CC BY
37РАЗРАБОТКА АППРОКСИМИРУЮЩИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ВНЕШНЕЙ БАЛЛИСТИКИ
Королев С.А.
Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова, доцент Тененев В.А.
Ижевский государственный технический университет имени М. Т. Калашникова, профессор
DEVELOPMENT OF APPROXIMATING MATHEMATICAL MODELS FOR SOLVING THE INVERSE PROBLEM OF EXTERNAL BALLISTICS
Korolev S.
Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Associate Professor
Tenenev V.
Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Professor
АННОТАЦИЯ
Работа посвящена разработке аппроксимирующих математических моделей и быстрых алгоритмов решения обратной задачи внешней баллистики по определению параметров наведения орудия в случае подвижной цели. На основе физико-математических моделей решения прямой задачи внешней баллистики, учитывающих различные факторы, влияющие на полет снаряда, строится база данных вычислительных экспериментов. Для построения моделей низшей размерности используются различные виды ап-проксиматоров: линейная множественная регрессия, многослойная нейронная сеть, радиальная нейронная сеть, метод нечетких деревьев решений. Аппроксимационные модели, реализованный с помощью нейронных сетей и нечетких деревьев решений, показали высокую оперативность и точность решения обратной задачи.
ABSTRACT
The work is devoted to the development of approximating mathematical models and fast algorithms for solving the inverse problem of external ballistics to determine the guidance parameters of a gun in the case of a moving target. Based on physical and mathematical models for solving the direct problem of external ballistics, taking into account various factors affecting the flight of the projectile, a database of computational experiments is being built. Various types of approximators are used to construct models of lower dimensionality: linear multiple regression, multilayer neural network, radial neural network, fuzzy decision tree method. Approximation models implemented using neural networks and fuzzy decision trees have shown high efficiency and accuracy of solving the inverse problem.
Ключевые слова: внешняя баллистика, обратная задача, линейный аппроксиматор, нейронная сеть, нечеткое дерево решений.
Keywords: external ballistics, inverse problem, linear approximator, neural network, fuzzy decision tree.
Введение
При решении задач внешней баллистики предъявляются особые требования к точности и оперативности расчетных алгоритмов. Точность решения прямой задачи внешней баллистики зависит от полноты факторов, учитываемых в расчете, полноты и точности математической модели и методов расчета [1, 2]. Как правило, численная реализация таких математических моделей сопряжена с большими затратами времени. В случае принятия решений в режиме реального времени и подвижных целей важным фактором является оперативность решения обратной задачи внешней баллистики по определению параметров наведения. В этой связи необходима разработка быстрых алгоритмов, в частности, основанных на аппроксимации баллистических данных [3].
Современные технологии извлечения знаний из данных позволяют применить методы для аппроксимации нелинейных зависимостей с большим количеством факторов. Имея информацию о результатах численного или натурного эксперимента можно построить математические модели низшей
размерности, воспроизводящие характеристики рассматриваемых процессов с небольшими временными затратами [4, 5].
1. Постановка прямой и обратной задач внешней баллистики
Прямая задача внешней баллистики заключается в расчете траектории движения снаряда при заданных начальных условиях и параметрах (углы наведения, начальная скорость, характеристики снаряда, геофизические и атмосферные данные и др.). Прямую задачу внешней баллистики представим в виде преобразования
d = (РК, тк ) = ф(Ро, 9с ,ац, А), (1)
где Рк = (Хк, Ук, ) - конечная точка стрельбы (координаты цели); тк- время полета снаряда, Р0 = (х0, У0, Z0) - начальная точка стрельбы (координаты орудия); 9с - угол стрельбы; а ц- дирекционный угол цели (см. рис. 1). Вектор
А содержит массовые и аэродинамические характеристики снаряда, геофизические и атмосферные данные.
б А У
ац/.'
\ w
Рис. 1. Траектория движения снаряда в геодезической (а) и траекторной (б) системах координат
Математические модели решения прямой задачи внешней баллистики различного уровня сложности описаны в [1, 2]. Для численного решения дифференциальных уравнений пространственного движения снаряда необходимо применять методы высокого порядка точности (метод Рунге-Кутта-Вернера 6-го порядка) и интегрировать уравнения с малым шагом по времени (10 —5 —10—4 с) [2].
Обратная задача внешней баллистики заключается в определении параметров наведения орудия (углы 9с и а ц) при заданных координатах, скорости и направлении движения цели:
Ч = (0 с, а ц, Рк, тЕ)= Ф—1 (Ро, Рц0, Уц, А) ,(2)
т»0 1\г0 тг0
где Рц = (X ц, Уц, /ц) - начальные координаты цели; Уц = (к1ц ,К2ц ,К3ц) - вектор скорости перемещения цели в геодезической системе координат. Время тх определяется суммой времени решения обратной задачи т р , времени наведения орудия тн и времени полета снаряда тк : т2 = тр + тн + тк .
При решении обратной задачи (2) применяется два основных подхода. Традиционным способом решения обратной задачи является итерационный
(xh ;dh )=(eh, а^ ,Г1ц ,Г2ц ,Г3ц
где Н - объем выборки.
Полученная выборка делится на две части: обучающую и тестовую. На обучающей выборке проводится обучение аппроксиматоров переменных и = (Хк, Ук, Zк, тк ), а на тестовой проверяется адекватность и точность модели. Рассматривалось несколько типов аппроксимирующих моделей [6]: линейная множественная регрессия; многослойная нейронная сеть; метод нечетких деревьев решений.
Линейная аппроксимация задается формулой а = Вх, (4)
метод, основанный на многократном решении прямой задачи [1]. Данный алгоритм основан на использовании сложных математических моделей и вычислительных алгоритмов, что позволяет найти решение задачи с требуемым уровнем точности. Однако время расчета может быть неприемлемым в случае принятия решений в реальном режиме времени при прогнозировании положения подвижной цели. Второй способ решения обратной задачи на основе предварительно построенных аппроксимирующих моделей позволяет существенно сократить время расчета.
2. Применение аппроксимирующих моделей при решении обратной задачи
Предлагаемый способ решения обратной задачи внешней баллистики основан на разработке базы знаний для аппроксимации баллистических данных. С помощью численного алгоритм решения прямой задачи (1) проводится серия расчетов с изменением углов ес и а скорости движения цели
Уц = Viu, ^2ц, К3ц), а также направления aw и скорости w ветра, географической широты ф и др. Таким образом, получаем базу данных вычислительных экспериментов:
,aW,wh,фА,...;Xh Yh,Zh,х^) h = 1H , (3)
где B = (bij) - коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов;
x = (l ац, ec,Vm ,^2ц Лц,а w, w, ф,...^-
Одним из методов извлечения знаний из данных, получившим в последнее время широкое распространение, является метод деревьев решений. В методе нечетких деревьев решений на наборе данных строится дерево решений [7]. Построенное дерево решений рассматривается как набор нечетких правил вида
Rr : if Q xt e Arr then z is Br, r = 1, KR ,(5)
С
а
ц
З
В
z
z
Условие хг- £ Аг соответствует условию разделения множества точек х, < (w]■ ), х, > ) пороговым значением м> ^ с заданными функциями принадлежности.
Пороговые значения для переменной х определяются выражением
= хт + (*ГХ - хг)^, ] = 1М
] 4 ' Mi
где хгтт, хгтах - максимальные и минималь-
ные значения переменной х*, 5 = 1, N, N - количество элементов разбиваемого подмножества.
В качестве функции принадлежности используется сигмоидальные функции вида:
К х) =
1
Нщ =-ЕЁ Рк Рщ ^ т
I к=1
где Ркщ, к = 1, К; /' = 1, т-1; д = 1, и; I = 1,2 - вероятность принадлежности классу к по атрибуту i и д -му пороговому значению.
Степень нечеткости данных наряду с вероятностным способом также может определяться по возможностному способу [9]. Мера возможности
события определяется выражением Г =
/к
тах /к
к
Г к=1
где с(Г, Ь) = {Гк > Ь} - функция уровня Ь . При заданном векторе х определяются степени истинности каждого правила (5):
а,
= т1п (Кк ), к = 1,8г, г = 1, ^^
где £г - количество условий в данном правиле
Яг.
В результате, агрегированный выходной сигнал определяется по формуле:
1 х А\ ^(х)=-— 1а г
I
а
Г=1
Рг0 +1 Р
]=1
г]Х]
. (7)
где Р - параметр, характеризующий нечеткость интервала, при Р ^ <» нечеткий интервал переходит в обычный.
Классический алгоритм построения дерева решений основан на минимизации степени нечеткости системы данных путем разбиения данных на классы. Степень нечеткости системы данных определяется энтропией Шеннона [8]:
где /к - частота появления события.
Вместо вероятности определим возможность принадлежности классу к
Гкд, к = 1, К; i = 1, т -1; д = 1, и; I = 1,2. Возможност-
ная мера нечеткости системы данных определяется по формуле:
, К-1
и (Г) = — 1(Ьк+1 - Ьк )1оЕ2 С(Г, Ьк+1) ,(6)
Весовые коэффициенты р] определяются по имеющейся обучающей выборке (3): (хИ;dИ) И = 1,Н . При известных коэффициентах аг, г = 1, КА запишем (7) г(х) = d, И = 1, Н в виде системы линейных алгебраических уравнений Ор = d. Если количество уравнений Н больше, чем число неизвестных М(И +1), то значения р = (рг]-) получаются в результате применения процедуры псевдоинверсии
р = О +d, (8)
где О + =(б т о)-1 О т .
Объединение принципов нечеткого логического вывода и нейросетевой структуры привело к созданию нечетких нейронных сетей, одним из вариантов которой является нечеткая нейронная сеть Такаги-Сугено-Канга (Т8К) [10]. В данной нейронной сети параметры функций принадлежности нечетких правил и весовые коэффициенты подбираются одновременно в процессе обучения.
В предлагаемом методе сначала строится нечеткое дерево решений в виде набора нечетких правил (5) на основе возможностной меры нечеткости системы данных (6), а затем весовые коэффициенты в формуле (7) определяются по набору обучающих данных с применением процедуры псевдоинверсии (8).
Структура нечеткого дерева решений определяется параметрами [6]: И;тт - минимальный размер разделяемого множества; М{ - количество пороговых значений для каждой переменной хг; К -
количество разделяемых классов выходного значения функции; Р - параметр функции принадлежности. Для оптимизации структуры нечеткого дерева решений применялся генетический алгоритм. Особь представляет собой вектор параметров р = (И;т1П,М1,К,р). Функция приспособленности определяет ошибку аппроксимации имеющихся данных [11].
3. Результаты решения обратной задачи внешней баллистики на основе аппроксимато-ров
Для построения базы данных вычислительных экспериментов решалась прямая задача внешней баллистики в следующем диапазоне изменения параметров:
ац е [0; 360°], 9с е [0; 20°], ¥ц е [0; 30м/с], а„ е [0; 360°], w е [0; 6,0м/с], ф е [45°; 75°]
Общий объем выборки составлял Н = 4000 , объем обучающей выборки, при котором точность аппроксимации не меняется составил Н0 = 2500 .
Линейный аппроксиматор дает стандартную ошибку 1261 м. Сравнение аппроксимированного
1
г
значения дальности стрельбы Xк с рассчитанным показано на рис. 2. Из рис. 2 следует неудовлетво-
рительность линейной аппроксимации. Прямая линия на графике показывает идеальную аппроксимацию.
X*
25000
20000
15000
10000
5000
0 5000 10000 15000 20000 25000
Рис. 2. Сравнение значений дальности, полученных с помощью линейного аппроксиматора X® , и расчетных значений X,,
Применение многослойной нейронной сети Стандартная ошибка аппроксимации составляет дает существенно лучшие результаты (рис. 3). 80 м.
хк ■
25000
20000 -
15000 -
10000 -
5000 -
0
X,
0
5000 10000 15000 20000 25000 Рис. 3.
Сравнение значений дальности, полученных с помощью нейронной сети X® , и расчетных значений Xк
Лучшие результаты по точности и скорости вычислений показал аппроксиматор на основе метода нечетких деревьев решений. Построенное дерево решений для аппроксимации угла стрельбы
e с содержит 18 правил:
0 if X[2] >= 14348.49 then Y= 1
1 if X[2] < 14348.49 AND X[2] >= 14053.40 AND X[3] >= 19.10 then Y= 1
2 if X[2] < 14348.49 AND X[2] >= 14053.40 AND X[3] < 19.10 AND X[3] >= -75.42 AND X[0] >= 4.81 then Y= 1
3 if X[2] < 14348.49 AND X[3] < 19.10 AND X[3] >= -75.42 AND X[0] < 4.81 AND X[2] >= 14136.60 then Y= 1
4 if X[2] >= 14053.40 AND X[3] < 19.10 AND X[3] >= -75.42 AND X[0] < 4.81 AND X[2] < 14136.60 then Y= 0
5 if X[2] < 14348.49 AND X[2] >= 14053.40 AND X[3] < -75.42 then Y= 0
6 if X[2] >= 13850.86 AND X[2] < 14053.40 AND X[0] >= 1.26 AND X[1] >= 285.75 then Y= 0
7 if X[2] >= 13850.86 AND X[2] < 14053.40 AND X[0] >= 1.26 AND X[1] < 285.75 AND X[3] >= -53.44 then Y= 1
8 if X[2] >= 13850.86 AND X[2] < 14053.40 AND X[0] >= 1.26 AND X[1] < 285.75 AND X[3] < -53.44 then Y= 0
9 if X[2] >= 13850.86 AND X[2] < 14053.40 AND X[0] < 1.26 then Y= 0
0
к
10 if X[2] >= 13720.23 AND X[2] < 13850.86 then Y= 0
11 if X[2] >= 13562.57 AND X[2] < 13720.23 then Y= 0
12 if X[2] >= 13349.50 AND X[2] < 13562.57 then Y= 0
13 if X[2] >= 13097.88 AND X[2] < 13349.50 then Y= 0
14 if X[2] >= 11516.65 AND X[2] < 13097.88 then Y= 0
15 if X[2] >= 9553.23 AND X[2] < 11516.65 then
Y= 0
16 if X[2] >= 7088.33 AND X[2] < 9553.23 then
Y= 0
17 if X[2] >= 4024.49 AND X[2] < 7088.33 then
Y= 0
18 if X[2] < 4024.49 then Y= 0,
где X[0] - скорость ветра w, м/с; aw; X[1] -направление ветра aw, град.; X[2] - дальность до цели Хц, м; X[3] - высота цели ^ , м; Y - номер класса {0 - низкий; 1 - высокий} значений угла стрельбы 0 с.
Оптимизация нечеткого дерева решений привела к следующим параметрам: количество разделяемых классов K = 2, минимальный размер разделяемого множества N;min = 10, количество пороговых значений = 5 , Р = 10.
Среднеквадратическая ошибка, полученная по модели, построенной на основе нечеткого дерева решений, при аппроксимации угла стрельбы 0с составляет 0,04°. При этом отклонение по дальности Хк не превышает 0,5% при стрельбе на расстояние до 20 км.
При определении корректирующих поправок для дирекционного угла Aa ц, в случае стрельбы по
подвижной цели, ошибка аппроксимации деревом решений составила менее 0,1°. При этом отклонение по боковой координате ZK не превышает 30 м
при стрельбе на максимальную дальность.
Заключение
Разработанные аппроксимационные модели, реализованный с помощью нейронных сетей и нечетких деревьев решений, позволяют обеспечить высокую точность и оперативность решения обратной задачи внешней баллистики. Нечеткое дерево
решении основано на простых продукционных правилах, это существенно упрощает реализацию алгоритма определения параметров наведения орудия при стрельбе по движущимся целям и снижает требования к программным и аппаратным средствам систем управления стрельбой.
Литература
1. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 2005. - 608с.
2. Королев С.А., Липанов А.М., Русяк И.Г. К вопросу о точности решения прямой задачи внешней баллистики // Вестник Томского гос. ун-та. Математика и механика. 2017. № 47. - С. 63-74.
3. Королев С.А., Липанов А.М., Русяк И.Г., Тененев В.А. Разработка подходов к решению обратной задачи внешней баллистики в различных условиях применения // Вестник Томского гос. унта. Математика и механика. 2019. №57. - С. 76-83.
4. Кульчин Ю.Н., Ким А.Ю., Ноткин Б.С., Люхтер А.Б. Построение алгоритма нечеткого дерева решений на основе экспериментальных данных при обработке сигналов РВОИС // Информатика и системы управления. 2014. №3(41). - С. 103111.
5. Tenenev V.A., Rusyak I.G., Sufiyanov V.G., Ermolaev M.A., Nefedov D.G. Construction of approximate mathematical models on results of numerical experiments // Вестник Южно-Уральского гос. ун-та. Математическое моделирование и программирование. 2015. Т. 8. № 1. - С. 76-87.
6. Тененев В.А., Якимович Б.А. Генетические алгоритмы в моделировании систем. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2010. - 308 с.
7. Tenenev V.A., Yakimovich B.A. Practice of genetic Algorithms. Universitas - GYOR Nonprofit Kft., 2012. - p. 279.
8. Круглов В.В. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети / В.В. Круглов, М.И. Дли, Р.Ю. Голунов. М.: Физматлит, 2001. - 224 с.
9. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад. М.: Радио и связь, 1990. - 287 с.
10. Оссовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.
11. Карпенко, А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой. М.: Изд-во МГТУ имени М.Э. Баумана, 2017. - 446 с.
