Разработка конечноэлементной модели виброакустических процессов в трубопроводе с пульсирующим потоком рабочей жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

РАЗРАБОТКА КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЙ МОДЕЛИ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТРУБОПРОВОДЕ С ПУЛЬСИРУЮЩИМ ПОТОКОМ РАБОЧЕЙ

ЖИДКОСТИ

© 2008 Т. Б. Миронова, А. Б. Прокофьев, Б. В. Шахматов Самарский государственный аэрокосмический университет

В статье представлена конечноэлементная математическая модель в безразмерных параметрах, описывающая динамические характеристики пространственно - криволинейного трубопровода при его силовом нагружении пульсирующим потоком рабочей жидкости. Рассмотрен частій случай решаемой задачи -вибрация трубопровода, ось которого лежит в одной плоскости, под действием стоячей волны в рабочей жидкости. Представлены результаты расчета по разработанной модели.

Трубопроводная система, динамические характеристики, пульсации рабочей жидкости, вибрация, конечноэлементная модель, колебания

Известны аналитические и численные модели, описывающие динамику трубопроводных систем при их силовом нагружении пульсирующим потоком рабочей жидкости. Однако они либо не позволяют рассчитывать трубопроводы сложной пространственной конфигурации, либо обладают значительной вычислительной трудоемкостью, что не дает возможности проводить анализ динамических характеристик трубопроводов вместе с другими агрегатами гидромеханических систем [1,2].

Представленная работа посвящена разработке конечноэлементной модели, позволяющей рассчитывать виброакусти-ческие характеристики пространственно -сложных трубопроводных систем при их силовом нагружении пульсирующим потоком рабочей жидкости и кинематическом возбуждении со стороны присоединенных агрегатов. Данная модель позволяет проводить расчеты таких систем со значительно меньшими, чем в известных работах, временными затратами и затратами машинных ресурсов, а также может быть внедрена в современные универсальные CAE-cиcтeмы.

В данной работе методом конечных элементов была решена система уравнений, описывающая малые колебания пространственно - криволинейных трубопроводов с осевой линией, лежащей в одной плоскости, при их силовом нагружении

пульсирующим потоком рабочей жидкости

[2]:

*3

^2

ды1

де

*32

д ы1 д ы1

дт де дт

■п^Х 3

д 2ы1 дедт

-((р + пм 2 )* 32

1 д 2ы1

д 4ы1 пм —г-!-де дт

д 6ы. і

-----1 - I р + пм

де6 У

д2ы1

<?3 =

*3 д«2

*3ы1

'2+ 2*32 2 дм

2- = пму 3-----

де2 дт

,д 4ы1

де4

дм

де

,(1)

где е - безразмерная координата, отсчитываемая вдоль линии центров тяжести сечения трубопровода от начала отсчёта до некоторого произвольного поперечного сечения; т - безразмерное время; п = —т— ;

ш1+ш2

тДж) - погонная масса трубопровода; т2(?) - погонная масса рабочей жидкости в трубопроводе; - кривизна осевой ли-

нии в плоскости, перпендикулярной ё3 ; ё3{?,^ - единичный вектор, направленный по бинормали к осевой линии трубопровода; ё1^,^ - единичный вектор, направленный по касательной к осевой линии трубопровода; ё2(я,{) - единичный вектор, направленный по нормали к осевой линии трубопровода; I - дойна трубопровода; w - вектор безразмерной скорости рабочей жидкости; р - безразмерное давление; и1

1

ы=

2

- виброперемещение в направлении ё^,^; и2 - виброперемещение в направлении ё^,^.

Поскольку в системе (1) единственной величиной, явно дифференцируемой по времени, жмется и1, решение целесообразно получать именно относительно этого параметра. Все остальные величины могут быть определены через найденное решение для и1.

Рассмотрим схему решения второго уравнения системы (1), являющегося линейным нестационарным дифференциальными уравнением. Его можно записать в общем виде [3]:

1и1+р-а^-р^и_ = о ,наП, (2)

йт йт

где Ь - линейный оператор, включающий дифференцирование только по пространственным переменным, р,а,Р - заданные функции координат и времени, С2 - пространственная область.

Для решения данного уравнения применялся метод частичной дискретизации и метод взвешенных невязок [3]. Аппроксимация ^ решения и1 с помощью метода частичной дискретизации записывается в виде

М-1

и, "

функций был выбран многочлен Лагранжа, обеспечивающий выполнение требования полноты системы базисных функций, позволяющей им с любой степенью точности аппроксимировать неизвестную функцию.

В уравнение (5) входит производная 6 порядка. Для получения точного решения базисные функции, входящие в аппроксимацию, должны иметь 6 порядок или выше (рис.1).

Рис. 1. Одномерный элемент и ассоциируемые с ними стандартные базисные функции шестой степени

Трение в данной модели было учтено с помощью формулы Фохта [4]. Во второе уравнение системы (1) был введен член пропорциональной первой степени скорости деформации или скорости изменения упругой восстанавливающей силы н

85и,

де4дт

Ь*и1 = ^ат(Т)Нт(е) =

(3)

т=0 Г 12 ~\ Г 1

Г 1 й и1 г 4 йи1

где Ит (е) - базисные функции, не обяза- Iм I ^ 2 + \С I

Получена система дифференциальных уравнений в векторной форме: йи,

тельно удовлетворяющие всем краевым условиям.

Аппроксимирующее уравнение по методу взвешенных невязок в общем виде записывается:

(4)

невязка

+ ^ЯГйГ =0,

а г

где Кп=ьи1+р^_^ -ат сп

аппроксимации по области, Яг = Миг+т -невязка аппроксимации в краевых условиях, '№1^1 - линейно независимые весовые функции.

Была использована аппроксимация по Галеркину, при которой вместо привлечения новой системы функций в качестве весовых множителей выбираются сами базисные функции. В качестве базисных

Мт

С_

Кт

=5'

йє 2

й3 N

йе3

(5)

/О6

-5

й6

1+ (2*30 + Р +п™ )-

йє 6

+СйО + Р + кзо

йе4

1 2 ,дм дм - ,

■И ”* ^Г; *•

Данная система уравнений решалась методом базисных функций. Для представления временной области, которая считается продолжающейся до бесконечности, используются конечные элементы. Условия на конце первого элемента определяются с помощью дифференциального уравнения и начальных данных. Затем этот процесс по-

вторяется для последующих элементов с использованием вновь вычисленной информации в качестве начальных данных для каждого очередного элемента.

Разобьем временную область на линейные элементы, как погано на рис.2.

и

а—

г,-:

I

1

2

-е-

3

5

■*-

<£> I о

I

а>

Рис. 2. Разбиение временной области на квадратичные конечные элементы:

• - внутренние узлы элементов, о -граничные узлы элементов

а*а = '^атМт(т)

(6)

Возьмем типичный квадратичный элемент п то времени с тремя узлами, помещенный В ТОЧКИ Т2п , Т2„+1 , Т2п+2 (рис. ^ 3). Базисные функции (т ) должны иметь степень не ниже второй, так как в уравнения (5) входят вторые производные по времени.

Рис. 3. Бешеные функции элемента п

На этом элементе п имеем

а = а2п^? + а2п+1Щ +,+ а2п+2^

2п 2п+1 2п+2

Здесь

(7)

№ =

2п

-Г(1-Г) . йМ'2п_-1/2+Т • й2т2п _ 1

йт

туп — 1_Т2 • и1 ’ 2п+1 2Т • й N2 п 2

2 ' 2п+1 1 ~ А, , ТТ _ ТГ

йг М п йт2

Т{1+Т) • й^2_ 1/2+Т • ^N1,2 _ 1 2 ’ ^ * '

2

йт

Т =---- 2п+1 ; ^ 2п+2^ 2п+1 ; ^п ^ 2п+1^ 2п

*п

Применение к уравнению второго порядка (5) стандартного метода взвешенных невязок дает

Т](мй-Т + С — + Ка-/\пйт = 0 тЦ Л2 йт *) п

п = 0,1,2,...

Здесь интегрирование производится только по элементу п, поэтому в полученном выражении можно подставить для а значение (7). Учитывая, что матрицы С и К зависят от времени. Тогда в силу (14) уравнение метода взвешенных невязок после соответствующих преобразований принимает вид

[ М + УА („С (А гп) + /ЗД К (А 1п) \2 п+2 +

+[_2М + (1 - 2у)А1С(А 1п) +

+ (1/2-2Р + у )Д ^2 К (А гп )]^12 п+1 +

+[М _ (1 -у)АгпС(Агп) +

+ (1/2 + р_у) А ^2 К (А гп )]^12 п = /п А ^, где р и у коэффициенты, соответствующие весовым функциям различных видов, М - шаг дискретизации по времени.

Рассмотрим частный случай краевых условий - жестер заделку концов трубопровода. В этом случае при е = 0 и е = 1 и^и2=0 . Тогда из первого уравнения

ди, Л

системы (1) следует, что —- = 0 , а из

де

третьего уравнения ^ и' = 0. Опустим ин-дв

деке 1 у параметра и. Для рассматриваемой конечноэлементной модели граничные условия можно записать в виде

М-1

& и = о,

т=0

&1 дит = о при Б = 0 и е = 1, (8)

& де

М_1 д 2и п & —т = о.

др

т=0 и&

Распишем последние два уравнения системы (8), подставив в них аппроксимацию (3). Учитывая, что перемещение в узлах на границе а0 и а6, а также базисные функции N1 , N2 , N3 , N4 , N5 в граничных точках равны нулю а0= 0 и а6=0, получим

дМ(0) дЛ2(0) дЛ3(0) дЛ4(0) дЛ5(0) „

О —+ а2 —+ а —+ а4 —+ а5 —= 0,

а

де де де де де

дМ(1) 5^,(1) 5^3(1) й^4(1) 5^,(1)

!. —^ + а2—^ + а3—+ а.—^ + а, —

3^ 5^.

де де де де де

д2 N (0) д2 N.(0) д2^,(0) д2^4(0) д2ЛШ)

де

2 2 дег

- +

де2

де2

де2

= 0,

= 0,

д2Л,(1) д2 Л2(1) д2 Л3(1)

а1-дё^ + О2^Т + О3~дё^ +

+а. дЛ(1) + О5 = 0.

де

де

т=1

2

п

Таким образом, имеем 4 уравнения и 5 не-

известных величин: а

1

а

а

а

а

[м3

Значение а3 неодим из уравнения (5), которое для случая одного элемента можно записать в виде

\йц]^ш'1клил--ил

Необходимо отметить, что изменение граничных условий не приводит к перестройке конечноэлементной схемы решения. Вьфздкения (5) вн^ренних уз-

лов элемента остаются прежними. Изменяется только вид уравнений системы (9), описывающих граничные условия. Это приводит к уменьшению трудоемкости получения результатов расчета.

В качестве модельного примера возьмем трубопровод со следующими параметрами: /=0,3 м; й=0,003 м; <5=0,0006 м; />=7800 кг/м3, Е=2-1011 Па; Я=0,4 м, где й - наружный диаметр трубопровода, 6 -толщина стенки трубопровода, Я - радиус кривизны.

Трубопровод нагружается установившимися колебаниями рабочей жидкости, в которой реализуется стоячая волна с параметрами /=150 Гц, рвх=2-105 Па. Характеристики рабочей жидкости: /)ж=870 кг/м3, с=1300 м/с.

При проведении расчётов возьмем один семиузловой элемент и постоянный шаг дискретизации по времени

М = —.

100

Начальные данные в рассматриваемой трехслойной схеме задаются в виде:

а(ч=0) = а° =0, —(ъ=0) = 0 йі

(10)

Выбраны следующие значения: д _1

4

и у = 1. При таких значениях схема явля-2

ется безусловно устойчивой и не дает искусственного числового затухания.

Результаты расчетов по разработанной модели представлены на рис.4,5. Рис. 4,а соответствует системе без трения, в которой наряду с установившимися вынужденными колебаниями реализуются незатухающие свободные колебания.

1,5

а

8,00Е-07 7,00Е-07 6,00Е-07 5,00Е-07 4,00Е-07 3,00Е-07 2,00Е-07 1,00Е-07 0,00Е+00

-А-

л

-у ,Гц

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

б

Рис. 4. Временная реализация (а) и амплитудный спектр (б) безразмерного нормального вибросмещения во 2 узле (е = 0,667 при величине параметра трения Н =0

7,00Е-07

600Е-07

5,00Е-07

400Е-07

300Е-07

200Е-07

1,00Е-07

0,00Е+00

У, Гц

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

б

Рис. 5. Временнш реализация (а) и амплитудный спектр (б) безразмерного нормального вибросмещения во 2уте є = 0,667 при величине параметра трения Н = 0,02

На амплитудных спектрах явно видны два пика - 150 Гц и 425 Гц, первый из которых соответствует вынужденным коле-

и^ю

1,5

0,5

0

-0,5

-1,5

0

0,5

2

2,5

3

и1*10

баниям, а второй колебани-

ям по первой собственной форме.

Введение в систему трения приводит к затуханию свободных колебаний (рис. 5). С течением времени расчётная временная реализация вибросмещения переходит в синусоиду с частотой пульсаций давления. При этом чем больше Д тем быстрее затухают свободные колебания и тем быстрее на временной реализации устанавливается гармонический процесс колебаний.

Библиографический список

1. Макарьянц Г. М., Прокофьев А. Б.,

Шахматов Е. В., Шестаков Г В. Исследование виброакустических характеристик трубопровода при его силовом нагружении с использованием программного комплекса // Сборник трудов четвертой

конференции пользователей программного обеспечения САБ-РЕМ ОшЬИ. - М.: Полигон-пресс, 2004. - С. 280-287.

2. Прокофьев А.Б. Разработка метода комплексного анализа динамики и прочности трубопроводных систем с гасителями

колебаний рабочей жидкости, Дисс. на со-иск... д.т.н. - Стара: СГАУ, 2008. - 191 с.

3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация - М.: Мир, 1986. -318 с.

4. Бабаков ИМ. Теория колебаний. - М.: Дрофа, 2004. - 591 с.

References

1. Makariyanz G. M., Prokofiev A.B., Shachmatov E. V., Shestakov G. V. Development of vibroacoustical characteristics of pipe system under force excitation with use of software ANSYS// The proceedings of the fourth conference of software CAD-FEM GmbH users. - M: Poligon-press, 2004. - p. 280-287.

2. Prokofiev A.B. Method of the complex analysis of dynamics and durability of pipeline systems with hydraulic dampers. The dissertation ofDT.Tech.Sci. - Samara, SSAU, 2008. -191 p.

3. Zienkiewicz O. C, Morgan K.. Finite elements and approximation - M.: Mir, 1986. -318 p.

4. Babakov I.M. Theory of oscillation. -M.: Drofa, 2004. - 591 p.

DEVELOPMENT OF THE FINITE ELEMENT MODEL OF VIBROACOUSTICAL CHARACTERISTICS OF PIPE SYSTEM

© 2008 T. B. Mironova, A. B. Prokofiev, E. V. Shachmatov

Samara State Aerospace University

The finite element mathematical model of dynamic characteristics of pipe system is developed. The model allows calculations of pipe characteristics under force excitation by oscillating fluid flow, including unsteady conditions. The pipe system can be of complex configuration. Results of calculation on the developed model are presented..

Pipeline system, dynamic characteristic, fluid power, vibration, finite element model, fluctuation

Информация об авторах

Миронова Татьяна Борисовна, аспирант кафедры стоматических систем энергетических установок Самарского государственного аэрокосмического университета. E-mail: mirtb@,rambler.ru. Тел. 267-46-63. Область научных интересов: динамика трубопроводных систем, виброакустическое взаимодействие в элементах машин, активные методы подавления шума и вибрации элементов машин.

Прокофьев Андрей Брониславович, доктор технических наук, доцент кафедры автоматических систем энергетических установок Самарского государственного аэрокосмического университета. E-mail: upnk@ ssau.ru. Тел. 267-48-70. Область научных интересов: динамика трубопроводных систем, виброакустика, расчёт и проектирование корректирующих устройств для пневмогидросистем, активные метода подавления шума и вибрации элементов машин.

Шахматов Евгений Владимирович доктор технических наук, профессор кафедры автоматических систем энергетических установок Самарского государственного аэрокосмического университета. E-mail: shakhnT@ssau.ru. Тел. 267-43-04. Область научных интересов: динамика пневмо- и гидросистем систем, виброакустика машин.

Mironova Tatiana Borisovna, post-graduate student, Samara State Aerospace University, Department «Automatic systems of power plant». E-mail: mirtb@rambler.ru. Tel. 267-4663. Area of research: dynamics of pipe system, vibroacoustic interaction of machine elements, active noise control.

Prokofiev Andrei Bronislavovich, senior lecturer, doctor of the technical sciences, Samara State Aerospace University, department «Automatic systems of power plant». E-mail: upnk@ssau.ru. Tel. 267-48-70. Area of research: dynamics of pipe system, vibroacoustic, design of fluid pressure pulsation damper, active noise control.

Shachmatov Evgenii Vladimirovich, professor, doctor of the technical sciences, Samara State Aerospace University, Department «Automatic systems of power plant», E-mail: shakhm@ssau.ru. Tel. 267-43-04. Area of research: dynamics of hydraulic and pneumatic system, vibroacoustic of machine.