Научная статья на тему 'Разработка генетической модели поиска простых чисел для криптоанализа RSA на основе клиент-серверной структуры'

Разработка генетической модели поиска простых чисел для криптоанализа RSA на основе клиент-серверной структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
436
78
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КРИПТОСИСТЕМА / РАЗЛОЖЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ / ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ / ПРОСТЫЕ ЧИСЛА / RSA / CRYPTOSYSTEM / FACTORIZATION OF COMPOSITE NUMBER / GENETIC ALGORITHM / PRIME NUMBERS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кажаров Х. А.

В работе проведен анализ криптосистемы RSA, рассмотрены различные подходы к криптоанализу. В основе идеи предложенного метода лежит разложение составного числа на два простых методами генетического поиска. Разработана структурная схема генетического алгоритма для параллельного криптоанализа RSA. Определен метод формирования исходной популяции, в котором разработан алгоритм быстрой проверки на простоту, разработана целевая функция, позволяющая определять адаптируемость отдельных видов популяции. Определен метод выбора родительской пары хромосом в генетическом алгоритме, а также разработан модифицированный оператор кроссинговера, учитывающий специфику задачи. В работе описана схема генетического поиска на основе клиентсерверной структуры.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кажаров Х. А.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Development of genetic model of search of prime numbers for cryptoanalysis of RSA by client-server structure

The analysis of cryptosystem RSA and different approaches to cryptoanalysis are investigated in this work. The main idea of proposed method is based on factorization of composite number into two prime numbers with the help of methods of genetic search. The block diagram of genetic algorithm for parallel cryptoanalysis of RSA was developed. The method of creation of initial population, in which the algorithm of fast primality check was developed, was identified. The objective function, which enables to determine adaptability of certain species of population, was developed. The method of selection of parental pair of chromosome in genetic algorithm was identified. The modified crossingover operator, taking into consideration specific character of task, was developed. The scheme of genetic search based on clientserver structure is described in this work.

Текст научной работы на тему «Разработка генетической модели поиска простых чисел для криптоанализа RSA на основе клиент-серверной структуры»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Гладков Л.А., Курейчик В.М, Курейчик В.В. Генетические алгоритмы. - Ростов-на-Дону: Ростиздат, 2004.

2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. -М.: Мир, 1979.

3. ГладкоеЛ.А. Генетические операторы. - Таганрог Изд-во: ТРТУ, 2005

4. ., . . .

- М.: Мир, 1985.

УДК 687.06

Х.А. Кажаров

РАЗРАБОТКА ГЕНЕТИЧЕСКОМ МОДЕЛИ ПОИСКА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

ДЛЯ КРИПТОАНАЛИЗА RSA НА ОСНОВЕ КЛИЕНТ-СЕРВЕРНОЙ

СТРУКТУРЫ

Введение. Современные протоколы передачи данных, такие как SSL, TLS, PGP, обеспечивающие защиту передаваемой информации, используют криптосистему RSA для установления защищенного соединения и распределения ключей шифрования. Надежность криптосистемы RSA обуславливает защищенность пере.

В современном мире наблюдается тенденция перехода от использования классических детерминированных алгоритмов к интеллектуальным поисковым системам, системам автоматизированного управления и проектирования. Основными направлениями в разработках интеллектуальных систем в настоящее время являются эволюционные вероятностно-направленные методы. Ярким примером таких методов являются генетические алгоритмы (ГА), ориентированные на поиск глобального оптимума в пространстве возможных решений с многоэкстремальным .

Сегодня генетические алгоритмы успешно применяются для решения классических NP-полных задач, задач оптимизации в пространствах с большим количест-, .

Постановка задачи. Все асимметричные криптосистемы характеризуются тем, что используют два ключа: один для шифрования, другой для дешифрования, которые имеют определенную зависимость. В асимметричных криптосистемах

RSA. , RSA,

представлена формулой (1):

f : х—> xe (mod m). (1)

Для дешифрования сообщения a=f(x) достаточно решить уравнение (2):

xe=a mod m. (2)

При некоторых условиях, налагаемых на m и е, это сравнение имеет единственное решение х [1]. Если показатель степени е в сравнении с (2) взаимно прост с

(m) ( ), (2) .

найти, необходимо определить число d, удовлетворяющее условию (3):

de = 1(mod(çKu))), (3)

Решением задачи будет следующее уравнение: ad = xde = x mod m.

При этом (e, m) - открытый ключ, который передается по незащищенным каналам, a (d, m) - секретный ключ. Для вычисления секретного ключа d необходимо вычислить функцию Эйлера для m. Функцией Эйлера ç(m) называется количество

, m m:

ср =(p-1)(q-1). (4)

m = pq, p q - , -

ляется с помощью (4) [2].

Таким образом, для криптоанализа системы RSA необходимо знать разложение модуля m. Самые лучшие алгоритмы факторизации (р^ложения) имеют суб-

:

L [yc] = e(c+o(1))(lnm)Y(lnlnm)1-Y

где c и y - постоянные, o(1) ^ 0 , X ^ +œ . в [3] подробно описываются алгоритмы разложения составного числа на простые множители.

Таким образом, для применения ГА при криптоанализе RSA, с учетом его , -стых множителей заданного составного числа.

Основные положения генетических алгоритмов. Основная идея заключается в комплексной адаптации многочисленной группы организмов - популяции к изменяющимся внешним условиям. Адаптация организмов зависит от разнообразия особей популяции. Популяция тождественных особей обладает очень низкой адаптивностью. Популяция индивидуальных особей - индивидов, напротив, способна адаптироваться к любым внешним условиям. Таким образом, эволюция, необходимая организмам для их выживания в среде обитания, представляет собой процесс оптимизации органических систем.

Метод оптимизации технических систем, в котором реализована эта идея, получил название «Генетические алгоритмы». Генетические алгоритмы позволяют получать хорошие результаты при решении NP - полных задач [4].

.

, .

находим из равенства m = pq.

В данной работе используются бинарные хромосомы. Бинарная хромосома является гомологичной числовой хромосомой, каждый ген которой может принимать целые значения в интервале [0, 1].

Приведем пример кодировки хромосомы для x e N, 0 < x < 1023. В этом случае одно число кодируется бинарной хромосомой из 10 ген, как показано на рис. 1.

0 0 1 0 1 1 0 0 1 1

Рис. 1. Кодировка хромосомы

При декодировке рассматриваем хромосому как бинарное число. Хромосому просматриваем слева направо, поэтому разряды увеличиваются в том же порядке. Далее применяем простой алгоритм перевода из двоичной системы счисления в десятичную:

О = Ао*20+А1*21+А2*22+.. ,+Ап*2п = 820.

где Лг - значение бита в г-м разряде.

Формирование исходной популяции. В этом блоке возможно использование различных стратегий формирования исходной популяции:

а) одеяло - покрываем равномерно пространство поиска n решениями, где n -размерность популяции;

б) дробовик - случайный выбор n потенциальных решений;

) - -.

Простое число генерируется случайным выбором значения битов. Последний бит всегда устанавливается равным 1. Затем вычисляем среднее расстояние между простыми числами r, после чего в диапазоне [G-r;G+r] осуществляется поиск наиболее вероятного простого числа.

В заданном диапазоне ведем поиск наиболее вероятного простого числа сле-. . число xe[G-r;G+r] последовательно проверяем на делимость с простыми числами в диапазоне [3; 2r]. В данном случае простые числа в этом диапазоне необходимо , . даже для чисел порядка 21024 составляет около семисот, то выведение простых чисел в диапазоне [3; 2r] не будет влиять на временную сложность алгоритма, т.е. им . -

странство поиска решений:

r=ln(G). (5)

Пусть G порядка 2512 , тогда r ~ 355. Поскольку вычисления производятся

, (5)

:

r = log2 G а 10g2 G (6)

log2 e 1,442695'

n (6) :

r =---------------------------П-. (7)

1,442695

После сужения пространства поиска решений к оставшемуся множеству чисел применяем тест Миллера-Рабина [4]. В случае, когда остается несколько чисел, , ( -) ( , ).

Приведем пример работы данной схемы. Пусть n = 6, а сформированная хромосома имеет следующий вид:

1 0 1 0 1 1

Рис. 2. Пример хромосомы

Отсюда видно, что О = 43. Вычислим радиус:

г =-----6-----= 4,15888 - 5.

1,442695

, .

Рассматриваем следующий диапазон чисел [38; 48]. Далее проверяем делимость этих чисел на простые числа в диапазоне [2; 10], т.е. {2, 3, 5, 7}. Согласно

[38;48] , -

лящиеся на {2, 3, 5, 7}. В итоге получаем следующие простые числа {41, 43, 47}. Очевидно, что все три числа пройдут вероятностный тест Миллера-Рабина, а выбор остается за ЛПР.

Приведем еще один пример, показывающий необходимость применения вероятностного теста Миллера-Рабина. Примем О = 121. Тогда г - 5. Получаем следующий диапазон [118; 128], в котором исключаются числа, делящиеся на {2,3,5,7}. В итоге получаем следующие числа {121,127}. После применения к ним

- 127, 121 ,

121 = 11*11.

Расчет целевой функции. Декодировка хромосомы дает значение первого потенциально простого множителя р, для которого есть лишь один однозначный :

т

Ч = —.

Р

, -Рабина с целью получения информации о вероятности простоты числа q. Поскольку каждая хромосома получается в результате локального поиска с применением вышеуказанного вероятностного теста, то можно судить о вероятности простоты каждого сомножителя. Таким образом, значение целевой функции (ЦФ) определяется произведением вероятностей двух сомножителей:

Р = Р(ч)*Р(р).

Выбор родительской пары хромосом. Как правило, здесь используется три метода выбора родительской пары хромосом: а) случайный; б) элитный; в) «колесо рулетки» [5].

Экспериментальные исследования показали, что наиболее эффективным является случайный выбор. Это обусловлено спецификой задачи. Поскольку вероятность того, что Р(ч)=0 и, соответственно, ЦФ в целом для многих хромосом в популяции будет равна 0, высока, то элитный выбор и «колесо рулетки» будут способствовать локализации пространства поиска, а ГА войдет в состояние стагнации.

.

операторы кроссинговера: а) одноточечный; б) двухточечный; в) многоточечный [5]. Модификация заключалась в следующем. Работа оператора разбивается на . . Второй этап заключается в локальном поиске наиболее вероятного простого числа в окрестности декодированного числа У. Радиус окрестности определяется формулой (5), и, следовательно, пространство поиска соответствует интервалу [О-г; О+г]. Соотношение (5) подтверждено экспериментальными исследованиями.

Рассмотрим результат работы программы для диапазона [1; 1024]. Находим экстремум функции распределения простых чисел в заданном диапазоне. В диапазоне [1; 1024] он равен 20, для [1; 10240] получили значение 36, для [1; 102400] -

72. , -

ми в заданном диапазоне.

На рис. 2 показаны два графика: зависимость расстояния между двумя простыми числами от размера числа и среднее значение. Из графиков видно, что среднее расстояние между простыми числами в зависимости от размерности распределено по логарифмическому закону. Это подтверждается законом Валле-Пуссена [4].

Рис. 2. Вычисление плотности распределения простых чисел

Найденное число и будет являться потомком.

Мутация. В качестве оператора мутации используются обмен и инверсия, к которым также применяется локальный поиск наиболее вероятного простого числа. Отметим, что для определения простоты числа также используем алгоритм вероятностного теста Миллера-Рабина, благодаря которому становится известным .

Оператором отбора могут служить стандартные операторы: а) случайный; б) элитный; в) «колесо рулетки» [5].

Применение экспертной системы. Как известно, для криптоанализа RSA применяются распределенные вычисления. Такой подход реализуем и для ГА на . -, . ,

ГА очень удобен для реализации экспертной системы (ЭС). ЭС предназначается для выявления параметров ГА, при которых ЦФ быстрее всего достигает своего .

параметрами (вероятности кроссинговера и мутации, вариации генетических опе-( ), ). , основе анализа информации об индивидах из различных популяций выделяет <аучшие» параметры ГА. При этом ЭС может также влиять на параметры ГА, которые являются динамическими.

На рис. 3 показан пример взаимодействия 8 популяций с ЭС.

Рис. 3. Модель взаимодействия ЭС с 8 популяциями

Связь между популяциями и блоком экспертной системы двусторонняя (см. рис. 3). Каждая популяция посылает в блок ЭС информацию о лучших индивидах ( ) ( ). -лиза полученных решений ЭС возвращает каждой популяции новые параметры, которые в дальнейшем определят их адаптируемость.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

. -структуру (см. рис. 3). Так как каждый клиент представляет одну популяцию со своими специфическими индивидами, то экспертная система необходима, чтобы периодически производить обмен видов между различными популяциями, как по. 4, , , .

комплекса нет информации о клиентах. Клиентские модули присоединяются по сети к серверу и через него обогащают свой генофонд. Экспертная система периодически получает информацию о лучших результатах, что позволяет отслеживать .

Рис. 4. Работа сервера при взаимодействии с клиентом

При взаимодействии клиент посылает определенное количество случайно выбранных решений из всей популяции (см. рис. 4). Экспертная система объединяет всех индивидов, полученных от клиентов, затем каждое решение мигрирует в случайно выбранную популяцию. Представленная организация многопопуляционного генетического алгоритма может иметь произвольное количество клиентских , .

Параметры интеллектуальной системы. Представленная интеллектуальная система характеризуется следующими параметрами: а) количество популяций;

б) размер популяций; в) количество индивидов для выборки при миграции.

Каждый из этих параметров задается ЛПР. Важной частью представленной интеллектуальной системы является работа ЭС. Логика работы экспертной системы отражена в следующей формуле:

Pi = Pi + AP, i e N, i < n, Pi Ф Pb,

где Pi={p

cross’ Pmub ocross, omut> or> os} КОртеЖ Параметров /-И ПОПуЛЯЦИИ; Pcross И pmut

- вероятности, соответственно, кроссинговера и мутации; ocross и omut - операторы, соответственно, кроссинговера и мутации; or - оператор редукции; os - оператор .

. -

пов генетического алгоритма для решения задачи криптоанализа RSA. В работе проведен анализ криптосистемы RSA, рассмотрены различные подходы к крипто.

на два простых методами генетического поиска. Разработана структурная схема генетического алгоритма для параллельного криптоанализа RSA. Определен метод формирования исходной популяции, в котором разработан алгоритм быстрой проверки на простоту, разработана целевая функция, позволяющая определять адаптируемость отдельных видов популяции. Определен метод выбора родительской пары хромосом в генетическом алгоритме, а также разработан модифицированный , .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ященко В.В. Введение в криптографию. - М.: МЦНМО, 2003.

2. Баричев С., Криптография без секретов [Электронный ресурс] - http://forum.armkb.com.

3. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. - М.: МЦНМО, 2003.

4. МакКоннелл Дж. Основы современных алгоритмов. - М.: Техносфера, 2004.

5. Гладков Л.А., Курейчик В.М., Курейчик В.В. Генетические алгоритмы. - Ростов-на-Дону: ООО «Ростиздат», 2004.

УДК 681.31

П.В. Афонин, О.В. Кокшагина

ГИБРИДНЫЕ ГЕНЕТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ЗАДАЧИ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЯ ПРОЕКТА*

.

технологий позволяет решать сложные задачи, которые трудно или нельзя решить на основе каких-либо отдельных методов и технологий. В гибридной системе (ГС), объединяющей несколько методов или подходов, эффективность одного подхода может компенсировать слабость другого. Комбинируя различные подходы, можно , .

Классификация гибридных систем по уровню интеграции приведена в [1]. Согласно этой классификации выделяются автономные, трансформационные, слабосвязанные, сильно связанные и полностью интегрированные системы. Идея гибридных генетических алгоритмов (hybrid genetic algorithms) заключается в сочетании генетического алгоритма (ГА) с некоторым другим методом поиска [2].

В статье рассматривается решение задачи составления расписания проекта с помощью гибридных генетических алгоритмов. Предложены гибридные схемы с использованием улучшающих эвристических алгоритмов, гибридная схема формирования начальной популяции, модифицированные операторы скрещивания и мутации для случая кодирования строки-хромосомы как последовательности работ в .

основе трансформационной схемы. Программная реализация алгоритмов и проведение экспериментальных исследований осуществлялось в программной среде MatLab 7.1.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую постановку задачи: проект представляет собой совокупность работ и ресурсов. Ресурс характеризуется нор-

( ), -стью единицы ресурса при нормальном потреблении и сверхурочном потреблении соответственно. Работа характеризуется длительностью, списком назначенных ресурсов, списком предшествующих и последующих работ, задержками между рабо-

( , ).

Необходимо составить расписание работ проекта. Под расписанием понима-, l t -, l t, , l момент времени t ресурс простаивает.

*

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 08-07-00337, 08-07-00343). 46

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.