1;

1 д , 1 д , ЭНГ^ . с „ „

"'^(г'^5) — ~г(г'^£5) = 1'5'(•а•Uа•H25.+7 '5а' А с•Нл Н + г дг дг г дг дг

+5 а А •( • Н2Л-Н23 + 2 а Ас • Нп •НгЪ 'Нл.

(22)

(23)

(24)

В уравнениях (19)- (26) Нг1 ^ Нг7 и Нл + Н г1 - величины комплексные, т.е. отличаются как амплитудой,

так и фазой и зависят от координат г и г. Для решения системы дифференциальных уравнений (19-24) применим

к этим уравнениям интегральное преобразование Фурье с ядром в виде выражения е1 Прямое интегральное преобразование Фурье

^ 1 • х • 2

ж ^

Н(Х,г) = |Н(г,г)'в]' 1 ' г ёг,

(25)

где X - произвольная постоянная; Н(г,2) - преобразуемая функция; Н(X,г) - изображение функции по Фурье.

Чтобы определить искомую функцию по изображению, необходимо применить обратное преобразование Фурье [6]:

1 да ж

Н (г,г) = ---| Н (X, г )• е-7 ' х ' 2^Х. (26)

2' ж

Учтем такие свойства дельта-функций [3], как

8(х) = 0 при х Ф 0; 8{х) = да при х Ф 0;

х)'ёх = 1;

|£(х) • £(х) • ёх = А[0); - а)' А(х - а) • ёх = .

-да

После применения преобразования Фурье к уравнениям (19) и (20) для первой гармоники, получим

3

да

да

-да

да

да

I- д (г.Н)+,,д.I-1(г.И„) = К1-Н1 -¿-№02;

г дг дг г дг г дг

2 :т , , -Нг1 „2 *

-Д - Нг1 + 3-Д-= К2-Игг - -Д-ё(г - а), (28)

—Н

—г

где К = ]-(о-а-Аа; -Тт - амплитуда тока в витке Определим Н *г1 из уравнения (28):

1- Д — н Д - Т

Ил =-И1 +1-ё(г - а), (29)

д2 -г д2

где д2 = К2 +Л2

После подстановки (29) в уравнение (27) и некоторых алгебраических преобразований получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка для преобразованной составляющей напряженности первой гармоники по оси z:

ж

/2

—2 и 1 — И * Т —

Пг\ + —----Н=—---— [Г-ё(г - а)]. (30)

—(д-г) д-г — (д-г) г1 д-г — (д-г)

Левая часть уравнения (30) представляет собой модифицированное дифференциальное уравнение Бесселя, решение которого известно [6, 7]. Общим решением неоднородного дифференциального уравнения второго порядка типа

у" + / (х)- у + д( х)- у = к(х) (31)

будет выражение [8]:

У = *2(х)-Г'^Х) - —х-^!(х)-\(Рг{Щ ) Х)—х + С1 -Ш + С 2 (х), (32)

где ((х) и (2(х) - фундаментальная система решений уравнения (31); ' и С2 - постоянные коэффициенты; Ж(х) = ( (х)-((,(х) - (((х) - ( (х).

Решением однородного модифицированного уравнения Бесселя (левая часть уравнения (30) будут модифицированные функции Бесселя нулевого порядка [6, 7]:

Н = Сх-10(д-г)+С2- КМ-Г),

где /0 (д-г) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка 1 рода; К0 (д-г) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка 2 рода.

Учитывая, что 10(д-г)- К (д-г) + Л (д-г)- К0 (д-г) = [6], запишем решение неоднородного урав-

д-г

нения в виде

* г .

Нг1 = Тт-{Т 0(д-г)-[ А + | К 0(д-г)-— (г-ё(г - а))- —г ] +

0 —

г Т

+ К 0 (д - г) - [В-{10 (д - г) -— (г-ё(г - а))- —г]} . (33)

0 —

Определим граничные условия задачи, соответствующие данному случаю: Н2п ^ 0 при Z ;

Н 2п ^ 0 при г ^ ; Нгп ^ 0 при Z ^ ; Нгп ^ 0 при г ^ .

Соответственно и преобразованные напряженности поля (изображения напряженности) также ограничены при изменении координат до бесконечности.

Необходимо также ограничить Н2 и Иг при равенстве координат нулю в силу конкретности и реальности данной задачи. Другим граничным условием задачи является равенство тангенциальных составляющих напряженности на границе раздела сред: ферромагнитного цилиндра и окружающей среды:

Н = Н

Z п (Цилиндр) Z п (Воздух) (34)

Соответственно применив преобразование Фурье к равенству (34), получим

ж ж

Н7пЦ = Н7пВ I г=Я . (35) Ещё одним граничным условием является равенство нормальных составляющих магнитной индукции на границе раздела сред:

Вг (Цилиндр) = Вг (Воздух). (36)

Из равенства (36) следует, что

иЦ Нг (Цилиндр) Нг (Воздух).

Разделив правую и левую части равенства (37) на и, получим

Ь т Ь т I

(и + — Нщ + — 'Нщ)'НГЦ = Нгв г = Я.

и

где иа - относительная начальная магнитная проницаемость материала цилиндра.

Подставив в равенстве (38) выражения для Нг ц, Нц и Нг в в виде гармонического ряда, получим

N Ь' N

(2 Нтц-е№( )'(иа + — '[ 2 НгпЦ-]2 +

и0 п=1

(37)

(38)

п=1

Ь

N

N

+ —'[2Нпц ' е-1 ' п ' ( ' 1 ]2} = 2Нгпв'е] п(*\г = Я . (39)

и0 п=1 п=1

Приравнивая члены равенства с одинаковыми степенями при «е», получим линеаризованные равенства

ж

нормальных составляющих индукции для каждой гармоники. Теперь можно определить выражения Н , „ для воздуха (вакуума).

Так как электропроводность воздуха равна нулю (ав = 0), то коэффициент д для воздуха превращается в

X

. Тогда общее выражение для первой гармоники преобразованной напряженности поля в воздухе имеет вид

—

НЛ = К •{/ 0(Х • г)'[ А + | К 0(Х • г )• — (г' 8(г - а))' —г ] +

+ К 0(Х' г)'[В-{ / 0(Х' г )•— (г' 8 (г - а))' —г ]}

—г

(40)

Пределы интегрирования приняты от поверхности цилиндра Я до значения в определяемой точке. В выражении (40) напряженности Н *г1В для воздуха отсутствуют члены

Я

7 Я 1

/п-/,(Х' г)' | Кй(Х' г)'— (г' 8(г - а))' —г и + /п-К,(Х' г)' { /й(Х' г)' — (г '5(г - а))' —г , 0 —г 0

ёг

поскольку они равны нулю вследствие свойств дельта-функции 8(г - а).

В силу ограниченности Н2Х в при увеличении г до бесконечности можно приравнять нулю следующее выражение:

А + Г К0 (X' г)'— (г' 8(г - а))' —г = 0

Л Ит-

—г

Отсюда можно найти А:

А = -[ К0 (X' г )•— (г' 8(г - а))' —г

—г

Определив интеграл (43) методом вычисления по частям, получим

А = -X • а' К (X • а)

(41)

(42)

(43)

К

г

Я

да

К

да

Я

Исходя из общих свойств дельта-функции, можно упростить общее выражение для Н , „ воздуха. Если

-Л. -Л- 21 Б

№ , то

г>а —

Г К0 (Д-г)--(г-ё(г - а))- —г превращается в Д-а-Кг (Д-а)

1 —г

А + Г К (Д-г)-— (Г-ё(г - а))- —г = 0

Л Иг

—Г

Л

где К (Д- а) - модифицированная функция Бесселя первого порядка 2 рода от аргумента Д- а. Тогда

И *1В = 1т-К>(Д-г)-[В + Д- а-ЦД-а)], (44)

где \(Д-а) - модифицированная функция Бесселя первого порядка 1 рода от аргумента Д -а.

Если г < а , то И *лв = 1т-{/0 (Д- г)-[-Д- а- К (Д - а)] + К0(Д- г)- В}

(45)

так как | ^г) ё(г - а)- —г = 0

Определим выражение Н2щ для ферромагнитного цилиндра. Поскольку пределы интегрирования необходимо брать от 0 до R, то интегралы, содержащие ё(г - а), превращаются в нуль:

Я<а

Г К (Д-г)-— (г-ё(г - а))- —г = 0

я

К<а

—Г —

Г /0 (Д-г)--(г-ё(г - а))- —г = 0

—г

Тогда выражение для Нг1 будет иметь вид

Ит = 1т-{Т0(Я-г)-А + К0(д-г)-В1}.

В силу того что выражение Н2щ для цилиндра должно быть конечно при г = 0, примем В1=0. Тогда

И.ц = 0(Я-г)-А1.

гЦ А т Т 0(Н- ' )- А1 . (46)

Для того чтобы получить аналитические выражения для преобразованной напряженности первой гармоники в воздухе и ферромагнитном цилиндре, необходимо отыскать постоянные интегрирования В и А1. Для определения А1 и В воспользуемся граничными условиям (35) и (37):

* * * *

Н/п Ц = Ихп В и Аа'ИгЩ = Иг1Б |Г = К .

Определим преобразованные выражения для первой гармоники нормальной составляющей поля в воздухе. Для этого воспользуемся выражением (29). Для воздуха q преобразуется в Д. Поскольку равенство нормальных составляющих индукций имеет место при R<a, то второй член этого выражения обращается в нуль в силу свойств дельта-функций:

Нг1 = -¡-

—И>

—г

Подставим в (47) выражение (46):

НАВ = Тт-{Т 0(Д- г)-[-Д-а-К1(Д- а)] + ^(Д-г)-В}.

(47)

(48)

После проведения операции дифференцирования получим с учетом рекуррентных формул для модифицированных бесселевых функций первого и второго рода [6]:

Н г1в = 1-Тт-[ Ш-г )-(-Д-а)-К1(Д-а) - КХ(Д-г)-В]

(49)

и

я

я

*

0

*

*

При получении решения для ферромагнитного цилиндра подставим (46) в (29). После преобразований полу-

чим

* i 2

H m—■ I!(q-ry A ■

(50)

получим два ал-

Подставив в граничные условия (35) и (37) выражения Н , Н , Н и Н

А А21 Ц А ^21 В А Аг1 Ц А Аг1 Ц

гебраических выражения с двумя неизвестными А1 и В. Определим А1 из одного алгебраического уравнения и подставим его выражение во второе уравнение, решая которое, определим В. Проделав указанные операции, получим выражения для А1 и В:

а'Ц К (X • а)

R К0(Л ■ IfaR)^ßa ■2 +10(q ■ R) ■ K^R) ■ q

B =

2 aKY(2 ■ a)\X^a (2 ■ R) ■ У(q ■R)-(2 ■ R) ■ I0(qR)]

K0(A ■ R) ■ Ii(q■ R)■ ßa 2 +1о(q■ R)■ Ki(2R>q

(51)

(52)

Подставим А1 и В в выражения H *

zi ц и H *zi В

H *ri Ц и H *ri ц

H

zi Ц

T ■a^q

Im_

R

Ki(Ä■a)■1 o(q~ r)

Kо(2 ■ R)^Ii(q■ R)■ Ua 2 +1о(q■ R)■ Ki(2R) ■ q

(53)

H

ri Ц

j- I a2 j ± m_

R

K (2 ■ a) ■ I (q^r)

Kо(2R)■ Ii(q■ R)■ u'a 2+1о(q■ R)■ Ki(2 ■ R)■ q

(54)

* = V 2a■Kl(2■ a)^[Ii(q^r)■ Io(2Ry -q^i^R) ■ Io(qR K (Ä r)_

Hzi B 1 m ^ Kо(2■ R)■ Il(q■R)■ Ua 2 +1о(q■ R)■ Ki(2R)■ q о( )

-2 a^0 (2 r)■ ^ (2 a)} при r<a;

(55)

* • ' 2 a^K^ a>[Ii(q^r)■ I0(Ä ■R)■ -q^^ R)■ Io(qR R

Hri B J I m { Kо(2■ R)■ Ii(q■ R)■ U,-2 + Io(q■ R)■ Ki(2■ R)■ q о( )

+ 2 a^IY (2 ■ r )■ ^ (2 a)} + ■ ¿(r - a) ■

(56)

Для того чтобы получить оригиналы по выражениям (53) - (56), необходимо применить обратное преобразование Фурье. Аналитическое решение выражений для напряженности первой гармоники затруднительно и поэтому для этой цели был применен численный метод. По аналогичной методике решаются задачи для высших гармоник магнитной напряженности поля.

ЭДС Е2 измерительной обмотки определяется как циркуляция напряженности электрического поля Е по контуру измерительной обмотки Р2:

E 9 — j Eß ■ dp

2 ■ ж ■ R

(57)

2

где R2 - контур интегрирования.

Вследствие того что намагничивающая катушка и ферромагнитный цилиндр расположены соосно, напряженность электрического поля постоянна в любой точке контура интегрирования:

Eß — Eß в -в — f(r,z) (58)

Вычисляя интеграл (57), получим выражение для ЭДС вторичной обмотки электромагнитного датчика. В соответствии с понятием векторного потенциала напряженность электрического поля в воздухе при W витков намагничивающей обмотки можно записать для данного случая в следующем виде:

EB — -j ■ о W A

ß

(60)

Так как контур измерительной катушки датчика находится в воздухе, можно определить векторный потенциал через напряженность магнитного поля в рассматриваемой среде:

н =--!•

нг В -

Ас

(61)

Применяя к выражениям (57), (58) и (60) преобразование Фурье с ядром в виде еJ-Я г, получим

в2 =-

2-ж-Я2Щ-Ж2-а-а Н

г В

Я

(61)

где R2 - радиус измерительной обмотки датчика.

Проведя обратное преобразование Фурье для выражения (61), получим зависимость ЭДС измерительной обмотки датчика от нормальной составляющей напряженности поля в воздухе, а следовательно, от электромагнитных параметров и геометрических размеров изделия и намагничивающей катушки:

• ^^ в 2 =- ^2-Щ-Щ-а-Яс-

Н

гВ

Я

-е — - Я - г -йЯ.

(62)

Расчет ЭДС измерительной обмотки датчика по выражению (62) производится численным методом. На рис. 2 приведена зависимость фазы первой гармоники ЭДС от аргумента 8 комплексной начальной магнитной проницаемости Ма .при питании первичной обмотки датчика током промышленной частоты /=50 Гц.

о

о £

-10 -15 -20 --25

аргумент магнитном проницаемости

Рис. 2. Зависимость фазы первой гармоники ЭДС от аргумента 8 комплексной начальной магнитной прони-

цаемости

Ма

На рис. 2 тренд «Линия 1» соответствует величине магнитной проницаемости, равной 10, тренд «Линия 2» -

Ма =50, тренд «Линия 3» - Ма=100, тренд «Линия 4» - ца =200. Результаты расчета соответствуют физическим

представлениям и литературным данным [9] и позволяют рекомендовать выполнять расчеты для высших гармоник.

Библиографический список

1. Бессонов Л.А. Электрические цепи со сталью. М - Л.: гЭи, 1948.

2. Соболев В. С., Шкарлет Ю.М. Накладные и экранные датчики. М.: Наука, 1967.

3. Зеелович Я. В., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Физматгиз, 1967.

4. Городецкий П.Г. Обзор аналитических выражений кривых намагничивания и гистерезисных петель. Киев: Воениздат, 1956.

5. Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. М - Л.: ГЭИ, 1948.

6. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1967.

7. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: Издательство «ИЛ», 1949.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1961.

9. Герасимов В.Г., Чернов Л.А. Дефектоскопия, 1965.

к

к

—ОТ