CC BY
18
УДК 510.5(075)
РАЗРАБОТКА И ОБОСНОВАНИЕ СРЕДСТВ МИНИМИЗАЦИИ ЧИСЛА ШАГОВ РАБОТЫ ФОРМУЛ ПОДСТАНОВОК НОРМАЛЬНЫХ АЛГОРИФМОВ
© 2016 Д. Н. Костиков1, В. М. Довгаль2, В. В. Гордиенко3
1 аспирант каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: kostikov.dmitry@,gmail.com, 2профессор, докт. техн. наук, каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vmdovgal@yandex.ru, 3канд. техн. наук, доцент, каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: vvgord@yandex. ru
Курский государственный университет
В статье рассматривается основная компонента нормальных алгорифмов, представляющая собой формулу подстановок во всем разнообразии форм представления. Приводятся доказательства строгой эквивалентности формул подстановок (продукций) исходных нормальных алгорифмов и их модифицированных форм представления для минимизации конструктивных процессов при обработке конструктивных объектов в зависимости от всех вариантов структурно-логических отношений между словами-вхождениями (образцами) и словами-подстановками (модификаторами). Областью эффективного применения модифицированных продукций являются схемы нормальных алгорифмов, ориентированные на обработку конструктивных объектов общего назначения - слов, имеющих произвольное число букв фиксированного алфавита (текстов, числовых кортежей, описание схем сложных систем и т.д.
Ключевые слова: алфавит, подстановка, формула, продукция, образец, модификатор, модифицированный, нормальный алгорифм, слово, конструктивный, процесс, объект
Тексты являются естественным для человека средством представления информации. Для обработки текстов с помощью вычислительных устройств традиционно используются нормальные алгорифмы Маркова, но для этого данные тексты должны иметь соответствующие формы записи в виде конструктивного задания, чтобы стать объектом формальной обработки с использованием алгоритмических, программных и технических средств.
Теория нормальных алгорифмов Маркова - это универсальная алгоритмическая модель обработки символьной информации, понятие которой ввёл в конце 40-х годов прошлого столетия советский математик Андрей Андреевич Марков (младший) [Марков 1984].
Являясь универсальной алгоритмической системой, ее схемы нормальных алгорифмов не всегда приводят к высоким скоростным показателям при обработке символьной информации. Среди недостатков данной алгоритмической модели можно выделить относительно низкую скорость обработки символьной информации в сравнении с существующими аналогами. Областью эффективного применения схем алгорифмов Маркова является обработка текстов и других сводимых к ним разновидностей данных, а актуальность повышения скорости их работы определяется появлением прорывной технологии автоматизации умственного труда в которой
доминируют задачи преобразования текстов и символьной информации в логических выводах.
Одним из способов решения данной проблемы, рассмотренным в работе [Dovgal 2008а], является механизм расстановки итерационных скобок в словах-вхождениях (образцах), с помощью которого определяются позиции их вхождения в обрабатываемые слова. Однако на данный момент нельзя утверждать, что предложенная модифицированная алгоритмическая система является универсальной, так как не в полной мере рассмотрен вопрос о строгой эквивалентности модифицированных формул подстановки исходным каноническим формулам подстановки нормальных алгорифмов Маркова.
Цель данной работы заключается в повышении скорости обработки информации путём доказательства строгой эквивалентности существующих марковских продукций и их модифицированных форм представления [Там же] в алгоритмических схемах, а также в подготовке основ для доказательств строгой эквивалентности модифицированных схем схемам нормальных алгорифмов.
Пусть R и S - слова в алфавите A. Будем говорить, что слово S является собственным началом слова R, если существует такое слово T в алфавите A, что R = ST. Здесь и далее символом «=» будет обозначаться графическое равенство слов. Собственное начало S слова R будем обозначать символом [R^
Будем говорить, что слово S является собственным окончанием слова R, если существует такое слово T в алфавите A, что R = TS. Собственное окончание S слова R будем обозначать символом [R^
Пусть R - какое-либо слово в алфавите A, i - натуральное число. Символом {R} обозначим слово в алфавите A, полученное путём записи i раз подряд и без разрывов слова R, например, {R}i = R, {R}2 = RR, {R}3 = RRR и т.д. {R}0 = Л - пустое слово.
Возьмём алфавит B такой, что буква не входит в B. Пусть Р и Q - какие-либо фиксированные слова в алфавите B.
Рассмотрим нормальный алгорифм Маркова A в алфавите B со схемой, состоящей из одной единственной формулы подстановки
P ^ Q. (1)
Конструктивная дизъюнкция [Костиков, Довгаль, Гордиенко 2015], представляющая собой логический индикатор самоактивирующейся формулы подстановки, может быть записана в виде
([Рк = Q) V ([Рн = Q) V ([Рк = Q) v ([Рн = Q) v (P = SQT). (2)
Для того, чтобы осуществить доказательство, детализируем рассмотрение предложенных в работе [Dovgal 2008а] способов расстановки итерационных скобок и убедимся в строгой эквивалентности исходных формул подстановок нормальных алгорифмов Маркова и соответствующих им модифицированных эквивалентных форм представления, повышающих скорость их работы.
Например, при верном первом члене конструктивной дизъюнкции (2) форма представления продукции (1) имеет модифицированный вид:
{[Рн}п[Рк ^ ШШп. (3)
1. Рассмотрим случай, когда первый член конструктивной дизъюнкции логического индикатора самоактивирующейся продукции ([Рк = [Q^ является
истинным, то есть существует слово Я в алфавите В, такое что Я = [Рк = [0н. Пусть £ и Т слова алфавита В, такие что Р = £Я, Q = ЯТ.
Таким образом, схема (1) нормального алгорифма Маркова в алфавите В может быть записана в виде
£Я ^ ЯТ. (4)
Пусть X и У - слова в алфавите А, такие что X = Ь{Б}кЯМ и У = ЬЯ{Т}кМ, где Ь и М - любые слова алфавита А, к - натуральное число.
Докажем А: X => У.
Рассмотрим конструктивный процесс, протекающий при применении нормального алгорифма (4) к обрабатываемому слову X. На первом шаге конструктивного процесса формула подстановки (4) преобразует слово X в слово X1 = Ь{£}к-1ЯТМ. Далее, на втором шаге конструктивного процесса формула подстановки (4) преобразует слово X1 в слово X2 = Ь{5}к-2Я{Т}2М и т.д. На к-м шаге конструктивного процесса будет получено слово Xk = ЬЯ{Т}кМ. Поскольку на очередном шаге работы алгорифма в слове Xk отсутствуют позиции вхождения слова Р, то алгорифм (4) завершает свою работу [1]. Таким образом, слово Xk = У является результатом применения алгорифма (4) к слову X, что и требовалось доказать.
2. Рассмотрим случай, когда второй член конструктивной дизъюнкции логического индикатора самоактивирующейся продукции ([Рн = ^к) является истинным, то есть существует слово Я в алфавите В, такое что Я = [Рн = Пусть £ и Т слова алфавита В, такие что Р = ЯБ, Q = ТЯ.
Таким образом, схема (1) нормального алгорифма Маркова в алфавите В может быть записана так:
ЯБ ^ ТЯ. (5)
Пусть X и У - слова алфавита В, такие что X = ЬЯ{£}кМ и У = Ь { Т}кЯМ, где Ь и М -любые слова алфавита В, к - натуральное число.
Докажем А: X => У.
Рассмотрим конструктивный процесс, протекающий при применении нормального алгорифма (5) к слову Х. На первом шаге конструктивного процесса формула подстановки (5) преобразует слово X в слово X1 = ЬТЯ{Б}к- 1М. Далее, на втором шаге конструктивного процесса формула подстановки (5) преобразует слово XI в слово X2 = Ь{Т}2Я{£}к-2М и т.д. На к-м шаге конструктивного процесса будет получено слово Xk = Ь{Т}кЯМ. Так как в слове Xk отсутствуют позиции вхождения слова Р, алгорифм (5) завершает свою работу [1]. Таким образом, слово Xk = У является результатом применения алгорифма (5) к слову X, что и требовалось доказать.
3. Рассмотрим случай, когда третий член ([Рк = Q) конструктивной дизъюнкции (2) является истинным, то есть существует слово Я в алфавите В, такое что Я = [Рк = Q. Пусть £ - слово алфавита В, такое что Р = £Я, а Т - пустое слово, следовательно, имеет место графическое равенство Q = ЯТ.
Таким образом, вариант с являющимся истинным ([Рк = Q) членом конструктивной дизъюнкции (2) является частным случаем рассмотренного выше, в первом пункте, для случая, когда истинным является первый член ([Рк = ^н) конструктивной дизъюнкции (2), а строгая эквивалентность может быть доказана аналогично первому и рассмотренному выше случаям.
4. Рассмотрим случай, когда четвёртый член ([Рн = Q) конструктивной дизъюнкции (2) является истинным, то есть существует слово Я в алфавите В, такое что
Я = [Рн = Q. Пусть £ - слово алфавита В, такое что Р = Я£, а Т - пустое слово, следовательно, имеет место графическое равенство Q = ТЯ.
Таким образом, вариант с являющимся истинным ([Рн = Q) членом конструктивной дизъюнкции (2) является частным случаем рассмотренного выше, в первом пункте, случая, являющегося истинным для первого члена ([Рн = ^к) конструктивной дизъюнкции (2), а строгая эквивалентность может быть доказана аналогично схеме доказательства для предшествующего второго случая.
5. Рассмотрим случай, когда пятый член (Р = SQT) конструктивной дизъюнкции (2) является истинным, то есть существуют слова £ и Т в алфавите В такие, что Р = SQT.
Таким образом, схема (1) нормального алгорифма Маркова в алфавите В может быть записана в виде
SQT ^ Q. (6)
Пусть X и Y - слова алфавита B, такие что X = L{S}nQ{T}mM и Y = L{S}n - к Q{T}m -kM, где L и M - любые слова алфавита B, к, m и n - натуральные числа, такие что
^ _ i п' если п < m, ~ I m, если m < п.
Докажем A: X => Y.
Рассмотрим конструктивный процесс, протекающий при применении нормального алгорифма (6) к слову X. На первом шаге конструктивного процесса формула подстановки (6) преобразует слово X в слово X1 = L{S}n . iQ{T}m . M Далее, на втором шаге конструктивного процесса формула подстановки (6) преобразует слово X1 в слово X2 = L{S}n . 2Q{T}m.2M и т.д. На к-м шаге конструктивного процесса будет получено слово Xk = L{S}n _ kQ{T}m _ кМ. Поскольку в слове Xk отсутствуют позиции вхождения слова P, алгорифм (6) завершает свою работу [Марков 1984]. Таким образом, слово Xk = Y является результатом применения алгорифма (6) к слову X, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи истинности одного из членов конструктивной дизъюнкции (2) логического индикатора самоактивирующейся формулы подстановки и установили строгую эквивалентность предложенных модифицированных формул подстановки каноническим формулам подстановки нормального алгорифма Маркова. Следовательно, можно сделать вывод о строгой эквивалентности модифицированной алгоритмической системы, приведенной в работе [Dovgal 2008а], нормальным алгорифмам Маркова.
В качестве примера рассмотрим нормальный алгорифм Маркова, в алфавите C = {a, b, c}, состоящий из одной единственной формулы подстановки
abcbac ^ baccac. (7)
Данная формула подстановки может быть модифицирована с помощью метода расстановки итерационных скобок, в следствии чего будет получена модифицированная одно-формульная алгоритмическая схема C, состоящая из одной формулы подстановки
{abc}nbac ^ bac{cac}n. (8)
Рассмотрим пример применения алгорифма B и продукции (8) к слову D в алфавите C, такому что
D = cbcabcabcabcbaccbca,
и сравним количество шагов работы соответствующих конструктивных процессов.
1. Конструктивный процесс применения нормального алгорифма (7) к слову D может быть представлен следующим списком слов:
1) сЬсаЬсаЬсаЬсЬаесЬса;
2) сЬсаЬсаЬсбассассЬса;
3) cЬcaЬcbaccaccaccЬca;
4) cЬcbaccaccaccaccЬca.
Заметим, что конструктивный процесс применения нормального алгорифма (7) к слову D выполняется за 3 шага.
2. Конструктивный процесс применения алгоритмической системы (8) к слову D может быть представлен следующим списком слов:
1) сЬсаЬсаЬсаЬсЬассЬса;
2) сЬсЬассассассассЬса.
Заметим, что конструктивный процесс алгоритмической схемы (8) к слову D выполняется за 1 шаг.
Таким образом, результатом применения как нормального алгорифма B, так и алгоритмической схемы C к слову D будет слово E в алфавите C, такое что
E = cbcabcabcabcbaccbca. Однако в случае применения алгоритмической системы C получен выигрыш в скорости обработки информации, который будет возрастать с увеличением количества повторяющихся частей обрабатываемого слова, совпадающих с заключённым в итерационные скобки началом слова-образца формулы подстановки модифицированной алгоритмической системы.
Так как нормальные алгорифмы Маркова являются универсальной алгоритмической системой, как и машины Тьюринга и Поста, из вышеописанного каскада доказательств следует вывод о том, что модифицированная алгоритмическая система [Dovgal 2008a,b], также является универсальной, следовательно, может быть применена для широкого круга задач, в которых критичны затраты времени их решения. Сокращение затрат времени достигается тем, что многошаговый конструктивный процесс преобразования слов каноническими формулами подстановки строго эквивалентно реализуется преимущественно одношаговым конструктивным процессом, в котором слова-итерации или аннуляции слов могут осуществляться за один шаг работы модифицированной продукционной схемы.
Библиографический список
Dovgal V. ets. The proWem of constructing БушЬоНс Ьridges for interracing heterogeneous computer networks. Acceleration of the work of autonomous productions // Telecomunication and radio engineering. 2008a. Vol. 3. Part 1.
Dovgal V., ets. Acceleration of algorithmic diagrams and hardware architecture// Telecomunication and radio engineering. 2008b. Vol. 12. Part 2.
Костиков Д.Н., Довгаль В.М., Гордиенко В.В. Механизмы и нормальные алгорифмы, распознающие графическое равенство слов // Вопросы кибербезопасности, моделирования и обработки информации в современных социотехнических системах: сб. науч. тр. I междунар. науч.-техн. конф. (26-27 мая 2015 г.) / Курск. гос. ун-т. Курск, 2015.
Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
