CC BY
38
УДК 621.396.97
05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (в приборостроении)
Комаров Евгений Юрьевич
Национальный исследовательский университет “МИЭТ”
Россия, Москва
Аспирант кафедры “Информатика и программное обеспечение вычислительных систем”
Смыслов Григорий Юрьевич
Национальный исследовательский университет “МИЭТ”
Россия, Москва
Аспирант кафедры “Информатика и программное обеспечение вычислительных систем”
Чжо Зо Е
Национальный исследовательский университет “МИЭТ”
Россия, Москва
Докторант кафедры “Информатика и программное обеспечение вычислительных систем”
Кандидат технических наук E-Mail: [email protected]
Портнов Евгений Михайлович
Национальный исследовательский университет “МИЭТ”
Россия, Москва
Профессор кафедры “Информатика и программное обеспечение вычислительных систем”
Доктор технических наук E-Mail: [email protected]
Разработка математической модели многофункционального комплекса для управления, контроля и технической диагностики объектов топливно-энергетического комплекса
Аннотация: Для анализа возможности повышения отказоустойчивости
многофункционального комплекса для управления, контроля и технической диагностики объектов топливно-энергетической сферы была разработана обобщенная математическая модель его состояний. Комплекс описывается пятью состояниями, определяющими исправность его функционирования. Модель основана на использовании интегральных критериев оценки качества системы - времени передачи сообщений по каналу связи, наработки на отказ, вероятности обнаружения искажений сообщений помехами в канале связи.
Представляет интерес определение вероятности попадания комплекса в состояние X5, которое характеризуется неисправностью во время поступления требования его перевода в рабочее состояние, возможно искажение информации. Показано, что вероятность попадания комплекса в состояние Х5 определяется соотношением интенсивности потока обнаруживаемых отказов к интенсивности общего потока отказов. Вероятность выхода из состояния Х5 - соотношением качества обслуживания, к интенсивности перевода комплекса в рабочее состояние.
Анализ математической модели позволяет сделать вывод о необходимости введения в состав комплекса непрерывно работающих устройств контроля и диагностики, способных обнаруживать практически все отказы, а также необходимость уменьшения интенсивности потока заявок за счет спорадической передачи информационных сообщений.
Ключевые слова: Многофункциональный комплекс; топливно-энергетический
комплекс; управление; контроль; математическая модель; вероятность; работоспособность; отказоустойчивость.
Идентификационный номер статьи в журнале 28ТУЫ613
Eugene Komarov
National Research University of Electronic Technology
Russia, Moscow
Gregory Smyslov
National Research University of Electronic Technology
Russia, Moscow
Kyaw Zaw Ye
National Research University of Electronic Technology
Russia, Moscow E-Mail: [email protected]
Eugene Portnov
National Research University of Electronic Technology
Russia, Moscow E-Mail: [email protected]
Development of a mathematical model for multi-purpose complex to manage, control and technical diagnostics for Energy Instruments
The abstract: To analyze the fault tolerance capabilities of multifunctional complex for management, control and technical diagnostics of fuel and energy kompelksa developed a generalized mathematical model of its states. The complex is described by five states that determine serviceability of its operation. The model is based on the use of integrated systems of quality assessment criteria - the time of sending messages over a communication channel between failure , the probability of detecting distortions messages noise in the communication channel. It is of interest to determine the probability of getting at the complex in the state of x5, which is characterized by failure of the request at the time of his transfer to a working state, may distort the information. It is shown that the probability of getting complex in the state of x5 is defined by the flow rate of detected failures to the intensity of the overall flow of failures. Probability of state x5 - the ratio of quality of service to the intensity of the complex transfer to a working state. Analysis of mathematical models can be concluded that the introduction of the complex continuously operating control devices and diagnostics that can detect almost all the failures and the need to reduce the intensity of the flow of requests due to the sporadic transmission of information messages.
Keywords: multifunctional complex; the fuel and energy complex; control; monitoring; mathematical model; the probability; performance; fault tolerance.
Identification number of article 28TVN613
Одним из основных требований, предъявляемым к многофункциональным комплексам для управления, контроля и технической диагностики (МКУКТД) объектов топливноэнергетического комплекса является их отказоустойчивость [1-4]. Для анализа возможных путей повышения отказоустойчивости МКУКТД рассмотрим их возможные состояния. Обобщенная вероятностная математическая модель состояний МКУКТД может быть представлена в виде системы массового обслуживания [5-7], которая приведена на рис. 1.
Рис. 1. Модель МКУКТД как системы массового обслуживания
В модели выделены: входящий поток требований, приборы (каналы) обслуживания, очередь требований, ожидающих обслуживания и выходящий поток требований. Процесс поступления в систему требований является вероятностным и представляет собой поток однородных или неоднородных событий, которые, в общем случае, наступают через случайные промежутки времени . Основной характеристикой потока требований является средняя интенсивность -Я (среднее число требований, поступающих в единицу времени). Процесс обслуживания входящего потока требований характеризуется средней интенсивностью /л, выходящего потока.
Состояние комплекса ограничим пятью возможными вариантами X={ xl, x2, xз, X4, X5 } С соответствующими вероятностями Р={ Р1, P2 , pз, P4 , p5}, описывающими функциональный процесс обработки информации МКУКТД.
Принятые обозначения:
• pl- вероятность нахождения “условного комплекса” в состоянии х1, характеризующегося исправностью аппаратуры комплекса, требования перевода комплекса в рабочее состояние, отсутствуют;
• p2- вероятность нахождения комплекса в состоянии х2. Комплекс исправен,
занят обслуживанием принятого требования по приему, обработке, передаче и отображению данных;
• pз- вероятность нахождения комплекса в состоянии х3. Комплекс неисправен,
неисправность обнаружена средствами контроля и диагностики, производится ремонт, требования перевода комплекса в рабочее состояние, отсутствуют;
• p4 - вероятность нахождения комплекса в состоянии х4. Комплекс неисправен,
неисправность не обнаружена средствами контроля и диагностики, его ремонт не проводится, требования перевода комплекса в рабочее состояние, отсутствуют;
• p5- вероятность нахождения комплекса в состоянии х5. Комплекс неисправен во
время поступления требования его перевода в рабочее состояние, возможно искажение информации.
Поскольку вероятности р1 V 1={1,2,^ _5} описывают все возможные состояния
5
комплекса, нормирующее условие можно записать в виде : IРг =1-
I =1
Случайные интервалы времени между наступлениями событий в информационном потоке могут подчиняться различным законам распределения. Однако в большинстве работ по теории массового обслуживания прикладного характера используется пуассоновский поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени I ровно к требований задается формулой [7-9]:
Рф) = А- ехр(-А ). (1)
к!
Будем считать поток требований простейшим и отобразим их соответствующими интенсивностями:
• Ат- интенсивность потока требований на информационное использование комплекса (для приема, передачи, обработки и отображения информации);
• /Лт- интенсивность потока обслуживания требования, т.е. 1/^т - среднее время обслуживания требования;
• А- интенсивность общего потока неисправностей, причем: А= А1 +А2, где А1-интенсивность потока обнаруживаемых неисправностей, а А2- интенсивность потока необнаруживаемых неисправностей;
• Лв- интенсивность потока восстановления при обнаружении неисправности.
Используя свойства простейших потоков, запишем систему уравнений для состояний “условного” комплекса и возможных переходов состояний V = 1,2,3,4,5 за интервал
времени от t до t+ 8г.
Комплекс будет находиться в состоянии Х1 в момент времени 1+51 , если [10,11]:
• в момент времени 1 он соответствовал состоянию XI, а за время 81 не поступило
ни одного требования, а комплекс остался исправным. Вероятность события равна: р1 0)(1-Ат 8 1)(1-А8 1);
• в момент времени 1 комплекс соответствовал состоянию Х2, но за время 81
обслуживание требования закончилось. Вероятность события равна: р2(г) [Лт 8г;
• в момент времени 1 он находился в состоянии хз, но за время 81 завершился его
ремонт. Вероятность события равна: рз (I)Лв8 г.
Суммируя составляющие, получим вероятность р 1 (1+5 1) нахождения комплекса в состоянии Х1 в момент времени 1+81 :
Р1(г+8г)=р1 (г)(1-Ат8г)(1-А8г) + р2 (г)лт8г+ рз (г)лв8г. (2)
При составлении уравнения состояния комплекса учтено, что вероятность двух и более переходов за интервал времени (1, 1+8 1), согласно теореме об умножении вероятностей, является величиной второго порядка малости и может не учитываться [6,8]. Проводя аналогичные рассуждения, можно получить:
р2(г+8г)=р2 (г)(1-Лт8г)(1-А8г) + р1(г)Ат8г. (3)
pз(t+дt)=pз ^)(1-Цв5^(1-Лтд^ + pl(t)Лl8t. (4)
P4(t+St) = P4 ^)(1-Лт8 ^ + pl(t)faSt. (5)
P5(t+St) = P5(t)+ pз(t)(1-ЛвS t)Лт5t+ p4(t)ЛтSt + p2(t)(1-МтS ^Л81 (6)
Дифференцируя по t вероятности в уравнениях (3)-(6), получаем систему
дифференциальных уравнений:
ГР1 (*) = (~Лт + X)р1 #) + МтР2 У) + МвРз ^)
Р2^) = ( Мт + Л) Рг(г) + Лт Р^)
Ръ(г) = (-Мв + Лт ) Рз(1) + ЛР1^)
Р 4 ( ) = Лт РМ ) + Л2 Р^ )
[Рз ^) = ЛтРз ^) + ЛтР4 ^) + ЛР2 ^) (?)
Зафиксируем начальные условия : р1(0)=1; р2(0)= рз (0)= р4 (0)= р5 (0)=0.
Для решения системы уравнений (7) воспользуемся преобразованиями Лапласа для функций и их производных [7,9]:
ai(x) = | р() exp(-xt)dt. і=0
| Рі(ґ) ехр(-х1;)ё1= рі(0)+ хаі(х) ,
(8)
(9)
і=0
где ai(x) - изображение функции, которое в дальнейшем будем давать без указания параметра (оператора); x - оператор Лапласа; pi(0) - значение функции pi(t) в начальный момент времени.
С использованием преобразования Лапласа система дифференциальных уравнений (7) преобразуется в систему алгебраических уравнений :
1 = —Цта2 + (х + Лт + Л)°1 — Цва3 0 = (х + Мт + Л>2 - Лт а1 О = -Л!ах + (х + Цв + Лт )°3
О = — Л2 ах + (х + Лт )а4
0 = — ^ — Лт а3 — Лт а4 + Ха5
Представим уравнения системы (10) в виде матрицы:
(10)
0 х + Л + ц г т — Л т 0 0 0 а 2
1 т =3. і х + Л + Л т — Цв 0 0 а
0 = 0 — Л X + Цв +Лт 0 0 X а3
0 0 — Л2 0 х + Л т 0 а 4
0 — Л 0 — Л т — Л т X а
(11)
Или в операторном выражении В=АХ,
где В=
0
1
0 ;А=
0
0
х + Л + Мт — Л Лт 0 0 0 а2
— Мт х + Л + Лт — Мв 0 0 ах
0 — Л1 х + Мв +Лт 0 0 ; х= аъ
0 — Л2 0 х + Лт 0 а4
— Л 0 — Л Лт Л Лт х а5
Воспользуемся (11) для определения среднего времени Тср нахождения условного комплекса в состоянии Х5 с вероятностью Р5'.
Тср= -1 tp5(t)dt.
(12)
Используя свойства преобразования Лапласа, запишем :
<Ю г
- | tp5(t) • ехр(-xt)dt = ха5(х).
0
Продифференцировав (13) по х и приняв х=0 , получим :
х ' Х Тср = | tp5(t)dt = —[ха5(х)]х=о. о dx
(1з)
(14)
На основании правила Крамера невырожденная система п линейных уравнений с п
Л,
переменными имеет единственное решение: х=
Л
, Vj={1,2,...n}, где |Л|- определитель
системы,
Л
-определитель, полученный из определителя |Л| заменой j-го столбца столбцом
из свободных членов системы [8]. Тогда
а5=
Л
|Л|
(15)
После преобразований получим:
(х + Лт )[\ Лт(х + Л + Ит ) + ^т(х + 2в + Лт )]
ха5=
(х + )[(х + Л + Мт)(х + Л + )(х + + 2в) — МтЛт(х + + 2в) — 2вЫХ + Л + Мт)]
да
0
X
ЛтЛ2 (х + Л + Мт )(х + Лт +Мв ) П(-л
. (16)
(х + Лт )[( х + Л + Мт )(х + Л + Лт )(х + Лт +Мв ) - ЛтМт (х + Лт +Мв ) - ЛМв (х + Л + Мв )] Взяв производную и приравняв к нулю, определяем:
[ЛтЛ1Мт +ЛтЛ(Цв +Лт )][(Лт + Цт )(Цв +Лт )—Л\Мв ] Л2 (Лт + Мт )(Мв +Лщ )2 Мт (ЛтЛ+Л2Мв ) Мт (ЛтЛ+Л2Мв )
Л2 [ Лт ( Мв +Лт )-МтМв ]
ЛтМт ( ЛтЛ+Л2Мв )
(17)
Вероятность попадания условного комплекса в состояние Х5 определяется соотношением интенсивности потока обнаруживаемых отказов Я1 к интенсивности общего потока отказов Я. Вероятность выхода из состояния Х5 - соотношением качества обслуживания, характеризуемым величиной /ле , к интенсивности перевода комплекса в рабочее состояние (Ят).
Представляет интерес исследование функции Тср=/(Я1/Я) при различных значениях (^в/Ят) при постоянном значении Я. Для примера на рис.2 приведено несколько графиков указанной функции, полученных при условиях , определенных в таблице.
Таблица
Значения Ят, Я, р,; и рт для соответствующих кривых
№ графика Ят (1/час) Я (1/час) 6в (1/час) вт (1/час)
1 10-1 10-3 2 5-10-3
2 10-1 10-3 1 5-10-3
3 10-1 10-3 3-10-1 5-10-3
4 10-1 10-3 10-1 5-10-3
Отметим характерные особенности исследуемой функции Тср =/ (Я1/Я).
Увеличения отказоустойчивости комплекса, т.е. интервалов времени между его попаданием в состояние “отказ” можно добиться при (Я1/Я)>.0.9, т.е. при обнаружении почти всех возникающих в устройствах отказов и при Ят«Цв, т.е. уменьшении вероятности перевода комплекса в состояние обслуживания требований.
Рис. 2. График функции Тср =/(Я1/Я) при различных величинах Цв/Ят
Перенеся полученные теоретические результаты в “практическую плоскость”, т.е. при разработке принципов построения МКУКТД, можно сделать следующие выводы:
• необходимо ввести в состав комплексов непрерывно работающие устройства
контроля и диагностики,
• необходимо обнаруживать практически все отказы;
• необходимо уменьшить вероятность поступления требований.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (Госконтракт № 14.515.11.0094)
ЛИТЕРАТУРА
1. Управляющие вычислительные комплексы : Учеб. пособие/ Под ред. Н.Л. Прохорова. - М.: Финансы и статистика, 2003.-352 с.
2. Портнов Е.М. Теоретические подходы к повышению достоверности систем управления в энергетике. «Актуальные проблемы информатизации в науке, образовании и экономике - 2011», Всероссийская межвузовская научнопрактическая конференция: Материалы конференции.- М.: МИЭТ, 2011.- С.59-65.
3. Баин А.М., Портнов Е.М. Методика синтеза многофункциональных систем управления энергообеспечением// XXXVIII Международная конференция “Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе”// Труды конференции, Украина, Крым, Ялта-Гурзуф, 2012.-C.154-157.
4. Е.М. Портнов, В.В. Слюсарь Энергосберегающие комплексы повышенной достоверности// Оборонная техника, 2012.-№ 4-5.-C.12-16.
5. Б. В. Гнеденко, Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев, Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ.-М.:Либроком, 2013.- 584 с.
6. Г. П. Климов, Теория массового обслуживания.-М.: МГУ, 2011.-312 с.
7. В. Н. Калинина, Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт,2013.-480 с.
8. Ивницкий В.А. Теория сетей массового обслуживания. -М.: “Физико-
математическая литература”, 2004. -770 с.
9. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. М.: Мир, 1984.-496 с.
10. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. Пер. с англ. Изд.3 .2010. 520 с.
11. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и управление запасами. - СПб: Питер, 2001. -384 с.
REFERENCES
1. Upravljajushhie vychislitel'nye kompleksy : Ucheb. posobie/ Pod red. N.L. Prohorova.- M.: Finansy i statistika, 2003.-352 c.
2. Portnov E.M. Teoreticheskie podhody k povysheniju dostovernosti sistem upravlenija v jenergetike. «Aktual'nye problemy informatizacii v nauke, obrazovanii i jekonomike - 2011», Vserossijskaja mezhvuzovskaja nauchno- prakticheskaja konferencija: Materialy konferencii.- M.: MIJeT, 2011.- S.59-65.
3. Bain A.M., Portnov E.M. Metodika sinteza mnogofunkcional'nyh sistem upravlenija jenergoobespecheniem// XXXVIII Mezhdunarodnaja konferencija “Informacionnye tehnologii v nauke, sociologii, jekonomike i biznese”// Trudy konferencii, Ukraina, Krym, Jalta-Gurzuf, 2012.-C.154-157.
4. E.M. Portnov, V.V. Sljusar' Jenergosberegajushhie kompleksy povyshennoj dostovernosti// Oboronnaja tehnika, 2012.-№ 4-5.-C.12-16.
5. B. V. Gnedenko, Ju. K. Beljaev, A. D. Solov'ev, Matematicheskie metody v teorii nadezhnosti. Osnovnye harakteristiki nadezhnosti i ih statisticheskij analiz.-M.:Librokom, 2013.- 584 c.
6. G. P. Klimov, Teorija massovogo obsluzhivanija.-M.: MGU, 2011.-312 c.
7. V. N. Kalinina, Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika. M.: Jurajt,2013.-480 c.
8. Ivnickij V.A. Teorija setej massovogo obsluzhivanija.-M.: “Fiziko-matematicheskaja literatura”, 2004. -770 c.
9. Fillips D., Garsia-Dias A. Metody analiza setej. M.: Mir, 1984.-496 c.
10. Saati T.L. Jelementy teorii massovogo obsluzhivanija i ee prilozhenija. Per. s angl. Izd.3 .2010. 520 s.
11. Ryzhikov Ju. I. Teorija ocheredej i upravlenie zapasami. - SPb: Piter, 2001. - 384 s.
