CC BY
31
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Р. С. Хайрулин
РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНЫХ ЭВАКУАЦИОННЫХ ПЛАНОВ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ
Процесс разработки планов эвакуации населения является весьма трудоемким и не до конца формализованным. Представляется целесообразным создание механизма, обеспечивающего математическую поддержку процесса планирования эвакуации населения из городов. В качестве такого механизма предложена оптимизационная математическая модель, разработанная на основе опыта проведения эвакуации населения, нормативных и рекомендуемых требовании.
Ключевые слова и словосочетания: оптимизация, эвакуационный план, имитационная модель.
Современные возможности вычислительной техники в сочетании с эффективными алгоритмами анализа и синтеза коммуникационных сетей и сетевых графиков позволяют решать задачи больших размерностей, возникающие при моделировании процессов эвакуации.
Модель процесса эвакуации решает, по существу, задачу анализа, поскольку оценивает временные параметры конкретного эвакуационного плана, хотя и может быть использована для корректировки эвакуационных планов в сторону их оптимизации. В данной статье приводится оптимизационная модель, которая решает задачу синтеза, а именно формирует систему маршрутов, определяет оптимальные объемы перевозок по ним и оптимальное распределение транспортных ресурсов.
Введем ряд обозначений, необходимых для математической постановки задачи:
п - количество вершин в сети; т - количество дуг в сети; N - количество маршрутов в сети;
Хг - количество транспортных средств, выделенных на маршрут г; X = (Хь ..., Х^) - вектор распределения транспортных средств по маршрутам;
Я - общее количество распределяемых автотранспортных средств; Ш - количество эвакуируемых, перевозимых транспортным средством;
/) - длина]-й дуги; I = (¿1, ..., 1т) - вектор длин дуг;
Ьг - протяженность г-го маршрута;
Ь = (Ь1, Ьм) - вектор протяженностей маршрутов Ь = (¡Б I);
аг - количество эвакуируемых по маршруту г;
А = (а1, аМ) - вектор распределения объемов перевозок (количество эвакуируемых) по маршрутам;
рг - плотность потока на маршруте г, рг---;
Ьг
Р = (рх, ..., рМ) - вектор плотностей потоков на маршрутах;
¡Б - матрица инцидентности маршрутов размерности Ыхт. Показывает, какие дуги входят в маршруты, а именно: ¡Бгц = 1, если дуга ] принадлежит маршруту г, и ¡Бц = 0 иначе. Под маршрутом понимаем некоторую последовательность сонаправленных дуг, начинающихся в одной из вершин типа 1 и заканчивающихся в одной из вершин множества 3;
Ш - матрица инцидентности графа сети размерности пхт. Показывает структуру сети, а именно в какой вершине начинается каждая дуга и в какой заканчивается: Шу = 1, если дуга] начинается или заканчивается в вершине I, и Nц = 0 иначе;
((Р ¡Б)1, ..., (Р¡Б)т) - вектор плотностей потока на дугах;
Vц - средняя скорость движения автотранспортных средств по ду-геЦ, = Г((Р Щ);
V = (ух, ..., ут) - вектор средних скоростей потока;
ц
Ц - время прохождения дуги ц транспортным средством, Ц = —;
vj
Т = (¿1, ..., ¿т) - вектор времен прохождения транспортных средств по дугам сети;
((¡Б Т)1, ..., (¡Б Т)м) - вектор времен прохождения транспортных средств по маршрутам;
¡1 - множество индексов вершин типа 1 (площадки посадки - ПП);
¡2 - множество индексов вершин типа 2 (транзитные вершины);
¡3 - множество индексов вершин типа 3 (приемные эвакуационные пункты - ПЭП);
ск - общее количество эвакуируемых из вершины к типа 1 (к е ¡1);
йк - максимальное количество эвакуируемых в вершину к типа 3 (к е ¡з);
У = ((А ¡Б)1, ..., (А ¡Б)т) - вектор нагрузок дуг сети - общее количество эвакуируемых по дугам сети;
((Ш У)1, ..., (М У)п) - интегральный вектор потока по вершинам сети (сумма входящего и исходящего потоков);
Хайрулин Р. С. Разработка эффективных эвакуационных планов 107
ТМ = (ТМь ..., ТМы) - вектор продолжительностей перевозок по маршрутам согласно предписанным количествам эвакуируемых и распределенным автотранспортным средствам, который вычисляется как
а„
ТМ =
2 • 18 • Т •
а > 0, Xr > 0,
0, аг = 0, или Xr = 0. Приведем теперь математическую постановку поставленной оп-
тимизационной задачи:
ТМ, =
Ш1П
X, А
XI +
2 • 18 • Т •
шах ТМГ 1 < г < N
+ XN < Я,
аг > 0, X,. > 0,
0, аг = 0, или X, = 0. (Ш (А 18))к > ск, к е II, (Ш (А 18))к < к е 1з, X, А > 0.
Если привести данную задачу к форме задачи минимизации (путем введения дополнительной переменной 7), а также заменить производные величины их выражениями через переменные задачи, то получим следующую постановку:
шт 7 X, А, 7
11
2 (18 (
11
1 (181 )1
X,
-) 18 )1)
т {181),
(181) N
Кг < 7, 1 < г < N, XX + ... + XN < Я,
а' аг > 0, Xr > 0,
X
(щ;щ )т)
"))г ,
Кг = ^ XгW
0, аг = 0, или X, = 0.
(Ш (А 18))к > Ск, к е 11, (Ш (А 18))к < к е 1з, X, А > 0.
В качестве функций Р(), описывающих зависимость средних скоростей автотранспортных средств (V) от плотностей потока на дугах,
а
г
представляется разумным использовать функции 8-образной формы1. При малой загруженности магистрали увеличение плотности потока мало сказывается на средней скорости, однако при увеличении плотности такое влияние заметно. При плотностях, близких к критической, скорости близки к нулю и влияние увеличения плотности потока опять мало. Плотность имеет естественный предел, связанный с размерами автотранспортных средств. Подобные зависимости могут быть представлены функциями следующего вида:
с
У = а + (Ь - а)-
й + хс
Пример такой зависимости представлен на рисунке (а = 3, Ь = 0, с = з, й = 100).
3,5 -| 3 -2,5 2 1,5 1
0,5 0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 Рис. Пример зависимости Б-образной формы
Список литературы
1. Правила эвакуации населения, материальных и культурных ценностей в безопасные районы. Утв. постановлением Правительства Российской Федерации от 22 июня 2004 г. № 303.
2. Указ Президента РФ от 27 мая 1996 г. № 784 «Вопросы гражданской обороны Российской Федерации» (с изм. от 9 сентября 2000 г., 5 августа 2002 г.).
1 См.: Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. - М. : Мир, 1966.
