CC BY
52
Посвящается памяти Г.В. Погарева
РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗВЕРТЫВАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА ПЛОСКОМЕРА
А.М. Бурбаев
На примере оптико-механического устройства точного измерительного прибора показано применение метода анализа вращаемых зеркально-призменных систем для решения задач проектирования и юстировки прибора, обоснования допусков на изготовление основных его элементов - метода, основанного на построении наглядной математической модели без использования аппарата матриц и кватернионов.
Современное точное оптическое приборостроение требует от разработчика широких знаний принципов и способов расчета и анализа не только механических, но также электрических и оптических систем. Одним из наиболее сложных разделов расчета последних является расчет зеркально-призменных систем (ЗПС), а также разработка способов их юстировки. Такие расчеты, связанные с пространственными преобразованиями векторов, проще всего производить векторно-матричным методом. Применение этого метода для решения многих практических задач расчета, анализа и юстировки ЗПС показано в работах [1, 2]. Известны и другие математические методы расчета ЗПС, общие характеристики которых, а также теория и примеры применения приведены в работе [3]. Однако, поскольку наибольший интерес и наибольшие трудности представляют задачи расчета и анализа ЗПС в сходящемся ходе лучей (операции с радиус-векторами), когда наряду с вращением пространства необходимо учитывать и его поступательный сдвиг, в дополнение к векторно-матричному методу можно рекомендовать только винтовое исчисление и алгебру бикватернионов. Применение перечисленных методов для решения задач анализа и юстировки ЗПС требует глубоких математических знаний и навыков, сопряжено с использованием громоздких формул, с трудоемкими вычислениями.
Задача настоящей работы - показать на конкретном примере альтернативный метод анализа подвижных ЗПС (применяемый автором в учебном процессе), основанный на построении простой и наглядной математической модели и позволяющей просматривать решаемую задачу с точки зрения геометрии ее построения. Метод характеризуется малым объемом вычислительных операций, не требует от разработчика прибора высокого пространственного воображения, глубоких математических знаний. Вместе с тем предлагаемый метод опирается на такие базовые понятия, как классификация и свойства ЗПС, инвариантные направления, операторы действия ЗПС. Разработчики должны владеть методикой эквивалентной замены ЗПС, знать некоторые приемы и способы, показанные в работах [1, 2], упрощающие решение юстировочных задач.
Плоскомер или прибор контроля неплоскостности поверхностей состоит из визирной трубы ППС-11 и кронштейна с поворотной пентапризмой, предназначенного для вертикальной установки трубы. Основное требование к прибору в кратком изложении сформулировано так: "... отклонение от плоскостности поверхности, описываемой визирной осью трубы при повороте пентапризмы в пределах 0-360°, не должно превышать сотые доли миллиметра на площади круга с радиусом Ь, где Ь = 0,25-30 м". Чтобы спроектировать и изготовить этот прибор, необходимо получить ответы на ряд вопросов, касающихся не только требований точности к изготовлению составных элементов устройства, но также требований к сборке, юстировке и настройке прибора перед измерением. Ответы на некоторые из вопросов, как, например, о прямолинейности линии визирования самой трубы ППС-11 и об угле отклонения развертывающей призмы, вполне очевидны. Вместе с тем ответы на
следующие вопросы представляются весьма непростыми: например, какие требования следует предъявить к подшипнику, обеспечивающему поворот призмы, или как в результате сборки должны быть взаимно ориентированы визирная ось трубы и ось вращения подшипника, ось вращения подшипника и призма.
Построим математическую (геометрическую) модель механизма развертки поверхности с использованием зеркального эквивалента пентапризмы и ее математического действия. Но сначала определим базы. Правильный выбор основной базы - едва ли не главное условие обеспечения адекватности разрабатываемой модели анализируемому устройству. Здесь основной базой (первичной, естественной и неизменной), относительно которой можно рассматривать любые отклонения в функционировании системы, является горизонтальная плоскость, которой, в идеальном случае, должна быть параллельна плоскость развертки визирной оси. Отсюда легко обосновывается выбор базы, сопряженной с основной, в качестве которой принимается визирная ось трубы - строго прямолинейная и отвесно расположенная (перпендикулярная горизонтальной плоскости).
Обратимся к рис. 1, где представлена геометрическая модель механизма развертки визирной оси (ВО) в плоскость. Точки Т1 и Т2 - произвольно выбранные точки на оси визирования трубы ППС-11. Точки Т1' и Т2' - изображения этих точек через пентапризму БП-90°. Как известно [1], пентапризма в сходящемся ходе лучей
эквивалентна угловому зеркалу (УЗ), след ребра РЭ которого находится на расстоянии е от ребра Рп реальной призмы. Это расстояние определяется по формуле
где а - ширина входной грани, а п - показатель преломления стекла.
Математическое действие УЗ состоит в повороте пространства предметов вокруг ребра на удвоенный угол а между отражающими зеркалами в направлении от первого зеркала (по ходу луча) ко второму. Поэтому положение изображений точек Т1 и Т2 можно найти поворотом радиусов РЭТ1 и РЭТ2 вокруг ребра РЭ на угол 90° против часовой стрелки. На рис. 1 показано также положение ребра эквивалентного УЗ после поворота призмы на 180° (Рэ ). Имея новое положение ребра, аналогичным образом можно найти новое положение изображений точек Т1 и Т2. Таким образом, если ось вращения призмы (ОВ) совпадает с визирной осью трубы, а угол отклонения призмы равен строго 90°, поверхность развертки (ПР) будет представлять собой плоскость.
Рис. 2. Математическое моделирование технологических погрешностей
изготовления плоскомера
Пусть теперь ось вращения призмы наклонена на угол ф и смещена на величину / (рис. 2) по отношению к визирной оси. Заметим, что положение изображений точек визирования изменится, как только изменится положение ребра УЗ (точки РЭ). Из-за наличия погрешностей фи/ след ребра УЗ (Р180), повернутого на 180°, оказался сдвинутым по отношению к исходному, т.е. идеальному, положению (Р'180) на величину Ад. Это смещение Ад можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие: АдВ и АдГ, причем АдВ = 2ф^, а АдГ = 2/, что облегчит определение величины I смещения изображения точек визирования в перпендикулярном к базовой плоскости направлении по формуле [1]
п - 1 „ гт\ е = а-(1 + >/ 2),
(1)
п
t = - 2Aq sina cos (a+9), (2)
где 9 - угол между направлением оси падающего пучка света и направлением сдвига.
Сдвиг изображений визируемых точек в вертикальной плоскости, т.е. в направлении, перпендикулярном базовой плоскости, и определит величину §□ отклонения от плоскостности, причем
5п = ti + t,p , (3)
где
tl = -2-2/ sina cos(a+9i), tp= - 2-2pd sina cos(a+9^).
В последних формулах a = 45°; 9/ = -90°; = 180°, что соответствует знакам погрешностей p и / на рис.2. Таким образом, получаем
5П = 2(pd - l). (4)
Здесь d - расстояние от ребра эквивалентного УЗ до оси вращения призмы; при n = 1,5 получаем d = 0,64a, где а - размер грани.
Для измерения неплоскостности плоскомер должен быть снабжен своим собственным оптическим микрометром, а с помощью оптического микрометра визирной трубы ППС-11 введением требуемого сдвига / визирной оси можно скомпенсировать наклон p оси вращения к визирной оси трубы. Условие компенсации имеет вид
/ = pd. (5)
Таким образом, в процессе юстировки плоскомера не требуется производить точного совмещения оси вращения с визирной осью трубы. Для осуществления практической юстировки плоскомера в его конструкцию необходимо включить технологическое (вспомогательное) биштриховое перекрестие, расположив его по оптической схеме сразу за выходной гранью пентапризмы перед пластиной оптического микрометра. Перед процессом измерения (аттестации плоскомера) трубу визируют на вспомогательное центрировочное перекрестие и с помощью маховичков Х и Y оптического микрометра совмещают перекрестие визирной трубы с биштриховым перекрестием центрировочной (юстировочной) сетки. Записывают отсчеты Х0 и Y0 по шкалам микрометра. Далее разворачивают поворотное устройство плоскомера (с призмой) на 180° и снова производят совмещение перекрестий с записью отсчетов Х180 и Y180 по шкалам микрометра трубы. Определяют среднее значение отсчетов ХК и YK, которые и устанавливают по шкалам барабанов микрометра:
Х + Х Y + Y
X — ^ 180 . Y = 0 180 (6)
к - 2 2 ' После этой операции приступают к прокладыванию исходной (базовой) плоскости.
Определим теперь требования к работе насыпного подшипника, к его торцевому и радиальному биениям. Поскольку нестабильность положения в пространстве оси вращения подшипника приводит к соответствующим "колебаниям" призмы, установленной на поворотной платформе, при которых ребро эквивалентного УЗ сдвигается как в плоскости вращения, так и в перпендикулярном ей направлении, допуски на торцевое и радиальное биения должны быть ограничены. Погрешности эти имеют нерегулярный периодический характер и компенсации не подлежат. Применив формулы (2) и (3), аналогично выводу уравнения (4) для величин 5т и 5р торцевого и радиального биений подшипника получаем
5п = 5т + 5р . (7)
Отсюда следует, что, если на торцевое и радиальное биения подшипника выделить половину постоянной составляющей допуска на суммарную погрешность
5т = 5р = ',— « 0,01 мм.
плоскомера, а это по техническим условиям 0,015 мм, то при равенстве допусков величины биений составят 0,015
Такой допуск потребует достаточной жесткости колец подшипника, тщательной шлифовки беговых дорожек и не менее тщательной сборки, включающей калибровку шариков и пригонку величины зазора между шариками и беговыми дорожками.
В завершение анализа определим требования к установке призмы на поворотной платформе. Из схемы устройства и формулы для компенсации основных погрешностей следует, что сдвиги и повороты призмы на плоскости базирования не критичны. Также некритичной является неперпендикулярность выходной грани призмы к оси вращения и к оси визирования. Наклон призмы в плоскости главного сечения (т.е. вокруг ребра УЗ) компенсируется юстировочным сдвигом визирной оси трубы, а поворот ее вокруг оси выходящего пучка приводит к угловому отклонению визирной оси в плоскости развертки, постоянному для любого положения призмы. Величина рассматриваемой погрешности с учетом технологии изготовления деталей подшипника не превысит двух угловых минут, поэтому и на качество изображения такой наклон стеклянной развертки призмы не повлияет.
Литература
1. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. 2-е изд. Л.: Машиностроение, 1982. 237 с.
2. Погарев Г.В., Киселев Н.Г. Оптические юстировочные задачи. Справочник. 2-е изд. Л.: Машиностроение, 1989. 260 с.
3. Грейм И.А. Зеркально-призменные системы. М.: Машиностроение, 1981. 125 с.
