CC BY
22
ФИЗИКА
УДК 621.383.8
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В УСЛОВИЯХ КАНАЛА МКП
© 2008 г. И.Н. Гончаров, Е.Н. Козырев, А.Г. Моураов
Северо-Кавказский горно-металлургический институт, 362021, РСО-Алания, г. Владикавказ, ул. Космонавта Николаева, 44. kozyrev@skgtu. ru
North-Caucasian Vining-metallurgical Institute, 362021, Vladikavkaz, Kosmonavt Nikolaev st., 44 kozyrev@skgtu. ru
Рассматривается математическая модель поведения электронов в электрическом поле канала микроканальной пластины, используемой в качестве вторично-эмиссионного умножителя пространственно-распределенных потоков электронов.
Ключевые слова: вторичная электронная эмиссия, математическая модель поведения электронов, электрическое поле, усилительная способность вторично-эмиссионного канала, микроканальные пластины (МКП).
Describing model of behavior of electrons in electrical field condition in channel of microchannel plate (MCP). MCP is used in night vision devises and contactless photoelectric pick-ups of control isolator in high-voltage power line.
Keywords: secondary electronic emission, mathematical model of behaviour of electrons, electrical field, amplificational ability of secondary-emission channel, microchannel plates (MCP).
Математическая модель поля канала МКП (микро-канильной пластины) строится на основе уравнения Пуассона для электростатического поля в вакууме:
(1)
v2u = --£■,
S0
где V - дифференциальный оператор Лапласа, форма которого зависит от выбора координатной системы, 1/м2; U - потенциал поля, В; р - плотность объемного заряда, Кл/м3 (суммарный электрический заряд всех электронов в импульсе, с электронами он имеет отрицательный знак, поэтому правая часть уравнения (1) становится положительной).
Уравнение (1), описывающее в декартовой системе координат поле, обладающее вращательной симметрией, приобретает вид
8 2u
дх
2
д2и 2
8 2u
8y
8z
2
Sn
(2)
ния потенциалов в ячейках сетки, расположенных внутри канала при известных значениях потенциала на границе области (на стенках канала), т.е. решается задача Дирихле для уравнения Пуассона.
Рассмотрим систему канала МКП, приведенную на рис. 1.
где х, у, z - значения координат в декартовой системе, м.
Уравнение (2) является моделью распределения электрического поля в канале МКП и его необходимо решить. Наиболее удобно с точки зрения последующей реализации модели в виде программного продукта произвести приближенное (численное) решение данного уравнения методом конечных разностей. Его основные принципы таковы.
Непрерывное распределение потенциала внутри рассчитываемой области заменяется дискретным, т.е. значения потенциала определяются в некотором конечном множестве точек (узлов). Совокупность узлов называется сеткой.
Дифференциальные уравнения в частных производных заменяются соответствующими уравнениями в конечных разностях, которые получаются заменой производных приближенными выражениями через конечные разности.
Результатом расчета распределения потенциала в канале методом конечных разностей являются значе-
Рис. 1. Схема канала МКП: 1 - ячейка внутри канала (потенциал в них не известен); 2 - граничные ячейки с известным значением потенциала
Разделим рассчитываемую область путем нанесения на объем канала квадратной сетки, чтобы найти значения потенциалов, удовлетворяющие уравнению Пуассона (2) в ячейках сетки, расположенных внутри области, при известных граничных условиях, т.е. при известном распределении потенциала в стенках канала, а также на его входе и выходе.
Линии сетки целесообразно выбрать совпадающими с направлением координатных осей х, у и z. Шаг сетки следует принять равным 1 мкм, поскольку, во-первых, каналы МКП имеют близкие габариты, во-вторых, это обеспечит достаточную точность произ-
+
водимых расчетов, в-третьих, как будет показано далее, в таком случае значительно упростится решение уравнения Пуассона и Лапласа.
Обозначим линии сетки на рис. 1, определяющие приращение вдоль оси х через I, вдоль оси у через ], вдоль 2, через к. В этом случае каждой ячейке сетки будут соответствовать свои индексы I, ], к. Выберем произвольную ячейку с индексами /, ], к (рис. 1). Если задача решена, то потенциалы в ячейках сетки должны удовлетворять уравнению Пуассона, записанному в форме для декартовой системы координат (2).
С помощью формулы Тейлора, которая позволяет для известного значения функции и её производных в точке а определить значение функций в соседней точке х, отстоящей от неё на расстоянии (х-а), равном шагу сетки, можно записать приближенные выражения для частных производных, входящих в уравнение (2). Как следует из [1], формулу Тейлора можно представить в виде
f (a + (- - a )) = f (-) = f (a) + -— f' (a) =
2! п! (п + 1)
х /(п +1) * [а + в{х- а)},
где в — число, заключенное между 0 и 1.
Пусть (х—а) — шаг сетки, обозначим его через к. Так как данное значение мало, перепишем выражение (3), ограничившись тремя первыми членами:
, .2
г (а + к)- /(х) - / (а) + -/' (а) + — /" (а). (4)
Примем за величину а узел с индексами / и], тогда можно записать:
ди к2 д2и
Ui-1,j,k = Ui,j,k -h~ + —
U
i+1, j, k = Ui, j, Ii
Ui, j -1, k = Ui, j, k
d- 2 3-2
, 3U h2 32U
+ h-+---;
3- 2 3-2 '
h2 -- h-+ —
3U h2 32U
2
3y 2 3y
3U h2 32U
Ui, j+i,k =Ui, j, k + h-z-+----
3y 2 3y 2
3U h2 32U
Ui, j, k-1=Ui, j, k- h-z- ^'-y;
dz 2 dz2
3U h2 32U
Ui, j, k+1 =Ui, j, k + h-z-+----y-
3z 2 3z 2
Сложив почленно три группы, получим
(5 )
Ui-1, j, k + Ui+1, j,k = 2Ui, j,k +
h232U
Ui, j-1, k + Ui, j+1,k = 2Ui, j, k +
3- 2 h 232U
3y2
TT TT ~-.rr h232U
Ui, j,k-1 +Ui, j,k+1 = 2Ui, j,k +-
3z
Из уравнений (6) следует:
32U ^ Ui-1,j,k + Ui+1,j,k - 2Ui,j,k . 3y2 = h2
(6)
32U ^ Ui, j-1,k + Ui, j+1,k - 2Ui, j,k
3-2
32U _ Ui, j,k-1 + Ui, j,k+1 + 2Ui, j,k
(7)
3z 2 h 2
Подставляя выражения (7) в уравнение Пуассона (1), получим
Ui-1, j,k + Ui+1, j,k + Ui, j-1,k + Ui, j+1,k +
+
h2
Ui,j,k-1 + Ui,j,k+1 - 6Ui,j,k _ p ~2 "
(8)
к2 ец
С учетом того, что к =1, величину потенциала центральной ячейки через потенциалы соседних можно определить из выражения
Ui-1,j, k + Ui + 1, j, k + Ui, j-1, k U =-il!-'Ii-'J—+
l, j 4
+
Ui, j+1.k + Ui, j,k-1 + Ui, j, k+1 p 4 sn
(9)
В^гчитаемое в в^1ражении (9) учитывает степень влияния пространственного заряда, формируемого электронной лавиной в канале, на распределение электрического поля в нем. Следует иметь в виду, что в режиме изделий применения, в частности в электронно-оптических преобразователях, коэффициент усиления МКП не превышает 103—5-103 (при иМКП = = 70—800 В), что недостаточно для развития процессов зарядового насыщения в канале. Зарядовое насыщение — это ограничение размножения электронной лавины, вследствие того, что на выходе канала плотность поверхностного положительного заряда становится весьма значительной, что начинает искажать ускоряющее поле. В [3] отмечается, что объемный заряд начинает влиять на электрическое поле канала при условии, что напряжение на МКП и усиление М достаточно велики (М=104—105 и выше). Очевидно, что такие режимы значительно более жесткие, чем те, что рассматриваются в данной работе, поэтому уравнение (9) можно переписать в виде
Ц _ и'-1,],к +и1+и,к+и!,]-\,к +и1,]+\,к +и1,},к-\+и1,}к+1 . (10)
',],к - 6
Выражение (10) называют уравнением Лапласа.
Если далее для каждой внутренней ячейки сетки записать такое выражение, получится система линейных алгебраических уравнений, которая и является математической моделью электрического поля в канале МКП. Для её решения эффективно использовать итерационный метод, сущность которого заключается в последовательном неоднократном пересчете потенциалов в ячейках сетки при известных граничных условиях. Количество итераций определяет точность расчета. Результирующее распределение считается достоверным, если разница в величине потенциала одних и тех же ячеек сетки соседних итераций невелика (не должна превышать долей вольт).
Говоря о граничных условиях, необходимо учитывать следующее:
— диаметр и длину канала;
— распределение потенциала вдоль стенки канала;
— глубину металлизации во входной и выходной части канала;
2
h
- влияние внешних электрических полей, в частности в выходной части канала.
После того как решена задача о поле внутри канала МКП, можно произвести расчет траектории первичных и вторичных электронов в нем. Движение электрона в электрическом поле описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
dx = v . dt x'
± — V
dV
x — —-E.
m
dt dz dt
y'
dt
'Vi — —.
dt m y'
(11)
— V • dVL---E
Vz' 7, Ez'
dt m
+ At
Vx, +T fn | x +T Vx,; Уi
2
2
V„.; z +— V,
yi
2
yi+1 - yi +
+ At
At f At At At
Vyi +y f81 x +y Vx; yi +y Vyi; zi +y Vzi
(12)
z,+1 - z + + At
T. At f A^ A^ AtT^
Vz +y f91 x +y Vx,; У, +y Vy,; zi +yVz•
vr.., j-Vx; +Af ^ I х +Atvx,; У,- +yV
At,
At,
At
,, , z,- +--Vz.
yi i 2 z
At
(13)
2 Xi' At,
2 z' At
x + ^Vxi; yi +fVy,; zi +fVz,]---Ey
m
e
m
(14)
оси z,x,y соответственно вычесть количество ячеек сетки, разместившихся в пределах этих величин.
Z(k)
где dx, dy - приращения поперечных координат, м; dz -приращение продольной координаты, м; dt - приращение времени, с; Vx,Vу,Vz - проекции вектора скорости на оси х, у, z, м/с; Ех , Еу, Ez - рассчитанные напряженности поля в проекции к осям х, у, z, В/м.
Согласно методу Рунге - Кутта, координаты и скорости электрона в конце каждого шага интегрирования находятся из уравнений:
Х' +1 = Х' +
А/ „ ( А/,, А/,, А/,
1 t
X(i)
_ M
11
н г 1
I,
k+J
Т
12
Г*|.
J
1+1,
у. Л
J.k
>5. Г
к
.■Я
/ЛИ
Л1, tf |
V,, = V,, + А//-81 х, +—УХ.; V,- +—Vу ; г. +—V
уг+1 ^ ' 2 Х' 2 у' ' 2
( А/ТЛ А/т_ А/ТЛ 1 Гг,+1 = + А/9 ^Х' +—ГХ,; V' +у ^; г- 1
где At - временной интервал, являющийся шагом интегрирования и определяющий частоту пересчета точки местонахождения электрона, с (примем At = =10-14 с). При этом
( А^ А/ А/ 1 е
/71Х, +—; у, +у ; г, +— 1 = — Е-
б
Рис. 2. Схема привязки положения электрона в трехмерной системе координат: а - система координат канала; б - проекции точки М на 3 плоскости
Значения 11 ,12 ,13 необходимы при переходе к следующему этапу - расчету величин Ех , Еу, EZ в приложении к плоскостям 1 - 3 рис. 2. Можно записать:
— —
h-h
(ui+1, j,k -Ui, j,k }+-
~T~ (ui +1, j, k + 1 -Ui, j, k + 1 }
h—19
(ui+1, j,k —ui, j,k }+
(15)
(ui + 1, j + 1, k —Ui, j, k + 1)
, , А/ТЛ А/ А/ 1 е „
/91г' +уГг';у +ТГУ';г' +уГг' 1= тЕг, где Ех , Еу, EZ - значение напряженности поля в конкретной точке рассчитываемого объема (внутри некоторой ячейки), В/м.
На рис. 2 приведены проекции некоторой ячейки на три плоскости декартовой системы координат: xoz, xoy, yoz. Величины 11, 12, 13 обозначают расстояние от точки М - элемента траектории до соответствующей границы ячейки в проекции по оси z, x, у соответственно.
Значение 11, 12, 13 определяются легко. Для этого надо из величин координаты проекции точки М на
i + 1, j + 1, k _ Ex1 + Ex3 .
E
y2
h—U
(ui,j+1,k —ui,j,k }+
(16)
(ui,j + 1,k+1 —Ui,j, k+1}
Ey3 — —"
-(u
h—U
Ey —
i+1, j+1,k — ui +1, j, k Ey2 + Ey3 _
(ui, j + 1,k —ui, j,k }+ , k )
E^ —--x
z1 h
a
11
h
h
+
1
h
+
2
h
l
h
l
+
h—l
h 1j,k+1 — Ui, j,k )+ ^ Ui + 1, j,k + 1 — Ui + 1, j,k )
Ez 2 = —-
h—l
h 1 Ui, j,k+1 —Ui, j,k )+ Ui, j + 1,k + 1 —Ui, j +1,k )
E = Ez1 + Ez2
(17)
стартовые координаты х у ,
Vx
Vy Vz, а также соответствующие углы и на-
параметр, учитывающий вторично-электронную эффективность резистивно-эмиссионного слоя (РЭС) канала, согласно [2], в принимает значение 0,21-0,25; ик - энергия каскада, В.
Среди начальных условий движения электрона следует отметить скорость старта, которая определяется из выражения:
где к - шаг сетки, равный 1 мкм.
Далее для решения уравнений движения (11) необходимо задать начальные условия. К ним относятся
г и начальные скорости
Uo =
[2Е
V m
AU .
(20)
правления влета фотоэлектрона в канал. Аналогичные условия необходимо задавать и при моделировании процесса эмиссии каждого вторичного электрона со стенки канала. При этом следует отметить, что команда на старт вторичного электрона (электронов) вырабатывается при наличии двух условий:
1. Первичный электрон ударился о стенку канала. Данное условие выявляется с помощью следующего неравенства:
X2 + y2 > {dkl2)2, (18)
где x, y - текущие поперечные координаты траектории первичного электрона, м; dk - диаметр канала, м;
2. Энергии первичного электрона Uk достаточно, чтобы вызвать ответную эмиссию. Для соблюдения данного условия необходимо вести учет энергетики каждого первичного электрона Е1. Она приблизительно равна разнице между потенциалом в точке удара первичного электрона о стенку канала и значением потенциала стенки в месте его старта.
Зная энергию первичного электрона, можно определить коэффициент вторичной эмиссии одного каскада усиления. При этом следует использовать выражение:
°k = ßU, (19)
где <7k - коэффициент вторичной эмиссии каскада; ß -
где Ди - энергия старта электрона, В.
В случае влета электрона в канал Ди зависит от особенностей электронно-оптической системы (ЭОП) в промежутке фотокатод - МКП. Когда рассматривается старт вторичного электрона со стенки, стартовая энергия определяется из выражения:
Е2т = ику , (21)
где у - характеристика РЭС-канала, принимает значение 0,04-0,06.
Угловое распределение стартующих вторичных электронов носит косинусоидальный характер с отсчетом [3, 4] относительно перпендикуляра к поверхности канала, исходящего из точки падения первичного электрона.
Представленные математические модели электрического поля и поведения электронов в канале МКП, как показали соответствующие расчеты, имеют высокую степень адекватности и удобны для проведения инженерных исследований и при проектировании канальных электронных умножителей и других изделий вакуумной электроники.
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М., 1974.
2. Кейзан Б. Достижения в технике передачи и воспроизведения изображений. М., 1978. Т. 1.
3. Бронштейн И.М., Фрайман Б.С. Вторичная электронная эмиссия. М., 1979.
4. Добрецов Л.Н., Гомоюнова Н.В. Эмиссионная электроника. М., 1986.
Поступила в редакцию
16 апреля 2008 г.
X
X
X
