Размышления о фрактальном методе, методе дробных интегропроизводных и фрактальной парадигме в современном естествознании (из записных книжек автора) Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

103

РАЗМЫШЛЕНИЯ О ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОДЕ, МЕТОДЕ ДРОБНЫХ ИНТЕГРОПРОИЗВОДНЫХ И ФРАКТАЛЬНОЙ ПАРАДИГМЕ В СОВРЕМЕННОМ ЕСТЕСТВОЗНАНИИ (ИЗ

ЗАПИСНЫХ КНИЖЕК АВТОРА)

Потапов А.А.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Российская академия наук, http://www.cplire.ru 125009 Москва, Российская Федерация

Рассмотрены методологические проблемы, возникающие при всеобъемлющем использовании фрактального метода и метода дробных операторов в естествознании. Актуальность работы основывается, прежде всего, на острой потребности в осмыслении фрактальности и хаотичности как единого целостного процесса формирования фрактальной парадигмы и фрактального естествознания.

Ключевые слова: естествознание, парадигма, метод, фрактал, дробный оператор, скейлинг.

УДК 50 + 530.1

Поступила в редакцию 20.06.2012______________________________________________________

“Кто недостаточно смел, чтобы перейти границы действительности, тот никогда не завоюет истины”.

Ф. Шиллер

логическим1. При этом текст из статичного обретает динамику. Работа предполагает, что ее читатель будет временами останавливаться, “оглядываться” и “исследовать местность”.

Слово “метод” в названии статьи означает, что речь в ней пойдет не просто о теории фракталов и дробнодифференциальном исчислении как таковых, но и о физических и радиотехнических их применениях, что и составляет, главным образом, основную цель в обширной области научных интересов автора. В частности, мои мировые приоритеты в конструктивных методах фрактального обнаружения сверхслабых радиосигналов, методах фрактальной обработки многомерных сигналов, синтезе фрактальных радиосистем и фрактальных радиоэлементов, очевидны и не требуют уже никаких пояснений.

Перед Введением в тему, необходимо коснуться некоторых моментов, которые будут неожиданны для многих коллег, которые с ней мало знакомы или вообще не знакомы... Идеи фрактальности, развитые Б. Мандельбротом примерно сорок лет тому назад, становятся связующим звеном среди математиков, физиков, химиков, инженеров, геологов, биофизиков... Расширение их до включения обобщенной статистики (не следующей центральной предельной теореме) и эффектов памяти (эредитарность), нарушающих марковскую природу первых этапов исследования случайных процессов, создало очень богатый инструмент, достаточно полный, чтобы описать особенности сложных систем Мира и техники, имеющих вероятностную природу. Речь идет, по сути, о

:В данной работе я стараюсь не использовать местоимение “мы”, т.к. оно ни к чему не обязывает и за ним нередко “укрываются” всевозможные пустозвоны от науки, которых в наше время, увы, немало.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Пролог: зачем это вообще (103)

2. Введение и цель работы (104)

3. Краткий взгляд в прошлое (105)

4. Наука, естествознание, метод (106)

5. И еще о научном методе (108)

6. Научные теории, парадигма, принцип пролиферации (109)

7. Для “передышки” Читателя - несколько “пригоршней” изречений - истин из ноосферы (110)

8. Фракталы и операторы дробного интегро-дифференцирования (111)

9. Однородные функции и скейлинг (113)

10. Вероятностные степенные законы или негауссовская статистика (113)

11. Моя разработка глобального фрактального метода (114)

12. Эредитарность и механика обобщенных континуумов (118)

13. Недифференцируемые функции и стационарность (119)

14. Общие законы эредитарности В. Вольтерра (121)

15. Перспективные научные и технические направления на Сегодня и Будущее (122)

16. И снова возвращение к высоким теориям научного познания (123)

17. Мой вызов косности, плагиату и зависти в науке (128)

18. Интуиция и научное познание (131)

19. Заключение (136)

Литература (138)

1. Пролог: зачем это вообще

Фрактальный метод создан, устойчиво и плодотворно существует, приобрел известную внутреннюю законченность, а потому в полной мере заслуживает серьезного анализа. Предлагаемая работа — первая попытка такого анализа в научной литературе. Стиль изложения, принятый в этой статье, вероятно, можно называть экспериментальным. Также мой принцип изложения — нелинеен, и, кстати, это принцип примата психологического над

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

104

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

геометрическом понимании мироздания. В широком контексте моих суждений идеи фрактальности помогают выходить за традиционно установленные пределы официальной науки.

Я, естественно, высказываю здесь в статье свои субъективные мысли, опираясь исключительно на свой собственный богатый 30-летний опыт научно-исследовательской работы в России, США и Китае по фрактальной тематике в радиофизике, радиотехнике, радиолокации, математике, обработке многомерных сигналов, распространении радиоволн, антеннах, электродинамике, метеорологии, теории управления и т.д. Я не пишу учебник, обязательный для всех, я только делюсь своими соображениями и своими размышлениями (из собственных дневников и старых записных книжек), приглашая Читателя принять в них участие. Статья отражает прогресс, достигнутый в развитии общих идей фрактальности за этот триддатилетний период. Моя работа основана на многолетних размышлениях. За исключением некоторых частностей, я стою на той же точке зрения, которую принял еще в 70-80-х гг. XX века. Сейчас экспансия моих идей и методов происходит почти во все области знаний.

Успешное применение предложенного мной глобального фрактального метода и общенаучной системной фрактальной парадигмы ко многим задачам и проблемам из различных наук стало свершившимся фактом (см., например, [1-15], а также авторский сайт — http://www.potapov-fractal.com), и это есть своего рода “пробный камень” для гораздо более общих концепций (какой удар моим бывшим оголтелым топорным “критикам” со скромным умом, не способным к настоящей науке!). Многие примеры (см. далее), взятые из различных разделов современного естествознания [1-15], предвещают глобальному фрактальному методу блестящую будущность. А фрактальная парадигма возникает на наших глазах.

При этом пусть умный Читатель (глупых и тупых, — их, к сожалению, большинство, — закон Природы (!)) не спеша и обстоятельно сопоставляет мою концепцию естествознания с другими. Структура моей работы открыта и не предполагает точно выраженной формулы.

В ряду и в контексте других точек зрения кто-то согласится со мной, кто-то, естественно, нет. В данном случае, как и всегда в бурной и насыщенной жизни, в мою задачу никогда не входило и не входит “устраивать” всех. Моя работа — ответ на все вызовы ортодоксальных скептиков и бестолковых критиков, сочетающих логику с духовной узостью. Возражения многих так называемых “критиков” фрактального метода можно объяснить разными причинами. Но, часто это было просто бессознательной идиосинкразией, о которой сказать нечего, кроме разве лишь того, что она имеет место.

Поэтому меня не нужно ни “направлять”, ни “подправлять”, ни наставлять на “путь истины”... Моя задача — изображение хода развития взглядов в области глобальной методологии фракталов и фрактальных структур.

Я делаю всегда то, что считаю нужным и интересным, и старался не обращать внимания на агрессивную критику. Меня называют часто “свободным мыслителем”. Ниже я обширно цитирую многие работы, не стараясь их пересказывать — мне нужен собеседник. Мысли прошлого раскроют нам панораму, создадут тот окружающий фон, на котором строится концепция автора. Я люблю работать. Моя цель в жизни — создать фрактальный континуум знаний для будущих поколений.

2. Введение и цель работы

Под естествознанием в общем смысле понимаются комплекс естественных наук, т.е. наук о явлениях и закономерностях природы, взятых в их взаимной связи как целое. Цели естествознания - двоякие: 1) находить сущность явлений природы, их законы и на этой основе предвидеть или создавать новые явления и 2) раскрывать возможность использования на практике познанных законов, сил и веществ природы.

Прежде чем приступить к основному моему тезису, необходимо сказать об аспектах естествознания и науки. Взаимная связь отраслей естествознания отражает общий ход развития всей природы от более простых, низших ступеней и форм, до наивысших и сложнейших.

Цель данной работы — привлечь внимание к методологическим проблемам, возникающим при всеобъемлющим использовании фрактального метода и метода дробных интегропроизводных в естествознании. Статья опасна для заскорузлых мозгов, самодовольных умов и нищих духом. Лучше не читать ее тем, кто способность самостоятельно мыслить, подменил “самоочевидным” знанием, а интригующий поиск истины—успокоительным и привычным ярмом “научных интеллектуальных” предрассудков.

Я пишу это предостережение, вспоминая очень давнюю (примерно 10 лет назад) острую, даже истерическую реакцию на мою книгу “Фракталы в радиофизике и радиолокации” (2002 г.) [1] и ее второе значительно расширенное издание “Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки” (2005 г.) [2], в то время, как в Америке и Китае (Запад и Восток (!)) ее горячо и дружески приветствовали. И это был, как раз, тот случай, когда оппоненты, осуждая, невольно прославляют. В основе написания этих двух капитальных трудов лежало, как может показаться несколько странным инженерам и ученым, мое недовольство существующим тогда уровнем познания в области радиотехники, радиолокации и обработки информации. Словосочетание “Топология выборки”, как я считал в то незабвенное время научных сражений и битв, наиболее точно и емко представило на тот момент, создаваемый мной фрактальный метод, а вместе с тем, естественно, и мою внутреннюю устремленность и природу видения Мира в целом. (Кстати, это — мой научный девиз!). Прекрасны слова Эрнста Маха о праве не считаться с тем, что кажется мне не плодотворным!

Актуальность этой работы основывается, прежде всего, на острой потребности в осмыслении фрактальности и хаотичности как единого целостного процесса формирования “фрактального естествознания”. Данные вопросы освещаются в данном аспекте впервые широко именно здесь, не считая моих предшествующих работ [3-15], а также в период чтения цикла курса лекций “Фракталы в физике, радиолокации и обработке многомерных сигналов ” (март-апрель 2012 г., Джинанский Университет, Китай).

Методологическое актуальное значение имеет обоснование новых принципов и ключевых понятий. При этом требуется специальная интерпретация, смысловая, семантическая и т.д. Определяющим фактором является место и роль фракталов в опыте всего (!) естествознания. Работа содержит три слоя информации. Первый — история возникновения глобального фрактального метода, начиная с 80-х гг. XX века. Второй слой — подробные комментарии

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 105 ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

и анализ фундаментальных задач, затронутых в работе. Третий слой — основные элементы применения фракталов и дробных операторов в ретроспективе фундаментальных задач нелинейной физики, радиоэлектроники и новых информационных технологий.

Моя научная жизнь сложилась таким образом, что я оказался в центре осмысления и конструирования фрактального метода—что я называю путешествием в будущее.

Мне необходимо посильно разглядеть для Будущего дальнейшие пути развития фрактального естествознания.

3. Краткий взгляд в прошлое

Данные заметки — мои свободные размышления или собрание избранных эссе о том, что есть фракталы в естествознании. Я не философ, я — простой солдат армии науки, для которого слова “жизнь” и “наука” — синонимы. Моя научная самостоятельность, несмотря на некоторые научные неудобства из-за этого вначале, моя страстная преданность идеям свободного развития знания, а также мои нарушения стереотипов, позволили мне, в итоге, создать новый раздел науки (или новые разделы науки?..), остро сформулировав проблемы видения нового в привычном и старом, и значительно расширить мировоззренческий горизонт. Все мои отдельные исследования, которыми я занимался, вели меня в одном направлении — к фрактальному подходу в естествознании. Достигнув шестидесятилетнего возраста и проработав в ИРЭ РАН долгое время (с 1979 года), я не чувствую, что пережил все свои научные интересы, так же как и научные достижения. Лейтмотив моих работ—Деятельность как проявление личности и новое понимание старых истин при освобождении от локального описания мироздания, когда ученый ограничен узкой специализацией.

Первоначально эти страницы не нуждались ни в длинном заглавии, ни в эпиграфе. Все набрасывалось не по порядку, хаотично, перемещалось во времени и в пространстве (учитывая мои поездки на множество конференций в разные города и страны), а также одновременно и в разные неразборчивые заметки на страницах записных книжек и на отдельных листках из других статей, докладов и рукописей, просто обрывках и коробке из-под сигарет. Неизбежно возникла груда необработанного материала. Непростительно сложно... Теперь в компьютеры удалось все свалить и кластеризовать, выявить главное, удалить частные мелочи, но много времени ушло на это.

Фракталы сейчас прочно вошли в фундаментальную науку. В СССР и в России это, в основном, — никто не станет отрицать (ни друзья, ни враги), — заслуга моих работ и созданной научной школы фрактальных методов обработки информации и дробных операторов. Пришло время соединить все в отдельной статье и книге.

Эта работа должна быть увесиста как обнаженный камень. И обязательно субъективна, потому что пишу о своих мыслях, словах и делах. Отсюда неизбежные (и необходимые) повторы, выбросы в философию и историю науки, различный стиль, накал страстей и т.п. В данную работу втиснута моя тридцатилетняя научная деятельность и борьба против многих неучей-фрактальщиков с их спекулятивными построениями (их тьма.), и крутые переламывания. Все эти годы я занимался только одним, и в двадцать пять, и в пятьдесят, и в шестьдесят,

- шероховатостью Мира и Информации, т.е. фракталами (вначале этого слова я и не знал, и не использовал). Учение о фракталах видится мне возможной почвой (первоосновой) современного естествознания. Об этом я думал и в 70-х и 80-х годах: точность, форма, противоречие, эрудиция, кругозор, нарушитель, непринятие стандартов. Я не мог не стать исследователем фрактальных структур и фрактальности, инженером и ученым дробного исчисления (но не фрактального исчисления (!), как нередко пишут некоторые невежды - “псевдо-первооткрыватели”), отвечая за все сам и, ни на кого не кивая, делать то, что умею и хочу.

В моей жизни вначале было Слово. Я вырос среди книг: бабушка, мама и тетя были учителями — в Тамбове до войны и в селе после эвакуации. Так и начиналась моя домашняя библиотека. Папа был призван в армию досрочно, а после войны работал в колхозе шофером, трактористом, плотником, был мастером на все руки. Мама и тетя воспитали несколько поколений односельчан. При свете керосиновой лампы вечера были длинные, мне рассказывали всяческие интересные истории и читали мои первые книжки. Бабушка возила в тамбовскую церковь (почти 100 километров) крестить меня. В первый класс сельской школы своего любимого русского лесостепного черноземного края и беспредельно открытых пространств Тамбовщины пришел жадным до знаний. .Бегал в библиотеки, клеил планеры, строгал рогатки, лук, арбалеты и даже прыгал с крыши с самодельным парашютом и переплетал книжки. Очень рано благодаря папе познакомился с рубанком, молотком, стамеской, топором и пилой. На всю жизнь полюбил велосипед, лыжи (зимой в школу), рыбалку, фотоаппарат и шахматы. Играли сначала в лапту и городки, затем в футбол и волейбол, зимой на льду реки самодельными клюшками гоняли шайбу. С мамой любили ходить весной смотреть половодье, когда наша маленькая речушка преображалась, шумели водопады, и талая вода заливала сотни метров лугов, доходя до середины нашего большого старого сада. Помню, как однажды с друзьями из леса принес несколько первых подснежников и рассадил их в саду (теперь они заполонили половину сада). Сколько деревьев и цветов посадили мы на ежегодных школьных праздниках! В бывшем огромном помещичьем саду организованно собирали вкуснейшую вишню, клубнику, яблоки и груши. Теперь этого нет уже давным-давно. Но мои сыновья все же кое-что застали в своем детстве. .С пятого класса мастерил детекторные приемники, усилители, радиоприборы и электродвигатели, сам варил детекторы (из свинца и серы), ломал промышленные отечественные и трофейные радиоприемники (чтобы сделать свой супергетеродин — непохожий) в своей сельской лаборатории (папа срубил для моих занятий аккуратный сарайчик, чтобы не жег дома электрические пробки своими яркими электродугами), стал киномехаником, монтером и трактористом в школе, редактор стенной газеты, староста географического кружка, сконструированный мощный усилитель НЧ разносил по улице все мои любимые песни и мелодии (с 1966 г. “заразился” я на всю жизнь песнями В. Высоцкого), все радиодетали и книжки для занятий радиолюбительством уже получал бандеролями из Москвы (мама и тетя оплачивали из скромных зарплат сельских учителей), путевка в Артек, получил золотую медаль в средней школе, затем в Рязанском радиотехническом институте (РРТИ) полюбил вычислять характеристики обнаружения радаров,

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

106 ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

работать с операционными усилителями—микросхемами (тогда только появились—это уже диплом), рассчитал и сконструировал первую систему ФАПЧ с дробным соотношением частот (мой диплом, — вот уже и появилась дробная мера и сингулярность ф), сделал первую в СССР и в России фрактальную антенну, впервые предложил фрактальный конденсатор, первый словарь текстурных и фрактальных сигнатур/признаков объектов, первый в мире фрактальный непараметрический обнаружитель сверхслабых радиосигналов в виде макета, первый фрактальный частотно-избирательный сэндвич...

Самое главное — правильные книги с детства и до сих пор: классическая художественная литература и философия, история и техника, физика и математика, биология и стихи. Судьба сводила меня с интереснейшими и достойнейшими людьми разных профессий с самого раннего возраста и в селе, и позднее в городах. Перечислить их здесь просто невозможно. Но в памяти их всех храню.

С детства мечтал быть географом-геологом-путешественником (но почти все земли были уже открыты), затем врачом-хирургом, а параллельно и, оказалось, на всю жизнь, ученым в области Радио. Всегда мечтал быть первопроходцем, создать свое, то, что до меня никто не смог сделать. С института (РРТИ) влюбился в радиолокацию, остался ей верен, внес, считаю, — и мне говорят видные отечественные конструкторы,—много нового и оригинального, что до меня вообще не помышляли делать. Затем вечерний физфак МГУ и лазеры. Поменял кучу работ, и с сентября 1979 года двери ИРЭ РАН распахнулись передо мной!

С радиолокацией, миллиметровыми волнами и оптикой — любовь взаимная на всю жизнь. Отсюда, и моя фрактальная радиофизика, и фрактальная, и нелинейная радиолокация, и принципиально новые методы обработки многомерных сигналов, и многое другое!

“Дисциплина ученого заключается в том, что он посвящает себя поискам истины. (...) По большей части это внутренняя дисциплина, которая зависит, прежде всего, от того, как ученый относится к науке, а не от внешних обстоятельств, в которых протекает его научная работа. (...) Нужно иметь храбрость поверить в свои убеждения, иначе самое интересное, что могло прийти вам в голову, у вас из-под носа заберут другие, более отважные духом, но главное — это ведь единственное, ради чего по-настоящему стоит работать. (...) Я особенно счастлив, что мне не пришлось долгие годы быть одним из винтиков современной научной фабрики, делать, что приказано, работать над задачами, указанными начальством. (...) Мы живем в эпоху, когда соображения выгоды играют настолько исключительную роль, что подавляют все остальные. Современное общество оценивает стоимость идей в долларах и центах, хотя их ценность гораздо долговечнее ценности денег. Открытие, которое, быть может, только через пятьдесят лет даст что-нибудь практике, почти не имеет шансов оказаться выгодным для тех, кто оплачивал всю работу, проделанную ради того, чтобы оно совершилось; в то же время не стремиться к такого рода открытиям и жить тем, что уже достигнуто, — значит предавать свое собственное будущее и будущее своих детей и внуков; (...) мне приходится плыть против основного течения нашего времени. Сейчас принято думать, что век одиночек и тем более свободных одиночек для науки уже позади. Большинство администраторов и значительная часть

публики считают, что массовой атакой можно достигнуть чего угодно и что такие понятия, как вдохновение и идея, вообще устарели” (Н. Винер [16, с. 342-347]).

4. Наука, естествознание, метод

Понятия науки и естествознания тесно связаны между собой. Естествознание — важная часть науки, сочетающая в себе фундаментальные и прикладные науки в части исследования и взаимосвязи этих наук в области целостного постижения природы. Науку и естествознание объединяет мировоззренческая функция естествознания. Она направлена на выработку естественнонаучной картины мира. Природа есть сложная система, сложный организм, где все связано со всем. Научный метод независимо от конкретных приемов и способов исследования в разных научных дисциплинах отражает единство всех форм знаний об окружающем мире.

Разница между этими понятиями заключается в том, что наука более широкое понятие, в настоящее время рассматривающая совокупность знаний о мире, тогда как естествознание занимается исключительно знаниями о природе, выделенными в отдельную категорию еще Г. Риккертом (1863-1936) [17].

Для максимальной точности я откажусь от собственного пересказа в пользу цитирования - обширного, но вполне оправданного в данном случае: “Если мы бросим взгляд на историю науки за последние столетия, то увидим, что для философского обоснования естествознания было уже чрезвычайно много сделано частью исследователями отдельных научных дисциплин, частью философией. У Кеплера, Галилея, Ньютона эмпирическое исследование идет рука об руку со стремлением ясно сознать сущность своей деятельности, и это стремление венчалось блестящим успехом. Философия естественнонаучного века — я подразумеваю, конечно, XVII столетие - едва ли может быть отделена от естествознания. Но она также с успехом работает - стоит только вспомнить Декарта или Лейбница -и над выяснением естественнонаучного метода. И, наконец, уже на исходе XVIII столетия величайший мыслитель нового времени окончательно установил руководящее для методологии понятие природы как бытия вещей, «поскольку оно определено общими законами», а тем самым и наиболее общее понятие естествознания.

Конечно, Кант своим «поскольку оно определено» сломил вместе с тем исключительное господство понятия природы если и не в отдельных частных науках, то, во всяком случае, в философии, т.е. он лишил естественно-научное «миросозерцание», потерпевшее во время эпохи Просвещения практическое крушение при применении к исторически сложившейся культурной жизни, также и в теоретическом отношении его абсолютного характера и из якобы абсолютной величины низвел его на степень величины, лишь относительно правомерной, ограничив, таким образом, естественнонаучный метод областью специального исследования. Но понятие природы только выиграло от такого ограничения: благодаря ему оно еще резче определилось и было яснее сознано, так что даже если несколько отсталая философия и старается возвратить ему в настоящее время снова его исключительное господство, то для частных наук о природе отсюда уже не может возникнуть большого вреда. Понятие природы остается и при

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 107 ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

этом в главном неизмененным. В худшем случае подобное сужение кругозора, выдвигающее вместо гносеологической точки зрения снова старый метафизический натурализм, мстит за себя беспомощностью, которую многие естествоиспытатели обнаруживают по отношению к некоторым трудностям наиболее общих теорий, вроде атомистики или энергетики. Не совсем отрадно также, конечно, встречать еще и теперь естествоиспытателей, принимающих за личное оскорбление, если им кто-нибудь скажет, что не только они одни занимаются наукой. Но в общем же не вполне основательная вера в исключительную правомерность одного только естественнонаучного мышления приведет лишь к тому, что внушит естествоиспытателям сознание высокого значения их работы, а тем самым любовь к труду и воодушевление” [17, с. 47].

Как отмечено в [17], наука так стара, на протяжении своей истории она претерпела столько много изменений и каждое ее положение настолько связано с другими аспектами общественной деятельности, что любая попытка дать определение науки может выразить лишь один из ее аспектов, и часто второстепенный, существовавший в какой-то период ее развития. По сути дела, здесь принцип дефиниции, строго говоря, неприменим. В современном мире наука может рассматриваться: как институт, как метод, как накопление традиций знаний, как важный фактор поддержки и развития производства, как один из наиболее сильных факторов, формирующих убеждения и отношения к миру и человеку. Само по себе слово “наука” (“science”) не очень древнего происхождения. Этот термин ввел У. Уэвелл.

Уильям Уэвелл (1794-1866), один из наиболее выдающихся английских энциклопедистов XIX века, может по праву считаться первым крупным историком и философом науки. В 1833 году Уэвелл ввел новое английское слово “scientist”, которое можно перевести как “ученый-естественник”. До этого в английском языке использовались два аналогичных слова “natural philosopher’ и “man of science”. отчасти благодаря ему термин “наука” заменил общеупотребительный до этого термин “натуральная философия”. Термиш “наука” — “science” и “ученый” — “scientist” впервые были введены в 1840 г. Уильямом Уэвеллом в его труде “Философия индуктивных наук”: “.. .нам крайне нужно подобрать название для описания занимающегосянаукойвообще. Я склонен называть его Ученым” (цитируется по [18], с. 19). Две основные работы Уэвелла по истории и философии науки — “История индуктивных наук” (3 тт., 1837) и “Философия индуктивных наук” (1840) сделали его популярным и общепризнанным авторитетом не только для современников, но и для более поздних представителей различных философских направлений.

Метод науки абстрагируется от понятия институт науки и является развивающимся процессом. Метод состоит из ряда открытых в прошлом как умственных, так и физических операций, ведущих к формированию, нахождению, проверке и использованию ответов на общие вопросы и которые заслуживают постановки и могут быть разрешены на той или иной ступени развития общества. Изучение научного метода идет гораздо медленнее, чем развитие самой науки. Ученые сначала находят что-то, а затемуже—как правило, безрезультатно — размышляют о способах, которыми было это открыто [18, с. 21]. Мы всегда начинаем с наблюдений, сопровождаем затем их опытом. Затем возникают классификация и измерение.

Классификация — это первый шаг на пути к пониманию новых явлений. Их надо упорядочить для дальнейшей работы. Измерение — дальнейшая стадия упорядочения. Именно измерение связывает науку с математикой и технической практикой. Эксперимент — это активная сторона науки. Все эксперименты сводятся к двум операциям—анализ и синтез. Из совокупности действий и наблюдений (основа эксперимента) возникает остов научного познания. Но остов не является простым перечнем таких результатов, иначе наука стала бы столь же громоздкой и трудной для понимания. Прежде чем результаты экспериментов могут стать полезными, а во многих случаях и даже до их получения необходимо их соотнести друг с другом — логическая часть науки. Все это приводит к непрерывному процессу создания научных законов, принципов, гипотез и теорий. И уже из подобных гипотез и теорий проистекает практическое применение науки. Затем опять новые наблюдения, эксперименты и теории. В процессе наблюдения, эксперимента и логического истолкования возникает научный язык. Описанное выше — тактика научного прогресса. Стратегия открытия — определение последовательности выбора проблем для решения. Гораздо труднее увидеть проблему, чем найти ее решение. Для первого необходимо воображение, а для второго — только умение. В этом смысл определения науки как осознания необходимости. В науке возникает опасность ограничения количества признанных классических проблем. Усилия многих поколений ученых сосредоточены на решении и разработке таких проблем. Именно данная тенденция в течение длительных периодов истории науки удерживает ее в узких пределах. И только вырвавшись из этих пределов и обнаружив новые проблемы, наука захватывает новые области (Ньютон, Дарвин, Фарадей). Необходимо ставить перед собой задачу найти и решить проблемы в соответствии со своим собственным планом. Особенностью наук является их кумулятивный характер. Одного знания известного недостаточно. Чтобы называться ученым, необходимо внести что-то свое в общее дело. Но наука — это нечто большее, чем общий комплекс известных фактов, законов, теорий. Критикуя, часто столько же разрушая, сколько и создавая, наука постоянно открывает новые факты, законы и теории. Сооружение науки [18], вечно находится в ремонте, но в то же время всегда используется. Открытия, раскрывающие новые линии развития науки, чаще всего происходят благодаря объединению научных дисциплин, прежде считавшихся различными. Затем из каждого пересечения линий развития этих дисциплин или от решающих открытий отпочковываются новые отрасли науки. Таким образом, в целом исторически картина похожа на неопределенно сложное множество сплетений и открытий, т.е. фрактал!.. Существующий взгляд на науку описывает ее законы и теории как закономерные и логические выводы из экспериментальных фактов. Сомнительно, чтобы при наличии такого ограничения существовала какая-нибудь наука [18]. Законы, гипотезы, теории науки имеют большее значение, чем объективные факты, которые они объясняют. Наибольшая трудность открытия заключается не столько в проведении необходимых наблюдений, сколько в ломке традиционных идей при их толковании. “Трудность в науке часто представляет не столько то, как сделать открытие, сколько понять, что оно сделано. Это положение особенно

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

108

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

справедливо в том случае, когда в существующей теории нет ничего, что могло бы заставить ожидать тех или иных явлений, и даже еще в большей степени тогда, когда, как это часто случается, имеются, казалось бы, все основания не ожидать их. Однако рано или поздно, (...), обязательно найдется какой-нибудь наблюдательный, обладающий широким кругозором и критически настроенный по отношению к ортодоксальным теориям или мало осведомленный о них человек, чтобы сделать данное открытие” [18, с. 339-340].

“Как правило, формирование гипотез — это наиболее трудная часть научной работы и та ее часть, где необходимы большие способности. До сих пор не найдено ни одного метода, который сделал бы возможным изобретение гипотез по заранее установленным правилам. Обычно какая-нибудь гипотеза является необходимой предпосылкой для сбора фактов, так как для того, чтобы отобрать факты, требуется какой-то метод определения того, что факты имеют отношение к делу. Без этого простое умножение фактов сбивает с толку” [19]. И далее о логике гипотезы: “Часто, когда нужно проверить гипотезу, происходит длительный дедуктивный процесс от гипотезы к некоторым последствиям, которые могут быть проверены наблюдениями” [19].

Этим мы и завершим здесь краткий обзор общих аспектов науки как института накопленных традиций, чтобы Читателю было легче понять мир моих идей и теорий.

5. И еще о научном методе

Науку, как правило, определяет используемый ею метод. Познание должно быть подчинено строгому и определенному методу, осмысливающему наиболее эффективные условия постижения природы. Подчеркивая необходимость правильного метода, основоположник научного метода Ф. Бэкон (22.01.1561-09.04.1626) [20, 21] говорил, что тот, кто идет хотя бы медленно, но верной дорогой, рано или поздно достигнет цели; но тот, кто избрал ложный путь, заблудится тем скорее, чем быстрее идет. Учение о методе Ф. Бэкон выдвигает как главную часть “Великого восстановления наук” говоря, что проблема метода “это самая важная проблема из всех существующих”, в результате чего возник “Новый Органон” как вторая часть “Великого восстановления наук” [20-22]. По Ф. Бэкону всякое знание должно базироваться на фактах и эксперименте. Тем самым он отверг концепцию Аристотеля о цели как конечной причине. Вместо наблюдения за природой, согласно заранее установленным понятиям об искомом (аксиомам), Ф. Бэкон изучает отдельные явления, а по их результатам выводит общие принципы.

При сборе данных нужно не только отыскивать то, что подтверждает наши мысли, но и учитывать противоречащие им факты. Этим Ф. Бэкон предвосхитил труды К. Поппера (28.07.1902-17.09.1994), сделавшего фальсификацию, а не верификаиию подлинной проверкой гипотезы [23, 24]. Принцип фальсифицируемости (опровержимости) служит критерием демаркации между наукой и метафизикой. Подлинной науке свойственно постоянное стремление устанавливать истинность того, что выступает против привычных фактов. Теория считается научной, если существует возможность ее опровержения. Таким образом, неопровержимая теория лишена научности. Наука движется вперед, отыскивая данные, опровергающие уже разработанные теории, что побуждает либо скорректировать

их, либо отвергнуть. Поппер усматривает в разуме, а не в опыте творческое начало. Поэтому научный прогресс есть следствие творческого прорыва человека, выдвигающего гипотезу, которая выходит за пределы познаваемости посредством опыта. Развитие науки—это не просто накопление информации для подтверждения уже известного, а рискованный путь в неведомое, испытание на прочность новых идей и их совершенствование. Для Поппера идеал — это теория, дающая максимум информации и поэтому имеющая малую степень вероятности, но, тем не менее, приблизившаяся к истине. Такая теория, возможно, в итоге будет отвергнута, но она все-таки принесет пользу, поскольку на ее основе будут сделаны какие-то выводы. Обратно, теория, ничего не говорящая, по сути, не имеет шансов быть опровергнутой и потому не принесет никакой пользы. Таким образом, согласно теории Поппера, никакой научный закон не может быть доказан. В лучшем случае он может иметь высокую степень вероятности. Всегда должна оставаться возможность того, что однажды ряд фактов засвидетельствует его ошибочность. В то же время, теория отвергается в случае отсутствия подтверждающих ее опытных данных и при наличии альтернативной теории, способной их учесть [22-24].

Многие выдающиеся ученые испытали влияние индукции Ф. Бэкона: И. Ньютон, Р. Бойль, Х. Гюйгенс, Р. Гук, Р. Гершель и др. Ф. Бэкон предвидел потребности будущего естествознания, учитывая необходимость сочетания противоположных методов исследования, т.е. анализа и синтеза. Говоря о связи с практикой, Ф. Бэкон не имеет в виду науку, “стремящуюся к непосредственной выгоде. Ведь я прекрасно понимаю, насколько это задержало бы развитие и прогресс науки и напоминало бы о золотом яблоке, брошенном перед Аталантой: она нагнулась, чтобы поднять его, и это помешало ее бегу” [21]. Решающее воздействие на практику, согласно Ф. Бэкону, наука оказывает открытием форм и аксиом, т.е. наиболее глубоких законов природы. Именно в открытии форм “кроются вершины и кульминационные точки человеческого познания и человеческого могущества” [20]. В “Новой Атлантиде” Ф. Бэкон предлагал создавать пантеон не богов, а героев, изобретателей и ученых.

Говоря о Ф. Бэконе, необходимо сказать о работах его однофамильца Роджера Бэкона (ок. 1214-92). Р. Бэкон выдвинул понятие “натуральной магии” для осуществления целей алхимии и магии — омоложения, превращения видов животных и растений, превращения металлов в золото — но, путем познания естественных, а не мистических свойств вещей. Ему принадлежит и крылатая фраза: “Знание — сила!”. В своих исследованиях Р. Бэкон отталкивался от наблюдений и критически воспринимал склонность принимать что-либо на веру, безоглядно доверяя авторитетам.

Историческое значение идейного наследия Ф. Бэкона велико. Один пример [25], но он стоит многих. В Англии при Грэшем-колледже в Лондоне в 1645 г. энтузиастами образован кружок экспериментаторов, названный Р. Бойлем “невидимой коллегией”. В 1648 г. его участники перебрались в Оксфорд, под начало Д. Уилкинза, одного из университетских администраторов и зятя О. Кромвеля. Затем в 1660 г. кружок вновь обосновался в Лондоне. В 1662 г. он утвержден официально как “Лондонское королевское общество”, т.е. Английская академия наук. Ее записки открываются утверждением, что “основание королевского общества — это один из наиболее ранних практических результатов

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 109

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

философских трудов Френсиса Бэкона” [26]. Прообразы будущих академий наук возникали примерно с середины XVI в. сначала в Италии, потом в Германии и Франции, но ни одно из них не сыграло столь значительной научной роли, как Лондонское королевское общество. Именно оно было принято за образец при создании академий наук в других государствах. Ж. Кольбер в 1666 г. при основании французской “Академии наук, надписей и архитектуры” воспользовался советом Х. Гюйгенса “воплотить план Бэкона”. Когда Бенджамин Франклин основал Американское философское общество, то он подчеркнул, что цель общества

— способствовать полезным знаниям, следуя Бэкону. По сути, Ф. Бэкон заложил основания проблемы “наука и ученый в современном обществе”.

6. Научные теории, парадигма, принцип пролиферации

Томас Кун (1922-96) пытался понять прогресс науки, связано ли ее развитие с простой индукцией, либо оно следствие попперовской фальсификации, когда единичный факт достаточен для того, чтобы признать теорию неверной. Концепция Куна основана на истории науки [27]. В процессе научной работы, когда выстраивается теория и выявляется проблема, происходят революционные изменения, противоречащие этому процессу. Основная совокупность предположений науки определенное время остается неизменной, и большинство ученых и занимаются как раз проведением экспериментов в пределах принятых ими научных допущений.

Установленные внутри научного сообщества некие законы и теории являются основой для дальнейших изысканий. Эти законы и теории Кун назвал “парадигмой”. Кун разграничивает нормальное состояние науки и кризисные моменты, когда полностью меняется научный подход и происходит научная революция. Во времена стабильности господствует стойкая парадигма, которая все-таки безусловно таит в себе ряд проблем. Эти проблемы постепенно нарастают и вызывают кризис существующей парадигмы. При этом вполне может возникнуть альтернативная парадигма, способная справиться с вызвавшими кризис проблемами. После принятия новой парадигмы наука обретает вновь нормальное состояние.

Обратим внимание на узость взглядов ученых, которая заставляет их отстаивать собственное видение устройства мира даже тогда, когда происходит смена парадигмы и все подвергается переоценке. Необходимо, однако, заметить, что нельзя проводить наблюдения, абсолютно независимые от господствующей парадигмы, т.к. эти самые наблюдения ею и формируются. Вот почему так редко появляются новые парадигмы.

Научные споры возникают в основном при соприкосновении двух различных парадигм, которые по-разному трактуют факты. В результате дискуссий происходят революционные перемены, и появляется новая парадигма. Кун специально отмечает, что теории требуют определенной степени убежденности. Парадигма, по Куну, не имеет рациональной основы и не поддается прямому фальсифицированию. Каждая парадигма обладает собственным историческим языком, а привлекаемые различными парадигмами понятия — несопоставимы. Индуктивный подход приводит к выводу, что прогресс

— крайне медленный процесс накопления данных. Из

концепции Куна вырисовывается противоположная картина: непостоянство движения, наличие внезапных подвижек, разделяемых длительными периодами основательной работы. Концепция Куна более точна, нежели теория о прогрессе как медленном накоплении данных. Происходит отборочный процесс накопления данных, и вся парадигма меняется лишь тогда, когда противостоящие ей факты нарастают как снежный ком. Т.е. перевороты в науке редки и внезапны. По мнению Куна, парадигмы изменяются не на основании доводов разума, а в момент прозрения мысли.

Но и в пределах одной парадигмы происходят определенные сдвиги в науке. Это точка зрения Имре Лакатоса (09.11.1922-02.02.1974) [28, 29]. По его мнению, наука прогрессирует за счет исследовательских программ, направленных сугубо на решение возникающих поблеем. Т.е., гипотеза не отбрасывается при появлении единичного противоречащего факта (Поппер) и не в следующем ожидании кризиса, за которым следует смена парадигмы (Кун). Внутри таких исследовательской программы должны существовать “жесткое ядро” теорий, без которых она не жизнеспособна и которые ученые не отбрасывают без веских на то оснований, а также “предохранительный пояс” из дополнительных гипотез, которые можно проверять и менять без полного отказа от всей программы [22].

Отметим еще точку зрения американского философа науки Пауля Фейерабенда (13.01.1924-11.02.1994). Он обосновывает “эпистемологический анархизм”, т.е. плюрализм в методологии научного познания и тезис о несоизмеримости теорий (ученый может выдвигать свои собственные теории, игнорируя критику) [22]. Наука, по Фейерабенду, иррациональна, не отличается от мифа и религии, является одной из форм идеологии. Отталкиваясь от разработанного Поппером и Лакатосом положения о том, что при столкновении научной теории с некоторым фактом для ее опровержения необходима еще одна теория (придающая факту значение опровергающего свидетельства), Фейерабенд выдвинул методологический принцип пролиферации (размножения) теорий: ученые

должны стремиться создавать теории, несовместимые с существующими и признанными теориями [30, 31].

На практике одна теория или даже парадигма редко сразу уступают место другой. Очень часто соперничающие теории сосуществуют некоторое время, пока их сравнивают. Иногда выдвинутая теория не слишком быстро продвигается вперед, т.к. требуется еще выполнить определенную работу, способствующую пониманию ее важности. Выбор между одинаково удачными теориями осуществляется на основе критериев простоты.

Это следует из принципа бритвы Оккама2, согласно которому “сущности не следует умножать без необходимости”. (Уильям Оккам (ок. 1285-1349) — знаменитый английский монах-францисканец, логик и философ, “непобедимый доктор”). Кстати, как номиналист, Оккам, отделяет веру от

2Принцип чаще всего дается в формулировке: “Без необходимости не следует утверждать многое” или “То, что можно объяснить посредством меньшего, не следует выражать посредством большего”. Обычно приводимая историческая формулировка: “Сущности не следует умножать без необходимости” — в произведениях Оккама не встречается [22, с. 292].

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

110

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

разума и не усматривает никаких рациональных основании для следования авторитету. Считается одним из отцов современной эпистемологии и современной философии в целом, а также одним из величайших логиков всех времен [22].

“Принцип экономии мышления” вновь возродил Мах; сторонники данного принципа применяли его на практике в такой степени, что они не смогли заметить того, что наиболее экономичной из всех процедур была процедура вообще не мыслить [32, с. 324]. Как метко заметил М. Борн: “Если мы хотим экономить мышление, то лучше всего было бы прекратить думать вообще”3. И еще его же: “Я изучал философов всех времен и встретил у них множество ярких идей, но не смог усмотреть никакого стабильного прогресса к более глубокому познанию или пониманию сути вещей. Наука, напротив, наполняет меня чувством устойчивого прогресса, и я убежден, что именно теоретическая физика есть подлинная философия”4.

МыслителитипаПоппера и Фейерабенда придерживаются плюрализма в подходе к теориям, соперничающим между собой. Лакатос, в частности, полагает, что необходимо работать с новой теорией, принимая ее на веру за отсутствием доказательства обратного и защищая от нападок более устоявшихся теорий, даже если она еще не предъявила положительных результатов. Он считает, что иначе у науки будет мало практических шансов прогрессировать, поскольку большинство новых возможностей так и не смогут утвердиться, чтобы серьезно оспорить существующую теорию либо парадигму. На практике исследовательская программа должна стать источником как новых фактов, так и новых теорий, являющихся стимулом прогресса. Теории недостаточно быть просто единой и связной. Лакатос подчеркивает, что: “Направление науки в первую очередь определяется творческим воображением людей, а не окружающим нас миром фактов” (цит. по [22, с. 166])5.

Одна из характеристик добротной научной теории, по мнению Куна, является ее плодотворность — способность делать точные прогнозы и практическая пригодность как подручного средства науки. Научные теории подразделяются с точки зрения их “активной” и “пассивной” роли [22]. Пассивная роль соответствует традиционному эмпиризму, где теория отражает запечатление данных опыта в нашем уме. При активной роли теории разум воспринимает данные чувств и работает с ними, выдвигая гипотезы и испытывая их, стремясь выразить опыт в суждениях, которые укладывались бы в прежние представления.

Об активной роли теории говорил еще Кант. Анри Пуанкаре (1854-1912) считал, что разум играет еще более активную роль, создавая схемы, позволяющие нам понять данные опыта [33]. Карл Поппер утверждал, что при наличии выбора среди теорий, объясняющих какое-то явление, следует предпочесть ту, которая лучше подтверждена, легче проверяема и связана с верными концепциями. Необходимо остановиться на той теории, которая наиболее пригодна для решения текущих задач. Причем так надо поступать, даже если известно, что теория на самом деле

3Born М. Natural Philosophy of Cause and Chance. Oxford, Clarendon Press, 1949, 215 pp., p. 207.

4Борн М. Моя жизнь и взгляды. М., Прогресс, 1973, 176 с., с. 37-38.

5Из собрания трудов Лакатоса, опубликованных в 1978 г., спустя четыре года после его смерти.

ложная! Поппер называл теории “орудиями мышления”. Но на этом я больше останавливаться не стану.

7. Для “передышки” Читателя - несколько “пригоршней” изречений - истин из ноосферы

“Великая научная идея редко внедряется путем постепенного убеждения и обращения своих противников. В действительности дело происходит так, что оппоненты постепенно вымирают, а растущее поколение с самого начала осваивается с новой идеей” (Макс Планк).

.Человеческая наука, по существу рациональная в своих основах и по своим методам, может осуществлять свои наиболее замечательные завоевания лишь путем внезапных опасных скачков ума, когда проявляются способности, освобожденные от тяжких оков строгого рассуждения (. ) ученый проводит рациональный анализ и перебирает звено за звеном цепь своих дедукций; эта цепь его сковывает до определенного момента; затем он от нее мгновенно освобождается, и свобода его воображения, вновь обретенная, позволяет ему увидеть новые горизонты” (Луи де Бройль).

“Каждый век, приобретая новые идеи, приобретает и новые глаза” (Генрих Гейне).

“Книга — это зеркало; и если в него смотрится обезьяна, то из него не может выглянуть лик апостола” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Ничто так не способствует душевному спокойствию, как полное отсутствие собственного мнения” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Читать означает “брать в долг”, а сделать на основе этого открытие — значит “уплатить долг” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Там, где прежде были границы науки, там теперь ее центр” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Книгой следовало бы, собственно, называть лишь ту, которая содержит нечто новое, все прочие — лишь средство быстро узнать, что уже сделано в той или иной области” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Заурядный человек всегда приспосабливается к господствующему мнению и господствующей моде, он считает современное состояние вещей единственно возможным и относится ко всему пассивно” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Есть люди, которые не начнут слышать, прежде чем им не отрежут уши” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Ни на один день не уклоняться от своей цели — вот средство продлить время, и притом очень верное средство, хотя пользоваться им и нелегко” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“В слове ученый заключается только понятие о том, что его много учили, но это еще не значит, что он чему-нибудь научился” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Быстрое накопление знаний, приобретаемых при слишком малом самостоятельном участии, не очень плодотворно. Ученость также может родить лишь листья, не давая плодов” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Самая занимательная для нас поверхность на земле это человеческое лицо” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Популярным изложением сегодня слишком часто называется такое, благодаря которому масса получает возможность говорить о чем-либо, ничего в этом деле не понимая” (Георг Кристоф Лихтенберг).

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 111 ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

“Скромность должна быть добродетелью тех, у кого нет других” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Тот факт, что многие ищут истину и не находят ее, объясняется, вероятно, тем, что пути к истине, подобно дорогам в ногайской степи, ведущим от одного места к другому, столь же широки и длинны” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Лучший способ хвалить живых и умерших — это извинять их слабости; но только не приписывать им добродетелей, которыми они не обладали, это все портит и даже истинное делает подозрительным” (Георг Кристоф Лихтенберг).

“Чем дальше эксперимент от теории, тем ближе он к Нобелевской премии” (Ф. Жолио-Кюри).

“Нет прикладных наук, есть только приложения науки” (Луи Пастер).

“Сейчас, возможно, нет ни науки, ни искусств, зато существует история этих дисциплин” (Х. Борхес).

“Ничто так не помогает повторять географию, как извержения вулканов и землетрясения” (Д. Аминадо).

“Самое главное — это прививать вкус и любовь к науке; иначе мы воспитаем просто ослов, нагруженных книжной премудростью” (М. Монтень).

“Наука не знает, чем она обязана воображению” (Ралф Эмерсон).

“Эмпирические науки, когда ими занимаются только ради них самих, без всякой философской цели, подобны лицу без глаз” (Артур Шопенгауэр).

“Вечная трагедия науки: уродливые факты убивают

красивые гипотезы” (Томас Генри Гексли).

“Всякая истина рождается как ересь и умирает как предрассудок” (Томас Генри Гексли).

“Каждое из наших самых прочных убеждений может быть опрокинуто или, во всяком случае, изменено дальнейшими успехами знания” (Томас Генри Гексли).

“Продвигаясь вперед, наука непрестанно перечеркивает сама себя” (В. Гюго).

“Злоупотребление научным языком превращает в науку слов то, что должно быть наукой фактов” (Жан-Антуан-Никола Кондорсе).

“Увы, так уж устроен свет: тупоголовые твердо уверены в себе, а умные полны сомнений” (Б. Рассел).

“Если какая-то точка зрения широко распространена, это вовсе не значит, что она не абсурдна. Больше того. Учитывая глупость большинства людей, широко распространенная точка зрения будет скорее глупа, чем разумна” (Б. Рассел).

“Я так занят, что был вынужден перенести дату своей смерти” (Б. Рассел).

“Человек доказывает свое превосходство перед животными исключительно способностью к занудству” (Б. Рассел).

“Даже если все держатся одного мнения, все могут ошибаться” (Б. Рассел).

“Меньшинство может быть правым. Большинство всегда ошибается” (Г. Ибсен).

“Из беседы с ученым мужем я всякий раз делаю вывод, что счастье нам не дано; когда же говорю с садовником, то убеждаюсь в обратном” (Б. Рассел).

“Правильно жить” означает лицемерие, “правильно думать” — глупость” (Б. Рассел).

“Органическая жизнь, как известно, развивалась от одноклеточного организма до философа, и развитие это, как

нас уверяют, безусловно, прогрессивное. Плохо только, что уверяет нас в этом философ, а не одноклеточное” (Б. Рассел).

“Статистика есть наука о том, как, не умея мыслить и понимать, заставить делать это цифры” (В. Ключевский).

“Ключом ко всякой науке является вопросительный знак” (О. Бальзак).

“Двигайтесь дальше, а вера придет потом” (Ж. Д’Аламбер).

“Наше знание может быть только ограниченным, тогда как незнание непременно должно быть безграничным” (К. Поппер).

8. Фракталы и операторы дробного интегродифференцирования

Далее я коснусь инструментов фрактального метода, чтобы рассмотреть затем вопросы разработки глобального фрактального метода. Сейчас мы перейдем к более детальной характеристике проблем, вынесенных в заголовок данной работы. Попутно конспективно изложу историю их возникновения, так как подлинный интерес к идеям всегда ведет к исследованию их исторического развития [32]. Дж. Бернал указывал: “В науке, больше чем в каком-либо другом институте человечества, необходимо изучать прошлое для понимания настоящего и господства над природой в будущем” [18, с. 16].

Фракталы совместно с математико-физическим аппаратом являются системообразующим началом при заполнении “белых пятен” и “черных дыр” Мироздания. Пример — прорыв в области нецелого числа повторяющихся операций в интегродифференциальном исчислении (дробные степени операторов дифференцирования и интегрирования дробные операторы) [1-3, 34-39]. Этот прорыв впечатляет: чрезвычайно обогащается семейство дифференциальных уравнений; пустые промежутки между уравнениями целых порядков плотно заполняются уравнениями нецелых вещественных порядков, возможными становятся непрерывные переходы между параболическим, гиперболическим и эллиптическим типами уравнений в частных производных. Наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как отражение памяти или немарковости стохастического процесса. Дробные производные по пространственным координатам отражают самоподобную неоднородность фрактальной структуры или фрактальной среды, в которой процесс развивается. Физически операторы дробного интегрирования играют роль своеобразных “фильтров”, выделяющих только те составляющие, которые локализованы на фрактальных (дробных) множествах исследуемого процесса.

Несмотря на то, что понятие оператора дробного интегродифференцирования было известно уже в конце XVII в., начало широкого применения дробного исчисления в науке и технике можно отнести к концу восьмидесятых — началу девяностых годов прошлого века [1-3, 34-39]. Данный математический аппарат, базирующийся на понятиях интегралов и производных дробного порядка, широко применяется в физике фракталов и является основой теории фракталов6. Однако, для большинства ученых

6Поэтому книги по дробному исчислению должны обязательно включать главы по фракталам и наоборот.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

112

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

дробно-дифференциальное исчисление, как и фракталы, остаются экзотикой.

Начиная с Ньютона исчисление целого порядка используется при физическом моделировании. Интерес к дробному математическому анализу возник почти одновременно с появлением классического анализа (Соперник Ньютона Г. Лейбниц в письмах к Г. Лопиталю в 1695 г. при рассмотрении дифференциалов и производных порядка Уг высказал пророческие слова: “Отсюда следует, что d1/2x будет равно xVdx:x, — кажущийся парадокс, из которого в один прекрасный день будут выведены полезные следствия”, — и я считаю, что последующий прорыв, о чем сказано выше, представляет собой утвердительный ответ на это самое первое высказывание о дробном исчислении.

В течение времени многие известные математики работали над этими и смежными вопросами [34, 35, 38, 39], создавая область исследований, которая известна сегодня как дробное исчисление, что свидетельствует об актуальности темы с математической точки зрения. Вероятно, самое раннее более или менее систематическое исследование этого вопроса относится к XIX в. и принадлежит Н. Абелю (1823), Ж. Лиувиллю (1832), Б. Риману (1847) и Х. Хольмгрену (1864), хотя ранее вклад внесли Л. Эйлер (1730) и Ж. Лагранж (1772).

Именно в своем цикле работ Ж. Лиувилль (1832-35), применяя разложение функций в степенные ряды, определял q-ю производную путем почленного дифференцирования. Он же, в частности, дал первые практические приложения созданной им теории к решению задач математической физики. Затем Б. Риман (1847) предложил иное решение на основе определенного интеграла, пригодное к степенным рядам с нецелыми показателями. Данная работа, выполненная Б. Риманом в студенческие годы, была опубликована лишь в 1876 г. (спустя 10 лет после его смерти). Конструкции Лиувилля и Римана являются основными формами дробного интегрирования. Развивая идею Лиувилля, А. Грюнвальд (1867) ввел понятие дробной производной как предела разностных отношений.

Параллельно с теоретическими начинаниями разрабатывались приложения дробного анализа к решению различных задач. Одним из первых таких приложений явилось открытие Н. Абеля (1823), показавшего, что решение задачи о таутохроне может быть получено путем интегрального преобразования, которое записывается как производная полуцелого порядка. Существует историческое заблуждение, что Абель решил задачу только при значении индекса, равном У. На самом деле, как отмечено в [35], Абель рассмотрел решение в общем случае, и его работы сыграли огромную роль в развитии идей дробного интегродифференцирования. Заслугой Хольмгрена является рассмотрение дробного дифференцирования как операции, обратной интегрированию, и приложение данных понятий к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Громадное значение имели работы чл.-корр. Петербургской Академии наук (1884) А.В. Летникова (1(13).01.1837-27.02.(10.03).1888), который за время своей 20-летней научной деятельности разработал полную теорию дифференцирования с произвольным указателем. Работы великого русского ученого А.В. Летникова остались почти неизвестными за рубежом. В рассматриваемый период в

России за работами А.В. Летникова последовали работы Н.Я. Сонина и П.А. Некрасова. С именами этих русских ученых также связано распространение формулы Коши для аналитических функций в комплексной плоскости на нецелые значения индекса интегродифференцирования.

В конце XIX в. вышла содержательная работа Ж. Адамара (1892), в которой на основе разложения в ряд Тейлора было рассмотрено дробное дифференцирование аналитической в круге функции по радиусу, которое носит название подхода Адамара.

В первой половине XX в. заметный вклад, как в теорию, так и в практику дробного анализа внесли Г. Харди, Г. Вейль, М. Рисс, П. Монтель, А. Маршо, Д. Литтлвуд, Н. Винер, Дж. Карсон, Я. Тамаркин, Э. Пост, С.Л. Соболев,

A. Зигмунд, Б. Надь, А. Эрдейи, Х. Кобер, Ж. Коссар и ряд других ученых. В 1915 г. Г. Харди и М. Рисс использовали дробное интегрирование для суммирования расходящихся рядов. В 1917 г. Г. Вейль определил дробное интегрирование для периодических функций в виде свертки с некоторой специальной функцией. Аналог неравенства С.Н. Бернштейна для дробных производных алгебраических многочленов на конечном отрезке дал в 1918 г. П. Монтель. В работе А. Маршо (1927) была введена новая форма дробного дифференцирования, которая применима в случае функций с “плохим” поведением на бесконечности. Были введены в обиход дробные производные Маршо. В работах М. Рисса (1936, 1938, 1949) были получены операторы типа потенциала (потенциалы Рисса), позволившие определить дробное интегрирование функций многих переменных. Для некоторых интегральных операторов и интегральных уравнений очень полезными оказались дробные интегралы Эрдейи и Кобера (1940) и т.д

Специальнодлярадиофизиковирадиоинженеровотметим тот факт, что операционное исчисление, разработанное О. Хевисайдом (1892, 1893, 1920), оказалось важным этапом в применении обобщенных производных. Именно О. Хевисайд (1920) применил дробное дифференцирование в теории линий передач. После этого другие теоретики признали преимущества такого подхода и стали развивать его в соответствии с принятыми математическими концепциями.

Признавая важность работ упомянутых выше ученых, необходимо, однако отметить, что дробное исчисление стало строгой математической теорией, только начиная с работ А.В. Летникова. К большому сожалению, его работы были преданы почти полному забвению в России и за рубежом [1-3, 38, 39]7.

7Именно данное обстоятельство и послужило главным импульсом для труднейшей работы автора по сбору исторических научных материалов к подготовке и выпуску объемной монографии [38]. Неразрезанные выпуски “Математического сборника” за XIX

в. поступали автору из библиотеки Математического института им. В.А Стеклова РАН. Большая за это благодарность! Отмечу, что подготовительная техническая работа длилась почти 10 лет. Попутно были мои отдельные научные публикации в созданном в 2003 г. журнале “Нелинейный мир”, главным редактором которого неизменно является автор. Сейчас основные работы А.В. Летникова по дробному исчислению в моей редакции выходят одновременно с этой статьей-размышлениями в журнале РЭНСИТ за 2012 г. (за что автор благодарен главному редактору журнала РЭНСИТ

B. И. Грачеву). Все вышедшие работы — моя посильная дань 175й годовщине со дня рождения выдающегося русского патриота и ученого А.В. Летникова. Мечтаю продолжить публикацию работ

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 113

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

Сделаю небольшой повтор, это необходимо. Несколько лет назад в книге “Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки” [2] я рассмотрел научные и технические следствия, вытекающие из моей предыдущей работы “Фракталы в радиофизике и радиолокации” [1], посвященной вопросам применения фракталов, скейлинга и дробных операторов в науке и технике. В тот период фрактальный взгляд на проблемы нелинейной радиофизики и современной радиолокации был абсолютно новой идеей, и ни ее научное, ни техническое значение не было еще вполне ясно и проработано.

Сейчас—десятьлет спустя—фрактальнаятематикав радионауках уже оказала определенное научное и социальное воздействие, и за это время в мире произошло немало такого, что оправдывает появление моей новой рубежной работы. Круг фрактальных идей из планов и упоминаний на будущее превращается ныне в рабочий аппарат в многообразных научных исследованиях; он претерпел при этом большое внутреннее развитие.

Я провел не один цикл выступлений и лекций, и сейчас полагаю, что пришло время дать синтез своих взглядов в этой фундаментальной многообещающей области и рассмотреть фрактальный метод глубже и полнее.

9. Однородные функции и скейлинг

Три последних десятилетия оказались периодом существенного прогресса в физике фракталов. Экспериментаторы и теоретики успешно используют понятие фрактальности в исследовании многочисленных физических явлений. При этом большое развитие получила также теория масштабных преобразований (теория самоподобия, скейлинг-теория). Наиболее полно это нашло отражение в проблеме фазовых переходов (см., например, [40, 41]).

Фактически во всех естественных и искусственных динамических системах необходимо учитывать эффекты скейлинга, т.е. наличие множества различных пространственных и/или временных масштабов и всевозможные взаимодействия между ними. К обсуждению идей скейлинга полезно подходить с точки зрения однородных функций [39].

Как следует из [42], функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая условию, что при одновременном умножении всех аргументов функции fix, J, ..., u) на один и тот же произвольный множитель X значение функции умножается на некоторую степень а этого множителя, называется однородной:

J(x,у,..., и) = ^y, ... (1)

где а - порядок однородности, или измерение однородной функции.

Например, степенная функция ft) =btа удовлетворяет соотношению однородности (1) или скейлингу:

М = X/) (2)

при всех положительных значениях масштабного множителя X. Естественно, что степенная функция, как и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению (2), не являются фрактальными кривыми. Однако многие виды фракталов (масштабно-инвариантные фракталы) обладают скейлинговой симметрией. Однородные функции обладают многими свойствами, делающими их весьма русского ученого для просвещения современников. Ксерокопии его работ из “Математического сборника” лежат в моем рабочем столе. Россия должна гордиться такими своими сыновьями. Остальной научный мир пока молчит...

привлекательными для приближенного описания реальных процессов и объектов.

Различают: (1) - положительно однородные функции, для которых равенство (1) выполняется только для положительных X (X > 0), и (2) - абсолютно однородные функции, для которых выполняется равенство:

fXx) = |X|/x ^ (3)

Из дифференциальных свойств однородных функций отметим лемму Эйлера.

“Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентомравным порядку однородности.

х -V/(x) = af (X) ”. (4)

В [42] введена специально нормированная степенная функция

/bit) =

1

-t c t > o,

щ +1) ' ' (5)

которая называется стандартной степенной функцией.

Эти функции самоподобные (у них нет характерного масштаба, что естественно приводит к концепции фракталов); они обладают полугрупповым свойством; в нулях гаммы-функции r(X + 1) они определены как обобщенные функции, выражающиеся через 8-функцию и ее производные 8w(t); их трансформанты Лапласа также принадлежат семейству степенных функций с точностью до постоянного множителя. В отличие от экспоненциальных функций, обладающих свойством инвариантности с точностью до постоянного множителя, степенные функции таким свойством не обладают (отсюда, свойство памяти); к ним применимы тауберовы теоремы, позволяющие по поведению преобразования Лапласа в области нуля однозначно определить асимптотическое поведение таких функций при t —— * (эти теоремы верны и при условии, когда нуль и бесконечность меняются местами).

Однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов, в описании статистических свойств перколяции, в турбулентности [43], в современной ренормгрупповой теории критических явлений и т.п.

Очень часто из единственной посылки универсальности флуктуирующих систем с помощью скейлинговых оценок можно сделать далеко идущие выводы.

10. Вероятностные степенные законы или негауссовская стАТистика

Среди объектов материального мира самоподобие, как сказано мною выше, очень широко представлено [13]. Математическим выражением самоподобия являются степенные законы. Ланным законам подчиняются как увеличивающиеся в размерах объекты, например, города, так и объекты, распадающиеся на отдельные фрагменты, например, камни. Единственное непременное условие выполнения степенного самоподобного закона. отсутствие у данного вида объектов внутреннего масштаба. Действительно, не бывает реальных городов с числом жителей меньше 1 или больше 109. Точно также размер камня не может быть меньше молекулы, или больше континента. Таким образом, если самоподобие и беспредельно, то только в ограниченных областях. Тот факт, что однородные степенные законы не имеют естественных

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

114

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

внутренних масштабов, обуславливает еще один феномен — скейлинг или масштабную инвариантность.

Можно сказать, что степенные законы с целочисленными или дробными показателями являются генераторами самоподобия. Как отмечено в [44, стр. 165]: “Самоподобию, в конце концов, все равно, целочисленный у нас показатель или нет. Нередко дробный показатель содержит важный ключ к решению запутанной головоломки”.

В математике на основе степенных функций, как мы только что рассмотрели, построено дробное исчисление, введено понятие полюсов и создана теория вычетов, построена теория асимптотических разложений, введены устойчивые распределения. Проникновение дробного исчисления в физику резко ускорилось после установления его тесной связи с устойчивыми распределениями теории вероятностей.

Познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами [45]. Интерес классических исследований сводился к выяснению условий сходимости функций распределений сумм независимых случайных величин к гауссовскому закону. Поэтому классическая теория вероятностей изучала лишь один предельный закон распределения — гауссовский. В теории вероятностей параллельно с завершением классической проблематики возник вопрос о том, какие законы, помимо гауссовских, могут быть предельными для сумм независимых случайных величин. Оказалось, что класс предельных законов далеко не исчерпывается гауссовским законом [45-48].

В основе современной теории вероятностей лежат предельные теоремы о сходимости распределений сумм независимых случайных величин к так называемым устойчивым распределениям: гауссовским или негауссовским. Первые опираются на центральную предельную теорему, а вторые (негауссовские) — на предельную теорему, доказанную Б.В. Гнеденко (1939 г.) и W Doeblin (1940 г.) [45-48].

В этом случае предельная теорема накладывает ограничения на форму негауссовских распределений. А именно: для того, чтобы закон распределения F(x) принадлежал области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем а (0 < а < 2), отличного от гауссовского, необходимо и достаточно, чтобы

1) F(-х) ^ С1 при x ^ да, (6)

1 - F (x) с2

2) для каждой постоянной k > 0

1 - F(x) + F(-x) ^ ka

1 - F (kx) + F (-kx) при x ^ да, (7)

где c1 > 0 c2 > 0 c1 + c2 >0, 0 < а < 2.

Для доказательства (6) и (7) необходимо и достаточно, чтобы при некотором подборе постоянных Bn, выполнялись следующие условия [45, с. 189]: nF(Bnx) ^ ——, x < 0,

n[1 - F(Bnx)] ^-2~, x > 0,

lim lim n \

£^0 n^K>

I x dF(Bnx) —

I xdF(Bnx)

(8)

> = 0

Чем меньше величина а, тем длиннее хвост распределения

и тем более оно отличается от гауссовского. При 1 < а < 2 устойчивые законы имеют математическое ожидание; при 0 < а < 1 устойчивые законы не имеют ни дисперсий, ни

-12

XI <£

математических ожиданий. Условиями (6)-(8) определяется так называемая негауссовская статистика.

Общая теория устойчивых распределений сравнительно мало известна специалистам-прикладникам в силу ее сложности и, как считалось ранее, ее чисто математического характера. По определению распределение считается устойчивым, если композиция двух таких распределений приводит к распределению того же типа. Сложность их использования состоит также в том, что они, как правило, выражаются не в явном виде, а лишь через характеристические функции. Механизм формирования негауссовских законов не имеет пока однозначного решения. Наиболее распространены следующие гипотезы: “принцип наименьших усилий” — для закона Ципфа, “компромиссные” структуры — для закона Брэдфорда, взаимодействие двух противодействующих процессов (нарастание и ограничение) и “термодинамический” или вариационный подход — для закона Ципфа-Парето. (Отметим, что первые работы по связи закона Ципфа-Парето в лингвистике и экономике с устойчивыми негауссовскими распределениями принадлежат Б. Мандельброту). Общесистемный универсальный характер таких негауссовских законов был установлен, прежде всего, в социальных и информационных сложных системах и связан с человеческим поведением. Так как сложные системы облают структурой, то анализ таких систем должен учитывать оба аспекта: случайность разброса переменных и детерминизм структур соответствующих образований.

Негауссовские распределения, также как и недифференцируемые функции (см. ниже) и сами фракталы очень часто гораздо точнее описывают временные и пространственные процессы [1-15, 34-39, 43, 44, 48-51].

11. Моя разработка глобального фрактального метода

Несколько утрируя, можно сказать, что фракталы составляли тонкую амальгаму на мощном остове науки конца XX в. Их открытие принадлежит Б. Мандельброту (20.11.192414.10.2010). В современной ситуации интеллектуальное фиаско потерпели попытки принизить их значение и опираться только на классические знания.

Чтобы не загромождать текст ссылками и полемикой, здесь я излагаю свои конкретные соображения в тезисной форме. Их обоснование содержится в моих ранее опубликованных работах (см., например, [1-15, 38, 39, 51] и многочисленные ссылки в них).

Следуя принципу Рене Декарта (31.03.1596-11.02.1650)

[52] “определяйте значение слов”, начнем с пояснения того содержания, которое вложено в термин “фрактал”. В свое время Гегель заметил: “Истинные мысли и научное проникновение можно приобрести только в работе понятия”

[53] . Всегда необходимы некоторые дефиниции теории, которые и определяют содержание и предмет данной теории. Когда ставятся теоретические вопросы и в то же время не определяются центральные понятия, то это дефект в построении знания [54].

Автор неизменно в своих многочисленных работах опирается на свое собственное определение фрактала—рис. 1 (оно было одобрено и принято Б. Мандельбротом при нашей личной встрече в декабре 2005 г. в Нью-Йорке [2]). Сейчас оно у всех в ходу! На рис. 1 величина Dg — топологическая

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 115

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью D. В принципе, фракталы и дробные операторы невозможны друг без друга.

Исходя из данных рис. 1 и базируясь на [1, 2], представим здесь наше математическое определение фрактала:

“Фрактал — это функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом, и имеющее следующие свойства: 1) самоподобие или масштабную инвариантность (бесконечный скейлинг), т.е. фракталы на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших; 2) дробную размерность (называемую размерностью Хаусдорфа) строго большую, чем топологическая размерность; 3) недифференцируемость и оперирование дробными производными и интегралами”.

Физическое определение фрактала следующее:

“Фракталы — это геометрические объекты (линии, поверхности, тела), имеющие сильно изрезанную структуру и обладающие свойством самоподобия (скейлинг) в ограниченном масштабе”.

Понятно всем, что я дал простые, и одновременно, инвариантные относительно времени определения. Говоря о терминах в науках, необходимо обратить внимание на их одну особенность, которую очень хорошо выразил выдающийся мыслитель, философ и математик В.В. Налимов (04.11.191019.01.1997) [55, с. 138-141]. “В процессе развития науки ее слова приобретают престиж. (...) Когда ученый выдвигает новую концепцию, он хочет вложить ее в старые слова. Если это удается сделать, то новая теория сразу приобретает тот престиж, который уже ранее завоевали эти слова. (...) Спор о словах в науке, столь раздражающий многих, — это подчас совсем не пустой разговор. (...) И если кто-нибудь, читая серьезную статью по математической статистике, встретит незнакомые ему термины и захочет воспользоваться

ФРАКТАЛЫ

Рис. 1

специальным толковым словарем терминов, то это не принесет ему большой пользы, поскольку важно знать не просто строгое определение термина (если оно существует), но и все те концепции, с которые с ним связаны. Таким образом, этот языковой барьер можно назвать, если угодно, и концептуальным барьером. В отличие от обыденного языка людей язык науки носит значительно более резко выраженный кодовый характер. Глубина кодирования, или, иначе, информационная емкость понятий, растет во времени по мере развития научных концепций”.

“В литературе постоянно возникают острые дискуссии о том, можно ли считать тот или иной раздел знаний самостоятельной дисциплиной. Обсуждая этот вопрос, пытаются опираться на ряд критериев. Один из них — это утверждение о том, что каждая самостоятельная научная дисциплина должна обладать своим методом исследования. Нам представляется, что, исходя из высказанных выше соображений, можно предложить совсем простой критерий. Мы будем утверждать, что появление новой самостоятельной научной дисциплины должно сопровождаться и появлением нового специфического научного языка. Возникновение существенно новых проблем немедленно приводит и к появлению того нового языка, на котором они обсуждаются. Создание новой научной дисциплины не обязательно сопровождается созданием новых методов исследования, особенно теперь, когда многие новые разделы знаний возникают на пересечении ранее существующих и используют их методы исследования”.

В.В. Налимов на основе системы вероятностных представлений усилил высказывания Куна о роли парадигмы в науке, рассматривая научное творчество как проявление интеллектуального бунта [56].

Небольшое, но очень важное отступление от основного текста. Сегодня в пятницу 6 июля 2012 г., умчавшись из института, я встретился с вдовой В.В. Налимова Жанной Александровной Дрогалиной (можно сказать, знаменательный для меня день). Везет мне на встречи с интереснейшими людьми! Судьба!.. Наша непрерывная и оживленная беседа продолжается почти 2 часа, начиная с 16 часов. Жанна Александровна отставила свою работу над очередной книгой, выключила компьютер, и мы за чашкой вкуснейшего кофе начали наш разговор. Находясь в квартире и в библиотеке Василия Васильевича, рассматривая его книги, портреты и картины, и зная его нелегкий бескомпромиссный жизненный путь, чувствуешь неразрывную духовную связь с окружением великого ученого и его энергией. Его идеи и мысли вокруг тебя; я постоянно отмечал наши совпадающие ощущения. Наконец, извинившись, я прощаюсь. .Путь жизненного опыта. Необходимо по-новому осмысливать мир, поскольку прежнее знание доказало все-таки недостаточность и ущербность. Мне созвучны его размышления о многоплановости человеческого познания, которое не сводится только к рационализму, но включает в себя многие другие способы освоения мира, и главное — интуицию. Теорема Бейеса в ее глобальной трактовке, Мир как геометрия и мера, последовательный анализ Вальда, непараметрическая статистика, — это и мое полное абсолютное согласие с этими узловыми направлениями. Его завет о применении вероятностного мышления я бы дополнил еще, простите за дерзость, Жанна Александровна, и

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

116

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

фрактальной частью мышления. Его замечание, что . .быть научным — это быть метафоричным: способным создавать плодотворные метафоры, возбуждающие воображение и тем самым расширяющие наше взаимодействие с миром” глубоко созвучно с моим мироощущением. Времена энциклопедистов не прошли и в наше время. В.В. Налимов оставил нам термин “наукометрия”, философию вероятностного мира, семантику мироздания и умчался во Вселенную. Философия В.В. Налимова — это не та длиннющая жвачка скучнейших многочисленных учебников по философии. Живут самостоятельно его книги и многочисленные работы. (Теперь еще три подаренные редчайшие его книги в моей библиотеке для работы). Книги В.В. Налимова — для тех, кто готов самостоятельно мыслить и беззаветно служить науке и Знанию.

Могу также заметить, что “фрактал” — это понятие для автора и его теперь многочисленных последователей означает все, а для агрессивного невежества — ничего.

В контексте моих определений фрактала приведу прекрасный пример из области оснований фундаментальной математики [57]. Инфинитезимальное исчисление в его первоначальном виде было ранее изгнано из математики и заменено так называемым ( ) — анализом вкупе с континуумом Дедекинда и адаптированным к нему определением вещественной функции как отображением точек в точки. В результате была нарушена естественная связь означенного исчисления с его физическими корнями: бесконечно малая величина, переставшая признаваться числом, получила “вид на жительство” в качестве функции, фактически потеряв право выражать интуитивную идею пренебрежимой погрешности. Нечто похожее впоследствии произошло с сингулярными функциями, когда они стали представляться в виде функционалов. В тоже время, абсурдно было бы недооценивать виртуозность и научный потенциал такого подхода: даже его издержки порой оказываются неожиданно плодотворными. Так, не вполне адекватное физическому смыслу определение непрерывной функции стало поводом для построения “патологических” примеров (см. рис. 1), предвосхитивших развитие фрактального анализа.

Возвращаясь к основному содержанию работы, констатирую с удовлетворением, что все вынуждены теперь признать, что во множестве всех радионаук и дисциплин начало кардинального внедрения представленных выше современных физических подходов было положено автором этих строк более тридцати лет назад [1 - 3]. (Опыт фрактального восприятия в 80-е годы неизбежно привел меня под влиянием внутренних процессов к подготовке первого издания своей книги “Фракталы в радиофизике и радиолокации”. Я вложил в нее много душевных сил. Надо было управиться с мыслями, которые не давали мне покоя и заставляли взглянуть в разных ракурсах на науку. Но мне удалось издать книгу только в 2002 г. через 10 лет ее вынужденной подготовки и хождения по издательствам [1]. Как мне тогда часто говорили: “Таких слов у нас в науке нет”. Некоторые, конечно, выделяли дискуссионность подхода, раскованность мысли, новые способы видения традиционных уже проблем и безусловную интеллектуальную отвагу автора, и его эрудированность. Но, и все... О, племя импотентов духа! Так хочется всыпать им еще перцу своими работами, что и делаю! Почти одновременно

я готовил второе расширенное издание под названием “Топология выборки”. Книга вызвала большой интерес и быстро разошлась. Сейчас она широко известна в научных кругах). Книги мои были всегда рассчитаны на активный творческий диалог с заинтересованным читателем.

Кстати. В начале данной работы в конце раздела 3 я приводил слова Н. Винера о том, что сейчас принято думать, что век одиночек и тем более свободных одиночек для науки уже позади [16]. Среди проблем современного науковедения вопросы теории научных коллективов занимают особенное место (см., например, [58]). Однако, и в начале XX в. были ученые, стоящие в стороне от идей и методов, развиваемых коллективом людей науки, и стремящиеся решать ту же проблему существенно отличными методами и на основе принципиально иных идей. В науке исключения не менее ценны, чем правила, и работающий в условиях меньших информационных возможностей этот ученый может оказаться носителем более продуктивных научных идей. Выдающийся ученый академик В.И. Вернадский призывал к внимательному отношению к “ученым, стоящим в стороне”. Он писал в 1903 году: “ ‘История науки на каждом шагу показывает, что отдельные личности были более правы в своих утверждениях, чем целые корпорации ученых или сотни и тысячи исследователей, придерживавшихся господствующих взглядов.” [59].

Эволюция взглядов автора и развитие на сегодняшний момент в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН “фрактальной идеологии” разноплановых исследований показаны на рис. 2, где также приведены сведения о моменте их интенсивного развертывания и моих первых открытых публикаций. Здесь за меня говорят только факты!

Исторически очень важную роль сыграло небольшое число ключевых задач — “центров тяготения”. Тогда я поставил на первое место обработку сверхслабых радиолокационных сигналов на фоне помех от местности и негауссовую статистику внутриимпульсных флуктуаций в диапазоне миллиметровых волн. Эти центры стимулировали стремительное расширение всех фрактальных работ. Моя идея фрактальной обработки и фрактальных сигнатур упростила то, что ранее было крайне сложным в радиолокации. Это имело решающее значение для развития фрактального анализа, так как привлекло внимание к этому типу задач, и непосредственно сам фрактальный анализ становится “центром тяготения”. Появилась возможность создания активной теории. Отмечу, что сейчас интенсивное развитие получает в наших работах современная проблема “Фрактальные лабиринты, как новый объект математической физики”. Я думаю, это существенно для нанотехнологий, метаматериалов, фрактальных антенн и фрактальных частотно-избирательных поверхностей и объемов (фрактальных “сэндвичей”—по моей терминологии). К этой теме я подходил долго и упорно.

Здесь я опять воспользуюсь благоприятной возможностью, предоставляемой отчасти исторической формой моего изложения. Тщательный библиографический поиск показал наш полный и абсолютный приоритет по всем “фрактальным” направлениям (рис. 2) в СССР и в России, а частично также и в мировой науке (кроме фрактальных антенн, первые работы о которых вышли на Западе в 80-е годы XX века [1-3]). Выходя за рамки темы, могу заметить,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 117

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

что этому приоритету в столь разнообразных применениях фракталов, немало способствовало то, что я всегда отстаиваю свое личное мнение, самостоятельность в исследованиях и решительно веду борьбу против холуйства и рептильности в науке. Обыватель любит ниспровергать. Если это не удается, то хотя бы приравнять к самому себе.

С защитой докторской диссертации в 1994г. я развернул свое знамя, перейдя в решительное наступление на традиционные взгляды в обработке информации и предложив через десять лет совершенно новый подход, т.е. фрактальный метод.

Мои выступления чрезвычайно взбудоражили радиотехнический мир и вызывали не менее яростную ответную реакцию. Но как сказал норвежский математик, логик и философ А. Сколема (23.05.1887-23.03.1963): “Я не считаю священным все написанное в традиционных учебниках”.

Всегда в процессе работы я опираюсь на свои три глобальных тезиса:

- Обработка искаженной негауссовскими шумами информации в пространстве дробной меры с использованием скейлинга и устойчивых негауссовских вероятностных распределений (1981).

- Применение непрерывных недифференнцруемых функций (1990).

- Фрактальные радиосистемы (2005) — рис. 3.

В дальнейшем логическое объединение указанной триады проблем в общий “фрактальный анализ и синтез” и создает нам основу “фрактального метода” (2006) и единой глобальной идеи “фрактального естествознания” (2011), последовательно предложенных автором. Все

Рис. 3. Авторская концепция фрактальных радиосистем и устройств.

эти проблемы следует рассматривать исключительно с позиций теоретико-множественной точки зрения. Они также является областью с достаточно интригующими тонкостями [1-15, 34-39, 51].

Таким образом, я провожу исследования, следуя убеждению “план — цель — последовательность — система”. В то же время, я избегаю системы при изложении своих взглядов (как, надеюсь, уже заметил Читатель) потому, что система создает видимость завершенности учения и играет роль интеллектуальных оков, препятствующих прогрессу познания. Однако отрицание системы я не возвожу в догму,

скеилинга.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

118

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

мое учение не лишено системы, это [sic!] — всеохватывающий фрактальный натурализм.

Я считаю не без основания, что данные заметки — это рубежная работа, обозначившая, с одной стороны, синтез установок из предшествовавших многочисленных исследований, а с другой — это выход за рамки уже существующей фрактальной радиофизики и фрактальной радиолокации, т.е. постановка вопросов в широком контексте. При этом фракталы, дробные операторы и скейлинг являются не просто еще одним способом представления старой истории. Я считаю, что именно они являются мощной основой, которая имеет первостепенное значение для множества сложных систем живой и неживой Природы.

Большинство нападок на создаваемый фрактальный метод было вызвано недостаточным пониманием или, что даже вероятнее, элементарным незнанием теории фракталов и дробных операторов. Все это имело, как я отметил ранее, своим последствием лишь довольно бесплодные дискуссии, несмотря на громадные успехи, достигнутые в обсуждаемой области исследований [1-15, 38, 51].

Что касается нашей и других работ в этой области и применения их в общем контексте, повторю, что настоящая работа может быть фундаментальной основой для активных исследований с использованием инструмента как старого классического, так и нового исчисления.

12. Эредитарность и механика обобщенных континуумов

Остановимся еще на двух моментах, которые представлены ниже. Первое. Итальянский математик В. Вольтерра (03.05.186011.10.1940) развил понятие эредитарности (лат. — hereditarily) и его применение к физическим и экологическим проблемам [60, 61]. Термин “эредитарность” эквивалентен понятиям памяти, последействию, запаздыванию, наследственности. Речь идет о причинно-следственной связи между двумя процессами: процессом-причиной и процессом-следствием [1-15, 34-39]. В случае учета явлений эредитарного или наследственного характера применим не аппарат дифференциальных уравнений, каковы бы они ни были, а аппарат интегро-дифференциальных уравнений. Примеры: магнитный или электрический гистерезис, упругость, запаздывание и т.д.

Мгновенное (не эредитарное) влияние процесса всегда является приближенным. Любое влияние требует определенного времени. Суть в том, стоит ли в рамках принимаемого приближения учитывать это запаздывание или нет. Все происходит так же, как при рассмотрении понятия материальной точки. Мы игнорируем размеры тела, покуда они не играют существенной роли в условиях задачи, и вносим поправки или вообще решаем задачу заново, если роль размеров становится заметной или весьма существенной.

Второе. Сто лет назад, в 1909 году, была опубликована книга французских исследователей братьев Эжена и Франсуа Коссера (Cosserat) “Теория деформируемыхтел” [62],заложившаяосновы механики обобщенных континуумов. Отметим, что развитие механики сплошной среды (МСС) тесно связано с появлением обобщенных математических моделей, рассматривающих частицу материала не как материальную точку, а как более сложный объект, наделенный дополнительными свойствами, обусловленными микроструктурой материала. Выдающимся

этапом в развитии механики сплошной среды и стало опубликование данной книги [62]. В книге описана модель, получившая название микрополярной среды или континуума Коссера. Столетие теории Коссера, заложившей основы механики обобщенных континуумов, широко отмечалось международной научной общественностью [63-66].

Известно, что одной из основных гипотез классической МСС является принцип напряжений Коши, устанавливающий эквивалентность действия всех внутренних сил, приложенных к элементарной площадке, действию их равнодействующей, приложенной к центру площадки. Однако в общем случае действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. При этом в среде возникают не только напряжения, но и моментные напряжения, образующие, вообще говоря, несимметричные тензоры. Чтобы учесть эти факторы, необходимо допустить в среде наличие дополнительных степеней свободы и рассмотреть физически бесконечно малый объем (по которому ведется усреднение свойств среды) не как материальную точку, а как более сложный объект, обладающий новыми степенями свободы: ротационными, осцилляторными или способностью к микродеформации. Таким образом, для расширения спектра свойств сплошной среды необходимо предположить у физически бесконечно малого объема существование внутренней структуры (микроструктуры), обусловленной зернистостью или волокнистостью строения реальных материалов.

В теории Коссера каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твердого тела путем учета ротационных степеней свободы. Можно сказать, что появление модели континуума Коссера знаменовало собой начало перехода в МСС от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело.

Сегодня обобщенные континуумы вызывают как теоретический, так и практический интерес и заслуживают внимания не только теоретиков, но и экспериментаторов, специализирующихся в различных отраслях механики и физики [62-66]. Как отмечено в [63]: “Актуальность таких исследований повышает и то обстоятельство, что, в сущности, у всех природных и искусственных материалов и систем проявляются взаимодействия механических процессов различного пространственного масштаба. В настоящее время обобщенные континуумы применяются при разработке новых металлургических технологий, позволяющих синтезировать искусственные материалы с управляемой микроструктурой. Они помогают прогнозировать поведение таких хрупких материалов, как бетон или лед. Некоторые методы технической диагностики и неразрушающего контроля основываются на усредненных материальных свойствах обобщенных континуумов. На моделирование, базирующееся на концепциях обобщенных континуумов, возлагаются большие надежды для успешного и скорейшего развития нанотехнологий. Обобщенные континуумы, такие как микрополярные или ориентированные материалы, микроморфный континуум, высокоградиентные материалы, тела со слабыми или сильными нелокальными взаимодействиями, также привлекаются при разработке интегральных многомасштабных вычислительных процедур. Подобные компьютерные технологии имеют целью объединение различных пространственных масштабов в одной

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 119

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

численной схеме. Начало берется в квантово-механическом описании, затем осуществляется моделирование процессов на атомарном, молекулярном, микроскопическом и, наконец, на континуальном масштабе”.

13. Недифференцируемые функции и стационарность

остановимся теперь на теме, касающейся недифференцируемых функций, т.к. они непосредственно входят в наше определение фракталов — рис. 1. В своем письме от 15 января 1898 г. к Ф. Клейну Л. Больцман специально отмечал, что “в Природе существуют такие физические проблемы (статистическая механика), для решения которых недифференцируемые функции абсолютно необходимы, и если бы К. Вейерштрасс не придумал такие функции, то физикам просто не осталось бы ничего другого, как самим их изобрести”. Сейчас такие недифференцируемые кривые принято называть фрактальными или просто фракталами. Достаточно полный исторический обзор недифференцируемых функций опубликован в книгах [2, 38, 67, 68].

Примечательно то, что концепция самоподобия вошла в математику с двух независимых направлений (через канторовские множества и функции Вейерштрасса) примерно в одно и то же время для опорных понятий математики: числа и функции. Напомним, что еще Г.В. Лейбниц в своем трактате «Монадология», написанном в 1714 г., использовал понятие самоподобия («миры внутри миров»), а также применял его в определении прямой.

После открытия дифференциального исчисления интуитивно сложилось мнение, что каждую функцию можно дифференцировать любое число раз. В 1806 г. Ампер сделал попытку теоретически оправдать это убеждение на чисто аналитической основе в рамках математических концепций Лагранжа. Позже одни математики утверждения Ампера автоматически переносили на функции, непрерывные в теперешнем смысле, другие, считая его фундаментом всего дифференциального исчисления, приводили свои доказательства этого утверждения и пользовались им при установлении других результатов. Среди них Лакруа (1810), Галуа (1831), Раабе (1839), Дюамель (1847), Ламарле (1855), (1860), Бертран (1864), Серре и Рубини (1868).

Однако время веры математиков в неразрывную связь непрерывности функций и ее дифференцируемости истекало. В 1830 г. Б. Больцано в рукописи “Учение о функции” строит первый пример непрерывной нигде недифференцируемой функции. Данная рукопись Больцано была обнаружена лишь после первой мировой войны около 1920 г. в Венской государственной библиотеке, и только через сто лет его работа появилась в печати. В 183435 гг. понятия дифференцируемости и непрерывности четко разграничивает Н.И. Лобачевский. В 1854 г. Дирихле отмечает, что в общем случае нельзя доказать существование производной у произвольной непрерывной функции, и высказывает убеждение в существовании непрерывной функции без производной.

В 1861 г. Риман указал пример функции

sm n x

(9)

n=1

относительно которой Дюбуа-Реймон утверждал, что она недифференцируема на всюду плотном множестве.

Насколько трудным оказался анализ примера (9), свидетельствует не только отказ Вейерштрасса провести его, но и то, что до 1916 г. не появилось ни доказательства, ни опровержения примера Римана. Только в 1916 г. Харди, опираясь на некоторые тонкие результаты диофантова анализа, сумел показать, что (9) не имеет конечной производной ни в какой точке ^п, где \ - иррациональное или рациональное число вида 2m/(4n+1) или (2m+1)/2(2n+1), а m и n — целые; затем он несколько обобщил пример Римана. Этот результат в 1969 г. расширил Гервер, показав отсутствие конечной производной у этой функции в точках ^п, где \ — рациональное число вида (2m+1)/2', а m, n — целые и n > 1. Он установил наличие производной, равной —У в точках ^п, когда \ является рациональным числом с нечетным знаменателем и числителем, так что функция Римана дифференцируема на бесконечном множестве точек. В следующей работе Гервер показал, что других точек дифференцируемости, кроме указанных выше, у функции Римана нет.

До 1870 г., не считая указанной выше функции Римана, не было опубликовано ни одного примера непрерывной функции, не имеющей производной на бесконечном множестве точек. По словам Гюэля, который реферировал мемуар Ганкеля о таких функциях, “сегодня нет ни одного математика, который поверил бы в существование непрерывных функций без производных’. В 1870 г. Ганкель предложил метод сгущения особенностей, состоящий в построении функции при помощи абсолютно сходящегося ряда, каждый член которого имеет особую точку. Именно так он получил примеры непрерывных функций, не имеющих производной на всюду плотном множестве рациональных точек. Одним из таких примеров является функция вида

1

1

/(X) = W — sin (^wx)sin —--------(ад)

n=1 n ^ sin (jinx) j v ;

где n — натуральное число, г > 1.

Позже Вейерштрасс построил, как принято считать в 1861 г., свою знаменитую функцию

f (-) = W(x) = a" cos(bплх) (11)

Здесь 0 < a < 1, b > 1 — нечетное целое число, ab > 1 + 3п/2. Вейерштрасс доложил этот результат Берлинской академии наук 18 июля 1872 г., а сам пример был опубликован только в 1875 г. Дюбуа-Реймоном. Поэтому, “год 1875 является не более чем удобной символической датой для обозначения начала Великого кризиса математики’ [67].

Даже для тех, кто высоко оценил открытие, пример Вейерштрасса выглядел искусственным; велись поиски и были найдены другие примеры, более геометрические по своей сущности (Пеано, Кох) [1, 2]. Поль Леви в своей автобиографии (1970) указывает, что в детстве он очень интересовался этими странными кривыми.

В предисловии к своей книге С. Сакс писал: “Исследования, имеющие дело с неаналитическими функциями и функциями, нарушающими те законы, которые предполагались всеобщими, эти исследованиярасматривались почти какраспространение хаоса и анархии там, где предшествующие поколения искали порядка и гармоний [69].

Ш. Эрмит писал Т. Стилтьесу в 1893 г.: “Я с ужасом и отвращением отворачиваюсь от этой разрастающейся язвы функций, не имеющих производной’. Даже в начале XX в. Дж. Буссенеск

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

120

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

был не одинок в мнении, что “весь интерес функции заключается в обладании ею производной", имея в виду обычную производную.

Независимо от Вейерштрасса к той же идее пришел Дарбу, который обобщил примеры Ганкеля и Шварца и построил функцию

W ) ^ sin[(n + 1)!Х]

nx)~h п\ : (12)

не имеющую производной при любом х. Свои результата: Дарбу доложил на заседании Французского математического общества 19 марта 1873 г. и 28 января 1874 г., т.е. до выхода в свет публикации Дюбуа-Реймона. Некоторые подробности приоритетной пикировки между Вейерштрассом и Дарбу были опубликованы в 1973 г.8

Приведенные выше исследования послужили основой для построения классов недифференцируемых функций и поиска общих условий дифференцируемости непрерывных функций. Наибольший вклад в это направление внес итальянский математик У. Дини, вплотную приблизившийся к теореме Лебега о производной непрерывной монотонной функции. Именно он в 1877 г. сформулировал, а в 1878 г. доказал достаточно общую теорему существования непрерывных функций, не имеющих производных9.

Затем Дини показал, что при некоторых дополнительных предположениях такая функция/(х) не будет иметь и бесконечной производной ни в одной точке. Можно отметить, что класс функций, удовлетворяющих теореме Дини, бесконечен, в частности, в нем содержится функция Вейерштрасса.

В 1879 г. Дарбу предложил достаточно общий метод построения недифференцируемых функций. Он изучал функции ф(х), определенные рядом

( л ^ f (anbnx)

<P(X) = L--------’ (13)

п=i ап (13)

где а и Ьп — некоторые последовательности действительных чисел, fx) - непрерывная ограниченная функция с

ограниченной второй производной. В 1918 г. метод построения непрерывных недифференцируемых функций был указан К. Кноппом.

Можно сказать, что после упомянутых работ была создана целая индустрия по производству и отдельных функций и целых их классов.

Отметим, что пример функции Вейерштрасса опирается на свойства лакунарного ряда, т.е. такого ряда, в котором члены, отличные от нуля, “очень редки и разбросаны”. Понятие лакунарного тригонометрического ряда было введено Ж. Адамаром в 1892 г. при изучении функций, не продолжаемых аналитически за границу круга сходимости.

Кратко рассмотрим вопрос о месте, занимаемом дифференцируемыми функциями в множестве всех непрерывных функций..

Множество X топологического пространства M является множеством первой категории на M, если оно является объединением счетного семейства множеств, нигде не плотных на M. Множества второй категории определяют как множества, не являющиеся множествами первой категории. Эти определения были сформулированы в 1899 г. Бэром.

8Dugac P. Elements d’ analyse de Karl Weierstrass. Archivefor Hist. Exact. Sci, 1973, 10:41-176.

9С формулировкой теоремы Дини можно ознакомиться в [2, 38, 67, 68].

По теореме Бэра дополнение любого множества первой категории на прямой является плотным. Никакой интервал на множестве действительных чисел Ж. не является множеством первой категории. Каждое счетное множество будет множеством первой категории и множеством меры нуль. В множестве действительных чисел рациональные числа образуют множество первой категории.

Простейшим примером несчетного множества, принадлежащего к множеству первой категории и множеству меры нуль, является канторовское множество, имеющее мощность континуума. Можно доказать, что прямую можно разбить на два дополняющих друг друга множества А и В так, что А есть множество первой категории, а В имеет меру нуль.

Во многих проблемах топологии и теории функций множества первой категории играют роль, аналогичную роли множеств меры нуль в теории меры (множества, которыми можно “пренебречь”).

В настоящее время множества второй категории определяются по Бэру, а дополнение к множеству первой категории называют остаточным множеством. При доказательстве теорем существования в теории множеств часто пользуются методом категорий, который основан на теореме Бэра, по которой всякое полное метрическое пространство является множеством второй категории на самом себе.

На основе этого доказана теорема Банаха-Мазуркевича (1931): “Пусть С— пространство непрерывных функций х с периодом 1, наделенноенормой ||x|| = max\x(t)\, 0 < t < 1. Пусть Т—множество функций из С, которые не имеют конечной правой производной ни в какой точке t е [0,1]. Тогда Т является множеством второй категории Бра на С, а его дополнение есть множество первой категории”.

Следовательно, множество функций, имеющих конечную одностороннюю производную хотя бы в одной точке t е [0,1] является пренебрежимо малым в смысле категории Бэра по сравнению с множеством всех непрерывных функций. Тем более это справедливо для функций с конечной обычной производной.

Классы непрерывных функций без производных, рассмотренные в Х1Хв. и в первые двадесятилетияХХв., не давали примера такой сингулярной непрерывной функции, у которой ни в одной точке не существовала конечная или бесконечная односторонняя (левая или правая) производная. (У функции Вейерштрасса (11), например, односторонняя производная имеется на всюду плотном множестве). Первый пример такой в ильном смысле недифференцируемой функции построил в 1922 г. (опубликовал в 1924 г.) А.С. Безикович. В связи с этим, Банах и Штейнгауз поставили вопрос о распространении с помощью метода категорий результата Мазуркевича и Банаха на функции типа Безиковича: можно ли показать, что дополнение множества всех непрерывных функций, не имеющих ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной производной, является множеством первой категории?

В 1932 г. Сакс дал отрицательный ответ на этот вопрос. Он показал, что множество непрерывных на [0, 1] функций, у которых или существует конечная правая производная, или эта производная равна +® на множестве мощности континуум, есть множество второй категории в пространстве всех непрерывных функций. Таким образом, класс функций, односторонне дифференцируемых хотя бы в одной точке, в смысле категорий существенно шире класса функций, имеющих обычную производную хотя бы в одной точке. Соответственно, класс

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 121 ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

функций, не имеющих ни конечной, ни бесконечной односторонней производной в каждой точке области, уже в том же смысле класса функций, нигде не имеющих двусторонней производной. По словам Сакса “Это, быть может, объясняет трудности с нахождением первого примера функции, не имеющей конечной или бесконечной односторонней производной в каждой точке". Одновременно результат Сакса указывал на существенное различие между операторами одностороннего и двустороннего дифференцирования.

С целью расширения известных классов недифференцируемых функций В. Орлич в 1947 г. нашел достаточно общие условия, при которых непрерывные функции, являющиеся суммами равномерно сходящихся рядов, нигде не дифференцируемы. Однако общность полученных результатов была достигнута за счет того, что коэффициенты этих рядов задавались неэффективно, с использованием метода категорий. Такой подход сам Орлич охарактеризовал как “в некотором смысле промежуточный” между “эффективными” способами задания недифференцируемых функций в виде рядов и “неэффективным” методом Мазуркевича-Банаха.

Таким образом, класс непрерывных функций, не имеющих производной ни в одной точке неизмеримо богаче класса функций с производными. Как метко замечено в [67, с. 222], “Создалась любопытная ситуация, когда оказалось, что те непрерывные функции, которые изучались математиками на протяжении веков, те, которыми пользовались для описания явлений внешнего мира, — эти функции принадлежат лишь пренебрежимо малому классу всех непрерывных функций”. Постепенно математики привыкли к тому, что нигде не дифференцируемые функции действительно существуют, но физики долго не соглашались с этим и воспринимали такие функции как уродливые порождения математической фантазии, не имеющие отношения к реальному миру (исходили из принципа “в физике все функции дифференцируемы”).

С позиций современной науки функция без производной вовсе не абстрактное понятие, а траектория броуновской частицы. Интересно замечание Ж. Перрена: “Вот случай, когда действительно естественны мысли о непрерывных функциях без производных, которые придумали математики и которые едва рассматривались просто как математические курьезы, пока опыт не смог навести мысль на них”. Как отмечал в 20-е гг. XX в. Н. Винер: “Врамках этой теории мне удалось подтвердить замечание Перрена, показав, что за исключением множества случаев, имеющих суммарную вероятность нуль, все траектории броуновского движения являются непрерывными нигде не дифференцируемыми кривыми”. Винер дал первую действительно математическую теорию броуновского движения, доказав, что почти все траектории непрерывны, и позднее (совместно с Пэли и Зигмундом), что они нигде не дифференцируемы.

На совещании о развитии современной математики (Бостон, 1974) французский математик Ж.П. Кахан заметил: “Непрерывная, нигде не дифференцируемая функция в 1880 г. была странным, исрусствнным и почти нематематическим понятием (я полагаю, не заслуживающем изучения). Наряду с броуновским движением оно стало в 1930 г. естественным, неизбежным. Для математиков (Данжуа, Штейнгауз), так же как для физиков (Ж. Перрен), становится очевидным, что неспрямляемые кривые и их попутчики—вполнеразрывные множества (канторовы множества) — вполне могут быть хорошими математическими моделями для естественных неук. “Патологический” контрпример стал интересным математическим объектом,1".

Существенно то, что в спектральной теории стационарных случайных процессов недифференцируемые функции возникают совершенно естественным образом и избежать их возможно лишь при отказе от имеющего ясный физический смысл условия стационарности, только и делающего данную теорию простой и наглядной [70]. Кратко поясним этот факт.

При спектральном разложении стационарного процесса X(t) использование интеграла Стилтьеса оказывается

неизбежным, т.к. случайная функция Z(w) не является дифференцируемой ни в каком смысле и поэтому никак нельзя перейти от интеграла Фурье-Стилтьеса

X (г) =j eiadZ (а) (14)

к обычному интегралу Фурье. В случае существования спектральной плотности^) всегда

(\dZ (ю)|2) = f (d)da>. (15)

В силу (15) во всех реальных физических случаях, когда процессу X(t) соответствует положительная спектральная плотность fw), средний квадрат приращения AZ(w) функции Z(w) на малом отрезке Aw оси частот будет близок к fw)Aw, т.е. имеет тот же порядок малости, что и Aw. В таком случае само значение AZ(w) имеет, как правило, порядок (Aw)'A, что несовместимо с допущением о дифференцируемости функции AZ(w), т.е. о существовании предела отношения AZ(w)/Aw при Aw ^ 0.

Как отмечено в [70, с. 113], “мы сталкиваемся здесь с довольно редким случаем, когда в задаче, имеющей реальный физический смысл, возникает нигде не дифференцируемые функции, которые еще совсем недавно многим прикладникам представлялись зеумной математической абстракцией, которая не может иметь никаких приложений". В арсенале математики нашелся и аналитический аппарат для описания таких объектов и процессов.

Место обычной размерности заняла размерность Хаусдорфа, а место производных — дробная производная или показатель Гельдера.

14. Общие законы эредитарности В. Вольтерра

О работах Вольтерра мы говорили выше. Общая теория эредитарности требует применения теории функционалов. Эффективное использование теории в практике требует установки определенных ограничений на вид функционалов, выделение важнейших свойств, а также изучение соответствующих следствий. С учетом гипотезы эредитарности в различных физических теориях появляются величины вида

f t Y

f Т

,--ю).

(16)

Это функционалы, зависящие от значений, принимаемых одной или несколькими функциями от времени (например, fu)) на интервале между — * и данным моментом t Вольтерра сформулировал общие законы эредитарности [61, п. 148, с. 226].

1. Принцип линейности эредитарности:

z = jp(t,r) f (r)dr. (17)

2. Принцип затухания или диссипации эредитарности:

ф(4 т) ^ 0, т ^ -*. (18)

3. Принцип инвариантности эредитарности:

ф(£ т) = ф(р — а, т — а) = ф(р — т, 0). (19)

Эредитарность называется ограниченной, если существует такое т0 < *, что ф(т) = 0 при т > т0. Ограниченность

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

122

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

эредитарности дает основание для расширения понятия состояния эредитарной системы: две одинаковые эредитарные системы находятся в данный момент в одинаковых состояниях, если их динамические переменные совпадают на всем интервале эредитарности (t — т0, t), предшествующем этому моменту. В действительности рассмотренные принципы выделяют лишь простейший класс эредитарных явлений. Более подробно — см. библиографию [37, 38, 60, 61].

15. Перспективные научные и технические направления на Сегодня и Будущее

За более, чем тридцать лет моих интенсивных научных исследований, глобальный фрактальный метод полностью оправдал себя, найдя многочисленные приложения — рис. 2 и 3. Это своего рода вызов времени.

Здесь мы на основе собственных работ [1-15, 38, 39, 51, 67] (см., также, авторский сайт — http://www.potapov-fractal.com) попытаемся дать общее видение наиболее перспективных фундаментальных направлений “фрактальныХ’ исследований в части прогресса современной науки, или, иначе говоря, поставим большие вопросы. Итак, это:

Исследование возможностей текстурных

(пространственных и спектральных), фрактальных и энтропийных признаков для радиолокационных задач обнаружения.

Синтез новых моделей рассеяния радиолокационных сигналов земными покровами на основе теории детерминированного хаоса, странных аттракторов и фрактальных вероятностных распределений — устойчивых распределений.

Исследование волновых явлений (распространение и рассеяние волн, процессы диффузии) во фрактальных неоднородных средах на основе операторов дробного интегродифференцирования. Дальнейшее развитие фрактальной электродинамики.

Синтез моделей каналов радиолокационных и телекоммуникационных систем на основе пространственных фрактальных обобщенных корреляторов и фрактальных частотных функций когерентности.

Исследование возможностей распознавания формы или контуров целей с помощью фрактальных, текстурных и энтропийных признаков. Работа на сингулярностях входной функции.

Исследование потенциальных возможностей

и ограничений фрактальных методов обработки радиолокационных и связных сигналов, в том числе фрактальной модуляции и демодуляции, фрактального кодирования и сжатия информации, фрактального синтеза изображений, фрактальных фильтров. Переход к фрактальным радиосистемам.

Исследование адаптивной пространственно-временной обработки сигналов на основе дробной размерности и дробных операторов.

Поиск и исследование новых комбинированных методов обнаружения и распознавания классов малоконтрастных целей в интенсивных негауссовских помехах.

Исследование возможностей создания новых сред для передачи информации, многодиапазонных фрактальных поглощающих материалов, конструирование фрактальных

антенн и фрактальных частотно-селективных поверхностей и объемов. Дальнейшее развитие теории и техники фрактальных импедансов.

Синтез новых классов фракталов и мультифракталов c обобщением понятия меры множеств.

Изучение вида или топологии выборки одномерного (многомерного) сигнала для задач, например, искусственного интеллекта с целью создания словарей фрактальных признаков на основе фрактальных примитивов, являющихся элементами фрактального языка с фрактальной грамматикой, т.е. исследование проблемы “размерностного склероза” физических сигналов и сигнатур. Эти понятия, введенные автором, предполагают исследование топологических особенностей каждой конкретной индивидуальной выборки, а не усредненных реализаций, имеющих зачастую другой характер.

Прогноз механизмов формирования и характеристик шероховатости с целью управления геометрическими параметрами микрорельефа для получения заданных физико-химических и эксплуатационных свойств изделий при современных неравновесных технологиях обработки их поверхностного слоя. Фракталы в нанотехнологиях. (В 2008 г. автор предложил новую концепцию, а именно, “Скейлинг шероховатого фрактального слоя и нанотехнологии").

Развитие фрактальной неинерциальной релятивистской радиолокации в искривленном пространстве-времени связанных структур [69], т.е. фрактальной геометрии пространства-времени детерминированных структур10 * * 13. (В последнее время в США данное фундаментальное научное направление получило устойчивое название “Фрактальная космология — Fractal cosmology’. Наши две крупные работы значатся в списке основных публикаций в Интернете по этому теоретическому направлению (arXiv: Cornell University, USA); этот факт я обнаружил 22.03.2012 в Китае во время работы в своем офисе за большим компьютером. Надо готовить большую книгу с соавторами).

И подождем дальнейших открытий... Опыт исследователя подсказывает, что нас ожидают удивительные открытия в данной области науки. Такие открытия можно предсказать ретроспективно, но не заранее. Исследования в этом направлении далеки от завершения.

10См. также наши работы: Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA. A

Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium. Gravitation and

Cosmology. 2010, 16(4):307-312; Foukzon J, Podosenov SA, Potapov AA. Relativistic Length Expansion in General Accelerated System Revisited. http://arxivorg/abs/0910.2298v1. -arXiv: 0910.2298.- (General Physics),

13 Oct. 2009, Cornell University, USA. 2009.- 11 pp.; Foukzon J, Podosenov SA, Potapov AA, Menkova ER. Bimetric Theory of Gravitational-Inertial Field in Riemannian and in Finsler-Lagrange Approximation. http://arxiv org/abs/1007.3290.- (General Physics), 9 Oct. 2010.- 95 pp.; Foukzon J, Potapov AA, Podosenov SA. Hausdorff-Colombeau measure and axiomatic quantum field theory in spacetime with negative B.Mandelbrot dimensions. http://arxivorg/abs/1004.0451, 5 Feb. 2011. 206 pp.; Foukzon J, Potapov AA, Podosenov SA. Exact quasiclassical asymptotics beyond Maslov canonical operator http://arxivorg/abs/1110.0098, 4 Oct. 2011. 162 pp.; Foukzon J, Potapov AA, Podosenov SA, Men’kova ER. Detecting Fractal Dimensions Via Primordial Gravitational Wave Astronomy http:// www.scribd.com/doc/58496226/Detecting-Fractal-Dimensions-via-Primordial-Gravitational-Wave-Astronomy-Fractal-Cosmology 74 pp.; Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA. Electrodynamics of a Continuous Medium in a System with Specified Structure. Physics of Wave Phenomena, 2012, 20(2):143-157.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 123

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

Для фрактальных подходов, я считаю, исключительно полезны и уместны вопросы применения теоретико-групповых методов (например, группы и алгебры Ли, операторы симметрий, p-адический анализ и т.п.), которые дадут ответы на многие пока еще не решенные задачи.

Важно не столько знание, сколько умение задавать вопросы — они и расширяют горизонт.

16. И снова возвращение к высоким теориям научного познания

обратимся к взглядам австрийского физика Эрнста Маха (18.02.1838-19.02.1916), великого естествоиспытателя и философа рубежа XIX и XX веков. Я считаю это важным и знаменательным на грани XX и XXI веков, поскольку и в первом и во втором случаях вхождение в новые столетия сопровождалось пересмотром ключевых понятий и принципов фундаментальной теоретической физики. Имя Маха было широко известно за пределами университетского сообщества и в Европе, и в России. Причем не только ученым-физикам. Эрнст Мах написал серию книг и статей, посвященных вопросам, пограничным с философией — истории науки, проблемам развития науки, научному познанию [72-76]. Центральным для Маха как философа и как физика стало понятие опыта, он является одним из самых последовательных сторонников эмпиризма, продолжателем той восходящей к номинализму традиции, которую до него развивали преимущественно английские философы. Дж. Беркли, Д. Юм, Дж. Ст. Милль и др.

Сегодня можно выразить сожаление по поводу того, что мысли и книги великого естествоиспытателя по идеологическим причинам выпали из обращения почти на 70 лет из научного дискурса нашей страны. (Интересно отметить, что публикация фотографии Маха впервые была официально разрешена в 1989 г. — (по данным книги [77], см. Предисловие редактора к книге [73, с. 24-27]).

Проделанный им глубокий анализ не теряет актуальности и в наши дни смен и пересмотра парадигм. Все это позволяет нам приводить мысли Эрнста Маха в его собственном изложении.

В своей книге “Механика” Мах развивает следующие идеи.

“(...) Не говоря уже о том, что нам не следует уклоняться от могучих идейных толчков, которые мы можем получить от самых выдающихся людей всех времен и которые, вместе взятые, и гораздо плодотворнее, чем влияние лучших людей нашего времени, нет более великолепной, эстетически более прекрасной картины, чем проявления огромной духовной силы исследователей, положивших основы нашей науки. Без всяких еще методов, созданных лишь именно их работой, да и непонятных без знакомства с этой последней, они овладевают своим материалом и отпечатлевают на нем логически формы. Человек, знакомый со всем ходом научного развития, будет естественно гораздо свободнее и правильнее судить о значении какого-нибудь современного научного движения, чем тот, который, будучи ограничен в своем суждении пределами им самим пережитого промежутка времени, наблюдает только современное ему направление движения” [72, с. 15].

Более обширно. “Задача более древних исследователей, закладывающих основы в какой-нибудь области, была совсем не похожа на задачу позднейших исследователей. Первым приходилось только отыскивать и констатировать важнейшие факты и, как этому учит история, для этого нужно гораздо

больше ума, чем это обыкновенно думают. Раз даны важнейшие факты, можно их дедуктивно и логически использовать в математической физике, можно установить порядок в данной области, можно показать, что в допущении одного факта содержится уже целый ряд других, которые в первом только не усматриваются сейчас. Одна задача не менее важна, чем другая. Но не следует смешивать одну с другой. Невозможно математически доказать, что природа должна быть именно такой, какая она есть. Но можно доказать, что наблюдаемые свойства одновременно определяют и целый ряд других, часто таких, которых непосредственно усмотреть нельзя” [72, с. 68].

“(...) Потребности дать этим данным опыта такую форму, при которой они могли бы сообщаться другим людям, и дать им распространение за пределы сословий и ремесла — вот чему наука обязана своим зарождением. Тот, который собирает эти данные опыта, который старается сохранить их в записанном виде, имеет пред собою много различных таких данных или принимаемых за различные. Такой человек имеет большую возможность обозреть эти данные в различном порядке и беспристрастно, чем человек, работающий в небольшой и ограниченной области. В его голове, в его записках факты и их правила становятся ближе друг к другу временно и пространственно, благодаря чему легче обнаруживается родственная связь между ними, постепенный переход их друг в друга. К тому же самому вынуждает желание упростить и сократить то, что подлежит сообщению другим людям. Таким образом, благодаря этому многие факты и их правила по соображениям экономии мышления обобщаются и подводятся под одно выражение.

Подобного рода собиратель имеет еще случай усмотреть новую сторону фактов, на которую прежние наблюдатели не обращали внимания. Правило, полученное из наблюдения фактов, не может обнять всего факта в его бесконечном богатстве, в его неистощимом многообразии, а дает только набросок факта, односторонне выдвигая то, что важно с точки зрения технической (или научной). На какие стороны факта обращается внимание, зависит, следовательно, от обстоятельств случайных и даже от произвола наблюдателя. Вследствие этого найдется всегда повод заметить новую сторону факта, которая приведет к установлению новых правил, не хуже старых или даже лучших. (...)

Человек, делающий подобного рода новое наблюдение и выставляющий новое правило, обыкновенно знает, что, пытаясь воспроизвести в представлениях и понятиях какой-нибудь факт, чтоб иметь этот образ всегда под рукою там, где сам факт всецело или отчасти недоступен, можно впасть и в заблуждение. И действительно, обстоятельства, на которые приходится обращать внимание, сопровождаются таким множеством других побочных обстоятельств, что часто трудно бывает выбрать и принять во внимание именно те, которые имеют существенное значение для поставленной цели. (...) Нет, поэтому ничего удивительного, когда какой-нибудь изобретатель или автор нового правила, не доверяя себе самому, ищет доказательства правила, в верности которого, как ему кажется, он убедился. (...) И действительно, гораздо легче наблюдать, что какое-нибудь условие имеет в данном случае влияние вообще, чем констатировать, каково это влияние. При исследовании последнего рода ошибки гораздо более

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

124

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

ПОТАПОВ А.А.

возможны. Таким образом, поведение исследователей вполне естественно и основательно.

Верность какого-нибудь правила может быть доказана тем, что его часто применяют, сравнивают с данными опыта и испытывают при самых различных условиях. Это процесс совершается с течением времени сам собою. Но человек, делающий открытие, желает быстрее прийти к своей цели. он сравнивает результат своего правила со всеми знакомыми ему данными опыта, со всеми прежними правилами, многократно уже испытанными, и ищет противоречие. Наибольший авторитет признается при этом, естественно, за наиболее старыми, наиболее привычными данными опыта, за правилами наиболее испытанными. Среди же этих данных опыта особое место занимают данные инстинктивные, полученные без всякого личного содействия, исключительно под действием и давлением накопляющихся фактов, что опять-таки вполне основательно именно там, где дело идет об исключении субъективного произвола и личных ошибок. (...)

Вполне естественно то, что в случае нового открытия прибегают ко всем средствам, которые могли бы послужить для поверки нового правила. Но после того, как по истечении соответствующего времени правило это было достаточно испробовано непосредственно, науке приличествует признать, что другое доказательство стало совершенно излишним, что нет никакого смысла считать правило более надежным в том случае, когда оно опирается на другие правила, полученные (немного только раньше) тем же самым путем наблюдения, что обдуманное и испытанное наблюдение не хуже других. (...)

В действительности эта жажда доказательств в науке ведет к ложной и неосновательной строгости. Некоторые правила признаются более надежными и рассматриваются, как необходимые и неоспоримые основы для других, между тем как в действительности они столь же, а порой и менее надежны, чем эти. Здесь не достигается именно уяснение той степени надежности, к которой строгая наука так стремится. Таких примеров ложной строгости можно найти почти в каждом учебнике. (...)

Мы говорили уже, что познания, приобретенные инстинктивно, пользуются совсем особым доверием. Мы не знаем более, как мы их приобрели, и поэтому не можем ничего возразить против способа их приобретения. Мы ничего не сделали для их зарождения. Они обладают для нас такой силой, которой никогда не бывает у результата произвольного, обдуманного опыта, когда мы всегда чувствуем наше вмешательство. Они представляются нам, как нечто, свободное от субъективности, чуждое нам, но находящееся всегда под рукою и более для нас очевидное, чем отдельные факты природы.

Все это порой приводило к тому, что этого рода познания выводились из совершенно другого источника и рассматривались даже, как нечто, существующее a priori (...) Но и авторитет таких инстинктивных познаний, как бы велико ни было их значение для процессов развития, должен, наконец, уступить свое место авторитету ясного и с намерением наблюденного принципа. И инстинктивные познания суть познания опытные и, как мы указывали на это уже выше, могут оказаться совершенно недостаточными и бесплодными при внезапном открытии новой области опыта.

Истинное соотношение различных принципов есть соотношение историческое. Один охватывает больше в одной, а другой — в другой области. (...) Все принципы более или менее произвольно выдвигают то одни, то другие стороны тех же фактов и содержат набросок правила для воспроизведения фактов в мыслях. Никогда нельзя утверждать того, что этот процесс совершенно удался и что он вполне завершен. Кто придерживается этой точки зрения, не будет мешать прогрессу науки. (•••)” [72, с. 69-73].

“.При оценке значения какого-нибудь научного исследования важно только одно, а именно, какое новое употребление он сделал из старых познаний и при какой оппозиции современников и последующих его познания добились признания” [72, с. 440].

Относительно закономерности враждебного отношения к новым идеям и концепциям Мах прекрасно высказался следующим образом:

“Но что нам сказать о той суровой придирчивой критике, которой подверглись мысли Гаусса, Римана и их товарищей со стороны людей, занимающих выдающееся положение в науке? Неужели им на себе самих не пришлось никогда испытать того, что исследователь на крайних границах знания находит часто то, что не может быть гладко и немедленно усвоено каждым умом и что тем не менее далеко не бессмысленно? Конечно, и такие исследователи могут впадать в ошибки. Но и ошибки иных людей бывают нередко по своим последствиям плодотворнее, чем открытия других” [73, с. 401].

В начале “Предисловия” к “Познанию и заблуждению” Э. Мах пишет: “Не желая вовсе быть философом, ни даже называться им, естествоиспытатель чувствует сильную потребность изучить процессы, через посредство которых он приобретает и расширяет свои познания. Ближайшим для этого путем является для него внимательное наблюдение роста познания, как в области его специальной науки, так и в наиболее ему доступных, граничащих с ней областях, и прежде всего наблюдение отдельных мотивов, руководящих исследователями. Ему, который так близко стоял к этим проблемам, сам так часто переживал вместе с исследователем-специалистом напряженное ожидание в период до разрешения проблемы и чувство облегчения после ее разрешения, мотивы эти виднее, чем кому-либо другому. (...)

Но необходимо иметь в виду, что практика в работе исследования, поскольку она вообще может быть приобретена, гораздо более развивается под влиянием отдельных живых примеров, чем под влиянием потерявших краски жизни абстрактных формул, получающих конкретное понятное содержание опять-таки только через живые примеры. (...)

Я должен сказать (...): область трансцендентного мне недоступна. Если я к тому же откровенно сознаюсь, что ее обитатели ни малейшим образом не возбуждают моей любознательности, то сейчас же станет ясной та широкая пропасть, которая существует между мной и многими философами. Я уже поэтому открыто заявлял, что я вовсе не философ, а только естествоиспытатель. Если меня, тем не менее, порой, и несколько шумно, причисляли к первым, то я за это не ответственен. Но я не желаю также, разумеется, быть таким естествоиспытателем, который слепо доверяется руководительству одного какого-нибудь философа. (...)

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 125

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

Прежде всего, я поставил себе целью не ввести новую философию в естествознание, а удалить из него старую, отслужившую свою службу, каковая задача, впрочем, весьма не понравилась и кое-кому из естествоиспытателей. Среди многих философских систем, появлявшихся на свете с течением времени, можно насчитать немало таких, которые самими философами признаны ложными, или, по крайней мере, так ясно изложены ими, что всякий непредубежденный человек легко может разглядеть их ошибочность. В естествознании, где они встречали менее внимательную критику, эти философские системы дольше сохранили свою живучесть: так, какая-нибудь разновидность животных, неспособная защититься от своих врагов, может сохраниться на каком-нибудь заброшенном острове, неоткрытая своими врагами. Такие философские системы, не только бесполезные в естествознании, но и создающие вредные, бесплодные мнимые проблемы, ничего лучшего не заслужили, как устранения. Если я этим сделал кое-что хорошее, то это собственно заслуга философов’ [73, с. 30-33].

Заявленная позиция Маха характерна для многих естествоиспытателей. Им приходится при исследовании фундаментальных проблем сталкиваться с новыми закономерностями, никем не исследованными. Эти закономерности, как правило, не вписываются в сложившиеся философские системы. В итоге ученым ничего не остается, как заняться их философским осмыслением. Спустя много лет таких ученых-первопроходцев причисляют к видным или даже великим философам.

Вместо предисловия к первому русскому изданию “Анализ ощущений” [74] Э. Мах поместил статью А. Богданова “Чего искать русскому читателю у Эрнста Маха?” [78]. Эта статья была переведена на немецкий язык и напечатана под заглавием “Эрнст Мах и революция” в журнале “Die Neue Zeit”, № 20 от 14 февраля 1908 г. как юбилейная статья к 70-летию со дня рождения Э. Маха.

Богданов пишет: “Было бы смешно рекомендовать Эрнста Маха русской публике вообще как мыслителя и ученого. Он пользуется в России едва ли меньшею известностью, чем на Западе. (...) Философия Маха выражает собою наиболее прогрессивные тенденции в одной из двух основных областей научного познания — в области естественных наук. (...) Как естествоиспытатель, Мах не только стоит в первом ряду всемирных работников науки, но и среди них выделяется своей широтой и разносторонностью; это не специалист одной узкой области: его исследования и открытия захватывают и теоретическую механику, и почти все остальные области физики, и физиологию органов чувств. Благодаря всему этому вместе Эрнст Мах и мог стать величайшим из нынешних работников философии естествознания, я бы сказал — самым крупным в настоящее время философом вообще.

Я тем с большей решительностью позволяю себе высказать это мнение, что мои собственные взгляды во многом не сходятся с воззрениями Э. Маха — и притом не только со стороны отмеченной выше неполноты этих последних в сфере социально-философского мышления. Но я полагаю, что уже одна — поистине колоссальная — критическая работа, выполненная Э. Махом в его беспощадной борьбе против всевозможных фетишей научного и философского познания, против окаменелых понятий, успокаивающих и задерживающих пытливость человеческого ума,—уже одна эта

сторона его работы делает произведения Маха в наше время совершенно необходимой школой для всякого, стремящегося выработать в себе действительно научное, критически продуманное миросозерцание. (...) У Маха многому можно научиться. А в наше бурное время, в нашей залитой кровью стране особенно дорого то, чему он учит всего больше: спокойная неуклонность мысли, строгий объективизм метода, беспощадный анализ всего принятого на веру, беспощадное истребление всех идолов мысли. Все это нужно нам не только для цельности и научности мировоззрения”.

И еще высказывание Маха [73, с. 293]: “Естествоиспытатель не стремится к законченному мировоззрению: он знает уже, что вся его работа может служить только к расширению и углублению познания. Для него нет проблемы, для разрешения которой не было бы необходимо дальнейшее ее углубление, но и нет такой проблемы, которую он должен был бы признать абсолютно неразрешимой. Если в данный момент та или другая проблема неприступна, он разрешает покуда другие проблемы, более поддающиеся разрешению. Когда он возвращается к первой, она обыкновенно оказывается гораздо менее страшной”.

Обратимся теперь к одному важному современному исследованию [79-81]. Мишель Фуко (15.10.1926-25.06.1984) — французский философ, теоретик науки и культуры, философствует за пределами традиционных философских территорий, но ставит именно философские вопросы. Творческое наследие Мишеля Фуко не всеми воспринимается однозначно. В своих исследованиях ввел ряд понятий, отличающихся от классических: “автор” — это всего лишь функциональный принцип. Это не метафизическая величина, не безусловная константа; “археологий — это метод, позволяющий раскрыть структуру мышления, определяющую рамки концепций определенной эпохи. Археология являет собой вариант строгого анализа дискурса, она исследует его; “архив’ — общая система формирования и преобразования высказываний. Это закон для всего того, что может быть сказано; система, которая управляет появлением высказывания, благодаря которой высказывание приобретает статус единичного события. Архив различает дискурсы в их многообразном существовании. Как пишет Фуко [79], невозможно дать исчерпывающее описание архива. Человек, сколько бы он ни старался, не может описать свой собственный архив; “дискурс’ — это и то, что создано из совокупностей знаков, и совокупность актов формулировки, ряд предложений или суждений. Дискурс создан совокупностью последовательностей знаков, представляющих собой высказывание. Дискурс представляет собой совокупность высказываний, которые подчиняются одной и той же системе формирования; “эпистемР’—структура, существенно обуславливающая возможность определенных взглядов, концепций, научных теорий и собственно наук в тот или иной исторический период. Фуко также определял эпистему как дискурс — формирование, определяющее способ, которым мир представляется или “видится”. В этом смысле термин имеет сходство с понятиями парадигмы.

Отдельно Фуко обозначает три эпистемы, три исторически различных конфигурации знания [79, 80]:

Ренессансная (XVI век) — эпистема сходства и подобия, когда язык еще не стал независимой системой знаков. Он словно

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

126

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

бы рассеян среди природных вещей. Он смешивается и переплетается с ними.

Классическая (XVII — XVIII века) — эпистема представления. Язык превращается в автономную систему знаков и почти совпадает с самим мышлением и знанием. В этой связи именно всеобщая грамматика языка дадут ключ к пониманию не только других наук, но и культуры в целом.

Современная (с начала XIX века) — эпистема систем и организаций. Возникают новые науки, не имеющие ничего общего с ранее существовавшими. Язык оказывается обычным объектом познания. Он превращается в строгую систему формальных элементов, замыкается на самом себе, развертывая уже свою собственную историю, становясь вместилищем традиций и склада мышления.

В книге [80] место понятия “эпистема” занимают уже “дискурс” и “дискурсивные практики”. Анализ дискурсивных практик позволяет покончить с традиционным психологизмом, который присутствует в широко распространенных исследованиях текстов. Фуко ставит под вопрос и такие понятийные единства как “наука” и “философия”, “литература” и “политика”, а также “книга”, “произведение”, “автор”. Целью [79], по утверждению самого Фуко, является также желание описать отношения между высказываниями: описать высказывания в поле дискурса и те отношения, которые они могут устанавливать. Помимо этого — и, возможно, главным образом — книга [80] призвана прояснить те вопросы, которые возникли при прочтении книги [79]. Самый важный из которых — вопрос о том, как одна эпистема приходит на смену другой.

Для нашего исследования интерес представляют исследования Фуко “истории идей”. Фуко пишет: “Нелегко охарактеризовать такую дисциплину, как история идей: ее объект неясен, ее границы плохо очерчены, ее методы заимствованы отовсюду, ее развитие нестрого и нецеленаправленно. Тем не менее, за ней, вероятно, можно было бы признать две роли. С одной стороны, она рассказывает периферийную и маргинальную историю. Не историю наук, а историю тех несовершенных и плохо обоснованных познаний, которые на всем протяжении своего упорного существования никогда не смогли обрести научной формы (историю алхимии, а не химии, теории жизненных сил или френологии, а не физиологии, историю атомистических учений, а не физики). Историю той сумеречной философии, которая неотступно преследует литературу, искусство, науки, право, нравственность — все, вплоть до повседневной жизни людей. Историю тех извечных расхожих тем, которые так и не выкристаллизовались в строгую и индивидуальную систему, а сформировали спонтанную философию тех, кто не занимается философией. Историю не литературы, а того сопутствующего волнения, той повседневной и так быстро забывающейся писанины, которая никогда не получает или тотчас утрачивает статус произведения — анализ псевдолитературы, альманахов, журналов и газет, скоротечных успехов, скандальных авторов. История идей, определенная таким образом, — сразу становится ясно, как сложно зафиксировать ее точные границы, — обращается ко всей той скрытой мысли, ко всему набору представлений, которые анонимно распространяются среди людей; сквозь разломы великих дискурсивных памятников она выявляет ту

зыбкую почву, на которой они покоятся. Это дисциплина, посвященная сбивчивым речам, неоформленным произведениям и разрозненным темам. Это, скорее анализ мнений, а не знания, заблуждений, а не истины, не форм мышления, а типов ментальности.

Но, с другой стороны, история идей ставит своей задачей проникнуть в существующие дисциплины, рассмотреть их и заново интерпретировать. И тогда она образует не маргинальную область, а, скорее, определенный стиль анализа, установление перспективы. Она занимается историческим полем различных наук, литературы и философии, но описывает в нем только те познания, которые послужили эмпирической и непродуманной основой для последующих формализаций. Она пытается обнаружить тот непосредственный опыт, который транскрибируется дискурсом; она следует за генезисом, который, исходя из полученных или приобретенных представлений, даст жизнь новым системам и произведениям. И наоборот, она показывает, как постепенно распадаются созданные таким образом величественные фигуры: как темы разделяются, продолжают свое разобщенное существование, устаревают или соединяются по-новому. Тогда история идей оказывается дисциплиной о началах и концах, описанием неясных непрерывностей и возвратов, воссозданием фактов развития в линейной форме истории. Но она может также описать все взаимодействие обменов и посредников, существующих в разных областях: она показывает, как распространяется научное знание, как оно порождает философские понятия, а иногда обретает форму литературных произведений. Она показывает, как проблемы, понятия и темы могут переходить из философского поля, где они были сформулированы, в научные или политические дискурсы. Она соотносит произведения с социальными институтами, с общественным поведением или привычками, с технологиями, потребностями и немыми практиками. Она пытается оживить наиболее разработанные формы в том конкретном ландшафте, в той среде роста и развития, где они зародились. В таком случае она становится дисциплиной о взаимопроникновениях, описанием концентрических кругов, которые охватывают произведения, выделяют их, связывают между собой и включают во все то, что произведениями не является.

Легко увидеть, как сочленяются друг с другом обе эти роли истории идей. Можно сказать, что в самом общем виде она постоянно описывает переход — и во всех тех направлениях, в которых он осуществляется, — от не-философии к философии, от не-научности к науке, от не-литературы к самому литературному творчеству. История идей является анализом покрытого мраком зарождения, отдаленных соответствий, неизменностей, упорно сохраняющихся под кажущимися переменами, медленно идущих формирований, использующих тысячи слепых случайностей, тех глобальных фигур, которые постепенно переплетаются друг с другом, а затем внезапно сжимаются, принимая вид произведений. Генезис, непрерывность, обобщение — в них заключаются великие темы истории идей и через них она связывается с определенной формой исторического анализа, которая стала теперь традиционной. В таких условиях вполне естественно, что всякий, кто все еще придерживается этого, теперь уже несколько поблекшего, взгляда на историю, ее методы,

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 127

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

требования и возможности, не может себе представить, чтобы мы отказались от такой дисциплины, как история идей; или, вернее, такой человек считает, что любая другая форма анализа дискурсов — это предательство самой истории. Ведь археологическое описание — это как раз и есть отречение от истории идей, систематический отказ от ее постулатов и процедур, попытка создать совершенно иную историю того, что было сказано людьми. То, что некоторые не узнают в этом археологическом начинании истории времени своего детства, то, что они оплакивают ее, и, хотя наступили другие времена, взывают к этой великой тени былого, — все это просто-напросто доказывает их крайнюю преданность. Однако этот консерватизм только утверждает меня в моем намерении и придает мне уверенность в том, что я задумал сделать. (...)

Обычно история идей рассматривает поле дискурсов как область с двумя значениями: любой элемент, который мы в нем выделяем, может быть охарактеризован как старый или новый, неизвестный или повторенный, традиционный или оригинальный, соответствующий общему типу или отклоняющийся. Таким образом, можно различать две категории формулировок: формулировки, обладающие ценностью и относительно немногочисленные, возникающие впервые и не имеющие антецедентов, которые, возможно, послужат моделями для других формулировок и соответственно заслуживают того, чтобы называться творениями; и другие формулировки, банальные, повседневные, повсеместные, не отвечающие сами за себя и образующиеся из того, что уже было сказано, иногда просто для того, чтобы повторить это сказанное дословно. Каждой из этих двух групп история идей придает свой статус и подвергает их различным анализам. Описывая первую, она рассказывает историю изобретений, изменений, метаморфоз, она показывает, как истина вырвалась из заблуждений, как сознание пробудилось от бесконечной дремоты, как одна за другой возникли новые формы, чтобы создать наш нынешний ландшафт; в этом случае дело историка — обнаружить непрерывную линию эволюции исходя из этих изолированных точек и последовательных разрывов. Другая группа, наоборот, представляет историю как инертность и тяжеловесность, как медленное накопление прошлого и бесшумное отложение уже сказанного. Высказывания должны в ней рассматриваться все вместе, в зависимости от того, что есть между ними общего; их событийная единичность может быть нейтрализована; личность их автора, момент и место их появления также утрачивают свою значимость. И наоборот, должна быть измерена их протяженность: до какого места и до какого момента они повторяются, по каким каналам они распространяются, в каких группах они циркулируют, какой общий горизонт они очерчивают для человеческой мысли и какие пределы ей ставят, и как, характеризуя какую-либо эпоху, они позволяют отличить ее от других эпох — в этом случае описывается ряд глобальных фигур. В первом случае история идей описывает последовательность событий мысли; во втором мы сталкиваемся с непрерывными поверхностями результатов; в первом случае воспроизводится возникновение истин или форм; во втором — восстанавливаются забытые единства, и дискурсы отсылаются к своей относительности.

Действительно, история идей постоянно пытается определить отношения между этими двумя инстанциями; мы никогда не находим в ней один из этих двух анализов в чистом виде. Она описывает конфликты между старым и новым,

сопротивление обретенного, подавление им того, что никогда еще не было сказано, покровы, под которыми обретенное скрывает еще не сказанное, и забвение, на которое ему иногда удается это не сказанное обречь. Однако история идей описывает также и факты благоприятствования, издалека и неясным образом подготавливающие будущие дискурсы. Она описывает отголоски открытий, скорость и протяженность их распространения, медленные процессы замещения или резкие толчки, сотрясающие привычный язык. Она описывает интеграцию нового в уже структурированное поле обретенного, постепенное падение оригинального до уровня традиционного или же повторные появления уже-сказанного и возвращение первоначального. Но такое пересечение не мешает ей неизменно придерживаться двухполюсного анализа старого и нового. Этот анализ восстанавливает в эмпирической среде истории и в каждом из ее моментов проблематику первоначала, и в этом случае проблема заключается в том, чтобы в каждом произведении, в каждой книге, в самом незначительном тексте обнаружить точку разрыва и с наибольшей точностью установить разделение между, с одной стороны, имплицитной толщей уже-присутствующего, невольной верностью обретенному мнению, законом дискурсивных фатальностей, и, с другой стороны, живостью творения, скачком в неустранимое различие. Хотя такое описание оригинального и кажется вполне естественным, оно ставит две очень сложные методологические проблемы: проблему сходства и проблему следования. (...)

Таким образом, горизонт, к которому обращается археология, — это не отдельная наука, отдельная рациональность, отдельная ментальность или отдельная культура; это переплетение интерпозитивностей, границы и точки пересечения которых не могут быть сразу зафиксированы. Археология — это сравнительный анализ, призванный не сократить разнообразие дискурсов и наметить обобщающее их единство, а разместить их разнообразие в различных фигурах. Археологическое сравнение имеет своим результатом не унификацию, а умножение. (...)

Таким образом, мы соотносим науку не с тем, что должно было быть пережито или должно быть пережито для того, чтобы образовалось свойственное ей стремление к идеальности, а с тем, что должно было быть сказано — или должно быть сказано — для того, чтобы мог образоваться дискурс, который в случае необходимости отвечал бы экспериментальным или формальным критериям научности.

Такую совокупность элементов, закономерным образом сформированных дискурсивной практикой и необходимых для образования науки, хотя и необязательно призванных привести к ее образовании, можно назвать знанием. Знание — это то, о чем можно говорить в пространстве дискурсивной практики,которая оказывается темсамым специфицированной; это область, конституированная различными элементами, которые обретут или не обретут научный статус. Знание — это также то пространство, где субъект может занять позицию, чтобы говорить об объектах, с которыми он имеет дело в своем дискурсе. ... Знание — это также поле координации и субординации высказываний, в котором понятия появляются, определяются, применяются и преобразуются. (...) Наконец, знание определяется возможностями использования и присвоения, предоставленными дискурсом. (...) Существуют

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

128

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

знания, независимые от наук (и не являющиеся ни их историческим эскизом, ни уже пережитой стороной их развития), но не существует знания без строго определенной дискурсивной практики; и любая дискурсивная практика может определяться знанием, которое она формирует.

Вместо оси “сознание — познание — наука” (которая не может быть избавлена от ссылки на субъективность) археология рассматривает ось “дискурсивная практика — знание — наука”. И в то время, как история идей находит точку равновесия своего анализа в среде познания (оказываясь, таким образом, вынужденной, пусть даже и против своей воли, вновь столкнуться с вопросом трансцендентальности), археология находит точку равновесия своего анализа в знании, то есть в той области, где субъект неизбежно занимает точно установленное и зависимое положение и где он (либо трансцендентальная деятельность, либо как эмпирическое сознание) никогда не может выступать обладателем.

В таких условиях становится понятным, что нужно тщательно различать научные области и археологические территории: их вырез и принципы их организации абсолютно различны. К области научности принадлежат только те суждения, которые подчиняются определенным законам построения, в то время как утверждения, которые, вероятно, имеют тот же смысл и, возможно, говорят то же самое и являются столь же истинными, как и они, но которые зависят от другой систематичности, по-видимому, исключаются из этой области. ... Археологические территории могут пересекать “литературные” или “философские” тексты в той же мере, как и научные тексты. Знание облекается не только в доказательства; оно может также находиться в вымыслах, в размышлениях, в рассказах, в институциональных постановлениях, в политических решениях. (...)

Дискурсивная практика не совпадает с теми видами научной разработки, которые она может вызвать к жизни; и формируемое ею знание — это не грубый эскиз, не повседневный побочный продукт сложившейся науки. Науки появляются в среде дискурсивной формации и на основе знания. ...

Раз сложившись, наука больше уже не принимает во внимание и не учитывает в своих характерных соединениях всего того, что формировало ту дискурсивную практику, в которой она появилась; но она также и не распыляет окружающее ее знание, рассматривая его как предысторию заблуждений, предрассудков или воображения. (...) Знание — это не эпистемологическое построение, которое, вероятно, исчезает в реализующей его науке. Наука (или то, что выдает себя за таковую) локализуется в поле знания и играет в нем определенную роль. Роль, которая варьируется в зависимости от различных дискурсивных формаций и видоизменяется вместе с их мутациями. ... В любой дискурсивной формации мы обнаруживаем специфические отношения между наукой и знанием; и археологический анализ как раз и должен показать, как наука вписывается в среду знания и функционирует в ней, а не определять существующие между ними отношения исключения или вычитания (отыскивая в знании то, что еще избегает науки и сопротивляется ей, а в науке — то, что еще подрывается соседством и влиянием знания)” [80, с. 251-289].

17. Мой вызов косности, плагиату и зависти в науке

Из данных рис. 2 и 3, как из отдельных эскизов, складывается единая исторически заметная интригующая картина применения фракталов в физике, радиотехнике, особенно, в радиолокации, обработке многомерных сигналов, распространении радиоволн, электродинамике, теории управления и т.д. и т.п.

Данный вопрос именно сейчас крайне актуален из-за толп неграмотных “молодых и немолодых ученых”, ринувшихся в данную фундаментальную область знаний, не читающих настоящие книги, не знающих историю возникновения тех или иных научных направлений, а только “ползающих” в Интернете и “забывающих” делать ссылки на первооткрывателя. Актуальная бесконечность идей о фрактальных сигналах, их фрактальной обработке, фрактальных методах модуляции, фрактальных элементах и т.п. и т.д (все, что можно создать моим глобальным фрактальным методом), буквально “носится в воздухе” и почему их никто, кроме нас, не способен первым заметить и изучать, всегда приводит меня в изумление. Или в Великой России все настолько отупели и опустили руки?.. Одно, несомненно, Московская (теперь, Российская) научная школа фрактальных методов и дробных операторов — впереди и в лидерах научного мирового сообщества!

К несчастью, косность, нетерпимость и слепота людская существовали во все времена. На ученых, причем на самых действительно знаменитых ученых, современники всегда набрасывались с ожесточением, а их открытия отвергали.

Для возбуждения косных раболепных и одновременно тупых умов, которые ничего не могут, кроме бесконечного повторения вызубренных в институтах и университетах элементарных и банальных истин, произносимых с важным видом на конференциях и в статейках, интриганства и критики чужих талантливых работ, приведу большие выдержки из уникальной книги [82] (вряд ли кто с этой замечательной и талантливой книгой, написанной знаменитым русским ученым, знаком из всех моих, так называемых, “критиков”-завистников).

Эти пространные выдержки доведут их, я с радостью надеюсь, до состояния истинного, очередного от моих высказываний, изумительного и очаровательного исступления:

“Всем гениальным людям, чьи труды ниспровергают общепринятые идеи, приходится проходить через суровые испытания, преодолевая препятствия, воздвигаемые на их пути. (...) Но я хотел бы здесь коснуться тех испытаний, которые приходится пройти гению, чтобы добиться признания новой философской концепции, оригинального направления в искусстве, научного открытия. Новатор является в облике революционера и неизменно обнаруживает, что против него поднимаются в едином строю все защитники рутины, “священных” идей и укоренившихся привычек. Именно соперничество в среде индивидуумов, принадлежащих к одной социальной группе, или среди коллег по профессии возбуждает ревность, а зависть порождает борьбу.

Безусловно, когда человек находится вне сферы возможного соперничества, он, наоборот, испытывает восхищение, видя прекрасную чужую работу, не вызывающую у него никаких личностных опасений. Между художником и астрономом, между поэтом и математиком нет ревности — она расцветает в рамках одной профессии.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 129

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

Тот, кто кажется более талантливым, тот, кто нас превосходит, подчеркивает этим нашу неполноценность и вызывает ревность или ненависть.

Лукреций писал: “Зависть, как молния, предпочитает поражать вершины того, что возвышается над средним уровнем”. Но ведь гению, новатору как раз и свойственно превосходить всех, кто находится в одной с ним социальной группе. Зависть могут вызывать лишь те, кто выше нас, и эту зависть разжигает успех, выпадающий на долю великого человека. Декарт хорошо сказал: “Зависть — это смешанная с ненавистью печаль, возникающая, когда мы видим, как блага приходят к тем, кого считают достойными этого’.

При появлении таланта, гения, утверждающего себя, все люди, принадлежащие к той же профессии, не сговариваясь, оказываются единодушны в своем отношении к нему: все они хранят самое глубокое молчание. Они не замечают его. Они спонтанно и дружно окутывают его случай завесой молчания. Заговор молчания, особенно в научной среде, — одна из самых известных стратагем зависти. Но такую позицию нельзя занимать бесконечно. Когда те качества, которых стараются не замечать, становятся все более и более очевидными, продолжать делать вид, что о них ничего не знают, было бы смешно. С этого времени тактика меняется. В предварительном сговоре нет никакой необходимости: движимые одним и тем же чувством, все противники с полным взаимопониманием объединяются для совместных действий в плане распространения хулы и злословия. Война ведется жестоко. Гениальный человек, творец пока еще лишь в начале своего пути. Он еще безвестен, тогда как его противники — зачастую люди преуспевшие, пользующиеся влиянием благодаря достигнутому положению, нередко — снискавшие уважение и даже восхищение современников. И среди всех преследователей гения нет у него более страшных и ожесточенных врагов, чем те достигшие высокого иерархического положения люди, которые противопоставляют ему силу своего авторитета, завоеванного ранее у толпы и у властей. ...

В научной среде естественные враги тех, кто совершает открытия, делятся на два подотряда. К первому относятся крупные ученые, опасающиеся того, что слава какого-то новичка укажет на их неспособность также сделать подобное открытие, и ощущающие в себе пробуждение мучительного чувства оскорбленной гордости; ко второму — их невежественные собратья, рассчитывающие быть замеченными благодаря яростным нападкам на новое открытие.

В этой связи мне вспоминается один анекдот, который мне рассказали в Лахоре, в Северной Индии.

В тех местах не водится слонов, и когда кто-то приводит туда слона, взоры всех устремляются на это величественное животное. И никто в этот момент не смотрит на собак. Но стоит какой-нибудь собаке облаивать слона и пытаться хватать его за ноги, как внимание всех тут же переключается на это ничтожное создание, в котором обнаруживают даже определенные достоинства: такая мелкая тварь против такого исполина — и так смело облаивает.

Однако для людей подчинение инстинкту неизвинительно.

Поскольку нападки невежественных собратьев на гения бесконечно приятны большим ученым, которым приличия не позволяют открыто нападать самим, то эти мелкие

твари щедро вознаграждаются крупными и, таким образом, получают от своей гнусности хорошую прибыль.”

И еще эпизод о великом Пастере, на которого малейшие воражения действовали, как бандерильи, и он буйно набрасывался на противника, не стесняясь самых сильных выражений своего отношения к невежеству и недобросовестности:

“Подобные вспышки скандализировали достопочтенных старцев, заполняющих Академию. Как-то раз, раздраженный двумя особенно непонятливыми оппонентами, Пастер дошел до того, что заявил им:

—Знаете, чего вам не хватает, каждому из вас? Вам—умения наблюдать, а вам — думать!..

Все академики окаменели”.

И еще о роли случая в процессе творчества.

“.В природе никакой факт, никакое явление не существует изолированно. это всегда — часть некоего ансамбля; факты связаны друг с другом, но соединяющие их связи зачастую столь опосредованы, столь тонки, что обнаружить их способен только гений. Ум толпы слеп. Образы, возникающие перед ее глазами, слабо отзываются в ее сознании. Обычные люди только пережевывают мысли, уже ставшие всеобщим достоянием. Они не наблюдают, они таращат глаза. Необычный факт может вызвать у них какое-то чувство, но очень редко — плодотворную мысль. Только высший ум, пораженный новым фактом, может вывести из него такие отдаленные следствия, которых никто не предполагал. (.) Случай же, как всегда, лишь пробуждает блестящую, плодотворную мысль в наделенном интуицией уме. (.) Эдисон любил описывать электрический ток по-своему: “Представьте, — говорил он, — что у вас есть такса, голова которой находится в Лондоне, а хвост — в Эдинбурге. Если вы прищемите ей хвост в Эдинбурге, она затявкает в Лондоне. Это все, что я хотел вам сказать. А о том, что происходит в электрической цепи, я знаю не больше, чем о том, что происходит в таксе”.

И еще.

“.Вдохновение не каждый день посещает гениальных ученых и поэтов, но для своих визитов оно выбирает их”.

И еще:

“Гениальный человек — это творец. Во всех — в искусстве, в литературе, в науке — он создает творения, величие и оригинальность которых превышают возможности нормального интеллекта, как бы они не были велики. (.) Гениальность (.) проявляется во внезапных порывах вдохновения. Когда невидимая работа, совершающаяся в подсознании, приносит в сознание гениального человека решение какой-то проблемы, он фиксирует его так, словно речь идет о чем-то, пришедшем из внешнего мира. И затем уже оно поступает в распоряжение сознания, разума, которые исследуют этот подарок, выводят из него следствия, приспосабливают его к требованиям какого-то способа выражения, какой-то техники, какого-то практического применения. Часто такие порывы вдохновения возникают после ряда сознательных многодневных попыток разрешить проблему или найти форму какой-то идеи или произведения искусства, -попыток мучительных и кажущихся совершенно бесплодными. Можно подумать, что подсознание участвует в этих попытках сознательного “Я”, что оно отдает себе отчет в бессилии, в несовершенстве сознания и внезапно, когда этого меньше всего ожидают, дарит то решение, которого тщетно искали.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

130

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

Этот дар подсознания настолько превосходит способности нормального состояния — а они каждому известны, — что гениальный человек сам оказывается ошеломлен подобным откровением, источник которого кажется ему мистическим.

.. .Истинные гении обычно наделены прекрасным интеллектом, ибо в противном случае полученный ими удивительный дар природы не смог бы развиться и не производил бы такого ошеломляющего впечатления на протяжении всей их жизни. (...)

Вообще, гению, даже обладающему превосходным умом, всегда непросто снискать уважение вне сферы его гениальности. Восхищение, вызываемое этой последней, величие творений, рожденных вдохновением гения в литературе, искусстве или науке в силу естественного сопоставления порождают несправедливую оценку его интеллекта, как бы он ни был высок. Гениальность — это высшая степень, какой может достигать человеческая способность. В мысли, рожденной вдохновением гения, есть что-то непомерное, экстраординарное — этим и отличаются его творения. (...)

Гений одинок. Шепоты подсознания, идеи, которые привлекают и удерживают его внимание, делают его рассеянным и малообщительным. Он живет в своих возвышенных мыслях, которые выводят его за рамки современного ему человечества, ибо гениальность — это прозрение, это видение будущего. Моменты вдохновения приносят идею, открытие, изобретение, план произведения искусства, но и вне этих внезапных озарений мозг гения постоянно “включен”. Сознание исследует предложения подсознания, критикует их, приспосабливает их к определенным техническим требованиям, и мозг оказывается постоянно занят этой внутренней работой. Из подсознания гениальность переходит в сознание, и у человека не остается ни времени, ни желания обращать внимание на то, что не относится к его духовному производству. Гений — это сверхчеловек, превосходящий и свое время, и свое окружение (курсив мой — А.А.П.). В той области, где он творит, он — предвестник будущего. Его часто считают визионером и ненормальным и зачастую понимают лишь много позже — когда человечество, развившись, свыкается с новыми идеями и когда исчезают враждебные, ревнивые, завистливые современники. Есть зерно истины в шутке английского юмориста Свифта: “ Когда появляется гений, выузнаете это по тому, как объединяются против него все дураки” (курсив мой—А.А.П.) (...).

Более счастливы люди не гениальные, но наделенные талантом — качеством, к которому современники относятся с большей терпимостью. Иногда бывает трудно отличить гениального человека от человека талантливого. Их многое объединяет: и тот и другой наделены неким даром, тот и другой рождаются с некими особыми способностями, тот и другой — творцы; различие — только в степени одаренности, и не всегда легко различить, где кончается талант и начинается гений. Различие между гением и талантом — в масштабности творений и их оригинальности. Вдохновение таланта обычно воспроизводит существующее, вдохновение гения—творит новое. Первый выявляет или воссоздает, второй изобретает или создает. Талант устремлен к цели, которая нам кажется труднодостижимой; в отличие от него генийустремлен к цели, которой просто никто не видит (курсив мой — А.А.П.). У людей большого таланта есть определенная изобретательность и творческая способность, именно

благодаря этим качествам талантливый человек приближается к гениальному, хотя никогда не может с ним сравниться (...).

.Научный гений характеризуется идеями, которые освещают явления, остававшиеся непонятыми, и двигают науку вперед.

Но если для кретинов, одаренных какой-то гениальной способностью, легко определить соответствующее им место, то провести границу между гением и талантом, определив для каждого его степень величия, не всегда возможно. Решение этой задачи берет на себя история.

.В отношении гениальных ученых, совершивших, великие открытия, и гениальных изобретателей технических устройств также необходимо заметить, что реализация их возможностей часто требует длительного обучения. (.) Ведь в конечном счете научное воображение ничего не может совершить без высшего развития способности к абстрактному мышлению и приобретения определенного багажа знаний. В самом деле, в развивающихся науках всегда есть две части: во-первых, то, что уже освоено, и во-вторых, то, что еще предстоит освоить. В отношении освоенного все люди примерно равны, и гении здесь не могут отличаться от остальных. Часто случается даже, что как раз заурядные люди владеют большим объемом освоенных знаний. Гений же проявляет себя в той части науки, которая еще не познана, и проявляет именно своими идеями, бросающими свет на непонятные идеи и вызывающими прогресс науки. Тем не менее, определенный научный багаж необходим, и, естественно, приобретение его нередко требует достаточно длительного времени”.

А теперь еще о процессе творчестваученых.

”Как ни странно это может показаться, но для того, чтобы совершить открытие, относительное невежество человека науки иногда более полезно, чем глубокие познания. Во всякую эпоху в науке существует определенное количество теорий, считающихся непреложными и окончательными истинами, посягательство на которые воспринимается как святотатство. И тот ученый, который все их знает, который их принял, у которого мозг загроможден собранием множества фактов, эти теории подтверждающих, никогда ничего не изобретет. Есть такие научные открытия и промышленные изобретения, которые не могли бы быть сделаны без сокрушения господствующих догм и непререкаемых авторитетов. И часто изобретатель тем более свободен, чем меньше он о них знает. А впоследствии, вынужденная мириться с совершившимся, теория расширяется, чтобы включить в себя новое открытие и объяснить его.

Разумеется, в любой отрасли науки фундаментальные знания необходимы, но чрезмерная эрудиция сковывает воображение, засоряет мозг пылью деталей и лишает отваги, необходимой для того, чтобы сделать шаг вперед. Клод Бернар справедливо отмечал, что знания, воспринимаемые почти всегда некритично и возводимые в степень фиксированных идей, в высшей степени затрудняют изобретение. (.)

Изобретателю в науке, прежде всего, необходима независимость мысли — та склонность судить обо всем самостоятельно, которую Декарт в своем “Рассуждения о методе” выразил знаменитой формулой: “Никогда не принимать за истинное того, чего нельзя считать таковым с очевидностью”.

Еще одним препятствием на пути к открытию является чрезмерная специализация. Она порождает косность и

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 131

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

закрывает от умственного взора те неожиданные сближения более или менее далеких друг от друга вещей, которые предлагает нам природа. Разумеется, при современном состоянии науки, если вы намереваетесь непосредственно и глубоко изучить какую-то область, специализация становится необходимостью, однако подобная специализация — удел определенного рода профессоров, которые сохраняют науку, однако никогда ничего в ней не изобретают. Это ходячие энциклопедии; они — чрезвычайно полезные наставники для юношества и в то же время — профессиональные супостаты на путях всякого открытия в сфере науки, эти пути они знают досконально и баррикадируют их.

В свое время гениальный физиолог Клод Бернар открыл, что печень вырабатывает сахар. Сегодня этот факт узнают уже на школьной скамье, но Бернару за признание своего открытия пришлось бороться в течение двадцати лет. (...) И это в XIX веке! Когда теория священна, факты, выдвигаемые против нее, могут быть только артефактами. Должно было пройти вымирание большинства академических противников Клода Бернара — к счастью, достаточно дряхлых — для того, чтобы выжившие признали, наконец, его правоту.

И уже во все времена с открытием борются официальные представители науки, для которых она есть нечто дарованное свыше раз и навсегда.

Как правило, открытие в науке начинается с наблюдения какого-то факта. (...) Эти факты были перед глазами тысяч людей— и ни в ком из них не пробудили ни единой мысли. Таково свойство гения: под влиянием внезапного вдохновения он способен мгновенно выдумать гипотезу некоего общего закона. Случается даже, что какой-то факт очень долго маячит перед глазами ученого, ничего в нем не пробуждая, а затем вдруг проскакивает некая искра, и его ум интерпретирует этот же самый факт совсем иначе, чем прежде, и находит совсем иные зависимости. И тогда с быстротой молнии, словно по внезапному наитию возникает новая идея. На самом же деле открытие таится в некоем ощущении вещей, и оно не только личностно, но даже зависит от мгновенного состояния, в котором пребывает человеческий ум Вдохновение не каждый день посещает гениальных ученых и поэтов, но для своих визитов оно выбирает их.

Для отыскания плодотворных, блестящих идей, свет которых озаряет темную массу фактов и открывает новые пути, не существует правил. Такие идеи — суть произведения гения, плоды его неожиданного вдохновения. Но когда идея уже зародилась, когда гипотеза сформулирована, начинается период ее инкубации. У Ньютона этот период длился семнадцать лет, и к моменту окончательного расчетного подтверждения его открытия им овладело такое волнение, что он вынужден был перепоручить завершение своих расчетов другому человеку. (...)

Цена достижения прогресса человечества всегда неизменна: гений и труд ”.

(Все эти приведенные выше высказывания принадлежат Сергею Воронову (10.07.1866, Воронеж - 01.09.1951, Лозанна), прославленному русскому врачу и ученому-физиологу, директору лаборатории экспериментальной хирургии Коллеж де Франс. Его работы по гормональной теории старения и эксперименты по омоложению заложили основу нового направления в медицине — клеточной терапии, активно развивающейся сегодня в мире. Его трепетное отношение к метафизике, пафос покорения природы, поиск истины,

энтузиазм в науке, теория излучения и гипотеза гениальности до сих пор занимают воображение умов Человечества. Он был по-французски ироничен и по-русски решителен, а иногда и крут в суждениях.).

18. Интуиция и научное познание11

Наше исследование понуждает рассмотреть более детально и обстоятельно понятие интуиции и связи интуиции с наукой. Немного можно найти таких слов, которые были бы столь неопределенны, как интересующее нас слово “интуиция”. Проблема интуиции и научного познания чрезвычайно сложна и обширна, она и стара, и вместе с тем вечно нова. Я попытаюсь лишь осветить в самых общих чертах только те положения, которые мне особенно близки. Надеюсь, что предыдущие разделы уже помогли Читателю создать необходимую мировоззренческую настроенность.

О роли интуиции в процессе научного познания здесь говорилось уже не раз. Интуиция может играть существенную роль при построении гипотезы, но при этом абсолютно необходимо подвергать гипотезу проверке. Мы знаем, что рассуждение становится научным, во-первых, благодаря применению метода наблюдения, эксперимента и анализа, а во-вторых, благодаря построению гипотез и их последующей проверке [83, 84]. Всегда гипотеза подразумевает воображение и интуицию. В науке не поощряется выведение одной гипотезы из другой без привлечения новых фактов. Научное мышление без воображения не может создать обширной научной теории. Конечно, есть ученые, сводящие науку к простейшей сумме наблюдаемых данных, но научный закон — не голая сумма фактов. Научный закон должен толковать наблюдаемое. Простое собирание и суммирование фактов, конечно, не есть мышление.

Льюис пишет: “Научное мышление не означает, что вещи берутся такими, какими они даны, научное мышление требует, чтобы ставились вопросы, ставились искусно и постоянно, до тех пор, пока не будет прорвана запутывающая паутина опыта и не откроется скрывающаяся под нею истина. Подлинное познание никогда не является простым описанием вещей, независимо от того, берутся ли они отдельно или в виде статистических множеств. Вывод — это все. Дело в том, что тайна скрыта под покровом очевидности, который оказывает сопротивление познанию. Познание выглядело бы весьма скверной детективной историей, которая ограничивается изложением фактов и не только не предлагает никакого решения, но удовлетворяется тем, что представляет эти факты как достаточные сами по себе. То есть не существовало бы фактически никакого объяснения, которое объединило бы факты, истолковало их, выдвинуло бы версию, интерпретирующую их. Наука ныне целиком заинтересована в том, чтобы открыть объясняющую версию, и это как раз то, что действительно имеет значение. Конечно, как и в детективной истории, верность фактам имеет существенное значение, и ни одно решение не было бы приемлемо, если бы оно не принимало во внимание и не относилось бы серьезно ко всем тем данным, с которыми приходится сталкиваться. (...) Само существо научного открытия заключается в объяснении непосредственно наблюдаемого с помощью

иВ подготовке данного раздела участвовала В.Я. Потапова.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

132

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

того, что непосредственно не наблюдаемо; открытие фактов недоступно непосредственному наблюдению, оно достигается с помощью вывода из наблюдения и практической проверки и подтверждения таких выводов. (...) Эмпиризм, который останавливается перед выводом, опирается на самое “великолепное” основание, имеющееся в распоряжении философии, а именно, на человеческую глупость. Эмпиризм представляет собой философию, которая парализует способность мыслить, разрушая стройную картину мира. В мире не найдется ни одного великого ученого, который не пришел бы к завершению труда всей своей жизни с помощью преодоления фактов. Парадокс научного мышления заключается в том, что оно должно одновременно заниматься по видимости противоположными вещами — оно должно сохранять строгую верность по отношению к фактам (и это великий урок, которому научил нас эмпиризм), однако оно никогда не должно ими удовлетворяться. Наука начинается тогда, когда превзойдены иллюзии чувственного опыта — когда мы видим, что Земля вертится вокруг своей оси, а не Солнце вращается вокруг Земли. Эта мысль была прекрасно выражена Леонардо да Винчи, сказавшим: “Природа полна бесчисленных причин, которые никогда не были в опыте” [85, с. 11], и блестяще подтверждена Галилео Галилеем, следующим образом описывающим цель научного исследования: “Против кажущегося, с которым соглашаются все, мы преуспеваем с помощью разума”. Большим препятствием для науки является здравый смысл, очевидное, то, что люди считают “самоочевидным”. Ученые сломают любой привычный порядок мысли, чтобы сформулировать закон природы. (...) Объяснение любого вопроса,

касающегося Природы, было бы убедительным свидетельством того, что научное познание, опираясь на факты, возвышается над ними и заинтересовано в упорядоченном структуральном мире концептуального вывода, а не просто в данных. (...) Взгляд на науку, который представляет ее себе не более чем каталогизированием наблюдаемых фактов, упускает из виду то обстоятельство, что прогресс в науке начинается с нового обобщения, которое носит на себе отпечатки глубокого проникновения в действительность и которое с помощью суммарной точки зрения, выдерживающей более строгую проверку и обеспечивающей большую меру контроля, добивается более полного охвата существующих фактов. Простое суммирование фактов не означает установления полной истины, оно не представляет собой также и способа постижения естественного порядка, а служит серьезным препятствием для прогресса науки” [83, с. 52-56].

Достаточно важную роль в зарождении гипотезы играет аналогия и метод опровержения. “В науке нельзя было бы поддерживать ни одну гипотезу, если бы невозможно было признавать положение вещей, при котором она доказывалась бы, и положение вещей, при котором она опровергалась бы. (...) Дело заключается не просто в том, чтобы провести эксперименты, которые подтверждают теорию. Теорию необходимо попытаться опровергнуть любым возможным способом. Просто суметь использовать или применить гипотезу еще не означает проверить, подтвердить ее. Гипотеза может быть полезной, даже если она ложна. Много подобных гипотез служило науке. (...) В поисках опровержений мы устанавливаем научные истины. И в той мере, в какой мы терпим неудачу в

этих попытках, возрастает степень вероятности, сообщаемая теории” [83, с. 81-82].

Истина всегда открывается нашим интеллектом и творческой деятельностью. Нельзя быть пассивным наблюдателем, но следует всегда задавать Природе вопросы, а также выдвигать объясняющие теории. Это и есть метод гипотезы. Он необходимо включает в себя схематическую триаду: накопление фактов, догадку или интуитивный скачок, проверку гипотезы. Наука строится из идей, а не из фактов\

Пуанкаре в книге “Ценность науки” говорит [33, с. 161162]: “Интуиция не может дать нам ни строгости, ни даже достоверности—это замечается все больше и больше. Приведем несколько примеров. Мы знаем, что существуют непрерывные функции, не имеющие производных. Ничто так не подрывает доверия к интуиции, как эта внушенная нам логикой теорема. Наши отцы не преминули бы сказать: “очевидно, что любая непрерывная функция имеет производную, потому что любая кривая имеет касательную”. Почему же интуиция может обмануть нас в этом случае? А потому, что когда мы стараемся вообразить кривую, мы не можем представить себе ее без толщины, видим то же самое — когда мы представляем себе прямую, мы видим ее в форме прямолинейной полосы известной ширины. Мы отлично знаем, что эти линии не имеют толщины; мы силимся вообразить их все более и более тонкими и таким образом приблизиться к пределу; до некоторой степени нам это удается, но мы никогда не достигнем этого предела. Теперь ясно, что мы всегда будем в состоянии представить себе эти две узкие полосы — одну прямолинейную, другую криволинейную — в таком положении, что они будут слегка захватывать друг друга, не пересекаясь. Таким образом, мы поневоле придем, — если не будем предупреждены строгим анализом, к заключению, что кривая всегда имеет касательную. (...) Итак, интуиция не дает нам достоверности. Вот почему должна была возникнуть эволюция”.

В 1906 г. Пуанкаре в той же книге определяет четыре рода интуиции: а) - обращение к чувствам и к воображению, т.е., наглядное представление; б) - индуктивное обобщение; в) - интуиция чистого числа, которая подчиняется закону математической индукции; г) - всеохватывающий взгляд [33, с. 164], см., также книгу Ж.Адамара [86].

Теперь, остановимся более подробно на интуиции ученого, следуя результатам М. Бунге из его книги [87]:

“На многих философах лежит ответственность за широко распространенный миф, будто ученые располагают двумя независимыми, хорошо отработанными и стандартизированными методами, опираясь на которые они в состоянии браться за любую научную проблему. Эти методы — дедуктивный и индуктивный — позволяют якобы ученому действовать без оглядок, без проб, а пожалуй, и без таланта. По смыслу этого мифа математику нечего больше делать, кроме как “выводить неизбежные заключения из ясных посылок”; однако для получения самих посылок не предусмотрено никакого “метода”. А физику, если уверовать в религию метода, нужно просто подвести в индуктивном обобщении итог результатам своих наблюдений. Однако не сказано, почему он проводит как раз такие наблюдения или как ухитряется задумывать их и истолковывать их результаты.

Трудно придумать что-нибудь более нелепее и смешнее этой карикатуры на научную работу. Кто имел какое бы то

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 133

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

ни было отношение к науке, знает, что ученый — математик, естественник или социолог — пользуется всеми своими психическими способностями, но не имеет возможности все их контролировать и не всегда в состоянии установить, которая из них в каком случае функционировала. (...)

Когда мы не знаем точно, какой из перечисленных выше механизмов сыграл свою роль, когда не помним посылок или не отдаем себе ясного отчета в последовательности процессов логического вывода умозаключений, или же если мы не были достаточно систематичны и строги, мы склонны говорить, что все это было делом интуиции. Интуиция — коллекция хлама, куда мы сваливаем все интеллектуальные механизмы, о которых не знаем, как их проанализировать, или даже как их точно назвать, либо такие, анализ или наименование которых нас не интересует.

К наиболее частым словоупотреблениям термина “интуиция” в современной научной литературе относятся: быстрое восприятие, воображение, сокращенное аргументирование и здравое суждение” [87, с. 92-94]. Кратко проанализируем их.

Интуиция как восприятие включает в себя:

1. “Быстрое отождествление предмета, явления или знака. Ясно, что постижение физического объекта, то есть чувственная интуиция, зависит от остроты восприятия субъекта, его памяти, сообразительности, опыта (микроскопист видит много объектов, ускользающих от внимания неспециалиста) и информированности (вообще говоря, мы не воспринимаем того, что не приготовились открыть). Субъекты с притупленными чувствами, неопытные или просто глупые — неважные наблюдатели. Их чувственная интуиция неточна, то есть способность распознавания, способность отождествления незначительна. (...). .Чувственная интуиция встречается в деятельностиученого, но не в науке, как результате этой деятельности. Научное познание представляет собой не восприятие, а переработку и дальнейшее развитие ощущения.

2. Ясное понимание значения и (или) взаимоотношений последовательности знаков (например, текста или диаграммы). Именно в этом смысле мы говорим об авторе, что его описания и объяснения интуитивны или интуитивно ясны: его мысли изложены в выражениях, представляющихся нам простыми и привычными, или он пользуется иллюстрациями и метафорами, выуживающими что-то из нашей памяти или подстегивающими наше воображение. (...) Заметьте — психологически очевидное не обязательно должно быть логически простым. Существуют совершено “очевидные” теоремы, содержание которых в состоянии понять школьники, но которые очень трудно доказать—свидетельство тому многие теоремы теории чисел. А некоторые отношения “очевидны” (то есть психологически представляются простыми), несмотря на то, что их трудно даже проанализировать, пример чему отношение одновременности. Поэтому нет ловушек опаснее невинно звучащих “очевидно”, “естественно”, “легко видеть, что.” и “отсюда немедленно следует.”, так как они часто маскируют трудности, а иногда трудности эти остаются скрытыми и для авторов подобных коротеньких выражений.

3. Способность интерпретации: легкость, с которой

осуществляется правильная интерпретация условных знаков. Мы говорим об одних людях, что они одарены “физической интуицией”, и о других, что им ее недостает. Первые “видят” в формулах, пока те не слишком сложны,

нечто большее, нежели сочетание математических знаков: им ясно их физическое значение, им известно, как читать по уравнениям рассказ о свойствах, явлениях или процессах. (.) Некоторый навык в использовании символов, определенный опыт интерпретации да способность быстро выявлять связи между не имеющими на первый взгляд отношения друг к другу элементами — вот все, что слово “интуиция” выражает в этом случае. Не только физики, но и математики развивают в себе определенную способность интерпретировать искусственные знаки. Легче сперва построить конкретную теорию, основные (простейшие) термины которой имеют определенное значение, а потом в конечном счете устранить такие ссылки на конкретные объекты, получив этим путем форму, лишенную содержания, абстрактную теорию, нежели поступать наоборот. Абстрактной теории после этого могут быть даны поочередно разнообразные интерпретации, среди них и породившие ее. Подобная свобода от ссылок на конкретные примеры имеет те преимущества, что раскрывает необходимую структуру системы (.), а также обеспечивает ей максимальную возможную общность. Пустую оболочку формы можно наполнять весьма различным содержанием или значением. (.) Способность интерпретации — чудесный костыль. Но кто предпочтет ковылять на костылях, имея возможность бегать? ” [87, с. 94-100].

Интуиция как воображение рассматривается как:

4. “Способность представления или геометрическая интуиция:

умение наглядно представить или изобразить отсутствующие объекты, а также создавать изображения, наглядные или действующие модели или схемы абстрактных сущностей. Способность представления может рассматриваться как одно из конкретных проявлений способности интерпретации, о которой речь шла выше (3). Так называемая геометрическая интуиция, или, точнее говоря, пространственная интуиция, представляет собой способность: а) абстрагируясь от

чувственной интуиции (например, от материальной ленты или струны), формировать геометрические представления (к примеру, образ некоторой кривой); и б) ассоциировать арифметические, алгебраические или позаимствованные из математического анализа понятия с геометрическими образами. (.) Теорию гильбертовых пространств, представляющую интерес как для математиков, так и для физиков, можно излагать без единого наглядного образа, но удобнее рассматривать основные функции как координатные оси в пространстве бесконечно многих измерений, а произвольную функцию — как вектор в таком пространстве. Образное представление или наглядное воображение, то, что Мах именовал Phantasie-Vorstellung, полезная подпорка для чистого разума, но не замена ему. Оно подкрепляет рассуждение психологически, не логически. (.)

5. Способность образования метафор, умение показать частичную тождественность признаков или функций либо полную формальную или структурную тождественность (изоморфизм) в остальном различных объектов. Логические примеры метафор: аналогия дизъюнкции со сложением и сходство чередования с ветвлением (используемое в “деревьях” Бета. Пример из математики — сходство пространства функций с векторным пространством и вытекающее из него сохранение части словаря (“единичный вектор”, “скалярное произведение”, “ортогональность”). (.) Кто будет

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

134

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

сомневаться, что метафора — эффективное эвристическое средство? Простое сохранение части терминологии при переходе от одной отрасли знания к другой подсказывает аналогии, облегчающие исследования и понимание в новой сфере. Но мы, разумеется, всегда обязаны помнить, что имеем дело с аналогиями, а не с подлинной тождественностью. Именно таков смысл предостережения: ‘Не заходите слишком далеко с аналогиями”. (...) Определить то, что можно бы назвать критической точкой применения аналогии, так же важно, как и установить эту аналогию. (...) В науке метафоры используются в процессе возникновения и сообщения идей, но никак не для подмены умозрительного мышления, без которого в науке не обойтись.

6. Творческое воображение, изобретательность или вдохновение. В противоположность пространственному воображению, ассоциирующему наглядные образы с заданными понятиями и утверждениями, творческое воображение включается (выражаясь образно), когда без видимых затруднений, без особенно подробных логических выкладок и внезапно, или почти внезапно, возникают новые идеи. Творческое воображение много богаче образного представления; оно не совпадает со способностью вызывать чувственные впечатления и не ограничивается заполнением пробелов в картине, доставляемой ощущениями. Его называют творческим, ибо оно — способность творить понятия и системы понятий, которым может ничто не соответствовать в ощущениях, хотя бы даже они и соответствовали чему-нибудь в реальности, а также потому, что оно вызывает к жизни нешаблонные идеи.

Всякий математик и всякий естествоиспытатель согласится, что без воображения, без изобретательности, без способности придумывать гипотезы и планы нельзя выполнять ничего, кроме ‘механических” операций, то есть манипулирования аппаратами и применения вычислительных алгоритмов. Создание гипотез, изобретение техники и придумывание экспериментов — явные случаи творческих процессов, или, если предпочитаете, интуитивных действий, противополагаемых “механическим” операциям. Процессы это не чисто логические. Одна логика никого не способна привести к новым идеям, как одна грамматика никого не способна вдохновить на создание поэмы, а теория гармонии — на создание симфоний. (...)

Процесс открытия в окончательном представлении о теории, методе или эксперименте оказывается обычно вычеркнутым из памяти. Аксиоматические теории, в частности, имеют непривлекательный вид — их появление кажется актом творения из ничего. Но, разумеется, дело обстоит не так. Любая аксиоматическая теория строится на основе всех доступных знаний и с помощью всех доступных понятий и методов. Начинают с овладения существующими материалами и средствами, точно так же, как ремесленник начинает работу с заготовки сырья и инструмента. Затем пытаются составить общее представление о данной области. Вслед за тем выдвигают основные пожелания, которым надлежит удовлетворять системе аксиом. Большая часть этих пожеланий возникнет вновь в виде теорем, выводимых из тех же аксиом. Работа интуиции начнется не прежде завершения указанного подготовительного этапа.

На протяжении творческого этапа на ум приходят те или иные предположения. Сначала обычно самые простые,

оказывающиеся, разумеется, в конечном счете слишком простыми, чтобы быть адекватными. Их немедленно испытывают, то есть проверяют, удовлетворяют ли они основным пожеланиям. Если последние не соблюдены, то вводят незначительные поправки в проектируемую аксиому или рассматривают, действительно ли неудовлетворенное пожелание истинно или необходимо. В этом процессе приспособления более сильных утверждений (аксиом) к более слабым (пожеланиям или будущим теоремам) последние не неприкосновенны, их можно упрощать, чтобы сделать задачу вообще разрешимой. А очередные догадки не обязательно образуют последовательность, монотонно приближающуюся к цели,—могут иметь место временные задержки и отступления. (...)

Когда система аксиом построена, снова проверяют, вытекают ли из нее желательные теоремы и удовлетворяет ли она требованию логической непротиворечивости. Весь этот процесс состоит из ряда проб и ошибок, направляемых знанием, как отчетливым, так и неясным, и определенными правилами построения теорий. В науке пробы и ошибки не бывают “слепыми”, дорациональными, как у земляных червей, мышей и других животных. Они часто скорее методичны, чем беспорядочны, направляются нашими целями и методами и контролируются тем, что мы уже знаем. Несмотря на это, процесс научного открытия ближе к последовательности проб и ошибок, чем к внезапному “проникновению в сущность”, берущемуся неведомо откуда. “Озарения” в научной работе действительно случаются, но только скорей как происшествия в процессе рационального творчества, чем как ничем не обусловленные начальные условия.

Абсурдно полагать, будто в отношении изобретательности интуиция стоит выше логики. Никакое научное открытие или техническое изобретение невозможно без предваряющего его знания и последующей логической обработки. (...)

Представление, будто творческое мышление противоположно рассуждению, так же ошибочно, как и широко распространено. (...)

У многих есть оригинальные идеи, только немногие из этих идей верны, и даже в последнем случае они не приобретают права гражданства в науке до тех пор, пока не будут разработаны и приведены в состояние, допускающее проверку. Оригинальность — желательная черта всякой новой научной теории, но способность уцелеть после строгой проверки даже больше чем желательна, она категорически необходима. (...)” [87, с. 100-116].

Интуиция как разум классифицируется следующим образом:

7. “Ускоренное умозаключение — стремительный переход от одних утверждений к другим, иногда с таким быстрым проскакиванием отдельных звеньев рассуждения, что посылки и промежуточные процессы не заполняются, хотя при тщательном восстановлении хода мыслей их можно было бы обнаружить. Здесь мы видим разум, работающий не аналитически и не дискурсивно, а, говоря метафорически, в мировом масштабе. Это — картезианская интуиция, сокращающая “длинные цепи аргументов” и обходящаяся без промежуточных звеньев. Вот почему мы иногда говорим о приходящем само собой или о внезапном понимании рассуждения.

Но пропущенные или полузабытые посылки и промежуточные шаги бывают стол многочисленны, что лишь вышколенный ум в состоянии прийти таким путем к правдоподобным заключениям. Способность интуиции должна

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 135

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОЛЕ...

быть хорошо развита, и только чрезвычайно логичный интеллект способен достичь “синтетической апперцепции логического отношения или совокупности отношений”, как охарактеризовал интеллектуальную интуицию Кутюра”12 [87, с. 116-117].

8. “Способность ксинтезу, или общий взгляд, или обобщенное

восприятие: способность синтезировать разнородные

элементы, сочетать ранее разрозненные сведения в единое, или “гармоническое”, целое, то есть в систему понятий.

Способность к синтезу, которую не следует смешивать с неспособностью к анализу, характерна для людей интеллигентных и хорошо информированных, каков бы ни был их род занятий. (...) Мы говорим о специалисте, что он способен быстро “разглядеть” суть вопроса, а о профане или о новичке — что они теряются в подробностях.

(...) Обобщенное восприятие — не замена анализа, но награда за кропотливый анализ.

Способность к синтезу, как и к ускоренному рассуждению, может совершенствоваться. (...)

Преподавание — надежное средство не только для овладения предметом, но и для укрепления способности к синтезу. Хороший преподаватель дает общую картину своего предмета и указывает относительный вес каждого из его разделов. Однако следует признать, что немногие достигают значительных успехов как в искусстве анализе, так и в развитии способности к синтезу. Много чаще мы либо искусно наводим лоск на какую-нибудь незначительную идейку, либо беспомощно возимся с грандиозными, но недоработанными видениями. Только гении умеютрарабатывать свои величественные мечты (курсив мой—А.А.П.)” [87, с. 117-119].

9. “Здравый смысл — суждение, основанное на обыденном знании и не опирающееся на специальные знания или методы, либо ограничивающееся пройденными этапами научного знания.

Мы часто начинаем с обыденного знания и вполне благополучно удовлетворяемся здравым смыслом. Но того и другого, как они ни неизбежны, для науки недостаточно. Наука — не простой количественный рост (expension) обыденных знаний. Она создает понятия и теории, о которых никто ранее не слыхал, часто противоречащие интуиции и непостижимые для профана (ккурсив мой — А.А.П.). И логика — не просто усовершенствование здравого смысла. Она также сталкивается со своими проблемами и строит теории, во многих отношениях возмущающие здравый смысл или, по меньшей мере, им не охватываемые. (...)

Здравый смысл способен шаг за шагом развиваться, но приобретение новых интуитивных представлений оплачивается иногда потерей старых, неверных. Мы испытываем удовлетворение, когда “интуитивно” усвоили какую-нибудь теорию, когда она стала для нас пройденным этапом, но одновременно обнаруживается, что нас затрудняет признание той или иной конкурирующей теории, предъявляющей иные требования к нашей “интуиции”. Чем ближе кто-нибудь ознакомился с определенной теорией

12Луи Кутюра (17.01.1868-03.08.1914) — французский математик, логик, занимался философскими основаниями математики. Полемизировал с А. Пуанкаре по вопросу взаимоотношения математики и логики. Пуанкаре под “интуицией” разумеет уже не “вдохновение”, не “догадку”, а прямые, не опирающиеся на логику, интеллектуальные усмотрения [33, 88].

и сопутствующим ей способом мышления, тем труднее оказывается ему принять соперничающую теорию, связанную с иным способом мышления.

Разработка всякой теории требует полного подчинения способу мышления, ею санкционируемому. Но критика теории и поиски новых, лучших теорий предполагают отказ от любого монопольного способа мышления, присущего тому, что сделалось в конце концов достоянием здравого смысла. Обновление науки состоит до некоторой степени в открытии псевдопарадоксов, то есть утверждений, противоречащих интуиции, расходящихся со здравым смыслом, то ли донаучным, то ли научным. Если бы ученые боялись “немыслимых”, “иррациональных” или противоречащих интуиции идей, у нас никогда бы не было ни классической механики (ныне ставшей достоянием здравого смысла!), ни теории поля, ни эволюционной теории — все они в свое время отвергались за то, что противоречат интуиции.

Здравый смысл не статичен; наука и техника постепенно обогащают его. Нет понятий абсолютно, в силу неотъемлемых своих свойств интуитивных или неинтуитивных. Степень интуитивности любого понятия относится к определенному уровню знания. (...) И предоставьте интуиции играть ее эвристическую роль, но не позволяйте ей преуменьшать трудности становления понятий” [87, с. 119-121].

Интуицию как оценку можно классифицировать как:

10. Здравое суждение, фронезис [практическая мудрость], проницательность или проникновение: умение быстро

и правильно оценить важность и значение проблемы, правдоподобность теории, применимость и надежность метода или полезность действия.

Когда молодой ученый обращается за советом к искушенному исследователю, ему следует, рассчитывать не на информацию и не на посвящение в детали, но скорей на здравое суждение, приобретаемое талантливыми людьми после многолетних неудач. Суждения, выражающие оценку, формулируются всякий раз, когда взвешивают проблему, гипотезу или методику. Мы говорим, что подобные суждения “рассудительны”, “разумны” или “здравы”, если они соответствуют основному содержанию наших знаний или нашего опыта (которое должно бы включать признание того, что “нездравые” идеи могут оказаться правильными). Когда подобные оценочные суждения формулируются после ускоренного ознакомления с предметом, то если они удачны, мы говорим об интуиции. Цена, уплаченная нами за практическую мудрость, — длинная вереница неудач.

Фронезис ценен, пока не застынет, превратившись в авторитет. В этом случае он леденит. (...)” [87, с. 122]. “Ученый постепенно вырабатывает “нюх” или “прозорливость” в отношении выбора проблем, направлений исследования, методов и гипотез. (...) Фронезис никогда не встречается в отрыве от опыта или от разума, он — один их немногих преимуществ возраста” [87, с. 141].

В отношении творческой способности М. Бунге различает три типа мыслителей [87, с. 129]: “а) критики-разрушители, то есть личности, способные обнаруживать недостатки в чужих работах, но не способные заменить устаревшее и обветшалое чем-нибудь новым и лучшим; б) пратики (appliers) — индивидуумы, способные использовать существующие теории и методы для решения конкретных проблем, будь то познавательные или практические; в)

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

136

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

разработчики — критики-созидатели, способные совершенствовать известные орудия или расширять их применение, сохраняя, однако, неизменным одно и то же генеральное направление; г) творцы новых проблем, новых понятий, новых теорий, новых методов и даже новых путей мышления”.

обратимся снова к Уильяму Уэвеллу, который в своем трехтомнике “История индуктивных наук” (1837) пишет: “Понятия, которыми факты связываются воедино, подсказывает прозорливость открывателей. Этой прозорливости нельзя научить. она обычно добивается успеха, действуя наугад, и успех ее состоит, по-видимому, в выработке нескольких экспериментальных гипотез и выборе именно той из них, которая нужна. Но запас подходящих гипотез не удается создать, следуя каким-то установленным правилам или не имея таланта” [89, 90]. Как считал Уэвелл, в науках “имеют место постоянные изобретательность и активность, вечная деятельность сил созидания и отбора, лишь последние результаты которых демонстрируются нам”.

И снова слово М. Бунге: “Те, кто восхваляет искусство за простор, предоставляемый им деятельности воображения, и упрекает науки за их мнимую “сухость”, не сумели, видно, продвинуться в науках дальше таблицы логарифмов. Можно доказать, что научная работа требует несравненно большего участия воображения, чем художественное творчество, хотя проявленная при этом изобретательность и не обнаруживается в законченном произведении. (...)

Творческое воображение в науке богаче, чем в искусстве, потому, что ему приходится выходить за пределы чувственного опыта и здравого смысла; оно точнее, чем в искусстве, потому, что ему приходится преодолевать себя и надо стараться быть истинным. Научное исследование не просто является Dichtung [Поэзия], а имеет тенденцию стать Wahrheit [Истиной]. однако некоторые из его моментов и некоторые из его результатов, в особенности великие теории, изменяющие наше мировоззрение, настолько же поэтичны, насколько может быть поэтичной сама поэзия. (...) Творческое воображение ученых и техников не безразлично к информации, теориям, требованиям момента и даже к общей интеллектуальной атмосфере. “Предчувствие” вспыхивает не само собой, но в ответ на возникновение проблем, и в свою очередь простая формулировка вопросов предполагает познавательный фон, в котором замечены прорехи” [87, с. 130-133].

Тема интуиции в науке — бесконечна, потому, я здесь прерываю свое изложение.

19. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение задач в области методологии наряду с анализом современного научного знания требует обращения к историконаучному материалу как важному компоненту философскометодологического исследования. Реконструкция историконаучного материала позволяет более обстоятельно

анализировать такие важные в настоящее время проблемы, как рост научного знания, генезис научных теорий, переход от одной теории к другой, природа научных революций и другие.

Кого интересуют вопросы, в чем заключается ететвеннонаучное содержание фрактального метода, каким образом оно было достигнуто, каковы его источники, в какой мере мы можем рассматривать его, как прочное наше достояние, - тот найдет, надеемся, в этом исследовании достаточные разъяснения. Именно это содержание, представляющее самый общий интерес для естествоиспытателя, заключается в

скрытом состоянии в интеллектуальном аппарате современной теории фракталов и моего фрактального метода. Серия моих предыдущих исследований наряду с этой работой доказывает тот важный факт, что в настоящее время пристальное внимание привлекают вопросы теории познания применительно к фракталам/фрактальной геометрии, которыми тридцать лет назад никто почти не интересовался.

Статья, которую прочитал читатель, предлагает новую парадигму в понимании естествознания. Парадигма основывается на небольшом числе утверждений, считавшихся самоочевидными аксиомами, научная ценность которых не может быть доказана. На чем же основывается авторская парадигма? Во-первых, на фракталах, во-вторых, на дробных операторах, в-третьих, на скейлинге или самоподобии.

Новизна парадигмы, комбинирующей данные положения, состоит в ее реальной альтернативности по отношению к современности. То, что еще по инерции кажется “ересью” или даже невозможным, превращается в Zeitgeist (“Дух эпохи”). Но, ни одна парадигма никогда не объяснит всех имеющихся фактов, а конкретные наборы данных всегда можно интерпретировать в рамках нескольких парадигм.

Авторский подход не отвергает ценности существующих теорий, не претендует на превосходство по отношению к ним и чужд амбициям “исчерпывающего” объяснения. Фундаментальное значение предложенной мной “фрактальной” парадигмы состоит в возможности взглянуть по-новому и острее на Природу, Человека и Технику. Существующие наблюдения могут быть переоценены, а прежние выводы — дополнены и переформулированы. При этом открываются принципиально новые методологические перспективы. Мы начинаем видеть принципиально новый Мир: прежние объекты не просто переинтерпретируются, но по своей сути—преображаются.

Тщательный библиографический поиск показал наш полный и абсолютный приоритет по всем “фрактальным” направлениям (рис. 2) в СССР и в России, а также в мировой науке. Замечу, что мои идеи о фракталах и дробных операторах, с которыми я выступил три десятилетия тому назад, ныне уже уверенно перешли из стадии чисто умозрительной в стадию осязаемой действительности и достигли своей зрелости в качестве мощного аналитического инструмента описания классических и аномальных стохастических процессов. Этому есть серьезное подтверждение, а именно:

— В книге [91] в подразделе “Локационные системы”, раздел

“Информационные технологии и вычислительные системы” (с. 41) приведен следующий текст: “Создан эталонный словарь фрактальных признаков оптических и радиоизображений, необходимый для реализации принципиально новых

фрактальных методов обработки радиолокационной

информации и синтеза высокоинформативных устройств обнаружения и распознавания слабых сигналов на фоне интенсивных негауссовских помех. Установлено, что для эффективного решения задач радиолокации и проектирования фрактальных обнаружителей многомерных радиосигналов существенное значение имеют дробная размерность,

фрактальные сигнатуры и кепстры, а также текстурные сигнатуры фона местности. (ИРЭ РАН)” — 2007 г., опубликовано в 2008 г.

— В книге [92] в подразделе “Локационные системы. Геоинформационные технологии и системы”, раздел “Нанотехнологии и информационные технологии” (с. 24) приведен следующий текст: “Впервые в мировой практике предложены и экспериментально доказаны принципы построения новых, фрактальных адаптивных радиосистем и фрактальных радиоэлементов для современных задач радиотехники ирадиолокации.Принципдействиятаких систем

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 137

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОДЕ...

и элементов основан на введении дробных преобразований излучаемых и принятых сигналов в пространстве нецелой размерности при учете их скейлинговых эффектов и негауссовской статистики. Это позволяет выйти на новый уровень информационной структуры реальных немарковских сигналов и полей (ИРЭ РАН)” — 2009 г, опубликовано в 2010 г.

— В книге [93] в подразделе “Локационные системы. Геоинформационные технологии и системы”, раздел “Информатика и информационные технологии” (с. 199-200) приведен следующий текст: “На основе фрактального анализа проведено систематическое исследование электродинамических свойств фрактальных антенн. Подтверждены широкополосные и многодиапазонные свойства фрактальных антенн и зависимость числа резонансов от номера итерации фракталов. Показано, что на основе миниатюрных фрактальных антенн возможна эффективная реализация частотно-избирательных сред и защитных экранов, искажающих радиолокационный портрет цели. Изучены фрактальные частотно-избирательные 3D-сред,ы или фрактальные “сэндвичи” (инженерные радиоэлектронные микро- и наноконструкции). (ИРЭ РАН)” — 2011 г., опубликовано в 2012 г.

Итог, в естествознании должно быть введено “фрактальное” измерение, причем не на вспомогательную роль, а в качестве фундаментального объяснительного факта. В настоящее время автором установлены универсальные черты функционирования, изоморфные для огромного количества объектов, относящихся к различным классам явлений, описываемых дробными операторами и фракталами. Я предлагаю Читателю общий взгляд на указанные проблемы с синергетической точки зрения открытых немарковских микро- и макросистем.

Таким образом, фрактальное естествознание—это наука, и как всякая наука, она должна развиваться, иметь свои достижения и ошибки, что-то отбрасывать и что-то открывать заново. И это обычный путь для любой науки, которая в развитии своем неизбежно далеко выходит за круг представлений, установленных ее основателями. Огромный прогресс техники наших дней — это все было предвидено гениальными людьми в то время, когда для этого не было никаких оснований.

Подытоживая эту работу, я утверждаю, что научное значение моей концепции может претендовать на статус большой теории в контексте естествознания. Я надеюсь, что, в общем и целом, набросанная мною картина развития фракталов и фрактальных структур в их прошлом и в вероятном будущем, вполне верна. Для будущих исследований данная концептуализация открывает вдохновляющие перспективы фрактального натурализма.

Рис. 4. Обсуждение с проф. Г. Хакеном синергетических особенностей фрактальных методов обработки информации (г. Москва, 17 июня 2004 г.).

PS. Представленные в данной работе в свободном стиле основные принципы фрактального метода, фрактальной парадигмы и фрактального естествознания, надеюсь, могут также оказать помощь в изучении роли подсознания, т.е. в связях духа и мозговой материи, в проблеме интимного механизма нашего мышления, в сфере возникновении мыслей и чувств, появления абстрактных идей и моральных принципов, в исследованиях механизма творчества [82]. Ведь великие научные творения создаются только при соединении трех слагаемых: интуиции, анализа и синтеза. И результаты озарения надо воплотить еще в труд... Случай всегда благоприятствует тем, кто умеет видеть и, интуитивно охватывая глубинный смысл фактов, проникает в суть вещей. Дух не знает границ, он парит, но материяупирается...

P.P.S. Буду рад, если статья окажется для некоторых (большинство всегда ошибается.) “будильником мысли”.

Настоящая жизнь в науке — это святой и каторжный труд, полное самозабвение и самоотдача, горение, неосознанные тобой жертвы, бессонные ночи и конфликты с жизнью. И мало смелости и желания работать. Нужно быть готовым к работе... Ненавижу душевную обездвиженность, косность и рутину!

В этой новой рубежной работе я привел малую часть своих размышлений по поводу фракталов, скейлинга, дробных операторов и роли глобального фрактального метода в естествознании. Надеюсь, что она может вызвать новые идеи, имеющие своим результатом усовершенствование того, что сказано в ней о неисчерпаемой проблеме фрактальности. В настоящее время считаю, что фрактальность имеет онтологический статус. Поэтому представленную работу я рассматриваю как пролегомены к общей фрактальной теории.

Сегодня я свою общую теорию и точку зрения называю принципиально просто: “Фрактальный ландшафт знаний:

шероховатость Мира и Информации” (мои необходимые и достаточные основания для этого — на двух фотографиях — рис. 4 и 5, — .и снова еле слышные уже вопли узколобых несчастных очумевших критиканов и ничего не понимающих, но послушно кивающих, их болванчиков-клевретов).

И, обещаю, продолжение будет всегда! Данное произведение-манифест, верю, найдет своего читателя и привлечет широкий круг молодых исследователей нового и неизведанного, связанного с познанием фрактальных структур и процессов. Повышенный интерес к моим работам в настоящее время вполне понятен. Я всегда готов вести активный и полезный диалог. Бросайте вызов, — я напишу в ответ очередную хорошую книгу!

Рис. 5. Обсуждение с проф. Б. Мандельбротом моего определения фракталов, неограниченных возможностей глобального фрактального метода, фрактальных радиоэлементов и фрактальных обнаружителей сверхслабых сигналов (г. Нью-Йорк, 16 декабря 2005 г.).

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

138

ПОТАПОВ А.А.

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

ЛИТЕРАТУРА

1. Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М., Логос, 2002, 664 с.

2. Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. М., Университетская книга, 2005, 848 с.

3. Потапов АА Фракталы, скейлинг и дробные операторы в обработке информации (Московская научная школа фрактальных методов в ИРЭ им. ВА Котельникова РАН, 1981-2011 гг.). Сб. тр. “Необратимые процессы в природе и технике*. Вып. IV Под ред. ВС Горелика и АН Морозова. М.: МГТУ им. НЭ Баумана и ФИ им. ПН Лебедева РАН, 2012:5-121.

4. Potapov AA Application of the Fractal Theory and Scaling Effects During Processing of Low-Contrast Images and Super Weak Signals in the Presence of Intensive Noise. Тр. 11-й межд. конф. “Забабахинские научные чтения — 2012”., (16-20 апр. 2012 г., г. Снежинск, Челябинская обл., Россия). Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012:311-312. (http://www vniitf.ru/zst).

5. Потапов АА. Фрактальный метод и его развитие. Тр. 17-й межд. НТК «Проблтъг передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникации»., ч.1, (Рязань, 6-8 мая 2012 г.). Рязань, РГРТУ, 2012:3-5.

6. Потапов АА. Фрактальный метод и метод дробных производных в современном естествознании. Тр. межд. науч конф. ‘Интеллектуальные системы принятияршниш и проблемы искусственного интеллекта (ISDMCI>2012Jt (Евпатория, 27-30 мая 2012 г.). Херсон, ХНТУ, 2012:397-401.

7. Потапов АА. Фрактальный метод и метод дробных интегро -производных в естествознании. Тр. 2-го межд.росс.-узб. симп. «Уравнения мешанного типа иродственные проблемы анализа и информатики» (Эльбрус, 28 мая-01 июня 2012 г.). Нальчик, Изд КБНЦ РАН, 2012:222-225.

8. Потапов АА. Закрепление истины или Заметки о фрактальном естествознании и фрактальном методе. Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. 2012, 17(1):106-121.

9. Потапов АА. Полемические заметки о концепциях фрактального метода и фрактального естествознания: приглашение к дискуссии о фрактальной парадигме. Тр. 8-й межд. конф. “Хаос и структуры в нелинейнъх: сжтмах. Теория и эксперимент’. (Казахстан, Караганда, 18-20 июня 2012 г.). Караганда, Изд. КарГУ им. акад. Е.А. Букетова, 2012.

10. Потапов АА. Модели теоретической физики на основе фракталов и дробного математического анализа: фрактальный метод и фрактальная парадигма. Тр. мжд. молодежной тут школьг <«Теоретическаяфшит>. (Воронеж, 26-27 июня 2012 г.).- Воронеж, ИПЦ “Научная книга”, 201217-24.

11. Потапов АА. Потапов ВА. Методы дробных операторов и фракталов в исследованиях радиосистем и волновых процессов. Тр. межд. молодежной конф. “Волновая электроника и ее применение в информационных и телекоммуникационных системах” (Воронеж, 02 июля 2012 г.). Воронеж, ИПЦ “Научная книга”, 2012:88-96.

12. Потапов АА. Фрактальный ландшафт и горизонты в науке. Тр. межд. молодежной конф. ‘ Измерения, моделирование и информационные системы для изучнш окружающей средъР (Воронеж, 03 июля 2012 г.). Воронеж, ИПЦ «Научная книга», 2012:149-167.

13. Potapov AA Fiactal Approach and Fractional Derivatives Approach in the Fractal Natural Science. PToc. PIERS-2012 “Progress in Electromagnetics Research SympB (19-23 Aug 2012, Moscow, Russia). Cambridge, MA, Electromagnetics Academy, 2012

14. Потапов АА. Парадигма фрактальности и фрактальный метод в естествознании. Тр. 3-й межд. конф. “Математическая физика и ее приложения” (Самара, 27 авг.- 1 сент. 2012 г.). Под ред. чл.-корр. РАН И.В. Воловича и проф. Ю.Н. Радаева. Самара, Изд. “Книга”, 2012.

15. Потапов АА. Фрактальный метод, фрактальная парадигма и метод дробных производных в естествознании. Тр. IX всеросс. конф. «Нелинейные колебания механических систем» им. ЮИ Неймарка (Н. Новгород, 24-29 сент. 2012 г.). Н.Новгород, Нижегор. фил. Ин-та машиноведения им. АА Благонравова РАН, 2012.

16. Винер Н. Я—математик М., Наука, 1964, 356 с.

17. Риккерт Г. Науки о природе и науки о культуре. Под ред. Гессена СИ. СПб., Образование, 1911, 196 с.; Риккерт Г. Науки о природе и науки о культуре. М., Республика, 1998, 413 с.

18. Бернал Дж. Наука в истории общества. М., ИЛ, 1956, 736 с.

19. Рассел Б. История западной философии. Новосибирск, Изд. НГУ, 1999, 815 с.

20. Бэкон Ф. О принципах и началах. М., Соцэкгиз, 1937, 80 с.

21. Бэкон Ф. Сочинения в 2-х тт. М., Мысль, 1971, т.1, 590 с.; 1972, т.2, 582 с.

22. Томпсон М. Философия науки. М., ФАИР-ПРЕСС, 2003, 304 с.

23. Поппер К. Логика и рост научного знания. М., Прогресс, 1983, 605 с.

24. Поппер К. Открытое общество и его враги. М., Феникс, 1992, т.1, 448 с.; т.2, 528 с.

25. Purver M. The Royal Society: Concept and Creation. London, Routledge and Kegan Paul, 1967, 262 pp.

26. Growther JG. Francis Bacon: The First Statesman of Science. London, Cresset Press, 1960, 362 pp.

27. Кун Т. Структура научных революций. М., АСТ, 2003, 608 с.

28. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теормы. М., Наука, 1967, 152 с.; Лакатос И. Избранные произведения по философии и методологии науки. М., Академич. проект; Трикста, 2008, 475 с.

29. Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских прорамм. М., Медиум, 1995, 236 с.; см., также [27], с. 269-454.

30. Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. М., Прогресс, 1986, 542 с.

31. Фейерабенд П. Против метода. Очерк анархистской теории познания. М., АСТ; Хранитель, 2007, 413 с.

32. Бунге М. Причинность. Место принципа причинности в современной науке. М., ИЛ, 1962, 512 с.

33. Пуанкаре А. О науке. М., Наука, 1983, 560 с.

34. Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. N.Y, Acad. Press, 1974, 234 р.

35. Самко СГ, Килбас АА, Маричев ОИ. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника, 1987, 688 с.

36. Нахушев АМ. Дробное исчисление и его применение. М., Физматлит, 2003, 272 с.

37. Учайкин ВВ. Метод дробных производных. Ульяновск, Изд. Артишок, 2008, 512 с.

38. Потапов АА, Черных ВА. Дробное исчисление А.В. Летникова в физике фракталов. Saarbrucken, LAMBERT Acad. Publ., 2012, 688 с.

39. Потапов АА. О фрактальных радиосистемах, дробных операторах, скейлинге, и не только... В кн.: Фракталы и дробные операторы. С предисл. акад. Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН С.А. Никитова. Под ред. А.Х. Гильмутдинова. Казань, Изд. «Фэн» Акад. наук РТ, 2010, с. 417-472.

40. Дайсон Ф, Монтролл Э, Кац М, Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М., Мир, 1973, 374 с.

41. Форстер Д. Гидродинамические флуктуации, нарушенная симметрия и корреляционные функции. М., Атомиздат, 1980, 288 с.

42. Гельфанд ИМ, 11 Гилов ГЕ. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматлит, 1958, 440 с.

43. Фриш У. Турбулентность. Наследие АН. Колмогорова. Пер с англ., п/р Бланка МЛ. М., ФАЗИС, 1998, 346 с.

44. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Пер. с англ., п/р АВ Борисова. М.-Ижевск, НИЦ “Рег. и хаотич. динамика”, 2001, 528 с.

45. Гнеденко БВ, Колмогоров АН. Предельныераспределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л., Гостехиздат, 1949, 264 с.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФРАКТАЛЫ И ДРОБНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

РАЗМЫШЛЕНИЯ О 139

ФРАКТАЛЬНОМ МЕТОДЕ...

46. Гнеденко БВ. Курс теории вероятностей. Изд. 9, испр. М., Изд. ЛКИ, 2007, 448 с.

47. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., Мир, 1967, т.1, 500 с.; т.2, 752 с.

48. Золотарев ВМ Одтмрньгеустойчивыераспределения М, Наука, 1983, 304 с.

49. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Пер. с англ., п/р Романова АН. М., Мир, 2000, 334 с.

50. Барду Ф, Бущо Ж-Ф, Аспе А, Коэн-Таннуджи К.

Статистика Леви и лазерное охлаждение. Как редкие события останавливают атомы. М., Физматлит, 2006, 216 с.

51. Лазоренко оВ, Потапов АА, Черногор ЛФ. Фрактальные сверхширокополосные сигналы. В кн: Потапов АА, Струков АВ, Черногор ЛФ. и др. Информационная безопанохтк методы шифрования. Кн. 7. С предисл акад НА Кузнецова. П/р Сухарева ЕМ. М, Радиотехника, 2011, с. 151-187.

52. Декарт Р. Сочинения в 2-х тт. М., Мысль, 1989, т.1, 654 с.; 1994, т.2, 633 с.

53. Гегель Ф. Сочинения (Феноменология духа). М., Изд. соц.-полит. лит., 1959, т. IV, 487 с.

54. Хрустов ГФ. Теорияфакта. М., Изд. МГИМО-Университет, 2005, 296 с.

55. Налимов ВВ. Вероятностная модель языка. Томск-М., Водолей Publ., 2003, 368 с.

56. Налимов ВВ. Облик науки. СПб.-М., Центр гуманит. инициатив, Изд. МБА, 2010, 368 с.

57. Вопенка П. Альтернативная теория множеств: новый взгляд на бесконечность. Пер. со словацк., п/р Белякина НВ. Новосибирск, Изд. Ин-та математики, 2004, 612 с.

58. Добров ГМ. Наука о науке. Введение в общее науковедение. Киев, Наукова Думка, 1970, 320 с.

59. Очерки и речи Академика Вернадского. Пг., Науч. хим.-техн. изд., 1922, вып. I, 157 с.; вып. II, 123 с.

60. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976, 286 с.

61. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальныхуравнений. М., Наука, 1982, 304 с.

62. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables. Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 226 pp.

63. Ерофеев ВИ. Братья Коссера и механика обобтттенных континуумов. Вычислительная механика сплошных сред. 2009, 2(4):5-10.

64. Ерофеев ВИ, Потапов АА. Межд коллоквиум «Механика обобщенных континуумов: сто лет после Коссера». Нелинейный мир. 2009, 7(8):652-654.

65. Maugin GA, Metnkine AV. (eds.). Mechanics of Generalized Continua: One Hundred Years after the Cosserats. New-York, Springer, 2010, 337 pp.

66. Altenbach H, Erofeev V Maugin G. (eds.). Mechanics of Generalized Continua — from Micromechanical Basics to Engineering Applications. New-York, Springer, 2011, 350 pp.

67. Потапов АА, Гуляев ЮВ, Никитов СА, Пахомов АА, Герман ВА. Новейшие методы обработки изображений. П/р Потапова АА. М., Физматлит, 2008, 496 с.

68. Медведев ФА. Очерки истории теории функций действительного переменного. М., Наука, 1975, 248 с.

69. Сакс С. Теория интеграла. М., ИЛ, 1949, 496 с.

70. Яглом АМ. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л., Гидрометеоиздат, 1981, 280 с.

71. Подосенов СА, Потапов АА, Соколов АА. Импульсная электродинамика широкополосныхрадиосистем и поля связанных структур. П/р Потапова АА. М., Радиотехника, 2003, 720 с.

72. Мах Э. Механика. Ист.-критич. очерк ее развития. СПб., Изд. тов-ва “Общество и польза”, 1909, 448 с.; Ижевск, Иж. респ. типография, 2000, 456 с.

73. Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии исследования М., Изд. ССкирмунта, 1909, 471 с.; М., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012, 456 с.

74. Мах Э. Анализ ощущений и отношение физического к психическому. М., Изд. С. Скирмунта, 1908, 308 с.; М., ИД ‘Черритория будущего”, 2005, 304 с.

75. Мах Э. Популярно-научные очерки. СПб., Книгоизд. “Образование”, 1909, 340 с.

76. Мах Э. Принцип сохранения работы. История и корень его. СПб., Книгоизд. “Образование”, 1909.

77. Владимиров .ЮС. Пространство-время:явные и скрытые размерности. М., Наука, 1989, 192 с.

78. Богданов АА. Чего искать русскому читателю у Эрнста Маха? См. [74], с. 31-38.

79. Фуко М. Слова и вещи. Археология гуманитарных наук. СПб., A-cad, 1994, 405 с.

80. Фуко М. Археология знания. СПб., ИЦ “Гуманитарная Академия”, 2012, 408 с.

81. Фуко М. Герменевтика субъекта: Курс лекций, прочитанных в Коллеж де Франс в 1981-82уч. г. СПб., Наука, 2012, 677 с.

82. Voronoff SA From Cretin to Genius. N.Y, Alliance Book Corpora, 1941, 281 p.

83. Льюис Д. Наука, вера и скептицизм. М., Прогресс, 1966, 232 с.

84. Бунге М. Философия физики. М., Прогресс, 1975, 350 с.

85. Леонардо да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М., Изд. АН СССР, 1955. 1027 с.

86. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., МЦНМО, 2001, 128 с.

87. Бунге М. Интуиция и наука. М., Прогресс, 1967, 188 с.

88. Пуанкаре А, Кутюра Л. Математика и логика. М., Изд. ЛКИ, 2010, 152 с.

89. Уэвелл В. История индуктивных наук от древнейшего и до настоящего времени в 3-х тт. СПб., “Русская книжная торговля”, т. I, 1867, 590 с.; т. II, 1867, 814 с.; т. III, 1869, 912 с.

90.Singer Ch. (ed.). Studies in the History andMethod of Science. V 2. Oxford, Clarendon Press, 1921, 559 p.

91. Отчетный доклад Президиума РАН. Научные достижения РАН в 2007

г. М., Наука, 2008, 204 с.

92. Отчетный доклад Президиума РАН. Научные достижения РАН в 2009 г. М., Наука, 2010, 486 с.

93. Отчетный доклад Президиума РАН. Научные достижения РАН в 2011 г. М., Наука, 2012, 620 с.; см. также: Доклад Правительству РФ. Об итогах реализации в 2011 году Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008-2012 гг. В 3-х тт. М., Наука, 2012, 1015 с. (см. с. 242).

ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, Москва, Россия —

ДжиНан Университет, Гуанчжоу, Китай — ИРЭ им. В.А.

Котельникова РАН, Москва, Россия — дача, Чехов (ноябрь

2011-июнь 2012 гг.).

Потапов Александр Алексеевич

д.ф.-м.н., гл.н.с., действительный член РАЕН,

Институт радиотехники и электроники

им. В.А. Котельникова, Российская академия наук,

11/7, ул. Моховая, 125009 Москва, Россия

+7 495 629 3406, potapov@cplire.ru, www.potapov-fiactal.com

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

140

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN NATURAL SCIENCES

REFLECTIONS ON THE FRACTAL METHOD, METHOD OF THE FRACTIONAL INTEGRO-DERIVATIVES, AND AbOUT THE FRACTAL PARADIGM IN THE MODERN NATURAL sciENcE (from the author’s notebooks)

Potapov A.A.

Dr Sci.Phys&Math, Chief Research Fellow, Academician of Russian Academy of Natural Sciences Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, http://www.cplire.ru 11/7, Mokhovaya str., 125009 Moscow, Russian Federation potapov@cplire.ru; www.potapov-fractal.com

Methodological problems which arise during comprehensive using of the fractal method and fractional operators approach in the natural science have been considered. Work actuality based on urgent need for comprehension of fractality and chaos as unitary holistic process of creation of fractal paradigm and fractal natural science.

Key words: natural science, paradigm, method, fractal, fractional operator, scaling udc 50 + 530.1

Bibliography — 93 references Received20.06.2012

RENSIT, 2012, 4(1):103-142_______________________________________________________________________________________

REFERENCES

1. Potapov AA. Fraktafi v radiofizike i radiolokatsii [Fractals in Radiophysics and Radiolocation]. Moscow, Logos Publ., 2002, 664 p.

2. Potapov AA. Fractafi v radofizfke i radiolokatsii: topologiya vybork [Fractals in Radiophysics and Radiolocation: topology of sample]. Moscow, Universitetskaya kniga Publ., 2005, 848 p.

3. Potapov АА. Fractaly, sleyling i drobnye operatory v obrabotke informatsii [Fractals, scaling and fractional operators in information processing] (Moscow scientific school of fractal methods in Kotel’nikov IREE RAS, 1981-2011). Works Сей. "."Irreversible processes in nature and technohgy”. Gorelik VS, Morozov AN (eds.). Moscow, Bauman MSTU&Lebedev PI RAS, 2012, IV:5-121.

4. Potapov AA. Application of the Fractal Theory and Scaling Effects during Processing of Low-Contrast Images and Super Weak Signals in the Presence of Intensive Noise. Proc. Int. conf. (EI Zababakhn Scientific Talks”(16-20 April, 2012, Russia, Snezhinsk, Chelyabinsk region). Snezhinsk, RFNC-VNIITF, 2012:311-312 (http://wwwvniit£ru/zst).

5. Potapov AA. Fraktal’ny metod i ego razvitie [Fractal method and its development] Proc. 17th intern, sci-techn, conf. «Problems of information transmission andprocessing in the networks and telecommunications systems», part 1, (Ryazan’, 6-8 may 2012). Ryazan’, RGTU Publ., 2012:3-5.

6. Potapov AA. FraktaTny metod i metod diobnykh proizvodnykh v sovremennom estestvoznanii [Fractal method and the method of fractional derivatives in modem natural sciences]. Proc. intern. sci conf. “Intellectual systems of decision making andtbprobkms of artificcidnteliige^ (ISDMCI2012j” (Evpatoriya, 27-30 may 2012!). Kherson, KhNTU, 2012397-401.

7. Potapov AA. Fraktal’ny metod i metod drobnykh integroproizvodnykh v estestvoznanii [Fractal method and the method of fractional integroderivatives in natural sciences]. Proc. 2th intern. russ.-ufig. symp. «Mixed type equation and related problems of analysis andinformatics» (Elbrus, 28 mai-01 june 2012). Nal’chik, KBNTs RAS Publ., 2012:222-225.

8. Potapov AA. Electrodinamika i tekhnika SVCh, KVCh i opticheskikh chastot. 2012, 17(1):106-121 (in Russ.).

9. Potapov AA. Polemicheskie zametki o kontseptsiyakh fraktal’nogo metoda i fraktal’nogo estestvoznaniya: priglashenie k diskussii o fraktal’noy paradigme [Polemical notes about the concepts of fractal method and fractal of natural history: an invitation to a discussion of the fractal paradigm]. Proc. 8th intern. conf. "Chaos and structures in nonlinear systems. Theory and experiment”. (Kazakhstan, Karaganda, 18-20 june 2012). Karaganda, KarGU Publ., 2012.

10. Potapov AA. Modeli teoreticheskoy fiziki na osnove fraktalov i drobnogo matematicheskogo analiza: fraktal’ny metod i fraktal’naya paradigma [Models of theoretical physics on the basis of fractals and fractional calculus: fractal method and fiactal paradigm]. Proc. intemyouth sci. school «Theoreticalphysics^>. (Voronezh, 26-27 june 2012). Voronezh, IPTs Nauchaya kniga Publ, 2012:17-24.

11. Potapov AA, Potapov VA Metody drobnykh operatorov i fractalov v issledovaniyakh radiosistem i volnovykh prozessov [Methods of fractional operators and fractals in studies of radiosystems and wave processes]. Proc intern. youth conf. ‘"The wave electronics and its applications in information and telecommunication systems” (Voronezh, 2 jule 2012). Voronezh, IPTs Nauchnaya kniga Publ., 2012:88-96.

12 Potapov AA. Fraktal’ny landshaft i gorizont v nauke [Fractal landscape and the horizonin science]. Procinternyouth conf. “Measurement, modelingandinformationsystems environmental studiel” (Voronezh, 3 jule 2012). Voronezh, IPTs Nauchnaya kniga Publ., 2012:149-167.

13. Potapov AA. Fractal Approach and Fractional Derivatives Approach in the Fractal Natural Science. Proc. PIERS-2012 ‘Progress in Electromagnetics Research Symp.” (19-23 Aug 2012, Moscow, Russia). Cambridge, MA, Electromagnetics Academy, 2012

14. Potapov AA. Paradigma fraktal’nosti i fraktal’ny metod v estestvoznanii [The paradigm of the fractality and fractal method in natural Sciences]. Proc. 3th intern. conf. ‘Mathematicalphysics and its applications” (Samara, 27 aug.- 1 sept. 2012). Corr-member RAS Volovich IV&prof Radaev YuN (eds). Samara, Kniga Publ., 2012.

15. Potapov AA. Fraktal’ny metod, fraltal’naya paradigma i metod drobnykh proizvodnykh v estestvoznanii [Fractal method, fractal paradigm and the method of fractional derivatives in the natural Sciences]. Proc. IX all-Russian conf. «Nonlinear oscillations of mechanical systems» named after Neymark YuI (N.Novgorod, 24-29 sept. 2012). N.Novgorod, Nizhny Novgorod branch of IMASh RAN, 2012.

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN NATURAL SCIENCES

REFLECTIONS 141

ON THE FRACTAL METHOD...

16. Wiener N. Ya — matematik [I am a Mathematician]. Moscow, Nauka Publ., 1964, 356 p.

17. Rickert H. Nauki o prirode i nauki o kulture [Kulturwissenschaft und Naturwissenschaft]. Gessen SI (ed.). StPetersburg, Obrazovanie Publ., 1911, 196 p.; Moscow, Respublika Publ.,1998, 413 p.

18. Bernal JD. Nauka v istorii obschestva [Science in history]. Moscow, IL Publ., 1956, 736 p.

19. Russell B. Istoriya %apadnoy filosifii [History of western philosophy]. Novosibirsk, NGU Publ., 1999, 815 p.

20. Bacon F. Oprintspakh i nachalakh [About principles (Ex principiis)]. Moscow, Sotsekgiz Publ., 1937, 80 p.

21. Bacon F. Sochineniya in 2 VV [Opera in II volumina]. Moscow, Mysl’ Publ., 1971, v 1, 590 p.; 1972, v 2, 582 p.

22. Tompson M. Filosofiya nauki [Philosophia Scientiarum]. Moscow, FAIR-PRESS, 2003, 304 p.

23. Popper KR. Logika i rost nauchnogo ynaniya [The logic of scientific discovery]. Moscow, Progress Publ., 1983, 605 p.

24. Popper K.R. Otkrytoe obschestvo i ego vragi [The Open Society and Its Enemies]. Moscow, Feniks Publ., 1992, v. 1, 448 p.; v. 2, 528 p.

25. Purver M. The Royal Society: Concept and Creation. London, Routledge and Kegan Paul, 1967, 262 pp.

26. Growther JG. Francis Bacon: The First Statesman of Science. London, Cresset Press, 1960, 362 pp.

27. Kuhn TS. Struktura nauchnykh revolutsiy [The Structure of Scientific Revolutions]. Moscow, AST Publ., 2003, 608 p.

28. Lakatos I. Dokazatel'stva i oproverzjoeniya. [Proofs and refutations]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 152 p.; Lakatos I. I%brannye proiyuedeniya po filosofii i metodologii nauki [Selected works of philosophy and methodology of science]. Moscow, Akad. proekt, Triksta Publ., 2008, 475 p.

29. Lakatos I. Fal’sifikatsiya i metodologiya nauchno-issledovatelskikh programm [Posted in phylosophy, phylosophy of science by aroundintelligence]. Moscow, Medium Publ., 1995, 236 p.; See also [27], 269-454 pp.

30. Feyerabend P. I%brannye trudypo metodologii nauki [Selected Papers on the methodology of science]. Moscow, Progress Publ., 1986, 542 p.

31. Feyerabend P. Protiv metoda. Ocherk anarkhistskoy teoriipoynaniya [Against Method. Outline of an anarchist theory of knowledge]. Moscow, AST; Khranitel’ Publ., 2007, 413 p.

32. Bunge M. Prichmnosf. Mesto printsipa prichinnosti v sovremennoy nauk [Causality. Location of the principle of causality in modern science]. Moscow, IL Publ., 1962, 512 p.

33. Poincare Jules Henri. O nauk [On Science]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 560 p.

34. Oldham KB, Spanier J. The Fractional Calculus. NY, Acad. Press, 1974, 234 p.

35. Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI. Integraly iproi%godnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilo%heniya [Integrals and derivatives of fractional order and some applications.]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1987, 688 p.

36. Nakhushev AM. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional Calculus and Its Applications]. Moscow, Fizmaylit Publ., 2003, 272 p.

37. Uchaykin VV. Metod drobnykh proi%vodnykh [The method of fractional derivatives]. Ulyanovsk, Artishok Publ., 2008, 512 с.

38. Potapov AA, Chernykh VA. Drobnoe ischislenie AVLetnikova v fi%ik fraktabv [A. Letnikov’s Fractional Calculus in the physics of fractals]. Saarbrucken, LAMBERT Acad. Publ., 2012, 688 p.

39. Potapov AA. O fraktaTnykh radiosistemakh, drobnykh operatorakh, skeylinge i ne tol’ka.. [On the fractal radio systems, fractional operators, scaling, and more...]. In: Fraktaty i drobnye operatory [Fractals and fractional

operators]. With a foreword Acad. Gulyaev YuV and Corr-Memb. RAS Nikkov SA Kazan’, FEN AN RT Publ., 2010, pp. 417-472.

40. Dajson F, Montroll E’, Kaz M, Fisher M. Ustoychivosf i fa%ovye perekhody (sbornik statey) [Stability and Phase Transitions]. Moscow, Mir Publ., 1973, 374 p.

41. Forster D. Gidrodinamicheskie fluktuatsii, narushennaya simmetriya i korrelyatsionnye funktsii [Hydrodynamic fluctuations, broken symmetry and correlation functions]. Moscow, Atomizdat Publ., 1980, 288 p.

42. Gel’fand IM, Shilov GE. Obobschennye funktsii i deystviya nad nimi [Generalized functions and operations on them]. Moscow, Fizmatlit, 1958, 440 p.

43. Frish U. Turbulentnoct. Nasledie AN Kolmogorova [Turbulence. The legacy of AN Kolmogorov]. Blank ML (ed.). Moscow, Fasis Publ., 1998, 346 p.

44. Shreder M. Fraktaly, khaos, stepennye %akony [Fractals, Chaos, Power Laws]. Borisov AV (ed.). Moscow-Izhevsk, NITs Reg. i khaotich. dinamika Publ., 2001, 528 p.

45. Gnedenko BV, Kolmogorov AN. Predel’nye raspredeleniya dlya summ neyavisimykh sluchaynykh velichin [Limit distributions for sums of independent random variables]. Moscow-Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1949, 264 p.

46. Gnedenko BV. Kurs teorii veroyatnostey [The course in probability theory], 9th edition, revised. Moscow, LKI Publ., 2007, 448 p.

47. Feller V. Vvedenie v teoriyu veroyatnostey i ee prilozheniya [Introduction to Probability Theory and its Applications]. Moscow, Mir Publ., 1967, v. 1, 500 p.; v 2, 752 p.

48. Zolotarev VM. Odnomernye ustoychivye raspredeleniya [One-dimensional stable distributions]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 304 p.

49. Peters E’. Khaos iporyadok na rynkakh kapitala [Chaos and order in the capital markets]. Transl. from Engl., Romanov AN (ed.). Moscow, Mir Publ., 2000, 334 p.

50. Bardu F, Buscho J-F, Aspe A, Koen-Tannujy K. Statistika Levi i lazernoe okhlazhdenie. Kak redkie sobytiya ostanavlivayut atomy [Levy’s Statistics and laser cooling. As a rare event stops the atoms]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 216 p.

51. Lasorenko OV, Potapov AA, Chernogor LF. Fraktal’nye sverkhshirokopolosnye signaly [Fractal ultrabroadband signals]. In: Information security: encryption methods. Book 7. With a pref. by acad. Kuznetsov NA Ed. Sukharev EM. Moscow, Radiotekhnika Publ., 2011, 151-187.

52. Descartes R. Sochineniya v2-kh tt [Works in 2th vol.]. Moscow, Mysl’ Publ., 1989, v 1, 654 p.; 1994, v 2, 633 p.

53. Gegel F. Sochineniya, vol. IV (Fenomenologiya dukha) [Phenomenology of Spirit (Phanomenologie des Geistes)]. Moscow, Izd. sots.-polit. lit. Publ., 1959, 487 p.

54. Khrustov GF. Teoriyjfakta [The theory of the fact]. Moscow, MGIMO-Univ Publ., 2005, 296 p.

55. Nalimov VV. Veroyatnostnaya model yazyka [A probabilistic model of language]. Tomsk-Moscow, Vodoley Publ., 2003, 368 p.

56. Nalimov VV. Oblik nauki [The appearance of science]. St/ Petersburg-Moscow, MBA Publ., 2010, 368 p.

57. Vopenka P. Alternatirnaya teoriya mnozhestv: novy vzglyad na beskonechnost [Alternative set theory: A new look at infinity] Transl. from Slovak., Belyakin NV (ed.). Novosibirsk, In-t matematiki Publ., 2004, 612 p.

58. Dobrov GM. Nauka o nauke. Vvedenie v obschee naukovedenie [The science of science. Introduction to the general science of science]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1970, 320 с.

59. Ocherki i rechi akademika Vernadskogo [Essays and Speeches Academician Vernadsky]. Petrograd, Nauch. khim.-tekhn. Publ., 1922, issue I, 157 p.; is. II, 123 p.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 1

142

POTAPOV A.A.

FRACTALS & FRACTIONAL CALCULUS IN NATURAL SCIENCES

60. Volterra V. Matematicheskaya teoriya bor’by %a suschestvovanie [The mathematical theory of the struggle for existence]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 286 p.

61. Volterra V. Teoriya funktyionakv, integral’nykh i integro-dfferentsial’nykh uravneny [The theory of functionals and of integral and integro-differential equations]. Moscow, Nauka Publ., 1982, 304 p.

62. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables. Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 226 pp.

63. Erofeev VI. Vychislitel'>naya mekhanika sploshnykh sred. 2009, 2(4):5-10 (in Russ.).

64. Erofeev VI, Potapov AA. Nehnynymir. 2009, 7(8):652-654 (in Russ.).

65. Maugin GA, Metnkine AV. (eds.). Mechanics of Generalized Continual One Hundred Years after the Cosserats. New York, Springer, 2010, 337 p.

66. Altenbach H, Erofeev V, Maugn G (eds.). Mechanics of Generalized Contrnrn —from MicromechanicalBasics to EngineeringApplications. NY, Springer; 2011, 350 p.

67. Potapov AA, Gulyaev YuV Nikitov SA, Pakhomov AA, German VA Noteyshie metocfy obrabotki. izobrazheniy [The latest methods of image processing]. Potapov AA (ed). Moscow, Fizmatlit Publ., 2007, 496 p.

68. Medvedev FA. Ocherki istorii teorii funktsiy deystvitel’nogo peremennogo [Essays on the history of the theory of functions of a real variable]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 248 p.

69.Saks S. Teoriya integrab [The theory of integral]. Moscow, IL Publ., 1949, 496 p.

70. Yaglom AM. Korrelyatsionnaya teoriya statsionarnykh sbchaynykh funktsiy [Correlation theory of stationary random functions]. Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1981, 280 p.

71. Podosenov SA, Potapov AA, Sokolov AA. Impul’snaya elektrodinamika shirokopolosnykh radiosistem i polya svyazannykh struktur [Pulse electrodynamics of wideband radio systems and fields of corresponding structures]. Potapov AA (ed.). Moscow, Radiotekhnika Publ., 2003, 720 p.

72. Mach E’. Mekhanika. Ist-kritich. ocherk ee razyitiya [Mechanics. The hist-critical essay of its development]. StPetersburg, Publishers Association «Society and the benefits», 1909, 448 p.; Izhevsk, Izhevsk Republican printing-house, 2000, 456 p.

73. Mach E’. Poznanie i zabluzhdenie. Ocherki po psikhohgii issledovaniya [Cognition and misleading. Essays on the Psychology Research]. Moscow, S.Skirmunt Publ., 1909, 471 p.; Moscow, Binom. Laboratoriya znaniy Publ., 2012, 456 p.

74. Mach E’. Analizoschuscheny i otnosheniefiyicheskogo rpsikhicheskomu [Analysis of Sensations and attitude of the physical to the mental]. Moscow, S.Skirmunt Publ., 1908, 308 p.; Moscow, ID Territoriya buduschego Publ., 2005, 304 p.

75. Mach E’. Populyarno-nauchnye ocherki [Popular-scientific essays]. StPetersburg, Obrazovanie Publ., 1909, 340 p.

76. Mach E’. Printsip sokhraneniya raboty. Istoriya i koren’ ego [The principle of conservation work. The history and the root of it.]. StPetersburg, Obrazovanie Publ., 1909.

77. Vladimirov YuS. Prostranstio-vremya: yavnye i skrytye razmernosti [The space-time: evident and hidden dimensions]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 192 p.

78. Bogdanov AA. Chego iskaf russkomu chitatelyu u E.Makha? [What to look for Russian readers with Ernst Mach?]. See [74], pp. 31-38.

79. Foucault Michel. Slova i veschi. Arkheologiya gumanitarnykh nauk [Words and things. Archaeology of the human Sciences]. StPetersburg, A-cad Publ., 1994, 405 p.

80. Foucault M. Arkheologiya znaniya [Archeology of knowledge]. StPetersburg, ITs Gumanitarnaya akademiya Publ., 2012, 408 p.

81. Foucault M. Germenevtika sub’ekta: kurs lektsiy, prochitannykh v Kolezh de Frans v 1081-82 uch. g. [Hermeneutics of the subject: the Course of lectures delivered at the College de France in 1981-82 acad. g.]. StPetersburg, Nauka Publ., 2012, 677 p.

82. Voronoff SA. From Cretin to Genius. NY, Alliance Book Corpora, 1941, 281 p.

83. Lewis J. Nauka, vera i skeptitsizm [Science, Faith and Scepticism]. Moscow, Progress Publ., 1966, 232 p.

84. Bunge M. Filosofiya fiziki [Philosophy of Physics]. Moscow, Progress Publ., 1975, 350 p.

85. Leonardo da Vinci. Izbrannue estestvennonauchnyeproizgedeniya [Selected scientific works]. Moscow, AN SSSR Publ., 1955, 1027 p.

86. Hadamard Jacques. Issledovanie psikhohgiiprotsessa izobreteniya v oblasti matematiki [The Psychology of Invention in the Mathematical Field]. Moscow, MTsNMO Publ., 2001, 128 p.

87. Bunge M. Intuitsiya i nauka [Intuition and science]. Moscow, Progress Publ., 1967, 188 p.

88. Poincare H, Couturat L. Matematika i hgika [Mathematics and logic]. Moscow, LKI Publ., 2010, 152 p.

89. Whewell W. Istoriya induktivnykh nauk ot drevneyshego i do nastoyaschego vremeni v 3th vv. [History of the Inductive Sciences, from the Earliest to the Present Time]. StPetersburg, Russkaya knizhnaya torgovlya Publ., v I, 1867, 590 p.; v II, 1867, 814 p.; v III, 1869, 912 p.

90.Singer Ch. (ed.). Studies in the History andMethod of Science. V 2. Oxford, Clarendon Press, 1921, 559 p.

91. Otchetny dokladPrezidiuma RAN. Nauchnye dostizheniya RAN in 2007. [The report of the Presidium of the Russian Academy of Sciences. Scientific achievements of the RAS]. Moscow, Nauka Publ., 2008, 204 p.

92. Otchetny dokladPrezidiuma RAN. Nauchnye dostizheniya RAN in 2009. [The report of the Presidium of the Russian Academy of Sciences. Scientific achievements of the RAS]. Moscow, Nauka Publ., 2010, 486 p.

93. Otchetny dokladPrezidiuma RAN. Nauchnye dostizheniya RAN in 2011. [The report of the Presidium of the Russian Academy of Sciences. Scientific achievements of the RAS]. Moscow, Nauka Publ., 2012, 620 p.; see also: Goklad Pravitelstvu RF Ob itogakh realizatsii v 2011 godu Programmy fundamental’nykh nauchnykh issledovaniy gosudarstvennykh akademiy nauk na 2008-12gg [Report to the Government of the Russian Federation. On the results of the implementation in 2011, the Program of fundamental scientific research of the state academies of Sciences for 2008-2012]. In 3th w Moscow, Nauka Publ., 2012, 1015 p. (see p. 242).

1 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ