CC BY
60
УДК 681.5
РАЗМЕЩЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДОМИНИРУЮЩИХ ПОЛЮСОВ ИНТЕРВАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ОБЕСПЕЧЕНИЕМ ЗАДАННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА
С.В. Замятин
Томский политехнический университет E-mail: zamsv@aics.ru
Рассматривается система управления с интервально-заданными параметрами. В коэффициенты характеристического полинома данной системы входят интервально-заданные и настраиваемые параметры. Предлагается подход, позволяющий расположить области локализации доминирующих полюсов интервальной системы с обеспечением требуемых корневых показателей качества и локализовать остальные ее полюса в заданной области комплексной плоскости.
1. Введение
Важной задачей, решаемой при проектировании систем автоматического управления, является задача обеспечения требуемого качества переходных процессов, которое зависит от расположения полюсов замкнутой системы. Также известно, что динамические свойства системы определяются только ее двумя-тремя доминирующими полюсами [1]. Для стационарной системы решение задачи размещения доминирующих полюсов в заданных точках комплексной плоскости рассматривается в работах [2, 3]. В [3] рассматривается возможность не только обеспечивать требуемое положение назначаемых доминирующих полюсов, но и размещать остальные (свободные) полюсы в желаемой области.
Так как большинство реальных систем автоматического управления имеют интервальные параметры, то представляет интерес определение настраиваемых параметров с целью получить гарантированные показатели качества интервальной системы. Если передаточные функции систем содержат полиномы с интервальными коэффициентами, то согласно [4] они классифицируются как линейные интервальные динамические системы (ЛИДС). Решение задачи размещения полюсов систем с интервальными полиномами рассматривается в ряде работ [5, 6]. Однако предлагаемые в этих работах методы синтеза регуляторов предусматривают, что все компоненты вектора состояния должны быть доступны для измерения. В этой связи представляет интерес робастное расширение подхода, предложенного в [3] и позволяющего для решения поставленной задачи использовать линейный динамический регулятор по выходу. Желаемое размещение доминирующих и свободных полюсов предполагает, что области их локализации не должны выходить за допустимые границы, определяющие колебательность и запас устойчивости системы при любых значениях интервальных параметров.
2. Постановка задачи
Характеристический полином ЛИДС может быть представлен в виде
где р — оператор Лаплас—а, — - вектор интервальных параметров системы, к - вектор настраиваемых параметров регулятора, линейно входящих в коэффициенты полинома (1), а,■ - коэффициенты полинома (1), вычисленные в соответствии с правилами интервальной арифметики (далее будут рассматриваться как независимые).
Необходимо выбрать такие значения параметров к, /=1,2,...,г, чтобы при возможных вариациях интервальных коэффициентов полинома (1) обеспечивались требуемые колебательность и запас устойчивости ЛИДС, а свободные полюсы были локализованы в заданной области.
Так как в выражение (1) входят интервальные коэффициенты, то оно соответствует семейству полиномов. Очевидно, что применение методики [3] к каждому полиному этого семейства невозможно. Поэтому желательно найти условия, позволяющие судить о показателях качества ЛИДС по одному полиному. Поставленная задача разделяется на две:
1. Выделение из заданного семейства полиномов одного полинома Ль(р), корни которого будут гарантированно определять максимальную колебательность и минимальный запас устойчивости интервальной системы.
2. Размещение корней найденного полинома желаемым образом (с соблюдением принципа доминирования).
3. Анализ областей расположения свободных полюсов
Пусть т полюсов р, g=1,m, полинома (1) лежат левее полюса р0. Обозначим через 0г угол между вещественной осью и вектором, направленным к полюсу р0 от полюсаре (рис. 1).
Пусть т=2, р12=-а1±/'^1, р0=-а2+/'в2. Используя тригонометрические соотношения, получим
g = arcctg
g=i
(a i —а 2) - (Р2 -А) 2А (а-а2)
(2)
R( p ) = £а,. (к ,q )p',
(1)
Обозначим через С. На основании (2)
8 =1
построим на плоскости корней область свободных
i=0
Естественные науки
полюсов, соответствующих С, которые меньше некоторого фиксированного значения, рис. 2.
Рис. 1. Расположение полюсов и нулей при m=2
В (2) a принимает максимальное значение при ß=0 и является монотонно убывающей функцией от С, следовательно, области, располагающиеся левее, будут иметь меньшее значение С. Поэтому для того, чтобы обеспечить доминирующее расположение корней, далее будем рассматривать такие наборы коэффициентов (1), при которых минимальное значение С=0. Область, соответствующую данному интервалу значений С, обозначим через S0.
Далее будем рассматривать только эту область, минимальное значение С, соответствующее этой области, обозначим min С, а максимальное - maxC.
Уравнение прямой d (рис. 2), параллельной мнимой оси, левее которой всегда располагается S0, определяется из выражения:
ß2
max C = m • arctg
v d -a2 j
(3)
Рис. 2. Область расположения свободных полюсов
4. Определение вершинного полинома для вычисления настраиваемых параметров
Для вычисления настраиваемых параметров к, /=1,2,...,г требуется выделить полином Ль(р), корни которого определяют наихудшие показатели качества всего заданного семейства полиномов (1). Для этого воспользуемся фазовыми соотношениями углов выхода ветвей корневого годографа [7]. Угол выхода из комплексного корня при увеличении интервального коэффициента а1 находится по формуле
0f =п-
I®«+П
+ г® о.
а при уменьшении как
I®«+п
V «=1 2.
+г ® 0,
(4)
(5)
где ©8 и ©о - углы между вещественной осью и векторами, направленными к полюсу р0 от £-ого полюса и от /-ых нулей с координатами (0/0), соответственно. Величина п добавлена в связи с учетом
корня, комплексно-сопряженного р0. Значение
т
8 по коэффициенту а1 обозначим через С..
8=1
На основании (4) и (5), получим условие для углов выхода корня, определяющего максимальную колебательность и минимальный запас устойчивости.
Условие: для того, чтобы корень, соответствующий некоторому вершинному полиному, определял максимальную колебательность и минимальный запас устойчивости области его локализации, необходимо, чтобы векторы, задающие углы выхода данного корня по всем параметрам а, /=0,п, бы-
ли направлены внутрь сектора Г е т. е. выполнялось условие:
®0,
3п
® о < г® о - (С + п) + Q< П
рис. 3,
(6)
где 0=0,п в зависимости от того, увеличивается или уменьшается интервальный параметр.
Рис. 3. Направление векторов углов выхода
Из условия (6) видно, что при заданном ©0 на величину угла выхода ©? будет влиять только значение С., причем при его увеличении величина угла выхода ©? будет уменьшаться. Условие (6) выполняется для ©.?=©() только при С.=шахСг. Из (4), (5) получим
®0 = i® 0 - (max С + п) + Q,
тогда
max С =®0(i-1)+ Q.
(7)
Условие (6) выполняется при ©? = , только для С.=штСг, тогда из (4), (5) получим
min С = (©„ +Q.
(8)
Для того, чтобы свободные полюсы располагались в S0, необходимо, чтобы minC=0. Из (7) и (8) видно, что maxC; может отличаться от minC; не больше, чем
на 3п-©0, тогда maxC. е[0;3п-@0]. Отсюда получим условия формирования полинома Rb(p).
Если
©о(/ -1) е
то
max Сг =©о(/-1)-п,
и значение коэффициента at = max at = at. Если
©о( (- 1)е (-fn-© о),
то
max С =©о( (-1) + п,
и значение коэффициента a( = min at = at.
Тогда для определения области и набора коэффициентов полинома требуется определить наименьшее значение maxC; при всех (=о,п и пределы соответствующих коэффициентов. Следует отметить, что если
©0(/ -1) г (|;-© 0) п (- о),
то при выполнении принципа доминирования, области локализации доминирующих корней не могут размещаться в заданном секторе.
5. Методика размещения полюсов
На основании проведенных исследований разработана следующая методика размещения полю-
сов линейной интервальной динамической системы в заданном усеченном секторе.
1. Задаются желаемые координаты доминирующих полюсов ЛИДС, определяющие ее максимальную колебательность и минимальный запас устойчивости.
2. Из условия формирования полинома Яь(р): определяется минимальное значение шахС; (соответствующее ©0, координатам доминирующих полюсов и степени полинома) и соответствующий набор пределов коэффициентов полинома Д,(р).
3. На основании (4) определяется уравнение прямой й, левее которой гарантированно располагается £0.
4. Полином (2) приводится к виду
X к,Л, (р) + В (р) = 0.
,=1
5. Согласно методике [3] определяются настраиваемые параметры, обеспечивающие желаемое расположение корней полинома Яь.
6. Проверяется расположение областей локализации доминирующих и свободных полюсов интервальной системы с найденными настройками. В случае выхода областей за заданные границы следует увеличить число настраиваемых коэффициентов.
Заключение
Предложенный подход позволяет размещать области локализации доминирующих полюсов интервальной системы с гарантированными корневыми показателями качества, а ее свободные полюса - в соответствии с принципом доминирования на основе выполнения фазовых соотношений метода корневого годографа. Возможность выделения из семейства только одного полинома, гарантирующего желаемую динамику интервальной системы, позволяет применять к таким системам методы, разработанные для стационарных систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Райцын Т.М. Синтез систем автоматического управления методом направленных графов. - Л.: Энергия, 1970. - 96 с.
2. Скворцов Л.М. Интерполяционный метод решения задачи назначения доминирующих полюсов при синтезе одномерных регуляторов // Известия РАН. Теория и системы управления. -1996. - № 4. - С. 10-13.
3. Вадутов О.С., Гайворонский С.А. Решение задачи размещения полюсов системы методом D-разбиения // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2004. - № 5. - С. 23-27.
4. Гусев Ю.М., Ефанов В.Н. Крымский В.Г., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез линейных интервальных динамических си-
стем (состояние проблемы) // Техническая кибернетика. -1991. - № 1. - С. 3-23.
5. Хлебалин Н.А. Синтез интервальных регуляторов в задаче модального управления // Аналитические методы синтеза регуляторов. - Саратов: Саратовский политех. ин-т, 1988. - С. 26-30.
6. Захаров А.В. Шокин Ю.И. Синтез систем управления при интервальной неопределенности параметров их математических моделей // Доклады АН СССР. - 1988. - Т. 299. - № 2. -С. 292-295.
7. Удерман Э.Г. Метод корневого годографа в теории автоматического управления. - М.: Наука, 1972. - 448 с.
