CC BY
79
Cloud of Science. 2017. T. 4. № 1 http:/ / cloudofscience.ru
Разработка инструментальных средств преобразования перспективы для художников
А. И. Винокур ' , А. Ю. Шляга
Московский политехнический университет 107023, Москва, ул. Б. Семеновская, 38
"Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 115409, Москва, Каширское ш., 31
e-mail: alex.vinokour@gmail.com; vau2007@rambler.ru
Аннотация. В данной статье рассматривается понятие перспективы с точки зрения геометрии и искусства. Представлены различных виды перспектив на предмет корректного изображения объектов с учетом искажения их формы, размеров и расположения в пространстве. Исследуется разработка компьютерной модели, позволяющей пользователю осуществлять деформацию привычных перспектив с целью корректного отображения объектов или достижения желаемого художественного эффекта.
Ключевые слова: проекция, деформация перспективы, линейная перспектива, нелинейная перспектива, модель изменения перспективы, пространство просмотра, проекторы.
1. Введение
Привычные техники изображения объектов на какой-либо поверхности являются результатами длительного развития человеческого разума. Например, такой метод, как прямая линейная перспектива, используется повсеместно и считается чем-то существовавшим во все времена. При этом, изучая историю развития изобразительного искусства, можно убедиться, что этот метод получил широкое распространение только с XIV в. — начала эпохи Ренессанса. Распространенное до этого применение параллельной и обратной перспективы впоследствии стало восприниматься как неадекватное. За рамками изобразительного искусства изучение различных видов перспективы проводится в рамках изучения проблемы восприятия мира, механизмов порождения зрительных образов или художественных средств, усиливающих выразительность. Подобные исследования позволяют успешно объяснять применение того или иного вида перспективы в историческом и культурологическом контекстах.
В рамках данного исследования ставится задача изучения различных видов проекций на предмет корректного изображения объектов с учетом искажения их формы, размеров и расположения в пространстве. В частности, задачей является
разработка компьютерной модели, позволяющей пользователю осуществлять преобразование привычных перспектив с целью более корректного отображения объектов или достижения желаемого художественного эффекта. Данная модель станет основой системы компьютерной модуляции и деформации перспективы для художников и дизайнеров.
2. Понятие перспективы 2.1. Перспектива в геометрии
В общем случае понятие «перспектива» обозначает способ отображения трехмерных тел на двумерной поверхности, который позволяет передать их структуру и расположение в пространстве.
С точки зрения геометрии перспектива — это способ изображения пространственных тел, основанный на применении центрального проектирования, подчиняющегося математическим закономерностям и наиболее полно отвечающий свойствам человеческого зрения.
Общеизвестно, что способы построения перспективных изображений были сформулированы римским архитектором Марком Витрувием Поллионом в работе «Десять книг об архитектуре» еще в I в. до н. э. [1]. Витрувий описал шесть принципов архитектуры как науки. В принципе диспозиции были описаны основы организации пространства и их отображение в трех видах чертежей: "ichonografia" (план этажа), "ortografía" (чертеж) и "skenografia" (перспективный вид). Именно в чертеже "skenografia" были описаны правила построения перспективного вида [2].
Для того чтобы получить перспективное изображение некоторого объекта, из выбранной точки Евклидова пространства проводятся лучи ко всем точкам объекта (рис. 1). Выбранная точка называется центром перспективы. Для получения изображения на пути лучей ставится некоторая поверхность. Именно на пересечении лучей с поверхностью получается нужное изображение. Поверхность может быть как плоскостью (линейная перспектива), так и любым другим объектом. Например, при использовании внутренней поверхности цилиндра получается панорамная перспектива.
С'
Рисунок 1. Построение перспективного изображения с центром S
2.2. Перспектива как художественно выразительное средство
Перспектива — это мощное художественное средство, усиливающее выразительность образа. В разные исторические периоды в искусстве складывались различные подходы к изображению перспективных искажений [3]. Они были связаны с конкретной задачей художественного произведения и пространственным представлением людей времени.
На протяжении многих лет пространство картины могло быть преобразовано в угоду замыслов создателя. Художник мог изобразить математически точную перспективу или, наоборот, исказить ее, чтобы добиться нужного эффекта. Так, во времена античности наилучшим способом отображения реальности была аксонометрия (рис. 2), так как было важно изображение отдельных, сравнительно небольших предметов ближайшего окружения человека.
Рисунок 2. Помпейская мозаика — пример использования аксонометрии в изображении
Для средневекового европейского и древнерусского искусства характерна более сложная система обратной перспективы (рис. 3). Применение обратной перспективы в иконописи объяснялось необходимостью придать иконе сакральный символический смысл и сделать ее своего рода окном в иной мир [4].
Математическое учение о построении пространства появилось в эпоху Возрождения. Это учение было названо системой перспективы. Именно ее построению было уделено внимание художников Ренессанса в картинах (рис. 4).
Рисунок 3. А. Рублев. Троица — пример использования обратной перспективы в иконописи
Рисунок 4. Рафаэль Санти. Афинская школа — пример использования прямой перспективы в изображении
В произведениях художников XX в. можно увидеть многомерное изображение пространства. Пабло Пикассо сознательно нарушал перспективные закономерности в геометрии пространства, совмещая в одном изображении разные точки зрения на объект (рис. 5).
Рисунок 5. П. Пикассо. Портрет Воллара — пример многоперспективного изображения
3. Виды перспективы
В связи с развитием творческих идей и художественных замыслов и, с другой стороны, математического аппарата и инструментальных средств, наряду с классическими видами линейной перспективы появилась концепция нелинейной перспективы. Одним из примеров нелинейной перспективы является перцептивная перспектива, основанная на бинукулярности человеческого зрения. Она является соединением обратной, аксонометрической и прямой линейной перспективы.
3.1. Линейная перспектива
Рассмотрим два классических типа перспектив — прямую и обратную линейную перспективы (рис. 6) — и их геометрическое представление.
Рисунок 6. Сравнение прямой и обратной линейной перспективы
3.1.1. Прямая перспектива
Приемы прямой линейной перспективы стали известны еще в Древней Греции и Риме, где использовались при создании театральных декораций. В живописи эти приемы были применены только в XIII в. художником Джотто ди Бондоне [3].
Закон прямой линейной перспективы можно сформулировать следующим образом. Пусть выбраны поверхность изображения и неподвижная точка 5, соответствующая положению глаза наблюдателя. Тогда любой пучок параллельных линий, являющихся краями реального объекта и не параллельных экрану, изображается на нем пучком лучей, имеющих общую вершину — точку схода. Пусть любой отрезок, являющийся ребром реального объекта, смещается в произвольном направлении, так что в начальном и конечном положении отрезок параллелен поверхности изображения и его длина не меняется. Тогда размер изображения отрезка обратно пропорционален его удаленности от плоскости, которая проходит через точку 5 параллельно поверхности изображения.
3.1.2. Обратная перспектива
Согласно правилам построения обратной перспективы по мере удаления предметов от наблюдателя их видимый размер увеличивается. По аналогии с прямой перспективой, обратная — это проекция реального пространства на экран. Однако в данном случае центр проекции находится по другую сторону от поверхности изображения.
Закон обратной перспективы можно сформулировать следующим образом. Пусть заданы поверхность изображения и центр перспективы 5. Тогда любой набор параллельных линий изображается отрезками, продолжения которых сходятся в одной точке. Она является точкой пересечения с поверхностью изображения прямой, проходящей через 5 параллельно линиям набора. Видимый размер любой линии, параллельной экрану и имеющей неизменную длину, обратно пропорционален ее расстоянию от фокальной плоскости.
Обратная перспектива обладает сильнейшим художественным эффектом. Ее использование разворачивает пространство вширь и вглубь, наделяя изображение космическим масштабом [4].
3.2. Нелинейная перспектива. Перцептивная перспектива
Любое искажение правил построения линейной перспективы позволяет получить нелинейную перспективу. К таким перспективам относятся как скомбинированные построения в рамках одной сцены нескольких типов проекций, так и независимые
построения по нелинейным функциям. Известным примером нелинейной перспективы является перцептивная перспектива.
Понятие перцептивной проекции появилось в XX в. Академик Б. В. Раушенбах изучал [5], как человек воспринимает глубину в связи с бинокулярностью зрения, подвижностью точки зрения и постоянством формы предмета в подсознании и пришел к выводу, что ближний план воспринимается в обратной перспективе, неглубокий дальний — в аксонометрической перспективе, дальний план — в прямой линейной перспективе.
На рис. 7 можно увидеть различия в отображении при использовании прямой или перцептивной перспективы. Построение прямой линейной перспективы сильно искажает передний и задний планы: предметы переднего плана сильно увеличиваются, а заднего — уменьшаются. Только средний план передается практически без искажения.
») 6)
Рисунок 1. Сравнение прямой (а) и перцептивной (б) перспективы
4. Описание модели
В рамках исследования разрабатывается система компьютерной модуляции и деформации перспективы. Разрабатываемый механизм позволит моделировать различные типы проекций: линейные, нелинейные, художественные и любые другие, задаваемые пользователем системы.
4.1. Задание параметров перспективы в системе
В рамках проводимого исследования предлагается следующий унифицированный подход к заданию модели перспективы, основанный на ортогональной проекции.
Чтобы построить проекцию, нужно задать точку, которая называется центром проекции. Проекции строятся с помощью проецирующих лучей или проекторов, которые выходят из центра проекции. Проекторы пересекают плоскость, которая называется проекционной или картинной плоскостью, и затем проходят через каждую точку трехмерного объекта и образуют тем самым проекцию.
При параллельной проекции центр проекции находится на бесконечном расстоянии от плоскости проекции. Проекторы представляют собой пучок параллельных лучей. В этом случае необходимо задавать направление проецирования и расположение плоскости проекции. По взаимному расположению проекторов, плоскости проекции и главных осей координат различаются ортогональные, прямоугольные аксонометрические и косоугольные аксонометрические проекции.
При ортогональной проекции проекторы перпендикулярны плоскости проекции, а плоскость проекции перпендикулярна главной оси, т. е. проекторы параллельны главной оси [6].
Камера в разрабатываемой системе — ортогональное пространство просмотра, ограниченное двумя плоскостями, «изготовленное» из эластичного материала (рис. 8).
01
Рисунок 8. Пространство просмотра в системе по умолчанию
Это пространство может быть деформировано и им можно манипулировать для создания нужного объема и проекции (рис. 9).
Рисунок 9. Пространство просмотра в системе после деформации
Конечный результат зависит от того, как были изменены ближняя и дальняя поверхности и искривлены проекторы. Результат можно рассчитать параметрически:
х(а,Ь,с)
Q (а, Ь, с) =
(1)
У(а,Ь,с) _ Ф, Ь, с)
Параметр с соответствует глубине в пределах пространства просмотра проекции, а а и Ь определяют начальное и конечное расположение точки.
В ортогональной проекции пространство просмотра — прямоугольная призма, можно описать две плоскости: ^ = (а, Ь,0) — ближняя плоскость и = (а, Ь,1) — дальняя плоскость. Если задана произвольная точка р в пределах этого пространства, его проекция определяется как (а, Ь) — координаты проектора, который пересекает р.
Каждый проектор ра ь(с) = Q(a, Ь, с) начинается в ^ = (а, Ь) и заканчивается в ^ = (а, Ь) . Для того чтобы обеспечить полный контроль над всеми тремя измерениями параметризации, допускаются нелинейные проекторы, которые можно повернуть или изогнуть в 3D-сцене.
4.2. Построение линейной перспективы в заданной модели
Использование представленной модели, основанной на пространстве просмотра, ограниченного двумя прямоугольными плоскостями, позволяет легко перейти от параллельной перспективы (рис. 10) к линейной: прямой или обратной.
Рисунок 10. Пространство просмотра (параллельная перспектива)
При центральной перспективной проекции расстояние от центра проекции до плоскости проецирования конечно, поэтому проекторы представляют собой пучок лучей, исходящих из центра проекции. Изображения на плоскости проекции имеют
перспективные искажения, связанные с взаимным расположением центра проекции, объекта и плоскости проекции [7].
Чтобы создать линейную перспективную проекцию, отношение ширины к высоте прямоугольников ^ и ^ должны быть одинаковыми и поверхности должны быть параллельны друг другу. Это гарантирует, что проекторы сходятся к одной точке обзора. Если ближняя поверхность ^ меньше, чем дальняя, получается прямая линейная перспективная проекция (рис. 11).
Рисунок 11. Пространство просмотра (прямая линейная перспектива)
Если дальняя поверхность ^ меньше, чем ближняя, получается обратная линейная перспективная проекция (рис. 12).
Рисунок 12. Пространство просмотра (обратная линейная перспектива)
Эти построения показывают, как легко используя данную модель, можно настраивать систему на отображение различных типов перспектив.
4.3. Построение нелинейной перспективы в заданной модели
При использовании данной модели существует два способа построения нелинейной перспективы:
1) на основе линейных проекторов;
2) на основе нелинейных проекторов.
В первом случае для искажения перспективы используется искажение поверхностей ^ и ограничивающих пространство просмотра. Например, если ^ — это полусфера с центром в можно получить эффект «рыбьего глаза» (рис. 13).
Рисунок 13. Пространство просмотра (создание эффекта «рыбьего глаза»)
Во втором случае для искажения деформируются сами проекторы (рис. 14). Удобно воспринимать их как кривые Безье, что позволяет сохранить определение поверхностей ^ и как ^ = (а,Ь,0) и ^ = (а,Ь,1).
Рисунок 14. Пространство просмотра (нелинейная перспектива)
5. Заключение
В рамках данной работы понятие перспективы было рассмотрено с двух совершенно разных сторон: со стороны геометрии и со стороны искусства. На протяжении долгих лет художники пытались осуществить свои замыслы, сознательно нарушая или, наоборот, математически выверяя перспективу в своих работах.
В данной работе была представлена модель, позволяющая убрать границу между геометрически «правильной» и «неправильной» перспективой. Данная система представления пространства просмотра основана на ортогональной проекции, двух поверхностях проекции и проекторах. От параллельной проекции можно
перейти к линейной перспективе: прямой или обратной. Искажая и поворачивая проекционные плоскости и/или проекторы, можно добиться нелинейной перспективы.
Представленная модель станет основой будущей системы компьютерной модуляции и деформации перспективы, которая позволит художнику работать с перспективой с целью более корректного отображения объектов или достижения желаемого художественного эффекта.
Литература
[1] Смирнова И. М. Геометрия. — М. : Мнемозина, 2004.
[2] Витрувий. Десять книг об архитектуре. Трактат. — М. : Архитектура-С, 2014.
[3] Аталай Б. Математика и «Мона Лиза». Искусство и наука в творчестве Леонардо да Винчи. — М. : Техносфера, 2007.
[4] Флоренский П. А., священник. Соч. в 4-х т. Т. 3 (1). Обратная перспектива. — М. : Мысль, 1999.
[5] Раушенбах Б. Системы перспективы в изобразительном искусстве. — М. : Наука, 1986.
[6] Brosz J., Samavati F. F., Carpendale M. Sh. T., Sousa M. C. Single Camera Flexible Projection. Proceedings of the 5th international symposium on Non-photorealistic animation and rendering, 2007. P. 33-42.
[7] Carlbom I., Paciorek J. Planar geometric projections and viewing transformations // ACM Comput. Surv. 1978. Vol. 10. No. 4. P. 465-502.
Авторы:
Алексей Иосифович Винокур — доктор технических наук, профессор, директор Института принтмедиа и информационных технологий Высшей школы печати и медиаиндустрии, профессор кафедры художественно-технического оформления печатной продукции, Московский политехнический университет; профессор кафедры «Информационные технологии в социальных системах», Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Анна Юрьевна Шляга — аспирант кафедры «Информатика и информационные технологии», Высшая школа печати и медиаиндустрии, Московский политехнический университет
Development of tools for artistic perspective transformation
Aleksey Vinokur*,**, Anna Shlyaga*
*Moscow Polytechnic University 38, Bolshaya Semenovskaya str., Moscow, Russia, 107023
**National Research Nuclear University MEPhI 31, Kashirskoe highway, Moscow, Russia, 115409
e-mail: alex.vinokour@gmail.com, vau2007@rambler.ru
Abstract. The article gives the definition of perspective as an element of science and art. Different types of perspective are used for the correct presentation of objects with the distortion of their shape, size and position in space. One explores the development of a computer model that allows users to transform default perspectives for a proper objects presentation or to achieve the desired artistic effect.
Key words: projection, perspective deformation, linear perspective, non-linear perspective, perspective transformation model, space of view, projectors.
Referenses
[1] Smirnova I. M. (2004) Geometriya. Moscow, Mnemozina [In Rus]
[2] Vitruviy (2014) Desyat' knig ob arkhitekture. Traktat. Moscow, Arkhitektura-S [In Rus]
[3] Atalay B. (2007) Matematika i «Mona Liza». Iskusstvo i nauka v tvorchestve Leonardo da Vinchi. Moscow, Technosfera [In Rus]
[4] Florenskiy P. A., svyashchennik. Soch. v 4 t. (1999) T. 3 (1). Obratnaya perspektiva. Moscow, Mysl' [In Rus]
[5] Raushenbakh B. (1986) Sistemy perspektivy v izobrazitel'nom iskusstve. Moscow, Nauka [In Rus]
[6] Brosz J., Samavati F. F., Carpendale M. Sh. T., Sousa M. C. (2007) Single Camera Flexible Projection. In Proceeding of the 5th international symposium on Non-photorealistic animation and rendering, pp. 33-42.
[7] Carlbom I., Paciorek J. (1978) Planar geometric projections and viewing transformations // ACM Comput.Surv, 10(4):33-42.
