Разработка аналитической модели шумозащитного экрана транспортных потоков Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62- 405.8 ББК 35.710

РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКОМ МОДЕЛИ ШУМОЗАЩИТНОГО ЭКРАНА ТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ

А.С.Чурилин’, С.Н. Арефьев 2

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики, 192171, Санкт-Петербург, ул. Седова, дом 55/1

Предложена аналитическая модель диссипативной конвекционной структуры шумозащитного экрана селитебной территории от транспортных потоков, изготавливаемая из технологических отходов и совмещающая в себе функции как собственно экрана, так и звукопоглощающей конструкции.

Ключевые слова: диссипативная конвекционная структура, шумозащитный экран, селитебная территории, транспортный поток, звукопоглощающая конструкция, технологические отходы.

В качестве теоретической модели абсорбента, или диссипативной системы, может рассматриваться "структура Релея”, в которой, с одной стороны можно конструктивно совместить параметры собственно абсорбента, а с другой - минимальное сопротивление аэродинамическому потоку. Оригинальность постановки задачи заключается в представлении структуры в виде звукоизолирующей продуваемой преграды, а не чисто абсорбента. Резонансные явления в пористых структурах могут разделяться на резонансы микроструктур и макроструктур в сравнении с длиной волны падающего звука. Этот факт позволяет считать, что структура обеспечивает частотно-независимое звукопоглощение. Такое допущение возможно, если канал в структуре Релея рассматривать как недиспергирующий волновод, то есть ш/к=соп81:, где со - круговая частота, рад. с, к - волновое число, (к=2ті/Х, рад/м).

Рассмотрим распространение звуковой волны в прямоточных каналах с учетом сопротивления среды. Канал заполнен воздухом, а направление распространения звуковой волны совпадает с направлением оси трубки.

Тогда уравнение движения вязкого газа в отдельном канале можно записать в следующем виде

д р

= РС

(1)

0 0 Л

где: Р(х,I) - избыточное давление в звуковой волне; V (х,I) - усредненная по сечению канала скорость частиц; 5г, ?

- текущие координаты и время; р -плотность воздуха; с - скорость звука; ?

- коэффициент сопротивления; ё - диаметр канала.

Система уравнений (1) является нелинейной, интегрирование ее затруднено. система уравнений является гидродинамической моделью. В этой связи, введем соответствующие параметры. Коэффициент ? определяется по фор-

64 , 9 Ус!

муле ? - — (Ые = —2—

Ые Л

г| - динамиче-

ский коэффициент вязкости) (2)

Представление Я в виде (2) справедливо для 0 < Яе < 2300 ,что всегда выполняется в задачах линейной акустики. Тогда нелинейный член, содержащийся в (1), представим как

64?

-V2 =

2ё'Р0У

32?

ё2Р,

-V .

(3)

Введем обозначение

32?

ё2Рп

- 2 а .

тогда, заменив квадратичный закон сопротивления линейным, получим:

X

д р

8 х д р

= Р,

д V

= Р„С

■ + 2 аУ

Г .

(4)

0^0 л — X

С I с

Для пакета капилляров уравнение непрерывности можно записать в

5 р рс: д у

виде: - -— = —, (5)

д I к д х где Л - коэффициент пористости образца, равный отношению объема пор к общему объему. Введение коэффициента И оправдано физическими соображениями. Действительно, при заданном г д у 1 ^ Р

, в пористом ма-

градиенте

X

’ д

териале пор будет в 1/Л раз будет больше, чем в свободном воздухе.

Уравнение движения воздуха, заключенного в пористом материале:

д р Крп

И

д V ~д

■+ 2 аУ

(К- струк-

турная постоянная, всегда > 1) (6) Дифференцируя по «их,

к д2Р д2У

р.С2 д Г-

к д2р 2ак <5 Р

д2у

К р д х2 р с2 д х 0 0 0

где V (х, I) и производные непрерывны:

д у д2у

д2р

С> Р с

2 ~^2Р

п р

■ + 2 а

(9)

Введем безразмерное время и

ІС г

координату по г -

Тогда: д р д р д t

х = - (10,11)

д 2 р

¿?2р

д 2 р

г I2 с!2*

¿?2р

1

(12)

(13)

(14)

х2 д х2 «2 '

Подставляя (12-14) в (9), получим

д2 р д р ■+2М-

д2р

д х2

-;(и

). (15)

Решаем уравнение (15), найдем, при следующих начальных и граничных

условиях:

Р(х,/>и =ст(0, (16)

^ Р(х 1)

= 0;---=0. (17)

Граничные условия (16) означают, что на поверхность пакета падает звуковая волна в виде единичной волны Хевисайда. Решение задачи для любого профиля волны можно получить, используя интеграл Дюамеля. Начальные условия (17) характеризуют состояние покоя во всех точках среды до прихода звуковой волны. К левой и правой частям применим преобразование Лапласа:

ос

Р(х,Я) = -Р(х,1)сЛ , (18)

0

где б - комплексный параметр

С учетом начальных условий (17), для изображения получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

с!-р(х,с,) ёх2

-5(5 + 2И)Р(х,5) = 0 и гра-

ничное условие/3 (х,5) - — (19, 20)

5

Общее решение уравнения (18):

Р(*,5) = с1(5)е^Ч1Г71+с,(5)е'^^7^1

(21)

Возмущения, вызванные звуковой волной, во всех точках среды должны быть конечными. Поэтому необходимо положить с1(5) = 0 . Следовательно с2(5) = — . Решение задачи в изобра-

5

жениях:

Р (х,<=) “ —е

5

(22)

Получим решение для звукового давления экрана в оригиналах:

г * 1^4^ 7 1

Р(х,0 - е + Ц х Je

(23)

где І^УІ*2 - X2 - функция Бесселя мнимого аргумента.

х~ 0

X

0

2

С

0

2 2 X

а

2

X

С

0

Рассмотрим влияния структурного фактора на свойства абсорбента.

Изменения давления в любой точке пористой среды найдем через производную давления по времени:

а р ’ -Ьй>(где5 = ^

д

- М- хе

і

X ).

с.

(24)

При малых значениях аргумента: ' 1

*=„ А-!Г(а- + 2)

(25)

у*+і 2) '

где Г(А + 2) - гамма-функция. Тогда,

(26)

1ІШ

Из (26) следует, что при ц«1 угол наклона касательной к кривой давления - время по зависимости (23) в начальной точке (1=х ) мал.

При ц»1 производная ЗР/да стремится к нулю в связи с малостью множителя е"цх. При р~1 эта производная практически обращается в нуль уже при х=3-И. Таким образом, расчеты давления в волне можно производить по формуле:

/’(х,/) = е ц'а(/-х). (27)

Если на пакет падает плоская гармоническая волна, то граничное условие для уравнения (27) имеет вид:

= Р''-*' (28)

где Р0 - максимальная амплитуда давления в волне, х и 1 - размерные текущие координаты и время.

Тогда, при всех остальных предположениях, решение задачи (26, 27, 28) в безразмерных переменных из решения (23), применяя интеграл Дюамеля:

Г й А

-р—ф-х)

Р(х^) = Р \ е Их(? С"

» X

'гір^-х2 }

Iі, |ст(г - х).

; \

(29)

Для практического расчета, как это следует из анализа (23), можно пользоваться формулой для оценки спада звукового давления в абсорбенте в зависимости от структурного фактора, с соответствующим его наполнением в виде вязкоупругих потерь для конкретной структу-

ры, который и определит диссипативные свойства устройства.

-Р—Ц-х)

Р(х,1) = Р0е~^е с" (30)

В качестве базовых модельных материалов можно использовать полиэтиленовые или полихлорвиниловые трубки, например, сечением 3,5 и 5 мм и длиной 0,25 - 0,3 м, которые могут, на данном этапе исследований, сымитировать структурные параметры абсорбента, сформованного из разнодисперсных компонентов на полимерно-масляном связующем.

Экспериментальная проверка теории сводится к оценки модуля упругости капиллярной модельной системы

Полученные выше решения выполнены в предположении абсолютной жесткости стенок трубок (капилляров) модуля упругости. В основу расчета измерения модуля упругости полимерной трубки принимается формула Н.Е. Жуковского:

1гЕ 1.

Р~Р0-—0-~О, (31)

г

Г0

где Р-Р0 - избыточное давление в трубке, измеренное манометром; г-г0 -изменение внутреннего диаметра трубки при деформации; Л - толщина стенки трубки; Е - модуль упругости полимера.

Формула (31) справедлива для тонких трубок или капилляров |И ((г |.

В нашем случае поэтому полученное в опытах значение модуля упругости приближенны и характеризуют порядок величин:

1 .Начальный объем жидкости внутри трубки: У0 = 71 г2/ (/ - длина трубки);

2. Объем жидкости после нагнетания: V = п г2 / = ¥0 + А К ;

3.Измерение радиуса трубки:

г ■ >о= -т=(>/^" - т/к) ;

-V71 I

4.Так как

Лу«У, ,□”4у=т1у0+ АУ

1 А у 1 А у

1 + -

1 А У

2 У,

0 /

ТО г ~ г.

2л/я- / л/Г,

2 71 г Л

Данные эксперимента сведены в таблицуі.

Характеристики полихлорвини-ловой трубки: толщина стенки Ь=0,1 см; внутренний радиус трубки г0= 0,25 см; длина трубки 1= 30 см.

Табл. 1 — Модуль упругости полихлорвинилового капилляра

номер У,см г-г0,см р-р0, Е, номер V, г-г0, см р-р0, Е,кг/см

опыта кг/см2 кг/см2 опыта см3 кг/см2 2

1

2

3

4

0,125 2,7-10-

1,42

1,38

1,31

1,35

1310

1280

1210

1240

5

6

7

8

0,25

5,4-10-

2,6

2.55

2.55 2,52

1210

1200

1200

1190

Оценим влияние погрешностей.

Из (31): Р ~

Е =

Р Г

1 0 *0 —

(г~тй) И Тогда

( Р-Рр) Г,

Иє

(32)

А - А +

Е л — А1г

¿’Ь

или

Гі Дє 1 А и!

4е = -(^р0) ЯИ^+71,

(33)

Из (33) видно, что даже при одинаковом вкладе погрешностей в расчетах г-го=е и измерениях диаметра для оценки ДЬ, погрешность в оценке модуля упругости не изменит его порядка. Из табл. 1 видно, что модуль упругости испытуемого образца полимерной трубки имеет порядок 103 кг/см2, что на три порядка превышает модуль объемного сжатия воздуха.

В основе расчета параметров звуковой волны, считаем воздух идеальным газом, распространяющейся в податливых капиллярах.

Расчеты на ЭВМ проведены для полимерных капилляров / = 0.3м, радиусом Яо = 1,5-10" м, плотностью р = 1,6 кГ/м3 и модулем объемного сжатия

3 4 2

Ет = 10 -10 кГ/см . Анализ расчетов показывает, что форма волны (амплитуда равна 1) при ее распространении по упругому капилляру не изменяется с частотой. Таким образом, для данной задачи капилляр можно считать абсолютно жестким. Подобный вывод можно сделать, сверяя результат с решением Н.Е. Жуковского, полученным для избыточного давления с учетом энергетических соображений:

Р =

ри

(34)

Ете

Е„

где I - толщина капилляра, Ет -модуль объемного сжатия материала, Ев - модуль объемного сжатия воздуха, р -плотность воздуха, и - объем воздуха.

Рассмотрим определение спада звукового давления за счет теплопроводности

На основе закона термодинамики и теории статистической физики Л. Ландау и Е. Лифшиц показали, что коэффициент поглощения звука за счет теплопроводности эквивалентен по числовому значению поглощению за счет сил трения. Коэффициент поглощения у пропорционален квадрату частоты звука у=ею2, в - коэффициент теплопроводности. Произведем оценку параметров давления звуковой волны с учетом ее гашения за счет теплопроводности. При поглощении звука:

03 о

У = —+ ¡еъ-. (35)

Уравнение бегущей волны, при отсутствии поглощения для давления Р(х^) = (х _ с/1) можно написать в виде:

д р 1

— = —. (36)

8 х с0

Тогда уравнение, решаемое через функцию ель 0,)7к должно быть:

5р 1 <5 р д 2(Р)

----+ в.

(37)

с

0

2

1

і

X

С

0

л

Введем 1 = ? ~ —, тогда уравне-

с 0

ние (37) получим в виде одномерного уравнения теплопроводности:

д р д2р

(38)

3 х 3 Г

Общее решение этого уравнения, в случае затекания в капилляр единичной звуковой волны:

в х

2

_(т-т)

Х |О0(Т )1е 4*“ +е

<Т+Т)

4 %ох

(39)

Из (39) следует, что амплитуда давления падает обратно пропорционально корню квадратному из расстояния от входного сечения капилляра.

Оценим спад звуковой волны при прохождения сквозь абсорбент. Произведем расчет давления в звуковой волне. Уровни звукового давления регистрируют два приемника, один из которых находится до, а второй за пористым образцом, собранного из пакета полимерных капилляров, которые имитируют глушитель или стенку из абсорбента на машину повышенного теплоизлучения. Структурная постоянная К обратно пропорциональна квадрату конуса угла (9) между направлением градиента давления и нормалью к поверхности образца. Поэтому, К может принимать значение при 0—>тс/2. К—>оо, а вместе с ним и постоянная затухания ц^-со. Следовательно, Р(х, 1:)—>0. Формула (30) при углах 0 близких к я/2, не применима. Максимальное давления в точка за об-

разцом будет при углах 0=0; л/6, тс/4; я/3:

-ц, 16

Р(х,0 - Р0 е где и _

СІР 0с0

(40)

Примем в качестве пористого образца прямоугольный параллелепипед с основанием 8 х 8 см и высотой 30 см, собранный в виде сот из полимерных капилляров с внутренним диаметром и толщиной стенок 1 мм. Основными порами в таком образце будем считать полости капилляров. Тогда, при 9 =

64-4 1 „

3.6. При

0

К =

л сГ 256 0.282

(Р=760 мм рт. ст.

Не

V = 182 ' 10

Рп = 123'10

^18°С),

Нс

—. Т.

м

О., М =

■=43-10

3-10-129-10-340 Аналогично вычислим при других углах, имея в виду обратную пропорциональность К квадрату косинуса 0 и. ц обратно пропорционально сое©: 0=тт/6, ц=50-10"4; 0=тс/4, ц=61-10'4;

0=тт/3, ц=86-10'4

Расчеты относительных давлений Р(х,і)/Р сведены в табл. 2.

Аналогичные расчеты произведем для пакета из полимерных трубок с диаметром 5 мм и толщиной 1мм. _ 64-4

N =---------------- 2,7 . ( табл. 3).

0=0, ц=23-10 0=71/6, |^і=27-10 0=тс/4, |а=33-10'4' 0=7г/3, ц=46-10'4.

-4 ,

Табл. 2 - Расчетные величины относительных давлений для капилляров диаметром 3 мм в зависимости от толщины абсорбента

0

2

м

4

х 50 100 150 200 250 300

{0 = 0 0,81 0,65 0,52 0,42 0,34 0,28

в = п / 6 в = л / 4 0,78 0,74 0,61 0,54 0,47 0,40 0,37 0,30 0,29 0,22 0,22 0,16

Є = ш / з 0,65 0,42 0,28 0,18 0,12 0,08

Табл. 3-Расчетные величины относительных давлений в капиллярах диаметром 5 мм в абсорбентахразличной толщины

х 50 100 150 200 250 300

\в = 0 0,90 0,79 0,71 0,63 0,56 0,50

р/ \в = 71' 6 0,88 0,76 0,67 0,58 0,51 0,44

/Я \ в = л ! 4 0,85 0,72 0,61 0,52 0,44 0,37

[0 = л 0,79 0,63 0,50 0,40 0,32 0,25

Оценим величину давления на приемнике 2,если на приемник 1 падает волна с давлением 90 дБ, а абсорбент из капилляров диаметром 3 мм. Тогда толщина образца в калибрах равна х = 100.

Примем 0=тс/3, тогда

Л

90дБ = 20 log--------:---

2-Ю Па ^

. 1акое давле-

2

Р-----і=Па

VI о

ние падает на "тихую" поверхность образца. На выходной поверхности будут значения из табл. 2. Для оценки последнего предположим, что волна звукового давления на выходной поверхности получается в виде полусферы, радиус которой равен радиусу круга, площадь которого равна площади поперечного сечения образца, т.е. 8 х 8 см. или 64

Давление в

=

4.5 см .

такой

волне будет изменяться пропорционально расстоянию, выраженному в Я0. При расстоянии от выходной поверхности до приемника 2 равном 60 см -

0.84

^2 I---

13V10

0.065

-Па ,Р = 20 lg-

P

-г = 60 дБ,

•л/ГсГ ' 2' 10

АР = 30 дБ.

Если образец скомпонован из капилляров диаметром 5 мм, то его толщина составляет х = 60 калибров. Расчет показывает, что Рг=72 дБ и АР=18 дБ.

В зависимости от диаметра капилляров, звукоизоляция от чистого эффекта прохождения звуковых волн сквозь пористый образец типа профиля Релея, составляет 30 дБ (3 мм) и - 18 дБ (5 мм) при общей толщине образцов 300 мм,

Таким образом, разработана и исследована аналитическая модель кон-

векционного абсорбента - шумозащитного экрана на базе структуры Релея. Найдено, что полученная структура является по эффективности практически частотно - независимой в слышимом звуковом диапазоне, что облегчает практические расчеты. Исследовано распространение звуковых волны в прямоточных полимерных капиллярах в зависимости от числа Рейнольдса и длины каналов. Найдено решение телеграфного уравнения при соответствующих граничных и начальных условиях. Получена расчетная формула на основе решения интеграла Дюамеля, при выполнении условий Хевисайда для фронта плоских волн, для количественной оценки спада звукового давления в капиллярах, в зависимости от вязкости воздуха и температурных градиентов в пограничных слоях.

Аналитически получено решение для оценки влияния структурного фактора на спад звуковой энергии при прохождении сквозь диссипативный сквозной пористый абсорбент и определены конкретные материалы и расчетные параметры для проектирования экспериментальных абсорбентов.

Разработана методика определения модуля упругости капиллярной структуры для использования в экспериментах и расчетах и проведены аналитические исследования влияния податливости стенок на потери звуковой энергии в структуре, что подтверждено экспериментально и в расчетах на ЭВМ. Аналитически найдено, что конвекционный абсорбент из полимерного материала сечением 30 см, с капиллярами сечением 3 мм, обеспечит эффект снижения уровня шума на 30 дБ, а с капиллярами сечением 5 мм - до 18 дБ, без

учета резонансных эффектов для чисто звукоизолирующих панелей.

В итоге. разработаны аналитические и методические основы проведения экспериментальных исследований по использованию абсорбентов из отходов для средств акустической экологии в целях шумозащиты селитебных территорий от транспортных потоков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Lewis P. Effect of fraun constractionon the sound insulation оf unstaled windows.-Aplied Acoustics,1979,v.12,p.15-24

2. Ultly W., Fletcher B.The effect of edge conditions on the sound insulition of double win-dows.-Journal of sound and vibrati on, 1973.№1,v.26,p.63-72

3. Guy R.W., Santr P.The influtnce Of sills and reveals on sound transmission loss.-Applied Acoustics,1984,v.17,p.453-476

4. Holtz T. Schalldammung durch Rolladtn.-Element und Fertigbau, 1979,v.16,№11,s.29

5. Mullard J.J. Les coracteristiques acoustiques les fermentures.-Le Batement Ba-tir,1981,№9,55-59 s.

6.Mousen E., Oldhen D.Traffic noise reduction

due to the scruning effеct of balconies on a building fasade.-Applied Acous-

tics.1977,v.10,№4,p.41 -44

7. Чурилин А.С. Исследование и разработка звукопоглотителей в виде щелевых решеток для целей борьбы с шумом в производственных зданиях:Авореф.дис.к.т.н.-М.1980.-16 с.

8. Никифоров А.С., Будрин С.В. Распостра-нение и поглощение звуковой вибрации на судах.Л.:Судостроение,1968.-96 с.

9 Чарый И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. -М.:Гостехиздат,1951,-138 с.

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука,1974.-712 с.

11. Харкевич А.А.Неустановившиеся волновые явления.-Л.:Гостхиздат,1950.-213 с.

12.Пискунов Н.С. Д ифференциальное и интегральное исчисление. -М.:Наука,1978. -855 с.

13. Диткин В.А., Кузнецов П.И.Справочник по операционному исчислению.-Л.: Гостех-издат,1951.-311 с.

14. Бронштейн И.Н, Семендяев К.К.Справочник по математике.-М.:Гостехиздат,1955.- 608 с.

15. Жуковский Н.Е. Избранные сочинения.-М.-Л.:ГИЗ,1948,т.2.-348 с.

212. Мнев Е.Н., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек.-Л.:Наука,1970.-214 с.

16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. -М.: Гостехиздат,1953.-136 с.

17. Лудлофф П.Ф. Проблемы механики.-М.:И.Л.,1955.-305 с.

18. Вагафтин Н.Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. -М.:Наука,1972.-548 с.

19 Лейзер Н.Г. Исследование звукоизоляции ограждений на моделях. Сб.-М.: Гос-стройиздат,1959,с.88-112

20. Сухов В.Н. Собственная звукоизоляция

ограждающих конструкций.-Сб.тр.

/НИИСФ,1975,№12,с.81-88

21. Заборов В.И.и др.Защита от шума и вибраций в черной металлургии.-М.:Металлургия,1976.-246 с.

22. Колесников А.Е. Акустические измерения.- Л.: Судостроение, 1983.-255 с.

1 Чурилин Александр Сергеевич, к.т.н., доцент кафедры “Техническая механика” СПбГУСЭ. ^А!рефУе2)0-(№-ЗсЫ2(7кателъ кафедры “Техническая механика" СПбГУСЭ. Тел.: (812) 362-31-27.