Разложение sl(3, c) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.7

РАЗЛОЖЕНИЕ ^(3, С) В ПРЯМУЮ СУММУ ПОДАЛГЕБР ЛИ КАК ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

© 2007 Е.И.Коновалова1

В работе получена классификация всех разложений алгебры Ли в1(3, С) в сумму двух пространств таких, что каждое из них является подалгеброй Ли. Классификация реализована с точностью до действия группы автоморфизмов. Решение сформулированной задачи дает классификацию решений MYBE для 81(3, С), представимых как разность двух проекторов.

Введение

Определение 1.1 Будем говорить, что подалгебра f сопряжена подалгебре f, если существует ф е Aut(s\(3, С)) такой, что f = ф^').

Пусть имеется два разложения алгебры sl(3, С) в прямую сумму двух подалгебр как линейных подпространств: s\(3, С) = gi + g2, s\(3, С) = g + g2,. Во избежание двойного пересчета везде далее будем считать, что dim gi ^ ^ dim g2 (dim gi ^ dim g2,).

Определение 1.2 Будем говорить, что два разложения сопряжены, если существует Ф е Aut(s\(3,С)) такой, что Ф^О = gi и Ф^2) = g2>.

Основная цель работы — получить классификацию разложений s\(3, С) в прямую сумму двух подалгебр как линейных подпространств с точностью до сопряжения. Решение этой задачи дает классификацию решений Модифицированного уравнения Янга-Бакстера (MYBE), представимых как разность 2-х проекторов [1].

Основной результат сформулирован в теореме 2.5. Доказательство теоремы вытекает из утверждений 2.2-2.4.

Будем пользоваться следующими обозначениями: g = s\(3, С), G = = SL(3, С), A = Aut(g), gx = {y е g : [y, x] = 0} — централизатор элемента x в алгебре g, Gx = {g е G : Adg(x) = x} — централизатор элемента x в группе G, Normg(K) = {x е g : [x, K] с K} — нормализатор подпространства K алгебры g, NormAk = {g е A : gkg-1 с k} — нормализатор подалгебры k в группе A,

1 Коновалова Елена Игоревна ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

{еу}3у=1 - стандартный базис в §1(3, С), к 12 = еп -в22, к 13 = еп -въъ, ¿23 = ^22 -—в33, [) —подалгебра Картана, п± — подалгебра верхне (нижне) треугольных нильпотентных матриц, Ь± — подалгебра верхне (нижне) треугольных матриц (подалгебра Бореля), т = Сев + Св23 —нильпотентная подалгебра, А = = Ск12 + Се12 + Се21 и А = Ск13 + С(е12 + е23) + С(е21 + е32) — полупростые

— подалгебра, сопряженная

р' относительно внешнего автоморфизма, р = 6 + + в21 —параболическая подалгебра, р = Ь++ 632 —параболическая подалгебра, сопряженная р относительно внешнего автоморфизма, Е — единичная матрица, Е' — матрица с единицами по побочной диагонали.

/ * * * ' * * 0 s

подалгебры, p' = * * * , p' = * * 0

, 0 0 0 , ч * * 0 ,

1. Классификация подалгебр sl(3, С)

из

Классификация подалгебр sl(3, С) с точностью до сопряжения вытекает [2] и может быть сформулирована в виде предложения: Предложение 1.1. Всякая подалгебра f с sl(3, С), dim f ^ 2 сопряжена в смысле определения 1.1 одной из следующих подалгебр:

h.

f2 = С(Й12 - k23) + Св13.

m = Ce13 + Ce23.

f2 = С(в12 + ^23) + Св13.

2

= С(Х1вц + "к2е22 + ~^3е33) + Се137 для некоторых Х,, таких что Х ф Ху, = 0, две подалгебры вида сопряжены, если два набора (Х1, Х2, Х3) отличаются ненулевым множителем или если два набора симметричны относительно Х2.

1 1 0

' + Св13.

f4 = с

1 о

0 -2

7.

8.

9.

10. 11.

12. 13.

f2 = C(hn + k23) + CeB. f2 = Ck13 + С(в12 + e23).

A = Ck12 + Ce12 + Ce21.

A; = Ck13 + C(e12 + e23) + C(e21 + e32).

n+ — подалгебра верхнетреугольных нильпотентных матриц. ' 11 0

f1 = m + С

0 1 о 10 0 -2 ,

f3 = m + Ck0, где k0 е h, k0 * 0. 13.

14. f3 = h + Ce

15. f3 = C(e12 + e23) + Ce13 + Ck13. i4

16. f4 = h + Ce12 + Ce21.

17. f4 = m + h.

18. f3 = n+ + Оо, для некоторого ho е h, ho Ф 0.

»3

19. b

20. p'.

21. p —параболическая подалгебра.

2. Разложениие 81(3, С) в прямую сумму двух подалгебр

Изложим общую схему класификации. Пусть щ одна из подалгебр из формулировки предложения 1.1, такая что щ ^ 4.

Определение 2.1. Подалгебру 02 назовем дополнительной к если щ + +Й2 = 81(3, С).

Обозначим через Х01 множество дополнительных подалгебр к щ. Разобьем задачу классификации на следующие две задачи: Задача Л. Выяснить для каких щ множество Х01 пусто. Если Х01 Ф 0 дать описание Х01.

Задача В. Обозначим через Л01 = Nогтлщ. Описать орбиты присоеди-

ненного действия Afl1 : XSi

•X,

0i •

Множество пар (gi,g2), где gi —одна из подалгебр теоремы 2.1 размерности меньше 5, а g2 —представитель A01 -орбиты в X01, является полным списком всех разложений g = gi + g2, dim gi ^ g2 с точностью до сопряжения.

Размерность подалгебры gi может быть равна 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Случай 1. dim gi = i. Из предложения 2.1 следует, что у алгебры g нет подалгебр размерности 7, следовательно, разложение g = gi + g2, где dim gi = i, dim g2 = 7 невозможно.

Случай 2. Пусть dimgi = 2, dimg2 = 6. Утверждение 2.2. Пусть gi и g2 —две подалгебры s\(3, С), dim gi = 2, dim g2 = 6, s\(3, С) = gi + g2 - прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Утверждается, что:

A. Для всякой подалгебры gi, dim gi = 2, множество Xgl не пусто.

B. Для всякой подалгебры gi, dim gi = 2, кроме подалгебры сопряженной f^,

: X0

X

0i •

существует ровно одна орбита присоединенного действия Agj : Если подалгебра gi сопряжена f4 существуют две орбиты присоединенного действия на Xgl.

C. Пусть gi, g2, dim gi = 2 две подалгебры такие, что s\(3, С) = gi + g2. Тогда пара (gi,g2) сопряжена одной из следующих пар:

1. gi = h, g2 = TpT i, где T =

i 0 0 0 i 0 i i i

2. gi = f2 = С(^2 - h23) + С^13, g2 = TpT-i, где T =

0 1 1 0 1 0 1 0 0

3. gi = f3 = + "k2e22 + ^э^ээ) + Cei37 для некоторых Хг-, таких что Хг- ^ X,-

0 i i "

g2 = TpT- i, где T = 0 i 0

I i 0 0 J

4. gi = m g2 = TpT- i, где T = E'

' i i 0

5. gi = f2 =С 0 i 0 + Cei3, g2 = TpT-i, где T = E'.

I 0 0 -2 J

' i i 0 J ' 0 0 iJ

6. gi = f2 =С 0 i 0 + Cei3, g2 = TpT-i, где T = i i 0

I 0 0 -2 J I i 0 0 J

' i 0 0 J ' 0 0 i J

7. gi = f5 =С 0 i 0 + Cei3, g2 = TpT-i, где T = i i 0

I 0 0 -2 J I i 0 0 J

gi = f6 = ChB + C(ei2 + е2э), g2 = TpT-i, где T =

i 0 i 0 i 0 i 0 0

Доказательство.

Пункт А. Пусть gi = h, g2 сопряжена параболической подалгебре p. Подалгебра g2 Ла^цэ,С)-сопряжена p или p. Поскольку h инвариантна относительно внешнего автоморфизма F(X) = -X (X е SL(3, С), X —транспонирование относительно побочной диагонали), то можно считать, что g2 сопряжена относительно SL(3, С) подалгебре p. То есть g2 — стабилизатор двумерного подпространства: g2 = stabW, где W с С3, dim W = 2. Пусть W =

базис W. Обозначим через Mi2 = плюккеровы координаты W.

0i bi 0i bi

< 02 , b2 >, где 02 , b2

ч 03 j ч b3 J 4 °3 j 4 b3 j

oi bi a2 b2

, Mi3 =

oi bi

03 b3

M23 =

02 b2 03 b3

Для разложения в прямую сумму g = h + stabW необходимо и достаточно, чтобы h n stabW = {0}. Пусть h е h n stabW: h = diag(a, в, у),

е W. Следовательно,

a0i ' abi N

где a + в + Y = 0 и в02 е W, вЬ2

4 Y03 j 4 Yb3 j

= 2 и MJ23 = Mj|3 = 0. Раскладывая миноры по

ai bi aai abi rank a2 b2 ва2 Pb2

, 03 b3 703 yb3

последнему столбцу и учитывая, что h е h, получаем систему однородных уравнений:

a0iM23 - p02Mi3 + у03Mi2 = 0, abiM23 - pb2Mi3 + yb3Mi2 = 0, a + в + у = 0.

Эта система имеет только нулевое решение (а = в = Y = 0) тогда и только

тогда, когда определитель системы отличен от нуля:

a1M23 -a2M13 a3M12 Ъ1M23 -b2M13 b3M12 1 1 1

= -M12 ■ M23 ■ M13 Ф 0.

Следовательно, stab^ П h = {0} тогда и только тогда, когда

M12 Ф 0, M23 Ф 0, M13 Ф 0.

(1)

Пункт В. 01 = [)•

Обозначим через = ^ е БЬ(3, С)|Лё§^ с &}, /(X) = X е БЬ(3, С). Тогда

ль = и • /.

Дополнительная подалгебра д2 сопряжена относительно Лц подалгебре

stab Ж, Ж =

/ л \ a1 Г Ъ1

a2 , Ъ2

, a3 , ч Ъ3 ,

с условиями (1). Покажем, что все подпростран-

ства, удовлетворяющие (1), сопряжены относительно Gц.

Можно считать, что Ж =

' 1 " 0

0 , 1

ч a3 , ч Ъ3 ,

где a3, Ъ3 Ф 0. Элемент g =

х11 0 0 0 Х22 0

0 0 Х33

Х11 0

a3 Х33

принадлежит G^, тогда

М„Х(Ж) =

0

Х22 a3 Х33

1

0

„ *зз v a3— /

0 1

и *33

v /

Пункт С. Можно найти g е Л^ такой, что ( 1 ^( 0 ^ / 10 \

g(stаbЖ) = 81аЫ 0,1). Следовательно, пара Й2) сопряжена паре 11

( 1 ^ ( 0 ^ (&, stab| 0,1 11

Аналогично для 01, равной одной из подалгебр размерности 2 из предложения 1.1.

Случай 3. dimg1 = 3, dimg2 = 5. Утверждение 2.3. Пусть g1 и g2 —две подалгебры sl(3,С), dimg = 3,

dim g2 = 5, sl(3, С) = g1 + g2 — прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Утверждается, что:

A. Для всякой подалгебры g1, dimg = 3, множество Xg1 не пусто.

B. Если подалгебра g1 сопряжена n+ или A, то существует одна орбита присоединеного действия Ag1 : Xg1 ^ Xg1. Для всех остальных подалгебр g1, dim g1 = 3, существует две орбиты присоединенного действия на Xg1.

C. Пусть g1, g2, dimg = 3, две подалгебры такие, что sl(3,С) = g + g2.

Тогда пара (51,52) сопряжена одной из следующих пар: 1 1 0

1. ш = |3 = т + с

й1 = |2 = т + С

0 1 0

0 0 -2 ) а0 0 0 0 р0 0 0 0 Yo

52 = р'

Yo * 0, 52 = р'.

5. Й1 = Л = ь + Се1э, 52 = Тр'Т-1, где Т =

4. 51 = Й = СЙ13 + С

3. 51 = А, 52 = Т Ь+Т 1, где Т =

0 1 0 0 0 1 ,0 0 0,

5. 51 = п+, 52 = ТЬ+Т-1 = Ь-, где Т = Е'.

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 0

1 0 0

1 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 1

0 1 1

0 1 0 1 0 0

' -1

+ С^13, 52 = Тр'Т-1, где Т = Е'

7. 51 = А, 52 = Т Ь+Т-1, где Т =

51 = , 52 = Т Ь+Т-1, где Т =

9. 51 = % = т + С

10. 51 = = т + С

1 1 0 0 1 0 0 0 -2 , а0 0 0 0 р0 0 ,00 Yo

52 = ТЬ+Т-1 = Ь-, где Т = Е'.

а0 * Р0, 52 = ТЬ+Т 1, где Т =

11. 51 = Л3 = Ь + Се 13, 52 = ТЬ+Т-1, где Т =

12. 51 = = О13 + С

0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 0 0

-1

0 1 0 0 1 0 1 0 1

+ Се13, 52 = ТЬ+Т-1, где Т =

0 1 1 0 1 0 1 0 0

Доказательство.

Пункт А. Пусть 51 = п+. Как следует из классификации подалгебр, 52 сопряжена либо р', либо Ь+. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

1. Пусть 52 сопряжена р'. Подалгебра 52 Ла^Ц3,С)-сопряжена р' или р'. Поскольку п+ инвариантна относительно внешнего автоморфизма Е(Х) = = -XX (X е БЬ(3,С)), то можно считать, что 52 сопряжена относительно БЬ(3,С) подалгебре р'. То есть 52 определяется условиями:

1) fl2 = stab Ж, где Ж — двумерное подпространство С3: Ж=<

/ Л \ a1 Ъ1

a2 Ъ2 >

(a3 , (Ъ3 ,

2) р*(Ж±) = 0, где р — естественное представление 02 в С3 = V, Ж± = = (Л е V*|l|w = 0).

Условие 1) является следствием условия 2).

Для разложения в прямую сумму 0 = п+ + 02 (подалгебра 02 Л^цз,С)-со-пряжена р') необходимо и достаточно, чтобы п+ П 02 = (0).

0 ар

Возьмем произвольный элемент п =

0 0 у 0 0 0

е n+.

Условие р*(Ж±) = 0 можно записать в виде V • п = 0, где V из Ж1- представлен (1 X 3)-строкой, знак '•'—произведение матриц. Это условие равно-

0 ар 0 0 у .0 0 0.

жения матриц получаем однородную систему относительно (а, р, у):

сильно уравнению (M23, -M13,M12) ■

= 0, после выполнения умно-

aM23 = 0, PM23 - YM13 = 0.

(2)

Эта система всегда имеет ненулевое решение, поэтому g1 П g2 Ф {0}, следовательно, разложение sl(3, С) в прямую сумму подалгебр, сопряженных n+ и p' невозможно.

2. g1 = n+, g2 сопряжена b+, тогда g2 — это стабилизатор флага Flag =

( a1 4

= {Ж1 с Ж, где dim Ж1 = 1, dim Ж = 2}, Ж1 =< a2

4 a3

a1 Ъ1 a1 Ъ1

Ж =< a2 Ъ2 >, где a2 Ъ2 — базис Ж.

( a3 , ( Ъ3 , ( a3 , ( Ъ3 ,

Для разложения в прямую сумму g = n+ + g2 (подалгебра g2 сопряжена b+) необходимо и достаточно, чтобы n+ П g2 = {0}.

( 0 ар N

Возьмем элемент n е n+ П g2: n = 0 0 у , n е stabЖ1, n е stab Ж.

( 0 0 0 ,

Для того чтобы n е stabЖl необходимо и достаточно выполнение следующей системы:

a2(aa2 + Pa3) = 0,

a3(aa2 + Pa3) = 0, (3)

ya3 = 0.

Дальнейшие рассуждения разделим на два случая:

а) a3 = 0, тогда система (3) равносильна < а^ Заметим, что n е stab Ж

I aa2 .

тогда и только тогда, когда Г0пк

= 2, что равносильно

01 bi ab2 + вЬ3

02 b2 Yb3 0 b3 0

выполнению уравнения: b3^0i - в02) = 0. Это уравнение имеет ненулевое решение (a, в, Y), поэтому в этом случае n+ П g2 Ф {0};

( Y = 0,

б) 03 Ф 0, тогда система (3) равносильна < 03 Ф 0, Элемент п при-

[ a02 + в03 = 0.

0i bi ab2 + вЬ3

надлежит stabW тогда и только тогда, когда rank 02 b2 0 = 2,

03 b3 0

что равносильно (ab2 + вbз)M2з = 0. Если M23 = 0, то n+ П g2 Ф 0, иначе

ab2 + вЬ3 = 0, a02 + вa3 = 0.

имеет только нулевое решение, следовательно, n+ П g2 = {0} тогда и только тогда, когда 03 Ф 0 и M23 Ф 0.

Окончательно получаем, что sl(3, С) = n+ +g2 тогда и только тогда, когда выполнены условия:

03 Ф 0, M23 Ф 0. (4)

имеет место система:

Поскольку M23 Ф 0, то эта система

Пункт В-C. gi = n+.

Обозначим через Gn+ =

, XiiX22X33 = U, F(X) = -X, X е

Xii Xi2 Xi3

0 X22 X23 0 0 X33 SL(3, С). Тогда An+ = Gn+ U Gn+ • F.

Дополнительная подалгебра g2 сопряжена относительно An+ подалгебре stabFl0g, Fl0g = {Wi с W} с условиями (4). Покажем, что все подпространства, удовлетворяющие (4), сопряжены относительно Gn+.

Можно считать, что Wi =

\ / 0i bi

02 , W = 02 , i

I i J / \ I i J I 0 J

Элемент gi =

Adgi(W) =

Xii Xi2 Xi3 0 X22 X23 0 0 X33

, XiiX22X33 = i принадлежит Gn+, тогда

ai Xii + 02 Xi2 + Xi3 02 X22 + X23 X33

bi Xii + Xi2 X22 0

( л. X11

X12 , X13 \

a 1— + a2— + —

i X33 2 X33 X33 X22 , X23

Cti--1--

2 X33 X33

/ h £11 . £12 \

1 X22 X22 i

Можно найти g е An+ такой, что g(stabWi) = stab

0 0 i

, g(stabW) =

0

i

stab <

0 0

0 , 1

11J 1 0 J

. Следовательно, An+ имеет в Xn+ одну орбиту и пара

(п+, д2) сопряжена паре (п+, Т6+Т !)=(п+, Ь-), где Т = Е'.

Аналогично для щ, равной одной из подалгебр размерности 3 из предложения 1.1.

Случай 4. Осталось рассмотреть случай, когда dimgi = dimg2 = 4. В соответствие с теоремой 1.1, sl(3, С) имеет три подалгебры размерности 4: f4 = h + Се12 + Се21, f4 = m + h, f4 = n+ + 00, для некоторого h0 e h, h0 Ф 0, и, соответственно, шесть возможных пар подалгебр.

Утверждение 2.4 Пусть g1 и g2 —две подалгебры sl(3, С), dim g1 = dim g2 = = 4, sl(3,С) = g1 + g2 —прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Утверждается, что:

A. Для всякой подалгебры g1, dim g1 = 4, множество Xg1 не пусто.

B. Если подалгебра g1 сопряжена f4, то существует две орбита присоеди-неного действия A01 : Xg1 ^ Xg1. Если g1 сопряжена f4 или f4, то существует три орбиты присоединенного действия на Xg1.

C. Пусть g 1 ,g2, dim g1 = dim g2 = 4, две подалгебры такие, что sl(3, С) = = g1 + g2. Тогда пара (g1, g2) сопряжена одной из следующих пар или паре, которая получается перестановкой слагаемых:

1 0 0

1. g1 = f4 = h + Св12 + Се21, g2 = Tf42T-1, где T = g1 = f2 = h + m, g2 = Tf2T-1, где T =

0 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 1

' a0 0 0 s 0 0 1 N

3. g1 = = n+ + С 0 p0 0 , g2 = Tf4T-1, где T = 0 1 0

I 0 0 Y0 J ( 1 0 11 0 " 1 0 J

4. g1 = f1 = h + Се12 + Се21, g2 = T f\T - 1, где T = 0 1 0

I 1 0 1J

5. g1 = f4 = n+ + h1, g2 = n- + h2, где h1,h2 e h, h1 Ф Ch2.

Из утверждений 2.2-2.4 вытекает теорема:

Теорема 2.5 Пусть g1 и g2 —две подалгебры sl(3,С), dimg1 ^ dimg2, sl(3, С) = g1 + g2 — прямая сумма подалгебр как линейных подпространств. Тогда существует Ф e Aut(sl(3, С)) такой, что пара подалгебр (g1, g2) = = (Ф(gl),Ф(g2) совпадает с одной из пар из утверждений 2.2-2.4.

Литература

[1] Рейман, А.Г. Интегрируемые системы / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. - М.;Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

[2] Баранник, А.Ф. Подалгебры афинной алгебры ЛЮЬ(3, К) / А.Ф. Баран-ник, Ю.Д. Москаленко, В.И. Фущич. - Препринт 89-65, Киев, Математический институт Академии Наук Украины, 1989.

Поступила в редакцию 19/Х/2007; в окончательном варианте — 19/Х/2007.

sl(3, C) DECOMPOSITION INTO A SUM OF TWO LIE

SUBALGEBRAS

© 2007 E.I. Konovalova2

In this paper we obtain a classification of all decompositions of the Lie algebra sl(3, C) into a sum of two subspaces such that each of them is a Lie subalgebra. The classification is realized up to action of the group of automorphisms. The solution of formulated problem gives a classification of all solutions of MYBE for sl(3, C) represented as a subtraction of two pro jectors.

Paper received 19/X/2007. Paper accepted 19/X/2007.

2Konovalova Elena Igorevna ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.