Разработка и исследование компьютерных методов трехмерного проектирования одежды Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решение подобных уравнений не представляет трудностей, а функциональная готовность нейро-компьютерной системы в этом случае определяется выражением:

Подводя итоги, следует отметить, что рассмотренные в работе два подхода к приближенному вычислению функциональной готовности нейро-компьютерной системы при настройке и восстановлении после отказов нейронной сети позволяют восполнить имеющийся пробел при построении и исследовании вероятностных моделей надежности искусственных нейронных сетей и нейрокомпьютерных систем и сделать эти модели более адекватными реальным условиям функционирования нейрокомпьютерных систем.

Библиографический список

1. Галушкин А.И. Теория нейронных сетей. Нейрокомпьютеры и их применение / А.И. Галушкин. - М: ИПРЖР, 2000. -416с.

2. Миркес Е.М. Нейрокомпьютер. Проект стандарта / Е.М, Миркес. - Новосибирск: Наука, Сиб. изд. фирма РАН, 1998. -337с.

3. Потапов В.И. Математические модели и методы оптимизации надежности отказоустойчивых вычислительных систем из искусственных нейронов / В.И. Потапов, И В. Потапов. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2004. - 84с.

4. Потапов В.И. Отказоустойчивые нейрокомпыотерные системы на базе логически стабильных искусственных нейронных сетей / В.И.Потапов, И.В. Потапов //Омский научный вестник. - 2004. - №3(28). - С.119- 123.

5. Васильев Б.В. Надежность и эффективность радиоэлектронных устройств / Б.В. Васильев, Б.А. Козлов, Л.Г. Тка-ченко. - М.:Сов.радио, 1964, —360с.

6. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. — М.: Сов.радио, 1972. -550с.

ПОТАПОВ Илья Викторович, кандидат технических наук, доцент кафедры ИВТ.

Дата поступления статьи в редакцию: 01.02.06 г. © Потапов И.В.

УДК 658.512.011.56 В. д. ФРОЛОВСКИИ

В. В. ЛАНДОВСКИЙ

Новосибирский государственный технический университет

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ МЕТОДОВ ТРЕХМЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОДЕЖДЫ_

В статье рассматриваются вопросы моделирования компьютерных манекенов, моделирование взаимодействия деталей одежды при их сборке на поверхности манекена, моделирование взаимодействия ткани и поверхности манекена. Для моделирования сложных поверхностей используется математический аппарат тригонометрических интерполяционных сумм (ТИС), основанный на быстром преобразовании Фурье и методе Ланкзоса. На основе метода частиц с учетом деформационных свойств ткани разработаны алгоритм и программы для моделирования поведения ткани на поверхности манекена. Работа поддержана грантом МО РФ Т02—10.4—3668.

Введение

Построение моделей объектов виртуальной реальности с достаточно сложной поверхностью, представляет собой процесс, требующий специализированных технологий для конкретных предметных областей. При этом мы должны учитывать как реально доступные средства получения информации об объекте, так и принятые в предметной области информационные характеристики объекта, В частности, одной из наиболее увлекательных и сложных задач компьютерной графики является моделирование поведения ткани при проектировании одежды. Важным в этой задаче является не только достижение наибольшей визуальной реалистичности. но, возможно в большей степени, обеспечение соответствия модели физическим характеристикам

ткани, соответствия моделируемых деформаций реальным.

На сегодняшний день практически все ведущие мировые фирмы в области разработки программных продуктов для индустрии моды определили для себя один из главных приоритетов - оснащение систем автоматизированного проектирования модулем моделирования сборки одежды. Например, у Gerber это пакет APDS-3D, у PAD System - модуль 3D Sample. Фирмы Investronica (Испания) и Lectra (Франция) также заявили о подобных разработках.

Интерес к проблеме физически-ориентированного моделирования ткани возник еще в 90-х годах прошлого столетия. Исследования в этой области проводились в основном зарубежными учеными. Необходимо отметить некоторые работы, сыгравшие важную роль в сегодняшнем представлении о

s.

ризации (х(и),у(и),х{и)), используя ее известные значения на дискретных узлах, то есть так, что

выполняется условие: (Х(к),У(к),1(к)) = (х(к\ У(к\г(к)) для всех к из ОЩ,...^^.

Рассмотрим гладкую вещественнезначную функцию ф, от р - переменных, определенную на р - мерном кубе: [-1 1]х. .х|-1 |]. Сумма

Рис. 1. Построение ЗО поверхности манекена с различной степенью детализации при помощи ТИС

моделировании ткани, в [3] детально рассматривается моделирование некоторых физических свойств тканных материалов, использование неявного метода интегрирования для моделирования ткани впервые предложено в работе [8]. Однако до настоящего времени в большинстве публикаций рассматриваются вопросы моделирования поведения отдельного фрагмента ткани под воздействием гравитации или ветра на абстрактных поверхностях типа сферы, конуса, цилиндра и т.п.

В настоящей работе рассматриваются следующие аспекты моделирования одежды: 1) моделирование компьютерных манекенов с необходимой степенью детализации; 2) моделирование взаимодействия деталей одежды при их сборке; 3) моделирование взаимодействия ткани и поверхности манекена.

Для построения геометрической модели сложных объектов существует достаточно большое число универсальных графических, систем с открытой архитектурой (AutoCAD, MicroStation, bCAD и др.). Хорошо развиты методы параметрического представления объектов в технических приложениях с помощью таких систем проектирования, как, например, Autodesk Mechanical Desktop, Inventor, ProEngineer, где геометрические модели представлены в виде теоретико-множественных композиций таких примитивов как цилиндры, конусы, сферы и т.п. Для объектов же более сложной структуры, представленных в самом общем виде сеточными моделями, этот вопрос до настоящего времени остается мало изученным и решение рассматриваемых фундаментальных задач в рамках методов компьютерной геометрии является актуальным и имеет большое практическое значение для многих предметных областей.

1. Параметрическое моделирование сложных геометрических объектов

Морфологическая информация о сложной поверхности М, состоит из координат (х, у, z) ограниченного множества G точек поверхности М. Требуется вычислить параметрическое представление М на основе этих данных. Для этой цели выберем произвольную гладкую параметризацию поверхности М, данную гладким отображением (х(и); у(и), z(u)) из р-мерного куба U= [0,1 ] х... х [0,1] на поверхность М, так что оно преобразует множество узлов Q(Nl,...,Np) из U на множество С. Здесь р = 2 для поверхности. Обычно рассматриваемая параметризация известна не явно. Однако часто легко определить соответствие, которое она устанавливает между ограниченным множеством узлов

Q(A'n...,Np) и G, то есть дать значения (х(к),у(к), z(k)) параметризации на дискретных уз-лах к множества Q(Nr...,N ) . Это ставит задачу построения аппроксимации (X(u).Y(u).Z(u)) парамет-

V

.....v„)= Z ФЪ t хехр(£м(у,+1)

*,, .к, '' 1

с коэффициентами

(1)

expf -¿7^5,

(2)

определяет тригонометрическую интерполяционную сумму (TIS) относительно множества точек в 7:

, ч i(v,,...,v )eK:v =t,/N. -1,1

T = (2N).

№ =

y/(u)-h(u)

-ф{~о)

для 0 < и < 1, для -1 < и < 0,

(3)

В выражениях (1) и (2) кпГ, = 0,...,2ЛА1, • 5, = [, /N¡,1 = 1 ...р и 7 = л/^Т • Выражение (2) - это

известное р-мерное дискретное преобразование Фурье вектора с компонентами /"(д), дб Q{NV..., Nр). Его обратное преобразование дано формулой (1). Для вычисления коэффициентов (2) существуют эффективные алгоритмы, называемые быстрыми преобразованиями Фурье. Также, ТИС допускают простой контроль выбора оптимального соотношения между точностью представления моделей и стоимостью вычислений посредством выбора числа и места расположения точек, мбдели. ТИС Ф, определенная формулой (1) — это интерполяционная функция для ф на множестве

узлов N ), т.е. Ф(д) = ^(<7) в каждой точке

q множества Q{NN ). Известно, что если ф допускает гладкое периодическое расширение, тогда Ф быстро сходится к ф, т.к. стремятся к бесконечности для всех 7 = 1 ,...,р. Однако, если граничное поведение функции ф такое, что ее определение не может быть гладко расширено, тогда сходимость ее ТИС может быть очень медленной, т.о. Фможет дать плохую аппроксимацию. В этом случае Ф может показать эффект Гибба - высокочастотные колебания между интерполяционными узлами. Преодолеть эту проблему можно с помощью метода Ланцоша [1,2]. Основная идея метода заключается в том, чтобы построить аппроксимацию к заданной параметризации ц/ посредством ТИС для вспомогательной периодической функции ф, которая на всей своей области определения (включая границу) имеет ту же степень гладкости что и ц/. Следовательно, если вспомогательная функция определена формулой:

где Л — это функция, при которой выполняются условия гладкости и если аппроксимирующая функция У к у определена формулой:

Ч» = ФО)+ /?(»), (4)

о е

Рис. 2. Дискретная модель ткани

Рис. 3. Типы взаимодействий

тогда она удовлетворяет неравенству: <

~ 1оеОг)

- ^ Аля всех и из и. Таким образом, ре-

зультирующая аппроксимация У быстро сходится к у, следовательно, преодолевается медленная сходимость ТИС для непериодических функций. Метод, определенный формулами (3) и (4), устанавливает функцию Л как многочлен:

Ки)= I

Здесь Р] — многочлен на [0, 1 ] такой, что Р0(и) = 1, Р^и) = и, йРк(и)!йи = Рк_х(и) для к = 2,3,..., и

= = V * = 1. 2. ...

Расширение данного метода для многомерного случая основано на построении вспомогательной функции /как нечетного расширения (продолжения) на р-мерном кубе К = [-1,1] х ••■ х [-1,1] функции Ц>-Ирт, где многочлен на

и= [0,1]х...х [0,1]. Этот многочлен определен таким образом, что удовлетворяются следующие условия:

1) частные производные порядка 2т + 1 от функции ф относительно каждого аргумента существуют и ограничены на V,

где к/ = 0,... , 2т +1 и )- \,...,р . В частности Ир т

определяются соотношениями: Ь/.„Хи) =

= + Л^^С«), при ;= 2 ,...,р и

Л1. »(") = {К ■ Здесь ■ оператор на про-

странстве дифференцируемых на (У функций, определенный формулой:

= I [/2*'(Ир-, Ин, 0, и и )Р2кг/,) +

+ /"'("„■■■> М;_„ 1, ин,..., (и,)],

где Рк (и) - многочлен на [0, 1] порядка /с. Далее аппроксимация У для функции у посредством ТИС

определена соотношением: Ч/(м) = Ф(и) + И (и),

где Ф - это ТИС вспомогательной функции ф. Результирующая ошибка аппроксимации удовлетворяет неравенству:

Ыи)-Ч>(и)\< шах

для всех а из и, где С — некоторая константа. Аппроксимация каждой координатной функции Х(и), У(и) и 2(ц) достигается применением метода аппроксимации через ТИС. Граница, данная для погрешности аппроксимации, устанавливает, что приближенная параметризация (Х(и),У(и)^(и)) стремится к точной, по мере того, как число узлов увеличивается.

2. Моделирование ткани

Ткань - сложный объект. В ткани тонкие волокна скручены в нити, и эти нити более или менее жестко сплетены во взаимосвязанную сеть. Все компоненты сети держатся вместе просто трением. Поведение их зависит от типа волокна, веса волокна, плотности сплетения, типа сплетения и т.д. Представим модель ткани как систему частиц [7] которые размещены в точках пересечения продольных и поперечных нитей ткани, как показано на рисунке 2.

В этой модели попытаемся определить наиболее важные взаимодействия между частицами. Основные взаимодействия, которые происходят на уровне нити, это: растяжение-сжатие; изгиб и сдвиг [3]. Взаимодействие отталкивания (растяжение) вводится для обеспечения условия, что имеется минимальное расстояние между частицами, предотвращающее самопересечение ткани, сжатие соединяет каждую частицу с ее четырьмя соседями и представляет собой силу натяжения нити. Сдвиг представляет собой деформацию ячейки сети. Взаимодействия изгиба обусловлены изгибом нитей относительно плоскости окружающей ткани.

Силы перечисленных взаимодействий можно определить следующим образом: Рр^ж. = ~1), = ~ <Р) ■ К = М„ 005(0/2).

Для представления конкретной ткани нужно построить эти зависимости, основываясь на существующих измерительных системах физических свойств тканей, и исходя из полученных данных выбрать конкретные значения коэффициентов. Примером измерительной системы может служить система Ка^/аЬа1а [6]. Система КашаЬа1а — это стандартное оборудование для измерения физических и механических свойств конкретного тканого материала. Результаты этих измерений дают возможность определять количественные соотношения, выражающие физическое поведение тканей, классифицировать и устанавливать существенные свойства различных тканей.

Движение системы описывается обобщенными

перемещениями , и на каждом временном

слое ищутся положения узлов в пространстве

Т](г) = {хДО,_)■',-(?); -ДО} ■ Таким образом, ткань будет

представлять собой механическую систему с тремя степенями свободы, которая осуществляет движение относительно устойчивой равновесной формы.

Таблица 1

Результаты моделирования, явный метод

Количество итераций Шаг интегрирования. с Максимальное растяжение, % Время интегрирования, с Время взаимодействия 1 кпни и манекена, с Общее время.

600 0.001 5.4 % 32 2 34

1200 0.001 8.2% 58 6 64

Таблица 2

Результаты моделирования, неявный метод

Количество итераций Шаг интегрирования, с Максимальное растяжение, % Время интегрирования, с Время взаимодействия т канн и манекена, с Общее время, с

60 0.01 6.2 % 25 0.15 25.2

120 0.01 8.5% 53 0.45 53.5

Из принципа Гамильтона для функции Ь , зависящей от координат 7: и скоростей г] , следует

уравнение Эйлера-Лагранжа: ~ ^

= 0

Это

уравнение определяет динамическую траекторию системы, как только найдена функция Дагранжа. В классической механике лагранжиан определен как разность между кинетической энергией и потенциальной энергией , то есть Ь = Т -II ■ Весьма важно при определении лагранжиана учесть рассеяние в системе. Для этого необходимо определить функцию /) , зависящую от скорости. Ее называют

функцией потерь и определяют как: Е> = —с1(г,У

Таким образом, уравнение равновесия будет иметь вид:

8L _d_ дг dt

dD_ дг!

= 0

II

шшш

ШшШ.

.........ШШШ

ная энергия частицы ик = т^г . Однако полная потенциальная энергия частицы будет включать составляющую, обусловленную взаимодействиями между частицами 11м . Используя выражения для кинетической энергии, функции потерь и гравитационной составляющей получим следующее уравнение движения частицы:

- - диы

т,г + с,г + т,е +--

II II /О

дг.

0

Пусть элементарная частица имеет массу т; Кинетическая энергия такой частицы движущейся со

скоростью ^ будет равна Т = , потенциаль-

Последняя составляющая уравнения движения, представляет собой некоторую функцию координат узла 7) и координат 7/ / е /?, где Л - множество индексов узлов связанных с узлом [4]. В физическом смысле это результирующая сила внутренних взаимодействий. Тогда уравнение

движения узла примет следующий вид: т1г1 + с,г, +

+ т+ = 0, а для всей системы М7" + С7 +

+ Mg + - 0. где М матрица инерции - диаго-

нальная матрица, описывающая распределение масс ткани, С матрица демпфирования, 7 = .

Разрешив уравнение относительно у" и сгруппировав в правой части все силы, действующие на систему частиц, получим полную систему дифференциальных уравнений:

Г = 1^^(7,7), где Р(7,7')- функция, описывающая действие внутренних и внешних сил н^ткань._ Начальные условия:

л на ткань. ,

■ 0

Рис. 4. Исходная модель и результат сборки

Введем обозначение v = 7 и перепишем систему уравнений следующим образом:

7' = v

v' = М'] F{7,v)

Для нахождения траекторий движения частиц необходимо решить полученную систему дифференциальных уравнений. Применение явного метода Эйлера приведет к следующей системе алгебраических соотношений

Д)

Применение такого метода требует выбора настолько малых значений шага, что количество

итераций, необходимое для получения результата, возрастает до недопустимых значений.

Изменив первое соотношение, ги+1 -У„ получим метод второго порядка точности и с большей областью устойчивости, для вычисления 7и+1 не требуется решать никаких алгебраических уравнений, а достаточно пересчитать скорость до пересчета положения. Такой подход на практике позволяет увеличить шаг интегрирования на порядок.

Наибольшего шага интегрирования можно получить, используя неявный метод:

Подробно особенности этого подхода рассмотрены в [5].

После каждого вычисления нового положения частиц наступает этап, на котором определяется, взаимодействовала ли какая-либо частица с поверхностью манекена, который на этом этапе представлен треугольной сеткой. Если в некоторый момент времени частица оказалась внутри манекена или на его поверхности, то необходимо скорректировать ее положение и скорость.

3. Моделирование сборки одежды

Сборка модели одежды и наложение ее на поверхность манекена представляет собой следующую последовательность действий. В начальный момент времени тело и ткань должны находиться вблизи друг от друга, чтобы избежать напрасных затрат на сближение. Чтобы сконструировать одежду, устанавливаем точки соответствия различных выкроек. Временно исключив действие силы тяжести, вводим внешние силы, аналогичные по действию силе тяжести, стягивающие соответствующие точки выкроек к геометрической середине отрезка между ними. На последнем этапе производится включение внешней силы тяжести. Связи, характеризующие изгиб ткани, действуют через узел, поэтому отсутствует влияние одной выкройки на другую. Эти взаимодействия учитываются отдельно,

исходя из известного набора точек соответствия. Пример результатов моделирования сборки платья на поверхности манекена показан на рисунке 4, модель платья представлена набором выкроек с общим количеством частиц 5296, манекен представляет собой сеть из 5150 треугольников, характеристики работы метода представлены в таблицах 1 и 2.

Библиографический список

1. Lanczos С. J. Soc. Indus. Appl. Math. Ser. В Numer. Anal. 1, 76(1964).

2. Jimenez J. C.. Biscay R., Aubert E. Parametric representation of Anatomical Structures o( the Human Body by Means of Trigonometric Interpolating Sums — Centro de Neurosciences de Cuba, Apartado 6880, La Havana, Cuba, Journal of computational physics. paper0135.1996.

3. Eberhardt A., Weber A.. Strasser W. A fast, flexible, particle-system model for clothes draping. IEEE Computer Graphics and Applications. № 16, 1996. P. 52-59.

4. Frolovsky V. D„ Landovsky V. V. Modeling of fabric based on particles method. Proceedings of the International Forum isiCAD-2004. Novosibirsk. Ledas Ltd. 2004. P. 224-229.

5. Frolovsky V. D., Landovsky V. V. Explicit and Implicit integration in the problem of modeling of fabric based on particles method. Proceedings of 9th Korean- Russian International Symposium on Science and Technology. June 26 - July 2, 2005. Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk, Russia. P. 596-600.

6. Kawabata S., Postle R., Niwa N. Objective Specification of Fabric Quality, Mechanical Properties and Performance, The Textile Mach: Soc. Japan Publications. 1982.

7. W. Hockneyand J. W. Eastwood, Computer Simulation Using Particles. McGraw-Hill, New York, 1981

8. David Baraff and AndrewWitkin. Large steps in cloth simulation. In SIGGRAPH 98 Conference Proceedings, Annual Conference Series, pages 43-54. ACM SIGGRAPH, 1998.

ФРОЛОВСКИЙ В. Д. ЛАНДОВСКИЙ в. B.

Дата поступления статьи в редакцию: 03.02.06 г. © Фроловский В.Д., Ландовский В.В.

Книжная полка

Хайкин С. Нейронные сети; 5-е изд.- М.: Вильяме, 2005. - 1104 с.

В книге рассматриваются основные парадигмы искусственных нейронных сетей. Представленный материал содержит строгое математическое обоснование всех нейросетевых парадигм, иллюстрируется примерами, описанием компьютерных экспериментов, содержит множество практических задач, а также обширную библиографию.

В книге также анализируется роль нейронных сетей при решении задач распознавания образов, управления и обработки сигналов. Структура книги очень удобна для разработки курсов обучения нейронным сетям и интеллектуальным вычислениям.

Книга будет полезна .для инженеров, специалистов в области компьютерных наук, физиков и специалистов в других областях, а также для всех тех, кто интересуется искусственными нейронными сетями.