CC BY
58
УДК: 629. 7. 072. 8 Лапшин Э.В.
Россия, Пенза, Пензенский государственный университет
РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧНЫХ СИСТЕМ
Аннотация. Предлагается математическая модель динамики полёта как наиболее сложного этапа построения технического средства обучения. Она позволяет воспроизводить в наземных условиях движение летательного аппарата в пространстве путём решения замкнутой системы нелинейных дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: математические модели, эргатические системы, полнота модели.
Современный авиационный тренажер - эффективное и безопасное средство не только первоначального обучения, но также повышения летного мастерства, переучивания и поддерживания квалификации. Этому способствует имеющаяся на тренажере возможность воспроизводить большинство ситуаций, возникающих при взлете, полете и посадке, а также отказы систем, выход параметров за рамки допустимых, аварийные внешние условия.
Одним из наиболее сложных и важных этапов создания АТ является разработка имитатора динамики полета. Имитатор динамики полёта воспроизводит в наземных условиях движение самолёта в пространстве путём решения замкнутой системы нелинейных дифференциальных уравнений, входными параметрами которой являются управляющие воздействия экипажа в кабине самолёта, а выходными -параметры полёта, и обеспечивает в составе тренажёра выполнение следующих задач:
1) руление по ВПП и рулёжным дорожкам;
2) взлёт и набор высоты;
3) полёт по маршруту, снижение и заход на посадку;
4) уход на второй круг с использованием средств комплекса стандартного пилотажнонавигационного оборудования;
5) экстренное снижение;
6) полёт по кругу, заход на посадку и посадку;
7) пробег по ВПП с использованием всех средств торможения;
8) полёт в условиях опасных внешних воздействий.
Выполнение указанных задач производится с учётом влияния на характеристики полёта следующих внешних условий:
1) температуры воздуха и атмосферного давления;
2) высоты (уровня местности) аэродрома;
3) горизонтальной составляющей скорости ветра;
4) вертикального и горизонтального "сдвига ветра";
5) горизонтальных и вертикальных порывов ветра;
6) влияния обледенения на аэродинамические характеристики;
7) влияния различного состояния ВПП;
а также влияния:
1) массы самолёта в виде трёх составляющих;
2) центровки самолёта;
3) режимов работы силовой установки, включая режим обратной тяги;
4) положения управляющих поверхностей, механизации крыла, шасси;
5) аэроупругости.
При движении по земле в имитаторе динамики полёта учитывается влияние на характеристики устойчивости и управляемости параметров шасси, в том числе:
1) коэффициента увода колёс;
2) коэффициента трения колёс в зависимости от состояния ВПП, а также торможения колёс и работы антиюзового устройства [1].
Принцип имитации динамики полёта основан на непрерывном вычислении параметров полёта с помощью математических зависимостей, решаемых в реальном масштабе времени с целью создания подобия моделируемого "полёта" процессу полёта самолёта.
В имитаторе динамики полёта определяются следующие параметры:
V*. V vfa, vh, v vfa, vk, vx, vr Vz, V, wx, wr wz,
Ay/w, «у, d>Y, d^, сох, соY, Rx, RY, Rz, MPY, Mpz, MrY, Mrz,
VYg, H, M, q, nx, nY, nz, G, AXp, Cx, CY, Cz, Хш, Ym, Zm,
Мшх, Мшу, MTTT7, NH, 1ЧЛ, Nn, ZH, Zjj, Zjj, ПВПП, у, v, ц/, у, о, ц/, a, р, р, mx, mY, mz.
Имитатор динамики полёта использует сигналы и параметры из следующих имитаторов и систем:
1) системы управления — фст, 8В, 8Н, 8ИНТ, 8Э ;
2) силовой установки — GT, р, P2, пДВ1, пДВ2 ;
3) взлётно-посадочных средств — 83, 8ш , 8д н , 8д л , 8д п , Фн ш , 8 т ;
4) тормозной системы — Ртл, Рш ;
5) имитатора навигационной обстановки — Нм, Нюр, ИК;
6) имитатора атмосферных явлений - состояние ВПП, a, р,
W W W W W ;
yg’ xgzgcg ’ vxgzg’ vvm’ vvBn '
7) противообледенительной системы - включение ПОС, "Обледенение";
8) с рабочего места инструктора - сигналы "Исходное место", "Останов". Уравнения, решаемые в имитаторе динамики полёта, условно разбиты на 4 группы:
1) продольного движения;
2) бокового движения;
3) движения по земле;
4) аэродинамических коэффициентов [1].
Все параметры содержатся в вычислителе в виде кодов.
Шаг решения уравнений динамики полёта выбирается из условия обеспечения устойчивости решения и должен быть равен или меньше 50 мс, при этом наилучшая устойчивость обеспечивается при выборе шага 25 мс. Взаимосвязь модуля имитатора динамики полёта с модулями других систем и имитаторов осуществляется путём внутримашинного и межмашинного обмена информацией.
При организации программ имитации динамики полёта предусматривается возможность ввода и вывода на дисплейный модуль значений решаемых параметров в физических величинах, что позволяет производить оперативное изменение модели динамики полёта.
Рассмотрим базовую математическую модель (ММ), в качестве которой в тренажерах обычно используют модель жесткого (без учета изгибных и крутильных колебаний конструкции, влияния жидкого топлива) ЛА.
Объектом ручного управления при полете на тренажере и в воздухе является по существу не сам ЛА, а обобщенный объект, включающий «внутренние» постоянно включенные быстродействующие контура управления, придающие ЛА желаемые устойчивость и управляемость, близкие к устойчивости и управляемости жесткого ЛА.
Поэтому в качестве базовых уравнений динамики полета в AT используют уравнения движения твердого тела. В обшей форме — это уравнения Эйлера для движения центра масс, позволяющие найти ускорения, приобретаемые центром масс ЛА под влиянием действующих на него сил. В проекции на оси связанной системы координат они записываются в следующем виде:
Vx = m-\Fx - Vzmy + Vymz,
Vy = mTlFy - Vxrnz + Vzrnx, (1)
Vz = m-\Fz - Vymx + Vxmy.
Здесь Vxr Vy, Vz — проекции вектора земной скорости V ЛА (при отсутствии ветра совпадает с воздушной) на оси связанной системы координат;
Fx, Fv, Fz — проекции на те же оси векторной суммы всех действующих на ЛА сил (аэродинамических, тяги двигателей, веса ЛА);
сох,фу,Ф2 — угловые скорости вращения ЛА относительно тех же осей;
m = m(t) — масса ЛА.
Летательный аппарат является телом переменной массы и поэтому в уравнения сил должны входить члены вида m(t). Считаем, что эти члены учтены в выражениях Fx, Fy, F z. Выражения (1) справедливы и при движении ЛА по земле (разбег, пробег), но силы Fx, Fy, F2 в этом случае имеют дополнительные составляющие, вызванные реакциями шасси, трением, аэродинамическим влиянием земной поверхности [2].
Уравнения динамики вращательного движения центра масс (уравнения моментов) позволяют найти приобретаемые ЛА угловые ускорения под влиянием действующих на него моментов. В проекции на оси связанной системы координат при втором способе их назначения они записываются следующим образом:
®х = А1
ау = Jy
= J-
Так как для самолетов современных конфигураций продольная связанная ось (ориентированная по главной хорде крыла) обычно образует значительный угол с продольной главной осью инерции, то приходится учитывать центробежный момент инерции Jxy.
В выражениях (2) Mx,My,MZ , — действующие на ЛА моменты относительно связанных осей;
Jx , Jy, Jx — моменты инерции ЛА. Из-за расхода топлива, изменения конфигурации ЛА (изменения стреловидности крыла, подвесок) моменты инерции ЛА изменяются во времени. Поэтому уравнения (2) необходимо дополнить членами вида
Jx = Jx (х,F„,Gt), Jy = Jy (Fn,GT,x), Jz = Jz (F„,GT,x), ,
где х — стреловидность крыла; Fn — переменная, описывающая наличие и тип подвесок.
Для самолета с длинным фюзеляжем, тонким крылом небольшого размаха и достаточно развитым хвостовым оперением справедливо следующее соотношение между осевыми моментами инерции:
Jy > Jz Ь Jx.
Для уравнений кинематики углового движения немаловажную роль играет способ описания положения связанной системы координат относительно нормальной. Данные уравнения позволяют перейти от угловых скоростей вращения ЛА относительно связанных осей к его угловым координатам относительно осей нормальной и земной систем координат.
Первый способ заключается в применении эйлеровых углов: крена, рысканья и тангажа. Этот
способ наиболее естественен, так как информация гировертикалей (авиагоризонтов), курсовых систем, инерциальных систем выдается именно в этих углах. Производные эйлеровых углов &,ф,у связаны с угловыми скоростями, фх,юу,ф2 , следующими кинематическими соотношениями:
Щ = у cos у + у sin у, ф = (cos Щ) 1 (у cos у-у sin у), (3)
у = yx - tg&(yx cos у -yy sin у).
Путем интегрирования данных выражений определяются углы Щ,ф,у . Однако при Щ = 900 имеет место разрыв второго рода в правых частях уравнений, так как (cos$) 1 и tg& обращаются в бесконечность. Поэтому в тренажерах с аналоговыми вычислителями режимы, близкие к Щ\ = 900 ,не моделируются, а в тренажерах с ЦВМ используются логические блокировки данного режима.
Кинематические уравнения вращательного движения в направляющих косинусах описываются известными уравнениями Пуассона
£i1 = y£i2 — Уу£3,
£п = У£3-У£я, (i = 1,2,3) (4)
£i3 = Юу£ц y£i2.
Однако при вычислениях необходимо иметь в виду, что из девяти направляющих косинусов только три независимых. Поэтому в принципе можно интегрировать только одну группу из трех уравнений (4). Однако в вычислительном отношении удобнее шесть направляющих косинусов определять путем интегрирования уравнений Пуассона (например, уравнения, соответствующие (I = 1.2)), а остальные три направляющих косинуса вычислять из простых алгебраических соотношений
3
Е%2 = 1 (к = 1,2,3).
i=1
При моделировании полета, кроме указанных, применяется большое число других кинематических соотношений. Так, траекторная и скоростная системы координат порождают свои таблицы направляющих косинусов. Для перехода от скоростей движения центра масс ЛА вдоль осей связанной системы координат к его линейным координатам в земной системе координат служат кинематические уравнения движения центра масс.
Рассмотрим ММ движения ЛА, положенную в основу алгоритмического обеспечения современных цифровых комплексных тренажеров центральной архитектуры. Уравнения, описывающие эту ММ, во многом отражают специфику имитируемого самолета (изменяемую стреловидность крыла, выпускной гребень и т. д.).
Уравнения моментов в связанных осях, совпадающих с главными центральными осями инерции, записываются в виде
у = J*— [(Jу— Jz) ум + qSlmx + mpx ],
У = Ji— \_(JZ — Jx )УУ + qSlmy + MPy ], (5)
У = Jz—1 [(Jx — Jy ) У У + qSbamz + MPZ ] ,
mx = mx (a,P,yx У у A A , M),
my = my (a,p,yxУуA A,M), (6)
m = mz (a, Ру, ,y,m).
Здесь учтены лишь традиционные органы управления, причем отклонение поворотного стабилизатора или руля высоты обозначено через Se . Зависимость Тг от a , обусловленная влиянием запаздывания скоса потока, заменена на зависимость от у . Возмущающие моменты Mp , Mp , Mp могут
z px p PZ
создаваться силовой установкой и другими факторами [3].
Кинематические уравнения вращательного движения (уравнения Пуассона) в матричной форме записываются в виде
£ = ££?, (7)
где
£1 £12 £13 ' " 0 У -уу
£ = £21 £22 £23 , Q = -QT -У 0 yx
£31 £32 £33 . уу -у 0
Уравнения сил (ускорений) в связанной системе координат: Vx = УуУ - КУу + gnx - g£21,
Уу = Vzyx -Vxyz + ёПу - (9)
VZ = КУу - УуУ + gnz - g£23.
nx = (Pcosadg-qScx)G [,
ny = (p smade - qScy ) GX , (10)
nx = qSczG~l.
где Р — тяга силовой установки;
аде — угол между Pи продольной осью (предполагается, что вектор P лежит в плоскости симметрии ЛА);
cx,c ,c— коэффициенты аэродинамических сил в связанных осях: cx = cx (а, р,8е, М),
S = cy (а,р,8в, М), (11)
cz = cz (а,Р,8и, М).
Кинематические уравнения движения центра масс в нормальной земной системе координат:
x
у
= Е
V
Vy
Vz
(12)
Уравнения (5) — (12) после исключения ряда алгебраических зависимостей (приведения к форме Коши) можно рассматривать как уравнения в пространстве состояний, где вектор состояния
x = \_ЮхЮу^ПхПу^Е1 1 E33VxVyVzXgygZg J •
В качестве вектора управления в этой модели может приниматься вектор
u =[5э5н5вР]. (13)
Зависимости
p = p(h ) = P(yg), M = M (V, yg ) (14)
задают в соответствии с моделью стандартной атмосферы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лапшин Э. В. Разработка методов управления при подготовке операторов по эксплуатации летательных аппаратов на основе тренажеров / Э. В. Лапшин. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та,
2006 - 321 с.
2. Красовский А. А. Пилотажно-навигационные и комплексные тренажеры / А. А. Красовский, А. В. Кудиненко. - М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1984. - 320 с.
3. Авиационные тренажеры / А. А. Красовский, В. И. Лопатин, А. И. Наумов, Ю. И. Самолаев -М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1992. - 320 с.
4. Юрков, Н.К. Алгоритм проведения проектных исследований радиотехнических устройств опытно-теоретическим методом / А.В.Затылкин, И.И.Кочегаров, Н.К. Юрков //Надежность и качество: Труды международного симпозиума. В 2-х т. Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. гос. унта, 2012. Том 1, С. 365-367
5. Юрков, Н.К. Концепция синтеза сложных наукоемких изделий/Н.К. Юрков// Надежность и качество: Труды международного симпозиума. В 2-х т. Под ред. Н.К. Юркова. Пенза: Изд-во Пенз. гос.
ун-та, 2012. Том 1, С. 3-6
